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例谈数学的严谨性
&&&&更新时间： 16:18:18
&&& 我们常听到同学说：&老师，我这题只错了一个符号，怎么算全错7&或者说：&小数点错了一位，为什么扣那么多的分？&看来，有些同学对数学学科的一个特点&&准确性，缺乏足够的认识。一篇作文，主题明确，中心突出，构思严谨，文字优美，虽说有一两个错例字，是缺点，但也无伤大雅。仍不失为一篇好文章。数学则不然，不仅解题思路要正确，具体解题过程也不能出错，差之毫厘，往住失之千里。
　　这里介绍两则真实的故事。
　　1962年，美国发射了一艘飞往金星的&航行者一号&大空飞船。根据预测，飞船起飞44分以后，9800个太阳能装置会自动开始工作；80天后电脑完成对航行的矫正工作；10天以后，飞船就可以环绕金星航行，开始拍照。可是，出人意科的是，飞船起飞不到四分钟，就一头栽进大西洋里。这是什么原因呢？后来经过详细调查，发现当初在把资料输电脑时，有一个数据前面的负号给漏掉了，这样就使得负数变成了正数，以致影响了整个运算结果，使飞船计划失败。一个小小的负号，竟使得美国航天局白白浪费了一千万美元、大量的人力和时间、
　　从前，医生常推荐儿童和康复的病人多吃菠菜，据说它里面含有大量的铁质，有养血、补血的功能。可是几年前，前联邦德国化学家劳尔赫在研究化肥对蔬菜的有害作用时，无意中却发现，菠菜的实际合铁量并不象书上所讲的那么高，只有所宣传落据的十分之一！劳尔赫感到很诧异，他怀疑是不是他所实验的那种菠菜特殊，于是便进一步对多种菠菜叶子反复进行分析化验，但从未发现哪种菠菜的含铁量比别的蔬菜特别高的情况。于是他探索有关菠菜合铁还高的&神话&到底是从哪里来的。最后发现，原来是90多年前，印刷厂在排版时，把菠菜含铁量的小数点向右错移了一位，从而使这个数据扩大了10倍。
　　牛顿曾经说过：&在数学中，最微小的误差也不能忽略。&我们平时学习数学，就应该有这种谨慎细心、一丝不苟的态度，严格要求自己，今后参加工作才能有对人民、对事业高度负责的精神。
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文明上网,理智发言
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　　第一题
　　周长谁不会算？那你算算呗！据说研究生写了一篇作业纸都没算出来。不过，想到办法的话很简单……
　　正确答案：9
　　方法：把正方形里面的两条线平移出来，这两条线正好是正方形周长的1/2。
　　这可不是儿歌哦！回归孩子的简单，没准你就有答案了！
　　正确答案：3&2；1&4；3&2；2&3
　　这个题目考查的是观察力，见证你眼力的时刻到了！国考貌似也有类似的题目哦。
　　正确答案：第四个是外星人
　　方法：只有有三只触手和一个三角形的才是外星人。
　　这道题没想象中那么简单！
　　正确答案：8
　　理由：因为“我”是一个只小兔纸。
　　谁说“数学”很无趣，它都和“语文”做好朋友啦！你造吗？
　　正确答案：
　　20除以3因为答案接近于6.6666，所以是“陆续不断”；
　　百分之一就是“百里挑一”；
　　9寸加1寸等于一尺即是“得寸进尺”；
　　是“七零八落”；
　　1、3、5、7、9无双数所以叫做“举世无双”。
　　小林你到底哭没哭，反正我哭了！
　　正确答案：1.没哭；2.没哭；3.没哭；4.哭了；5.没哭；6.哭了
　　图片萌萌哒，问题坑坑哒！没看懂题目的我眼泪掉下来！
　　正确答案：这道题分两个部分，一个是给小鸟和房子连线；另一个是问问数学在现实生活的有什么应用。比如某人上周涨了3斤肉，本周涨了7斤肉，所以两周共涨了10斤肉。
　　What are you弄啥类？
　　正确答案：没有答案
　　理由：这道题目考查的是学生对事物确定性的理解，看他们对数学的应用是否恰当，对自己做出的结果是否坚定。
　　你答对了几道？！你说，当个小学生容易嘛！发散思维、学以致用，认真仔细，自信坚持一样也不能少！
　　所以，家长们，要多多给孩子体谅和帮助，不要一味责怪孩子，更要不断提高自己，做到教学相长，才能跟得上孩子的步伐撒！
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中国人民大学政治学教授有必要人人都学数学吗？ | 科学人 | 果壳网 科技有意思
