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交错级数求和函数一般步奏
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新年好!Happy Chinese New &Year !1、关于级数和函数的解释,请参看第一张图片；2、关于和函数的计算方法,请参见后面的五张图片；3、每张图片均可点击放大,放大后的图片会非常清晰.
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高等数学：第十一章 无穷级数（2）函数的幂级数展开式、傅里叶级数
§11.5&&函数展开成幂级数
一、泰勒级数
如果在处具有的导数，我们把级数
称之为函数在处的泰勒级数。
它的前项部分和用记之，且
由上册中介绍的，有
当然，这里是，且
因此，当时，函数的泰勒级数
就是它的另一种精确的表达式。即
这时，我们称函数在处可展开成泰勒级数。
特别地，当时，
这时，我们称函数可展开成麦克劳林级数。
将函数在处展开成泰勒级数，可通过变量替换，化归为函数&&在&&处的麦克劳林展开。因此，我们着重讨论函数的麦克劳林展开。
【命题】函数的麦克劳林展开式是唯一的。
证明：设在的某邻域内可展开成的幂级数
据幂级数在收敛区间内可逐项求导，有
把代入上式，有
于是，函数在处的幂级数展开式其形式为
这就是函数的麦克劳林展开式。
这表明，函数在处的幂级数展开形式只有麦克劳林展开式这一种形式。
二、函数展开成幂级数
1、直接展开法
将函数展开成麦克劳林级数可按如下几步进行
OE求出函数的各阶导数及函数值
若函数的某阶导数不存在，则函数不能展开；
写出麦克劳林级数
并求其收敛半径。
?考察当时，拉格朗日余项
当时，是否趋向于零。
若，则第二步写出的级数就是函数的麦克劳林展开式；
若，则函数无法展开成麦克劳林级数。
【例1】将函数展开成麦克劳林级数。
于是得麦克劳林级数&&
对于任意&，有
这里是与无关的有限数，
考虑辅助幂级数
的敛散性。 由比值法有
故辅助级数收敛，从而一般项趋向于零，即&&
因此&&，故
【例2】将函数在处展开成幂级数。
于是得幂级数&&
容易求出，它的收敛半径为&
对任意的，有
由例一可知，，故&
因此，我们得到展开式
2、间接展开法
利用一些已知的函数展开式以及幂级数的运算性质(&如：加减，逐项求导，逐项求积)将所给函数展开。
【例3】将函数展开成的幂级数。
解：对展开式
两边关于逐项求导， 得
【例4】将函数展开成的幂级数。
将上式从到逐项积分得
当时，交错级数
下面，我们介绍十分重要牛顿二项展开式
【例5】将函数展开成的幂级数，其中为任意实数。
于是得到幂级数
因此，对任意实数，幂级数在内收敛。
下面，我们证明，该幂级数收敛的和函数就是函数。
设上述幂级数在内的和函数为，即
两边同乘以因子，有
引入辅助函数
因此，在内，我们有展开式
?在区间端点处的敛散性，要看实数的取值而定，这里，我们不作进一步地介绍。
·若引入广义组合记号&，牛顿二项展开式可简记成
最后，我们举一个将函数展开成的幂级数形式的例子。
【例6】将函数展开成的幂级数。
解：作变量替换，则&，有
§11.6&&函数的幂级数展开式的应用
一、近似计算
利用函数的幂级数展开式，可以进行近似计算。
1、一些近似计算中的术语
OE误差不超过
设为精值，而为近似值，则表示与之间的绝对误差。
近似值与精值之差，在小数点后的位是完全一样的，仅在小数点后的第位相差不超过一个单位。
有时，也将误差不超过说成：位。
截断误差(或方法误差)
函数用泰勒多项式
来近似代替，则该数值计算方法的截断误差是
用计算机作数值计算，由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，用这些近似表示的数据作计算，又可能造成新的误差，这种误差称为舍入误差。
例如，用3.14159&近似代替&p，产生的误差
d&=p&- 3.14159 = 0.0000026L
就是舍入误差。
2、根式计算
【例1】计算的近似值(&精确到小数四位)。
求根式的近似值，要选取一个函数的幂级数展开式,可选牛顿二项展开式
要利用此式，需要将表示成的形式，通常当较小时，计算效果会较好。
这里，可取，。
解：利用二项展开式，有
如果我们截取前四项来作计算， 则
由于的系数是单调递减的，其截断误差可如下估计
?表达式也可选其它形式，如
?在数列的极限理论学习中，我们已形究过数列
，它单调下降，下界为，且
利用此迭代算式,编写Matlab程序gs1101.m,运行此程序，更容易获得的高精度近似值。
3、对数的计算
【例2】计算的近似值(精确到小数后第4位)。
解：我们已有展开式
利用此数项级数来计算的近似值，理论上来说是可行的。其部分和的截断误差为
欲使精度达到，需要的项数应满足，即
，亦即，应要取到10000项，这实在是太大了。
运行Matlab程序gs1102.m,取级数前一万项(n=10000)来作近似计算，可获得下表。并仔细观察项数与所求近似值对照表与计算速度。
ln2近似值
由上述程序的运行与结果，有几点感受
?部分和的项数取得太大，达到了一万；
?其近似值仅有小数点后三位是精确的；
?项数增加几十项，并未提供多少有效位数字；
?计算花费了太多的时间。
这迫使我们去寻找计算ln2更有效的方法。
中的换成，得
