函数的泰勒级数当上学期的大魔王泰勒公式与这学期的幂级数结合到一起，同志们有木有倒吸一口凉气、感觉到这个很难？现在不用担心啦！小媛精心准备的讲解就在下面，请慢慢食用╰(￣▽￣)╭1关于展开的条件在上学期的泰勒公式中，条件与现在相比是比较弱的，泰勒多项式要求一函数F(x)在某一点处有n阶导，泰勒中值定理要求f(x)在某点的邻域内有n+1阶导；若带有皮亚诺型余项则要求x趋近于展开点，而马克劳林公式则是在x=0处的带有皮亚诺型余项的泰勒展式。——咩，先大体回顾一下上学期的知识&(￣ˇ￣)/而现在的泰勒级数要求在某点领域内有任意阶导数，这个条件比上面的强了很多，要注意一下。一般基本初等函数是有任意阶导数的。其实咱稍加注意就会发现，若把满足更强条件的函数进行泰勒展开，一直一直一直展开下去而不写余项，就是咱们的级数，而泰勒展开后的形式恰好就是咱们刚学过的幂级数，这样，一些幂级数的性质就可以用在这里啦~2重要的定理当我们把一个函数展成带有拉格朗日型余项的泰勒级数后，需要确定它的收敛域与和函数。收敛域可以用之前学过的幂级数的收敛域求法容易地求出~定理一：当n→∞时，若拉格朗日型余项以0为极限，则和函数就是被展开的函数f(x)，或者说泰勒级数收敛于f(x)。这其实比较好理解：每多展开一项，展式就再一次地接近于f(x)，每一次展开，展式与f(x)的误差就是拉格朗日型余项的值——一直写下去，若余项不趋近于0，则误差的极限为一个不为零的常数，自然这个无穷多项的展式永远和f(x)有误差，也就是这个展式不收敛于f(x)，也即和函数不是f(x)；但是如果余项以0为极限，这意味着误差可以无限小，直至为零（极限意义上的），展式最终可以很好地贴近f(x)，所以和函数就是f(x)~什么？展式、和函数什么的把你搞晕啦？小case!展式就是那一大串的和，极限后不就是和函数吗o(￣v￣)d定理二：如果&f(x)&在区间&(-R+x0，R+x0)&上能展开成泰勒级数&，则展成的级数是惟一的。这个貌似是补充内容？仅供拓展哦~3常见的函数的马克劳林级数函数的马克劳林级数就是在x=0处的泰勒级数2333这个英国数学家也为这种级数做了很大贡献某著名马克劳林の和善微笑指数函数：&自然对数：&几何级数：&正弦函数：&余弦函数：&正切函数:&4最后的福利我找到了MIT的关于泰勒级数的网易公开课！呼——哈哈哈哈哈!WiFi党随意，流量党慎点（如果你有好几个G的话也是没关系的23333）顺便可以练听力哦[滑稽.jpg]传送门： El Psy Congroo.信小媛(gh_cbd)
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微积分中值定理
高等数学授课教师 李晓沛Tel 1 第三章 中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理2 第三节 微分中值定理一.费马引理及罗尔中值定理 二.拉格朗日中值定理 三.柯西中值定理 四. 几个中值定理的关系<b
r />3 极值的定义设 f ( x) 在 U ( x0 ) 内有定义 , 若f ( x) ? f ( x0 )f ( x) ? f ( x0 )? ( x0 ) , x?U? ( x0 ) , x?U则称 f ( x0 ) 为 f ( x) 的极大值 , x0为函数的极大点 .则称 f ( x0 ) 为 f ( x) 的极小值 , x0为函数的极小点 .4 费马引理设 f ( x) 在区间 I 内有定义, 且在 I 内某点 ? 处取极大（小）值. 若 f ?(? ) 存在 , 则必有 f ?(? ) ? 0 .yy ? f ( x)P如何 何证 证明 明？ ？ 如a费马O?bx5 证设 f ( x ) 在区间 I 内有定义 , 且在 x ? ? 处f ( x) ? C 是特殊情况取极大值 f (? ), 则有f ( x) ? f (? )若 f ?(? ) 存在, 则? (? ) x?Uf (? ? ?x) ? f (? ) f ?? (? ) ? lim? ? 0, ?x ?0 ?x f (? ? ?x) ? f (? ) f ?? (? ) ? lim? ? 0, ?x ?0 ?x于是f ?(? ) ? 0 .（极小值类似可证）6 f ( x ) ? C ([ a , b ])f ?( x ) 在 ( a , b ) 存在可保证在内部一点取到极值f ( a ) ? f (b )yy ? f ( x)Pf ?(? ) ? 0水平的aO?bx7 一. 罗尔中值定理定理 设(1) f ( x) ? C ([a, b]) ; (2) f ( x) 在 (a, b) 内可导 ; (3) f (a ) ? f (b) ,? ? (a, b) , 使得 f ?(? ) ? 0 . 