有必要人人都学数学吗？
学数学到底有没有用？上大学不一定要学数学，数据分析师没有数学背景也行
本文作者:ccyou
（图/Adam Hayes）
（文／安德鲁o哈克）在美国，开学期间每天都有差不多 600 万名高中生和 2 万名大一新生，要奔赴学校去与代数作斗争。高中也好，大学也罢，有太多、太多的学生，都将注定走向失败。为什么要让美国的学生经受这个考验？我发现我自己越来越倾向于认为，就不应该让孩子们遭受这种折磨。
不止是代数，推展开去一系列常见的数学科目，从几何再到微积分，都包括在我要说的范围之内。各个州的管理者和教育政策的制定人，还有大部分的公众，都觉得每一个年轻人都必须要被教会多项式函数和参数方程，其意义不言而喻。
要说代数有什么好、学习代数有什么用，那理由可多了去了。大多数乍一听很合理，还有许多我也曾经认同过。但我愈是研究便愈发清楚地意识到，这些理由大半、乃至全盘皆误——不是没有研究或证据的支持，就是基于一厢情愿的逻辑。（定量技巧除外，定量计算能力是公民知情权和个人理财的关键，不过跟我们这里说的完全是两码事。这个下面会说到。）
这个争论是有意义的。强制性的数学教育有碍于青年人才的发现和培养。为了要保证严谨性，我们实际上损耗了国家的脑力资源。我是作为一名文字工作者，以及一个很大程度上要依赖数字完成工作的社会科学研究者这样说的。我要的不是要免去学生们一门难学的科目，而是要让人们注意到一个切切实实存在的问题——宝贵的资源正在被我们误导。
数学造成人才资源的浪费
数学造成的资源价值浪费从很早就开始了。在美国，4 个 9 年级学生（编注：美国高中从 9 年级到 12 年级，学制为 4 年；美国的 10 年级相当于中国的高一）里面就有 1 个完不成高中学业，这是美国的不幸。根据 2011 年公布的国家数据，在 2008 - 2009 学年，南卡罗来纳州有 34％ 的高中生辍学，这个数字在内华达州是 45％。跟我谈过的大多数教育工作者都表示，代数是造成这一问题最主要的学术原因。
田纳西州的一名资深教师雪莉o巴格韦尔（Shirley Bagwell）告诫说，“期望所有的学生都掌握代数，将导致更多的学生辍学。”对于那些留下来人而言，也通常是要经过“毕业考试”，几乎没有哪儿不考代数。2011 年，俄克拉何马州有 33％ 的高中生毕业考试不及格，在西弗吉尼亚州是 35％。
代数对各种学生人群来说，都是块沉重的绊脚石，不管你是贫是富，是黑是白。在新墨西哥州，有 43％ 的白人学生代数成绩在 “精通” 以下，在田纳西州是 39％。即便是在那些资源优厚的学校，也有在其他方面都表现优异的学生因代数而受阻，微积分和三角函数挡下的人就更不用说了。
看加利福利亚州的公私两套大学系统，都只从学过了 3 年数学的申请人中考虑招生，就这样排除掉了很多可能在艺术或历史等领域有所建树的申请人。社区大学的学生也同样面临着一堵令人望而却步的数学高墙。一项对美国两年制社区大学进行的研究发现，只有不到 1/4 的学生过了规定要学的代数课程。
“有的学生把这些课重修了三四次，甚至五次，”阿巴拉契亚州立大学的芭芭拉o宝恒（Barbara Bonham）说，虽然有些人最终过了，“有很多还是辍学了”。
另一个有关辍学的统计数字也同样令人气不过。所有走进大学校门的人，只有 58％ 的拿到学士学位。毕业的主要障碍便是大一的数学。纽约城市大学，也就是我 1971 年以来执教的地方，有 57％ 的学生都没有通过规定的代数课程。校方的一份报告给出了一个令人沮丧的结论： “各阶段的数学不及格对学生保留率的影响比其他任何学术因素都要大。” 全美国的大学的成绩单抽样结果显示，数学的 F 等和 D 等分数是其他科目的两倍那么多。
此外，就算是及了格也不够。许多高校都在努力提升自己的地位，其方法就是在数学上设置一个高的标杆。于是乎，他们招的都是些 SAT 数学 700 分以上的生源，在 2009 年，考生中只有 9％ 的男性和 4％ 的女性达到这一要求。在这样做的不仅仅是常春藤盟校，像范德比尔特大学、莱斯大学，还有圣路易斯的华盛顿大学，要是你数学 SAT 没上 700，那你最好爸妈是校友，或者你本人是体育特优生。
芬兰、韩国和加拿大的学生数学测验的分数是高，但人家之所以能胜任高要求的工作，凭的是学生自己的毅力，而不是他们的代数课堂教学。【相关文章：
