求不定积分 详细圆的面积公式推导过程程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-11-28 02:22 标签： 凯利公式详细推导
求不定积分∫dx/[x^2√(x^2-1)]和∫dx/[x√(1-x^2)]推导详细些,顺便说一下解法,碰到这种类型的怎么解.
kaisheng92
∫1/[x√(x^2-1)]dx=∫(1/x^2)/[√(x^2-1)/x]dx=∫(1/x^2)dx/√[1-(1/x)^2]= -∫d(1/x)/√[1-(1/x)^2]= -arcsin(1/x)+C其中C为任意常数∫ 1/[x√(1-x²)] dx分子分母同乘以x=∫ x/[x²√(1-x²)] dx=(1/2)∫ 1/[x²√(1-x²)] d(x²)令√(1-x²)=u,则x²=1-u²,d(x²)=-2udu=(1/2)∫ 1/[(1-u²)u](-2u)du=∫ 1/(u²-1) du=(1/2)ln|(1-u)/(1+u)| + C=(1/2)ln|(1-√(1-x²))/(1+√(1-x²))| + C=(1/2)ln|(1-√(1-x²))²/x²| + C=ln|(1-√(1-x²))/x| + C
第一题是∫dx/[x^2√(x^2-1)]，你的第一个x没有平方。另外，怎么解得啊？
不好意思，看错了
∫dx/[x^2√(x^2-1)]
=∫1/[x^2√(x^2-1)]dx
=∫(1/x^2)/[√(x^2-1)]dx
=∫(1/x^2)dx/√(x^2-1)
= -∫d(1/x)/√(x^2-1)
= -∫d(1/x)[(1/x)/(1/x)√(x^2-1)]
-∫d(1/x)[(1/x)/√(1-1/x^2)]
-∫dt[t/√(1-t^2)]
∫t/√(1-t^2)dt =-1/2∫d(1-t^2)/√(1-t^2)
=-1/2∫[(1-t^2)^(-1/2)]d(1-t^2)
=-1/2*2*(1-t^2)^(1/2)+C
= -√(1-t^2)+C
最后再把1/x=t代入
其中C为任意常数
可是书上的第一题的答案是[√（1-x^2)]/x+C呀。二者好像不一样啊。另外，遇到这类题应该怎么想呢？
第一题的答案是[√（1-x^2)]/x+C
应该是[√(x^2-1)]/x+C
一样的，这是我没写详细。
-∫dt[t/√(1-t^2)]
=-[-√(1-t^2)+C]
=√(1-1/x^2)+C
=√[(x^2-1)/x^2]+C
=√[(x^2-1)/x+C
不信的话，你对y=√[(x^2-1)/x+C求导
遇到这类的题怎么想啊？第二个的(1/2)∫ 1/[(1-u²)u](-2u)du=∫ 1/(u²-1) du
不应该是-∫ 1/(u²-1) du吗？不是1/2*（-2）=-1吗？另外，这部怎么得到的？∫ 1/(u²-1) du
=(1/2)ln|(1-u)/(1+u)| + C详细些呗。
∫ 1/[x√(1-x²)] dx
分子分母同乘以x
=∫ x/[x²√(1-x²)] dx
=(1/2)∫ 1/[x²√(1-x²)] d(x²)
令√(1-x²)=u，则x²=1-u²，d(x²)=-2udu
=(1/2)∫ 1/[(1-u²)u](-2u)du
=(1/2)∫ 1/[(u²-1)u](2u)du
=∫ 1/[(u²-1)u]udu
=∫ 1/(u²-1) du
这次应该看懂了吧
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L(a)=int 1/(a+bsinx)d^n(L(a))/da^n=(-1)^n int n!/(a+bsinx)^(n+1)
刚才那个帖子里发了推导啊
(第四行有点小错误)重点就是如何拆分分部后的那个积分
n=1时，公式等于多少呢
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你可能喜欢求不定积分∫dx/3√(x+1)^2(x-1)^4的思路是什么？书上有参考答案，令[(x-1)/(x+1)]^(1/3)=t，再经过一番推导后，得到3/2∫dt/t^2=-3/2t+C，从而求出结果。我就是想问一下这种思路是如何构建的，这种思路很妙啊……很难相信这是偶然的结果，应该是有什么推导思路的，谢谢各位大神……有谁能和我说下这种思路是什么？
zvRS06WR73
思路应该是：提出(x-1)(x+1)之后，对其余部分的替换。具体过程如下：被积函数³√(x+1)²(x-1)(x-1)³=(x-1)
³√(x+1)²(x-1)=(x-1)
³√(x+1)³(x-1)/(x+1)=(x-1)(x+1)
³√(x-1)/(x+1)
对于这种形式的积分，的确是有一个通用的换元法。答案在图片上，点击可放大。不懂请追问，满意请及时采纳，谢谢☆⌒_⌒☆
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