则至少存在一点 yy ? f (x)几何意义ABOa??bx8 证? f ( x) ? C ([a, b]) ? f ( x ) 必在 [ a , b ] 上取到它的最大值、m ? min f ( x)x?[ a , b ]最小值至少各一次.令 M ? max f ( x) ,x?[ a , b ](1) 若 M ? mf ( x) ? m? m ? f ( x) ? M?x ? [a, b]?x ? [a, b] 故 ?? ? ( a, b) , 均有 f ?(? ) ? 0 .(2) 若 m ? M (即 M ? m) ? f (a) ? f (b) ,故 f ( x)必在)(a, b)内一点? 取到 M和m 之一 由费马定理可知：f ?(? ) ? 0 .9 例1 验证f ( x ) ? sin x在[0, ? ]上满足洛尔定理， 并求满足 f ?(? ) ? 0的?值。例2 设y ? f ( x )在[a , b]上连续，在(a , b)可导， f (a ) ? f (b )则曲线y ? f ( x )在(a , b)内平行于 ox轴的切线（ a 仅有一条 c 不一定存在 ） b d 至少有一条 不存在10 例3设 a, b, c, d 皆为实数, a ? b ? c ? d , f ( x) ? ( x ? a )( x ? b)( x ? c)( x ? d ) ,证明方程 f ?( x) ? 0 仅有三个实根, 并指出根所在区间. 证 f ( x) 是四次多项式, 在 (??,??) 内可微 ,f ( x) ? C ( [a, b],[b, c],[c, d ] ) ,f (a) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) ? 0 ,在 [ a, b] ,[b, c ] ,[c, d ] 上运用罗尔中值定理 , 得f ?(?1 ) ? f ?(? 2 ) ? f ?(?3 ) ? 0 .?1 ? (a, b) , ? 2 ? (b, c) , ?3 ? (c, d ) .即 f ?( x) ? 0 至少有三个实根 . f ?( x) 是三次多项式 , f ?( x) ? 0 仅有三个实根 ,即 f ?( x) ? 0 仅有有三个实根 .分别在 ( a, b), (b, c), (c, d ) 中 .11 例4在 （0,证明方程 a1 cos x ? a2 cos 3 x ? ? ? an cos(2n ? 1) x ? 0?2） 内至少有一根 , 其中实数 a1 , ?, an 满足a2 n ?1 an ?0 a1 ? ? ? ? (?1) 3 2n ? 1 a2 an 证 令 F ( x) ? a1 sin x ? sin 3 x ? ? ? sin( 2n ? 1) x 3 2n ? 1 ? 则 F (0) ? F ( ) ? 0 , 且满足罗尔定理其它条件, 2 ? 故 ?? ? (0, ) 使 2 F ?(? ) ? a1 cos ? ? a2 cos 3? ? ? ? an cos(2n ? 1)? ? 0即方程在 （0,?2） 内至少有一根 .12 如果使用一次罗尔定理后, f ?( x) 仍满足罗尔定理条件, 能否再一次使用罗尔定理?如果需要, 当然可以使用.13 例5设 f ( x), g ( x) ? C ([a, b]), 在 (a, b) 内二阶可导, 且 f (a ) ? g (a ), f (c) ? g (c), f (b) ? g (b), c ? (a, b), 证明 : 至少存在一点 ? ? (a, b), 使得 f ??(? ) ? g ??(? ).14 导数与差商 差商f ( x ? ?x ) ? f ( x ) f ?( x) ? lim ?x ? 0 ?x我们需要建立函数的差商与函数的导数间 的基本关系式 , 这些关系式称为 “ 微分学中 值定理”.15 导数与差商yy ? f ( x) 可微P B点 P 处切线的斜率： k ? f ?( x0 )相等！割线 AB 的斜率： 割线 f (AB x2 )的斜率： ? f ( x1 ) k? f ( x2 ) ??x1f ( x1 ) k? x2 ? x1AOx1x0x2割线 AB 的斜率： f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) k ? x2 ? x1 x ? x 2 1 x16这就是我们要讨论的微分中值定理！. 二. 拉格朗日中值定理定理设(1) f ( x) ? C ([a, b]) ; (2) f ( x) 在 (a, b) 内可导 ,则至少存在一点 ? ? (a, b) , 使得f (b) ? f (a ) f ?(? ) ? b?a即f (b) ? f (a ) ? f ?