学校里的数学在工作中没有用？
再有就是，现在还不清楚在学校里学的数学跟在工作中用的定量分析之间有什么关系。密歇根州立大学研究数学教育的教育心理学家约翰o史密斯三世（John P. Smith III）发现，“工作场合用到的数学逻辑推理，跟学校教的计算方法之间有很明显的区别”。就是那些需要STEM（指科学、技术、工程和数学）专业背景的岗位，入职后员工也会接受相当多的培训，其中也包括工作所需的计算能力的培训。日本丰田汽车公司最近在密西西比州的一个边远小镇上开设了一家工厂，虽然当地的学校远远算不上出色，不过丰田跟当地一所社区大学合作，专门设置了一门 “机床数学” 的课程，来弥补培训需要。
长久以来，像这样的合作为德国的学徒制度打下了坚实的基础。一个先进的工业经济需要有高科技的知识来持续，这一点我完全同意。但把学术当作实现目标的主要途径，无异于自欺欺人。
德国企业管理的一个特点，是其独一无二的学徒制度。大多数 16 岁的青少年必须在自己所选择的行业中当 3 年学徒。一周内有 4 天留在工厂里，第 5 天则返回职业学校，接受理论课程训练。德国法律没有强制各工厂接受学徒，但工会在约 450 个行业中强制规定，必须有学徒经历才能被聘为正式员工。学徒制度的普及，不仅减少了青少年犯罪与失业率，最重要的是培养了新一代员工的职业道德，让年轻人拥有专业技能，使技术扎根于基层员工。（ 刘林森：德国企业竞争力基础（企业价值观）,《市场报》日 第二十四版.）德国各行各业都有学徒制度，16 岁到 19 岁的德国青少年有 1/3 都选择在各企业和公司充当学徒，只有 30% 的高中生选择进入大学深造。图为德国奔驰汽车厂的学徒培训，自 1890 年便开始的学徒项目， 到 2009 年已有 9151 名学徒工毕业。（图片：）
学数学到底能给人带来什么？
怀疑论者可能会反驳说，就算美国当前的数学教育使一大批学生受挫，但数学本身是没有错的。难道数学不是教育的一个重要组成部分，不是数学为我们提供了量化工具和锻炼了我们的抽象思维能力？在如今这个高科技时代，这些愈发显得不可或缺。确实，我们也都听到了美国缺少 STEM 专业毕业生的呼喊。
当然，基本的运算技巧还是应该学的，比如小数、比率和估算，再加上良好的算术基础。不过，乔治敦大学教育与劳动力中心的一份权威分析预计，未来 10 年只有 5％ 的初级工人需要精通代数及更高水平的数学。如果说 STEM 毕业生真有短缺，来看看有多少空缺的岗位给这些 STEM 毕业生选择也同样重要。2012 年 1 月，乔治敦中心分析发现，工科毕业生的失业率为 7.5％，而计算机科学专业的毕业生失业率为 8.2％。
伊利诺伊大学的彼得o布朗菲尔德（Peter Braunfeld）告诉他的学生们说， “我们的文明要没有数学就会崩溃。”他再正确不过了。
有了代数的算法作支撑，才有了动画电影、投资策略和机票的价格。而且，也需要人来了解这些东西如何运作，以拓展人类知识的边界。
量化分析的方法在衡量公共政策时也很有用，从奥巴马政府的平价医疗法（Affordable Care Act）到环境监管的成本和利益，再到气候变化的影响，各种公共政策都适用。能够探测和识别出隐藏在数字背后的意识形态，其好处显而易见。我们的时代正在迅速成为一个统计数字的时代，由此公民对社会形势的了解也上升到了一个新的水平。这时候需要的不是教科书上的公式，而是更高一层的理解—— 弄清楚各种数字的来源是哪里，这些数字实际传达的信息是什么。
至于数学磨练头脑，让人作为独立的个体以及作为社会的一份子更加理智，这种说法又如何呢？ 不错，数学是需要心力；但没有证据表明，能够证明 (x? + y?)? = (x? - y?)? + (2xy)? ，就能使人拿出更可靠的政治见解或更完善的社会分析。
很多在传统的数学教育模式中挣扎出来的人都觉得，这样的学习经历抹杀了他们的个性。这或许印证了这样一个事实——有很多机构和职业往往只为了壁垒森严才定下种种条件——根本不能作为保有这么多数学硬性规定的理由。兽医技术人员的认证计划要学代数，可我见过的兽医毕业生没有哪一个在诊疗动物时曾经用到过这项技能。像哈佛大学和约翰霍普金斯大学这样的医学院，要求所有申请人都必须掌握微积分，可在医疗课程表上根本不见微积分的影子，更不用说在今后的临床实践上了。数学只是一个圈，把人分为内外两等；它是圈内人的身份标识，外人看了好不畏羡；它是整个圈子的图腾象征，为整个行业都披上了光辉色彩。