两式相减，得到不含有偶次幂的展开式
令，解出。以代入得
再对此数项级数编程Matlab下的计算程序gs1103.m，运行该程序可获得项数与所求近似值对照表如下
ln2近似值
由表可发现，计算速度大大提高，近似值的精度有十分显著的改进，这种处理手段通常称作幂级数收敛的加速技术。
4、p&的计算
在小学数学学习中，我们就已接触到了圆周率p，可对它的计算却从未真正做过。现在是我们了却这一夙愿的时候了。
两边积分，有
令，则，于是有
利用此式可以进行计算，效果(速度与精度)也不错，只是需要的值。借助三角公式，作适当地变形，可构造出不需要计算表达式。
据上式，编写Matlab程序gs1104.m,运行它可获得如下结果。
p近似值
5、定积分的近似计算
【例3】计算定积分
的近似值，精确到0.0001。
解：因，所给积分不是广义积分，只需定义函数在处的值为1，则它在上便连续了。
展开被积函数，有
在区间上逐项积分，得
因为第四项
所以可取前三项的和作为积分的近似值
对上述级数展开式，我们编写了Matlab程序gs1105.m,运行此程序，可给出截取级数任意项时，此定积分含有更多位有效数值的近似值。
定积分的近似值
&二、欧拉公式
设有复数项级数为
&&&&&&&&&&&&&&(1)
其中为实常数或实函数。如果实部所成的级数
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2)
收敛于和，并且虚部所成的级数
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3)
收敛于和，就说级数(1)收敛且其和为。
如果级数(1)各项的模所构成的级数
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(4)
收敛，由于
则级数(2)、(3)绝对收敛，从而级数(1)收敛，这时就说级数(1)绝对收敛。
&&&&&&&&&&&(5)
它的模所形成的级数
绝对收敛。因此，级数(5)在整个复平面上是绝对收敛的。
在轴上()，它表示指数函数，在整个复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记作。于是定义为
&&&&&&&&&&&(6)
当时，为纯虚数，(6)式成为
把换写为，上式变为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(7)
这就是欧拉公式。
应用公式(7)，复数可以表示为指数形式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(8)
其中：&是的模，是的辐角。
在(7)式中把换为，又有
与(7)相加、相减，得
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(9)
这两个式子也叫做欧拉公式。
(7)式与(9)式揭示了三角函数与复变量指数函数之间的一种联系。
根据定义(6)
并利用幂级数的乘法，我们不难验证
特殊地，取为实数，为纯虚数，则有
这就是说，复变量指数函数在处的值是模为、辐角为的复数。
§11.8&&傅立叶级数
一、三角级数与三角函数系的正交性
描述简谐振动的函数
就是一个以为周期的正弦函数，其中ｙ表示动点的位置，ｔ表示时间，A为振幅，为角频率，为初相。
在实际问题中，还会遇到一些更复杂的周期函数，如电子技术中常用的周期为T的矩形波。
如何深入研究非正弦周期函数呢？联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示与讨论函数，我们也想将周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数，具体的来说，将周期为的周期函数用一系列三角函数组成的级数来表示，记为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(1)
其中都是常数。
将周期函数按上述方式展开，它的物理意义量很明确的，这就是把一个复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加，在电工学上这种展开称为谐波分析。
为了讨论的方便，我们将正弦函数变形成为
并且令则(1)式右端的级数就可以改写为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2)
一般地，形如(2)式的级数叫做三角级数，其中都是常数。
如同讨论幂级数时一样，我们必须讨论三角级数(2)的收敛问题，以及给定周期为2的周期函数如何把它展开成三角级数(2)。
我们首先介绍三角函数系的正交性。
所谓三角函数系
&&&&&&&&&&&&&(3)
在区间[]上正交，就是指在三角函数系(3)中任何两个不同函数乘积在区间[]上的积分等于零，即
以上等式都可以通过计算定积分来验证，现将第四式验证如下。利用三角学中的积化和差公式
在三角函数系(3)中，两个相同函数的乘积在区间[]上的积分不等于零，且有
&&&&&&&&&&&&&&
二、函数展开成傅立叶级数
设是以为周期的周期函数，且能展开成三角级数
我们自然要问：
系数与函数之间存在怎样的关系？换句话说，如何利用把表达出来？
为此，我们进一步假设级数(4)可以逐项积分。
先求，对(4)式从－到逐项积分有