(? )(b ? a )17 y切线与弦线 切线与弦线 AB AB 平行 平行y ? f ( x)ABy ? g ( x)Oa?bx弦 AB 的方程： f (b) ? f (a ) y ? f (a) ? ( x ? a) b?a如何利用罗尔定理 如何利用罗尔定理 来证明？ 来证明？18 拉格朗日中值定理告诉我们, 在 t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.20 拉格朗日中值定理的另一种形式――有限增量公式在区间[ x , x ? ?x ](或[ x ? ?x , x ])的拉格朗日公式为 f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? f ?(? )?x , (? ? ( x , x ? ?x ))或f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? f ?( x ? ??x )?x , (? ? (0 ? ? ? 1)即 ?y? f ?( x ? ??x )?x . （1）?y ? f ?( x )?x）（对比(1)式是增量的准 确表达式，称为有限增量公式21 由拉格朗日中值定理可以得出其它的什么结论？f (b) ? f (a ) ? f ?(? ) (b ? a )f ?(? )f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?(? ) ( x2 ? x1 )(1) f ?( x) ? 0 x ? (a, b). (2) | f ?( x) | ? M .?f ( x) ? 常数.?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? M | x1 ? x2 | .还有什么？22 f (b) ? f (a ) ? f ?(? )(b ? a )推论 1若 f ?( x) ? 0 , x ? I . 则 ?x1 , x2 ? I , 有f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 即f ( x )在I上为常值函数数(? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ?(? )( x1 ? x2 ) ? 0 )推论 2若 f ?( x) ? g ?( x) x ? I , 则 f ( x) ? g ( x) ? C x ? I .( C 为常数 )23 推论 3用来证明一些重要的不等式 用来证明一些重要的不等式若 f ( x) 在 [a, b] 上满足拉格朗日中值定理 条件, 且 | f ?( x) |? M , x ? (a, b), 则 | f (b) ? f (a ) |? M | b ? a |24 例6 证证明： 当 x ? 1 时, e x ? e x . 即要证x ? 1 ? ln x ( x ? 1)即要证令 f (t ) ? ln t得x ? 1 ? ln x ? ln 1( x ? 1)t ? [1, x], 则由拉格朗日中值定理1ln x ? ln1 ? ( x ? 1) ? x ? 1 ,?(1 ? ? ? x).故当 x ? 1 时, e x ? ex.25 实例例7 证b?a b b?a 证明： 当0 ? a ? b 时 , ? ln ? . b a a即要证1 1 (b ? a ) ? ln b ? ln a ? (b ? a ) b a令f ( x) ? ln x , x ? [a, b] ,则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉格朗日中值定 理条件 ,26 例8 证证明： arcsin x ? arccos x ? 当 x ? [?1, 1] 时 ,?2, x ? [?1, 1] .1 1 (arcsin x ? arccos x)? ? ? (? ) ? 0, 2 2 1? x 1? x故 arcsin x ? arccos x ? C ? 取 x ? 0 计算得 C ? , 从而 2arcsin x ? arccos x ??2.27 例9证明： 若 f ( x) 在 (??, ? ?) 内满足关系式f (0) ? 1 , f ?( x) ? f ( x) , 则 f ( x) ? e x .f ( x) 证 即要证 ? 1 , x ? (??, ? ?) . x e 问题转化为 f ( x) 令 ? ( x) ? x , x ? (??, ? ?), 证 ? ( x) ? C e x x ? f ( x )e ? f ( x ) e ? ? ?( x) ? ? 0, x ? (??, ? ?), 2x e ? ? ( x) ? C , x ? (??, ? ?). 又 f (0) ? 1 , f ( 0) f ( x) 故 ? ( 0) ? 0 ? 1 C ? 