加州理工学院和麻省理工学院希望每个学生都精通数学，这不难理解；但让未来的诗人和哲学家也去跨越横在面前的数学高秆，就有些匪夷所思了。无差别的代数要求，让整个学生群体发生倾斜，其结果并不一定会偏往好的方向。
除了数学，我们还能学习什么？
在最后，我还是想用积极的话来收尾。数学，包括数学的理论和数学的应用，都是人类文明的组成部分，不管最终是呈现在审美上，还是蕴含在电子产品之中。但是，在大多数成年人心中，数学激起的并非理解，更多还是畏惧或崇敬。要求每个人都学习代数并没有增加人们对数学这个一度被奉为 “宇宙之诗” 的专业的赞赏。（还有多少大学毕业生记得费马大定理讲了个啥吗？）
与其在全美国大半人口成就的拦路虎上倾注这么多的学术精力，我提议不妨想想可以另辟的蹊径。各年级的数学教师或许可以开设一门我称之为 “公民统计” 的有趣课程。这不会是只把代数课给改个名字，也不会专门教一些学者写给学者看的方程。这门课要做的，是教会学生数字如何描述和界定每个人的日常还有公共生活。
比方说，可以教学生消费物价指数是如何算出来的，都包括了哪些项目，每个项目是怎么加权的——还可以让学生讨论有什么事项应该被纳入物价指数的计算，纳入后又应该怎么加权。
这样做并不会意味着降低教学水平。研究数字的可靠性并不比学习几何简单。越来越多的高校多开始设置 “定量分析” 的课程。其实我们应该从幼儿园就开始。
我希望数学系也能开办有关数学历史和数学哲学的课程，还有数学在早期文化中的应用。为什么不开一门美术和音乐中的数学呢——诗歌中的数学也很不错——还有数学在各种学科中的应用。最终的目标是让把数学当作文科，像雕塑或芭蕾一样易于接近、受人欢迎。倘若能重新审视数学在人们心目中的形象，消息传出去，数学专业的招生率也必然有所上升。不过，这也只能起到帮助作用。在 2010 年授予的 170 万 ※（此处已更正）个学士学位中，仅有不到总数 1％ 的 15396 个给了数学。
我观摩了许多高中和大学的课堂教学，从密歇根州到密西西比州，那些认真教学和勤奋学习的身影，给我留下了深刻的印象。我承认，持续投入大量的资源，也能留住许多辍学生，帮助他们渡过二次方程的难关。但那样做只是错误的使用了教学人才资源，也把学生的努力导向了错误的方向。减少年轻人必须学习的数学，而不是增加，将是更好的做法。（话虽这样说，我并不是在主张，那些被认定为 “不够好学” 的人就应该去职业学校——这样的所谓认定几乎总是不公正的。）
没错，年轻人是该学会读、学会写，还有做长除法，不管他们愿意不愿意。不过，迫使他们掌握矢量角度和连续函数也没有任何道理。试想，数学就像一块巨石，我们规定每一个人都必须使出吃奶的劲儿去拉它，却不曾想过这所有所有的痛苦最后能换来些什么。那么，为什么要规定每个人都去拉，就没有别的路可走，没有例外可言？ 我至今仍然没有找到一个令人信服的答案。
来这里参与大家的讨论吧
Is Algebra Necessary?
安德鲁o哈克（Andrew Hacke）是纽约城市立大学皇后学院的政治学名誉教授，与人合著有《高等教育？大学是怎么浪费我们的钱，辜负我们的孩子的——对此我们能做些什么》。
《纽约时报》网站，日
Adam Hayes，
你可能感兴趣
政治需要学么？生物需要学么？地理需要学么？化学需要学么？物理需要学么？其实不是需不需要学，而是怎么学。其实我觉得学数学，对于一般人来说统计，集合，和命题那一部分学好对于生活有很大帮助，至少不会那么容易被各种砖家妓者忽悠。
我会随便给别人说我是因为得罪老师而导致重修三次工科数学分析么！~~
我觉得学数学还是有必要的，不学数学或数学不好的，真心在某方面要差一些。哲学也是需要学数学的，我觉得数学是最古老的语言。你不能纯把数学当理工科，我觉得这个文章就比较荒唐，虽然我数学不是很好，但是作为一名思维正常的人而言我觉得有必要表明我的观点啊。不过当然，在开玩笑说一下这是可以的阿，但不要误导小朋友啊。话说我就是因为数学不好去读的文科啊。结果大学学的是理学。。
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全部评论(442)
来晚了。。由于挂科的原因，我对数学有种微妙的怨念~
不如教教学生“税”是什么东西。
前排~大一代数挂科的时候，我只想到补考过了一定要把代数书撕了发泄。（结果还不是没撕成）
太长了....
