关于椭圆极坐标方程程的积分怎么求？比如第(3)题那种，高数，数学，

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-12-10 11:24 标签： 高数极坐标
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【对应高数】极坐标与极坐标中的积分计算
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【对应高数】极坐标与极坐标中的积分计算
官方公共微信高等数学（29）
§9.4&&三重积分的概念及其计算法
一、三重积分的定义
设是空间闭区域上的有界函数,将任意地分划成个小区域&&&&
其中表示第个小区域,也表示它的体积。
在每个小区域上任取一点,
以记这个小区域直径的最大者,
若极限&&&&存在,
则称此极限值为函数在区域上的三重积分,记作
其中叫体积元素。
自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成。
二、三重积分的存在定理
若函数在区域上连续,&则三重积分存在。
特别指出:二重积分的一些术语、性质可相应地移植到三重积分。
三、三重积分的物理意义
如果表示某物体在处的质量密度,是该物体所占有的空间区域,且在上连续,则和式&就是物体质量的近似值,&该和式当时的极限值就是该物体的质量。
特别地,&当时,
四、三重积分的计算法
假设积分区域的形状如下图所示
在面上的投影区域为,&过上任意一点,&作平行于轴的直线穿过内部,&与边界曲面相交不多于两点。
亦即,&的边界曲面可分为上、下两片部分曲面。
其中&,&在上连续,&并且&。
如何计算三重积分呢?
不妨先考虑特殊情况,则
一般情况下,类似地有
显然积分只是把看作的函数在区间上对求定积分,&因此,其结果应是的函数,&记
如上图所示,&区域可表示为
综上讨论,&若积分区域可表示成
这就是三重积分的计算公式,&它将三重积分化成先对积分变量,&次对,最后对的三次积分。
如果平行于&&轴且穿过内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用的方法,&将剖分成若干个部分,(如),使在上的三重积分化为各部分区域(&)上的三重积分,当然各部分区域&()&应适合对区域的要求。
例如,求,其中为&&。
将面将区域剖分成上下两个部分区域
【例1】计算,&其中为球面及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体。
在某坐标面上的投影区域并画出简图
在面上的投影区域为&
在已知积分变量的变化范围为的情况下,&再确定另一积分变量的变化范围。
在内任取一点,&作一过此点且平行于轴的直线穿过区域,&则此直线与边界曲面的两交点之竖坐标即为的变化范围。
化三重积分为三次积分
§9.5&&利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。
一、利用柱面坐标计算三重积分
1、柱面坐标
设为空间的一点,该点在面上的投影为,点的极坐标为,则三个数称作点的柱面坐标。
规定的取值范围是
柱面坐标系的三组坐标面分别为
,即以轴为轴的圆柱面；
,即过轴的半平面；
,即与面平行的平面。
点的直角坐标与柱面坐标之间有关系式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(1)
2、三重积分在柱面坐标系中的计算公式
用三组坐标面,,,将分割成许多小区域,除了含的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。
考察由各取得微小增量所成的柱体,该柱体是底面积为,高为的柱体,其体积为
这便是柱面坐标系下的体积元素,&并注意到(1)式有
&&&&&&&&(2)
(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。
(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量的三次积分,其积分限要由在中的变化情况来确定。
3、用柱面坐标表示积分区域的方法
(1)、找出在面上的投影区域,&并用极坐标变量表示之；
(2)、在内任取一点,&过此点作平行于轴的直线穿过区域,&此直线与边界曲面的两交点之竖坐标(&将此竖坐标表示成的函数&)即为的变化范围。
【例1】求下述立体在柱面坐标下的表示形式
&&球面与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分。
&&由锥面与平面所围成的立体。
在面上的投影区域为&,
其极坐标下的表示形式为&&&&
在的变化范围是&&&&&&,
即&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
在面上的投影区域为&&&,
其极坐标下的表示形式为&&&&&&&&
在的变化范围是&&&&&&&&&&
即&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
【例2】用柱坐标计算三重积分,其中是球体位于第一卦限内的部分。
二、利用球坐标计算三重积分
1、球面坐标
如图所示,空间任意一点也可用三个数唯一表示。
&为原点到点的距离；
为有向线段与轴正向所成夹角；
为从正轴来看自轴依逆时针方向转到有向线段的角度,而点是点在面上的投影点。
规定的取值范围为
不难看出,点的直角坐标与球面坐标间的关系为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3)
2、球面坐标系的特点
,是以原点为心的球面；
,是以原点为顶,&轴为轴的圆锥面；
,是过轴的半平面。
粗略地讲,&变量刻划点到原点的距离,即“远近”；
变量刻划点在空间的上下位置,即“上下”；
变量刻划点在水平面上的方位,即“水平面上方位”。
3、三重积分在球面坐标系下的计算公式
用三组坐标面,&,&,将分划成许多小区域,考虑当各取微小增量&&所形成的六面体,若忽略高阶无穷小,可将此六面体视为长方体,其体积近似值为
这就是球面坐标系下的体积元素。
由直角坐标与球面坐标的关系式(3)有
(4)式就是三重积分在球面坐标系下的计算公式。
(4)式右端的三重积分可化为关于积分变量的三次积分来实现其计算,当然,这需要将积分区域用球面坐标加以表示。
4、积分区域的球面坐标表示法
积分区域用球面坐标加以表示较复杂,一般需要参照的几何形状,并依据球坐标变量的特点来决定。
实际中经常遇到的积分区域是这样的
是一包围原点的立体,&其边界曲面是包围原点在内的封闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方程,据球面坐标变量的特点有
例如:若是球体&&,&&则的球坐标表示形式为
曲面的球坐标方程为
【例3】求曲面与曲面所围成的立体的体积。
解:的图形为
下面根据图形及球坐标变量的特点决定的球坐标表示式。
(1)、在面的投影区域包围原点,故变化范围应为；
(2)、在中可由轴转到锥面的侧面,而锥面的半顶角为,故的变化范围应为；
(3)、在&内任取一值,&作射线穿过,它与有两个交点,一个在原点处,另一个在曲面上,它们可分别用球坐标表示为&及&。
也可以利用柱坐标来计算该立体的体积。
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