1. ? ( x) ? x ? C e e x 从而 f ( x) ? e , x ? (??, ? ?) .28 例10 解设 f ( x ) ? 3 x 2 ? 2 x ? 5 , 求 f ( x ) 在 [ a, b] 上满足拉格朗日中值定理的 ? 值 . 易验证 f ( x) 在 [a, b] 满足拉格朗日中值定理的条件 .f (b) ? f (a ) ? f ?(? )(b ? a )由 (3b 2 ? 2b ? 5) ? (3a 2 ? 2a ? 5) ? (6? ? 2)(b ? a ) , 得 3(b ? a ) ? 6? , 从而所求为b?a ?? . 229 五. 柯西中值定理 设(1) f ( x) , g ( x) ? C ([a, b]) ; (2) f ( x) , g ( x) 在 (a, b) 内可导 ,且 g ?( x) ? 0 ,则至少存在一点 ? ? (a, b) , 使得f (b) ? f (a ) f ?(? ) ? g (b) ? g (a ) g ?(? )30 证明思路f (b) ? f (a ) 令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x), g (b) ? g (a )再利用罗尔中值定理。31 有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理, 就可证明柯西中值定理了.f ( x) , g ( x) ? C ([a, b]) , f ( x) , g ( x) 在 (a, b) 内可导 , 且 g ?( x) ? 0 , f ( x) , g ( x) 在 [a, b] 上, 满足拉格朗日中值定理条件故f (b) ? f (a ) f ?(? ) ? g (b) ? g (a ) g ?(? )两个 ? 相同吗？32 . 三个中值定理的关系Rolle图形旋转Lagrange令 F ( x) ? f ( x) ?Cauchyf (b) ? f (a) g ( x), g (b) ? g (a )f (a ) ? f (b)g ( x) ? x33 罗尔中 值定理条件 结论拉格朗日 中值定理柯西中 值定理f ( x )( g ( x )) ? C ([ a , b ]) ;f ( x )( g ( x )) 在 ( a , b ) 内可导 ;f (a ) ? f (b) ,且 g ?( x) ? 0 ,则至少存在一点 ? ? (a, b) , 使得f ?(? ) ? f (b) ? f (a ) b?af ?(? ) ? 0 .f (b) ? f (a ) f ?(? ) ? g (b) ? g (a ) g ?(? )总 结34 练习设x ? 0, 证明e ? 1 ? x .x35 第三章 第一节P88习题3-1 1，3.第三章 第二节36 泰勒公式37 在近似计算和理论分析中, 对于复杂函数f (x). 常希望用一个较简单的函数g(x)来近似表示 f (x). 例 用线性函数（一次多项式）表示函数 f (x) 比如, 当|x|很小时, ex ? 1+x, sin ? x.n1 1 ? x ? 1 ? x. ny=ex从几何上看, 我们在x=0附近用直线代替曲线, 缺陷: (1)精度不高。 看图.y=1+x(2)没有误差估计式.38 如果改用二次多项式, 三次多项式, …n次多 项式P(x) 来近似表示 f (x),精度是否能提高, 或 者说, 曲线的吻合程度是否会更好些呢?39 Taylor Series Approximation 10 5 0 -5 -10 -6 TN(x) = x -4 -2 0 2 4 640 Taylor Series Approximation 10 5 0 -5 -10 -6 -4 -2 0 2 4 6TN(x) = x-1/2 x 341 Taylor Series Approximation 10 5 0 -5 -10 -6 -4 -2 0 2 4 6TN(x) = x x-1/2 x 3+1/24 x 542 Taylor Series Approximation 10 5 0 -5 -10 -6 -4 -2 0 2 4 6TN(x) = x x-1/2 x 3+1/24 x 5-1/720 x 743 Taylor Series Approximation 10 5 0 -5 -10 -6 -4 -2 0 2 4 6TN(x) = x x-1/2 x 3+1/24 x 5-1/720 x 7+1/40320 x 944 Taylor Series Approximation 10 5 0 -5 -10 -6 -4 -2 0 2 4 6TN(x) = x x-1/2 x 3+1/24 x 5-1/720 x 7+1/40320 x 9-1/3628800 x 1145 Taylor Series Approximation 10 5 0 -5 -10 -6 -4 -2 0 2 4 6TN(x) = x x-1/2 x 3+1/24 x 5-1/720 x 7+1/40320 x 9-...