根据三角函数系(3)的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，故
其次求，用乘(4)式两端，再从－到逐项积分，我们得到
根据三角函数系(3)的正交性，等式右端除一项外，其余各项均为零，故
类似地，用乘(4)式的两端，再从－到逐项积分，可得
由于当时，的表达式正好为，因此，已得结果可以合并写成
&&&&&&&&&&&&&&&&&&(5)
如果公式(5)中的积分都存在，则系数叫做函数的傅立叶系数，将这些系数代入(4)式右端，所得的三角级数
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(6)
叫做函数的傅立叶级数。
一个定义在上周期为的函数，如果它在一个周期上可积，则一定可以作出的傅立叶级数(6)，但(6)不一定收敛，即使它收敛，其和函数也不一定是，这就产生了一个问题：
需满足怎样的条件，它的傅立叶级数(6)收敛，且收敛于？换句话说，满足什么条件才能展开成傅立叶级数(6)？
下面我们叙述一个收敛定理（不加证明），它给出了关于上述问题的一个重要结论。
【定理】（收敛定理，狄利克雷充分条件）
设是周期为的周期函数，如果它满足：
1、在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
2、在一个周期内至多有有限个极值点，
则的傅立叶级数收敛，并且
当是的连续点时，级数收敛于；
当是的间断点时，级数收敛于
收敛定理告诉我们：只要函数在上至多有有限个第一类间断点，并且不作无限次振动，函数的傅立叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的算术平均值，可见，函数展开成傅立叶级数的条件比展开成幂级数的条件要低得多。
【例1】设是以为周期的周期函数，它在上的表达式为
将展开成傅立叶级数。
解:函数的图形如下：
函数仅在处是跳跃间断，满足收敛定理的条件，由收敛定理，的傅立叶级数收敛，并且当时，级数收敛于
当时，级数收敛于。
计算傅立叶系数如下：
的傅立叶级数展开式为
【例2】设是周期为2的周期函数，它在上的表达式为
将展开成傅立叶级数。
解：函数的图形如下：
如图可知，满足收敛定理条件，在间断点处，的傅立叶级数收敛于
在连续点)处收敛于。
计算傅立叶系数如下：
的傅立叶级数展开式为
如果函数仅仅只在[-，]上有定义，并且满足收敛定理的的条件，&仍可以展开成傅立叶级数，
1、在或外补充函数的定义，使它被拓广成周期为的周期函数，按这种方式拓广函数定义域的过程称为周期延拓。
2、将展开成傅立叶级数。
3、限制，此时，这样便得到的傅立叶级数展开式。根据收敛定理，该级数在区间端点处收敛于。
【例3】将函数&&展开成傅立叶级数。
解：将在上以为周期作周期延拓，其函数图形为
因此拓广后的周期函数在上连续，故它的傅立叶级数在上收敛于，计算傅立叶系数如下
故的傅立叶级数展开式为
利用这个展开式，我们可以导出一个著名的级数和。
令，有，于是有
若记&&&&，&，
from: http://sxyd./gaoshu2/
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2． 上一种题型是“知一判一”，下面的例子则是给出级数某些性质要求判断敛散性，方法是通过不等式放缩与那些已知敛散性的级数建立起联系，再应用比较法一般形式判断。举例a如下：已知单调递减数列n满足x?0散性。关键步骤是：由1an?1lima?1n?a,a?0，判断级数n1()?an?1的敛?1a?1得到n(an1?1)n?(a1)?1，再利用比较判敛法的 11 一般形式即得。对于使用比较判敛法极限形式的题目一般也不会超出“知一判一”和“知性质判敛”这两种形式。 幂级数求和函数与函数的幂级数展开问题是重点内容，也是每年都有的必考题。通过做历年真题，我发现像一元函数微积分应用中的微元法、无穷级数中的求和与展开这样倍受出题人青睐的知识点都有一个相似之处，就是这些知识点从表面上看比较复杂、难于把握，实际上也必须通过认真思考和足量练习才能达到应有的深度，但在领会到解决方法的精髓思想以后这些知识点又会“突然”变的十分简单。 也就是说，掌握这样的知识点门槛较高，但只要跨过缓慢的起步阶段，后面的路就是一马平川了；同时，具有这种特点的知识点也可以提供给出题人更大的出题灵活性，而通过“找到更多便于灵活出题的知识点来跳出题型套路”正是近几年考研真题出题专家致力达到的目标，这一趋势不仅体现在了近年来的考卷上，也必然是今后的出题方向。 所以我们在复习过程中对于具有“浅看复杂、深究简单、思路巧妙、出法灵活”的知识点要倍加注意，对于无穷级数这样必出大题的章节中间的“求和、展开”这样必出大题的知识点，更是要紧抓不放。因为这种知识点对“复习时间投入量”的要求接近于一个定值，认认真真搞明白以后，只要接着做适量的题目巩固就行了，有点“一次投入，终生受益”的意思，花时间来掌握很划算。 另外，“求和与展开”的简单之处还在于：达到熟练做题程度以后会发现其大有规律可循。这种规律是建立在对6个关键的函数展开式“熟之又熟”的掌握上的。对此6个展开式的掌握必须像掌握重要定理一样，对条件、等式的左端和右端都要牢牢记住，不但要一见到三者中的任意一个就能立刻写出其他两部分，而且要能够区别相似公式，将出错概率降到最小。公式如下： 1.