我会随便给别人说我是因为得罪老师而导致重修三次工科数学分析么！~~
对数学又爱又恨
让数学去死！！！！！！！让计算去死！！！！！！劳资这辈子的最低分就是物理，第二低是数学。。。TMD个位数啊！！！我擦啊！！！！老子地理九十多啊！！！！学数学有个毛用啊！！！劳资至今觉得小学学的数学就足够我后半辈子用啦！！！
表示真的把文章中的式子证了一遍。。。这种东西打上高中以来就没再碰过。。。代数证明题比较少。
数学嘛。。。很简单嘛。。。难都难到后面了
“有必要人人都学数学吗？”把数学换成任何学科，都可以洋洋洒洒写上一篇文章。甚至，都没必要人人都上学，有种学某人自己教孩子。
我觉得学数学还是有必要的，不学数学或数学不好的，真心在某方面要差一些。哲学也是需要学数学的，我觉得数学是最古老的语言。你不能纯把数学当理工科，我觉得这个文章就比较荒唐，虽然我数学不是很好，但是作为一名思维正常的人而言我觉得有必要表明我的观点啊。不过当然，在开玩笑说一下这是可以的阿，但不要误导小朋友啊。话说我就是因为数学不好去读的文科啊。结果大学学的是理学。。
怎么现在都不给原文链接啊？！
前几天那绿茶尿检的那个傻逼记者估计就是数学不好的
我怎么觉得这文章完全没有主旨。。。只是现状的罗列。。。
其实美国SAT的数学已经很很很简单了。。。那些题基本每个中国学生都能拿800分
居然说哲学家用不着数学。。。感觉这作者完全不懂哲学和数学啊。。。他是社会科学家，估计只会些统计吧。。。。
勘查技术与工程专业，编程爱好者
一看标题就想起了这个：我是不赞成强制所有人学数学的
勘查技术与工程专业，编程爱好者
的话：“有必要人人都学数学吗？”把数学换成任何学科，都可以洋洋洒洒写上一篇文章。甚至，都没必要人人都上学，有种学某人自己教孩子。得写出来了才算数啊
麻瓜当然不用学啦~
我是要成为海贼王的男人，2+5=8·~·
的话：让数学去死！！！！！！！让计算去死！！！！！！劳资这辈子的最低分就是物理，第二低是数学。。。TMD个位数啊！！！我擦啊！！！！老子地理九十多啊！！！！学数学有个毛用啊！！！劳资至今觉得小学学的数学就足够我后半辈子用啦！！！你说的很对，但是不得不承认数学尤其是奥数是考察一个人智商的最有效的方式。作为搞电路的研究生，我都不得不承认用到的数学90%几乎高一就学完了，但是我仍然佩服那些在初中、在高中、在大学数学比我好的人，这些人确实比我更聪明，所以我相信数学能评价一个人的智商，虽然这很残酷，不过幸好现实社会并不以智商作为唯一评判标准。
捉虫 ：“在 2010 年授予的 1.7 万个学士学位中，仅有不到总数 1％ 的 15396 个给了数学。”1.7 万其实本来是1.7million吧
还好大学没有学数学 唯一跟数学有点关系的统计学 我能逃则逃
有必要啊，伊斯兰教认为数学就是神啊。
文章的作者就像皇帝新装里的孩子，可惜的是，我们不是皇帝新装里的明白人，而都是皇帝。大家也可以看看这篇文章
政治需要学么？生物需要学么？地理需要学么？化学需要学么？物理需要学么？其实不是需不需要学，而是怎么学。其实我觉得学数学，对于一般人来说统计，集合，和命题那一部分学好对于生活有很大帮助，至少不会那么容易被各种砖家妓者忽悠。
果壳科技评论编辑
的话：捉虫 ：“在 2010 年授予的 1.7 万个学士学位中，仅有不到总数 1％ 的 15396 个给了数学。”1.7 万其实本来是1.7million吧多谢指正，现在已经改过来了（掩面……）
数学都不学？你想让孩子学什么？
这篇文章真没点=。=……
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