+1/ -1/3628800 x 11 x 1346 Taylor Series Approximation 10 5 0 -5 -10 -6 -4 -2 0 2 4 6TN(x) = x x-1/2 x 3+1/24 x 5-1/720 x 7+1/40320 x 9-...-1/ -1/3628800 x 11 x 13 -...+1/ x 1547 Taylor Series Approximation 10 5 0 -5 -10 -6 -4 -2 0 2 4 6TN(x) = x x-1/2 x 3+1/24 x 5-1/720 x 7+1/40320 x 9-...+1/00 -1/3628800 x 11 x 13 -...+1/ -...-1/ x 15 x 1748 一般来说，随着n的增大，用n次多项式 来近似表示 f (x)，精度确有显著的提高。 而多项式函数在各类函数中是最简单的，所以， 我们应常用它来近似表示 其它函数 我们的任务是：1. 对一个给定的函数f (x) ，求一个 xCx0的n次多项式Pn(x) = a0+a1(xCx0)+a2 (xCx0)2+…+ an (xCx0)n，使之能在x0的附近近似表示 f (x)2 给出误差 f (x)CPn(x)的表达式49 一般来说，随着n的增大，用n次多项式 来近似表示 f (x)，精度确有显著的提高。 而多项式函数在各类函数中是最简单的，所以， 我们应常用它来近似表示 其它函数 我们的任务是：1. 对一个给定的函数f (x) ，求一个 xCx0的n次多项式Pn(x) = a0+a1(xCx0)+a2 (xCx0)2+…+ an (xCx0)n，使之能在x0的附近近似表示 f (x)2 给出误差 f (x)CPn(x)的表达式50 如何求Pn(x) ？y=f (x)x051 设f (x)在x=x0的某邻域U(x0)内有直到n+1 阶导数. 求Pn(x) = a0+a1(xCx0)+a2 (xCx0)2+…+ an (xCx0)n. 满足f (x0) = Pn(x0), f '(x0) = P'n(x0), f ''(x0) =P''n(x0), … f (n)(x0)= P(n)n(x0).将x=x0代入Pn(x), 得Pn(x0)= a0= f (x0) , 对Pn(x)求导, 再将x0代入, 得P'n(x0) = a1 = f '(x0)52 Pn(x) = a0+a1(xCx0)+a2 (xCx0)2+…+ an (xCx0)n1 P''n(x0)= f ''(x0) = 2!a2 ? a 2 ? f ??( x 0 ). 2! 1 ( 3) ( 3) 同理, Pn ( x0 ) ? f ( x0 ) ? 3!a3 , 得a3 ? f ( 3) ( x0 ). 3!一般, P ( n ) ( x ) ? f ( n ) ( x ) ? n!a , n 0 0 n 1 (n) a n ? f ( x 0 ). 得 n!对Pn(x)求二次导, 将x0代入, 得f ?( x0 ) f ??( x0 ) ( x ? x0 ) 2 ? pn ( x) ? f ( x0 ) ? ( x ? x0 ) ? 2! 1! f n ( x0 ) ?? ( x ? x0 ) n ? f ( x) n!53 定理.(泰勒中值定理) 如果f (x)在含x0的某个 区间(a, b)内有直到n+1阶的导数，则对 ?x?(a, b)，有f ' ( x0 ) f ' ( x0 ) ( x ? x0 ) ? ( x ? x0 ) 2 f ( x) ? f ( x0 ) ? 2! 1! f n ( x0 ) ?? ? ( x ? x0 ) n ? Rn ( x). n!f ( n?1) (? ) ( x ? x0 ) n?1 , ?是介于x0与x 其中 Rn ( x) ? (n ? 1)!之间的一个值.54 注1. 公式 f ( x) ? ?k ?0nf ( k ) ( x0 ) ( x ? x0 ) k ? Rn ( x) k!称为 f (x) 按(x?x0)的幂, 展开到n阶的泰勒公式.f ( n ?1) (? ) n ?1 Rn ( x) ? ( x ? x0 ) . ? 介于x与x0之间. (n ? 1)!称为拉格朗日型余项.55 1.带拉格朗日余项的泰勒公式f ( x) ? ?k ?0 nf ( k ) ( x0 ) k ( x ? x0 ) ? Rn ( x) k!f ??( x0 ) 2 ? ( x ? x ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) 0 2!??? f(n)( x0 ) ( x ? x0 ) n n!f ( n ?1) (? ) n ?1 ? ( x ? x0 ) (n ? 1) !(? 在 x, x0 之间)56 注2. 当n＝0时，泰勒公式变为拉格朗日中值公式f ( x ) ? f ( x0 ) ? f ' (? )( x ? x0 ), ? 介于x0与x之间.57 注3. 若 f( n ?1)( x )在 ( a , b )内有界 . 即 | f ( n ?1) ( x ) |? M .f ( n?1) (? ) 则 | f ( x) ? Pn ( x) |?| Rn ( x) |? ( x ? x0 ) n?1 (n ? 1)!M ? | x ? x0 |n ?1 . ( n ? 1)!Rn ( x ) f ( n ?1) (? ) 且 lim ? lim ? ( x ? x0 ) ? 0. n x ? x0 ( x ? x ) x ? x 0 ( n ? 1)! 0可是, 误差Rn(x)是(x?x0)n的高阶无穷小(当x?x0时). 即 Rn(x)=0((x?x0)n ). 称为皮亚诺余项.58 2.带皮亚诺余项的泰勒公式( x0 ) f ( x) ? ? ( x ? x0 ) k ? o(( x ? x0 ) n ) k! k ?0 f ??( x0 ) 2 ( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? 2! (n) f ( x0 ) n ? o(( x ? x ) n ) ??? ( x ? x0 ) 0 n!59nf(k ) 注4. 若在泰勒中值定理中取x0=0. 则公式为f ?(0) f ??(0) 2 f (n) (0) n f (x) ? f (0) ? x? x ??? x ? Rn ( x) 1! 2! n!(? ) n ?1 f ( n ?1) (? x ) n ?1 Rn ( x ) ? x ? ?x . ( n ? 1) ( n ? 1)! f( n ?1)其中? 介于x与0之间, 0&?&1. 称为马克劳林公式.60 带拉格朗日余项的马克劳林公式f ( x) ? ?k ?0 nf ( k ) ( 0) k x ? Rn ( x) k!f ??(0) 2 ? f (0) ? f ?(0) x ? x 2! f ( n ) (0) n f ( n?1) (? x) n?1 ??? x ? x n! (n ? 1) !就是 x0 ? 0 时的泰勒公式 . (0 ? ? ? 1)61 带皮亚诺余项的马克劳林公式f ( x) ? ?k ?0 nf ( k ) ( 0) k x ? o( x n ) k!f ??(0) 2 x ? f (0) ? f ?(0) x ? 2! f ( n ) ( 0) n n ? o ( x ) ??? x n!就是 x0 ? 0 时的泰勒公式 .62 四.泰勒公式举例记住泰勒公式才能较好地应用它 ！63 例1 解求 f ( x) ? e x 的带皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式. （马克劳林公式）?f ( x) ? f ?( x) ? ? f ( n ) ( x) ? e x? f (0) ? f ?(0) ? ? f（n） ( 0) ? 12 3 n x x x 故 e x ? 1 ? x ? ? ? ? ? ? o( x n ) 2 ! 3! n! 特别地 , 当 x ? 1 时 , 得e? x x n?1 (n ? 1) !估计误差e? 1 1 1 e ? 1?1? ? ??? ? n ! (n ? 1)! 2 ! 3! 1 1 1 e ? 1 ? 1 ? ? ??? n! 2! 3!e 的近似计算 公式64n ? 10时，误差 ? 10 ?6 . 求 f ( x) ? sin x 的 n 阶马克劳林公式 . 解 ? f ( n ) ( x) ? sin x ? n? (n ? N ) 2 n ? 2m ? 0, (n) ? f (0) ? ? (m ? N ) m ?1 ?(?1) , n ? 2m ? 1 ? sin x n? sin 5 7 m ?1 2 m ?1 3 x (?1) x n x x 2 ? ? ? x ? Rn ( x) ? ??? ? x? ? n! (2m ? 1) ! 3! 5! 7 !例2()(n ? 1)? (n) sin ? x ? f ??( 0 ) 2 f (0) n ? n ? 1 ? x f ( x ) ? f ( 0 ) ? f ( 0 ) x 2 ?? ? x ? 1) ( 0 ? ? 其中, Rn ( x) ? x 2! n! ? ( n 1 ) ! ( n ? 1)（f）泰勒 公式?(? x ) n ?1 x ( n ? 1) !( 0 ? ? ? 1)65 展开式的具体形式与 n 的奇偶性有关.n ? 2m ( 或 n ? 2m ? 1 ) 时 ,为什么不是 R2 m?1 ( x) ?(?1) m?1 x 2 m?1 x3 x5 x7 ? R2 m ( x) sin x ? x ? ? ? ??? (2m ? 1) ! 3! 5! 7 ! (2m ? 1)? sin ? x ? 2 其中, R2 m ( x) ? (2m ? 1) !（）x 2 m?1 (0 ? ? ? 1)由于 sin x 在 x0 ? 0 处 的偶数阶导数为零,故一般将 sin x 展至偶数项, 以提高精度.66 例3 解求 f ( x) ? cos x 的 n 阶马克劳林公式 .(n)n? ? f ( x) ? cos x ? (n ? N ) 2 n ? 2m ? 1 ? 0, (n) ? f (0) ? ? (m ? N ) m n ? 2m ?(?1) , 故 cos x ? n? cos 4 6 2 m 2m x x x (?1) x 2 x n? R ( x) 1? ??? ? ? ??? n 2! 4! 6! n! ( 2m) ! (n ? 1)? cos ? x ? ( n? ) ? ? 1) n ?1 2 ? ? ( 0 ( 0 ) f f ( 0 ) 2 x 其中 , ? R x ( ) n n ? ? x f ( x ) ? f ( 0 ) ? f ( 0 )(x ? ? ? x n ? 1) ! 2! n! 泰勒 f ( n ?1) (? x ) n ?1 ( 0 ? ?. ? 1) ? x 展开式的具体形式与 n 的奇偶性有关 公式 ( n ? 1) !()（）67 n ? 2m ( 或 n ? 2m ? 1 ) 时 ,为什么不是 R2 m ( x) ?m 2m x2 x4 x6 ? ( 1 ) x cos x ? 1 ? ? ? ??? ? R2 m?1 ( x) 2! 4! 6! ( 2m) !(2m ? 2)? cos ? x ? 2 其中, R2 m?1 ( x) ? ( 2 m ? 2) !（）x 2 m? 2 (0 ? ? ? 1)由于 cos x 在 x0 ? 0 处 的奇数阶导数为零,故一般将 cos x 展至奇数项, 以提高精度.68 实际应用中, 计算 sin x , cos x 的近似值时, 均展开到 2m 阶马克劳林公式, 即有x3 x5 (?1) m?1 x 2 m?1 sin x ? x ? ? ? ? ? 3! 5 ! (2m ? 1) ! x2 x4 (?1) m x 2 m cos x ? 1 ? ? ? ? ? 2! 4! ( 2 m) ! (m ? N )它们的误差估计式均为| x |2 m?1 | R2 m ( x) |? (2m ? 1) !69 例4 解求 f ( x) ? ln(1 ? x) 的 n 阶马克劳林公式 .?f(n)( x) ? (?1)n ?1(n ? 1) ! n (1 ? x)(n ? N ) f ( 0) ? 0请自己 算一下? f ( n ) (0) ? (?1) n?1 (n ? 1) ! ,n x 2 x3 x 故 ln(1 ? x) ? x ? ? ? ? ? (?1) n?1 ? Rn ( x) 2 3 n ( x ? ?1) (?1) n x n?1 1 式中 , Rn ( x) ? , (0 ? ? ? 1) n ?1 n ? 1 (1 ? ? x)70 同样可得出(1 ? x) ? ( ? ? R)及 arctan x 在x ? 0的泰勒展开式为(1 ? x) ? 1 ? ?x ??? (? ?1)2!x ? ??2? (? ?1)?(? ? n ? 1)n!x n ? o( x n )2 n ?1 x 2 x5 x arctan x ? x ? ? ? ? ? (?1) n ? o( x 2 n ?1 ) 3 5 2n ? 171 例6 证x x 证明：e ? 1 ? x ? ? , x ? ( ??, ? ?) . 2 6x23x ? 0 时 , 该式中等号成立. x ? 0 时 , 由泰勒 (马克劳林) 公式2 3 x x e x ? 1 ? x ? ? ? R3 ( x) 2 ! 3!x4 ? R3 ( x) ? e ? 0 4! 2 3 x x 此时, e x ? 1 ? x ? ? . 2 6( ? 在 0 与 x 之间 )综上所述, 即得所证.72 例7 解将多项式 p ( x) ? 1 ? 3 x ? 5 x 2 ? 2 x3 表示 为 ( x ? 1) 的幂的多项式. 令 x0 ? ?1, 则p (?1) ? 5, p???(?1) ? ?12,由泰勒公式, 得p?(?1) ? ?13,p??(?1) ? 22,p ( k ) (?1) ? 0 (k ? 4),三次多项式12 22 2 p ( x) ? 5 ? 13( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1)3 3! 2! ? 5 ? 13( x ? 1) ? 11( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1)3 .73 例11 证cos x ? e lim x? 0 x4x2 ? 21 2 x ? 0( x 4 ) cos x ? 1 ? x ? 2! 4!x2 ? 24ex2 x2 2 x4 1 1 ? 1 ? (? ) ? (? ) ? 0( ) 1! 2 2! 2 4x2 ? 24 x4 1 4 x 相减 cos x ? e ? ? x ? [0( x 4 ) ? 0( )] 4! 8 4 1 4 4 ? ? x ? 0( x ) 12 1 x2 4 4 ? x x ? ? 0 ( ) cos x ? e 2 1 12 从而 lim ? lim ?? . 4 4 x?0 x?0 12 x x74 总 结重要的泰勒展开式2 3 n x x x x n e ? 1 ? x ? ? ? ? ? ? o( x ) 2 ! 3! n!(?1) m?1 x 2 m?1 x3 x5 x7 2m sin x ? x ? ? ? ? ? ? ? o( x ) (2m ? 1) ! 3! 5! 7 ! 6 m 2m x2 x4 x ? ( 1 ) x 2m cos x ? 1 ? ? ? o( x ? 1) ? ??? 2! 4! 6! ( 2m) ! n x 2 x3 x 故 ln(1 ? x) ? x ? ? ? ? ? (?1) n ?1 ? o( x n ) 2 3 n(1 ? x) ? 1 ? ?x ? x ??? 2! n! 2 n ?1 x 2 x5 x arctan x ? x ? ? ? ? ? (?1) n ? o( x 2 n ?1 ) 3 5 2n ? 12?? ( ? ? 1)? ( ? ? 1) ? ( ? ? n ? 1)x n ? o( x n )75
第三章 微分中值定理与导数的应用_理学_高等教育_教育专区。高等 数学C的教案第三章 微分中值定理与导数的应用§1 微分中值定理 一、 罗尔定理 1. 费马定理...微分中值定理教案_文学_高等教育_教育专区。已经整理,可以直接打印§3. 1 中值定理 . 一、罗尔定理 一、罗尔定理 ⌒ 首先,观察图 1. 设曲线弧AB 是函数 ...本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用,论述了微分中值定 理在求极限、 证明不等式以及确定根的存在性等几个方面的应用,以加深对微分中值定理的 ...微分中值定理【教学内容】 教学内容】 教学目的】 【教学目的】 拉格朗日中值定理 1、熟练掌握中值定理,特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义; 2、能应用拉...微分中值定理说课_理学_高等教育_教育专区。我说课的内容是中国经济出版社《数学分析》教材中第四章第一节《微分中值定理》.《微分中值定理》 微分中值定理》 ...对于整块微分学的学习, 我们可以知道中值定理在它的所有定理里 面是最基本的定理,也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知,对于深入 的了解微分中值...高等数学-微分中值定理及其应用_理学_高等教育_教育专区。高等数学-微分中值定理及其应用微分中值 微分中值定理及其应用拉格朗日定理 定理和函数的单调性 § 1 拉格...微分中值定理的证明及应用_数学_自然科学_专业资料。数学专业本科论文微分中值定理的证明及应用 摘要: 文章首先介绍了微分中值定理证明时的一种规律性简明方法,即通...1 预备知识微分中值定理是一系列中值定理总称,是研究函数的有力工具,其中最重要 的内容是拉格朗日定理, 可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况 或推广...19 微分中值定理的推广及应用学 生:邓奇峰,信息与数学学院 指导老师:熊骏,信息与数学学院 【摘要】 微分中值定理,是微积分的基本定理,是沟通函数与其导数之间的...
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1/(1-x) = ∑ x^n,ln(1-x) = -∫dt/(1-t) = -∑ x^(n+1)/(n+1),f(x) = xln(1-x) = -∑ x^(n+2)/(n+1)收敛域 -1≤x
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