11?u?1?u?u2?????un??????unn?0?
（-1，1） 2. 11?u?1?u?u?u?????(?1)u??????(?1)nun23nnn?0?
（-1，1） 3. ln(1?u)?u?u?u?????(?1)(??,??) 4. 122133nun?1n?1??????(?1)n?0?nun?1n?1 e?1?u?u?????u??????u12!21n!n?unn! n?0
12 (??,??) 5. n12sinu?u?3u?????(?1)!1(2n?1)!u2n?1??????(?1)nn?0?u2n?1(2n?1)!(??,??) 6. 11cosu?1?2u?!4!u?????(?1)24n1(2n)!u??????(?1)n2nn?0?u2n(2n)!(??,??) 这六个公式可以分为两个部分，前3个相互关联，后3个相互关联。1式是第一部分式子的2n1?u?u?????u????不就是一个无穷等比数列吗，在|u|?1时的求基础。1s?1?u正是函数展开式的左端。所以这个式子最好记，以此为出发点看式子2：1和公式nu??11式左端是1?u，2式左端是1?u；1式右端是n?0nn(?1)?un?0?，2式右端也仅仅是变成了交错级数,故可以通过这种比较来记忆式子2；对于3式来说，公式左端的11??1?[ln(1?u)]u”存在着关系“，故由1?u1ln(1?u)与2式左端的1?u的展开式可以推导出ln(1?u)的展开式为n?0?(?1)?nun?1n?1。这三个式子中的u?(?1,1)，相互之间存在着上述的清晰联系。 后3个式子的u?(??,??)，相互之间的联系主要在于公式右端展开式形式上的相似e??u?unn!性。这一部分的基本式是公式4：n?0与之相比，sinu的展开式是 13 ?(?1)n?0?nu(2n?1)!2n?1，cosu的展开式是n?0n(?1)??u2n(2n)!ue。一个可看成是将展开式ue中的奇数项变成交错级数得到的，一个可看成是将展开式中的偶数项变成交错级数而得到。像这样从“形似”上掌握不费脑子，但要冒记混淆的危险，但此处恰好都是比较顺的搭配：sinu、cosu习惯上说“正余弦”，先正后余；而sinu的展开式对应的是奇数项，cosu的展开式对应的是偶数项，习惯上也是说“奇偶性”，先奇后偶。 记好6个关键式是解决幂级数求和与函数的幂级数展开问题的基础，不仅在记忆上具有规律性，在解题时也大有规律可循。 在已知幂级数求和函数时，最佳途径是根据各个公式右端的形式来选定公式：第一部分(前13式)的展开式都不带阶乘，其中只有1?u的展开式不是交错级数；第二部分（后3式）的ue展开式都带阶乘，其中只有的展开式不是交错级数。由题目给出的幂级数的形式就可以看个八九不离十了，比如给出的幂级数带阶乘而不是交错级数，则应该用公式4，因为幂级n(?1)数的变形变不掉阶乘和；若题目给出的幂级数不带阶乘而且是交错级数，则必从2、3两式中选择公式，其它情况也类似。 对于函数的幂级数展开题目，则是从已知条件与各公式左端的相似性上入手，相对来说更为简单。在判断出所用公式以后一般要使用下列变形方法使得题目条件的形式与已知公式相符：变量替换（用于函数的幂级数展开）、四则运算（用于展开、求和）、逐项微积分（用于展开、求和）。 对于数项级数求和的题目，主要方法是构造幂级数法，即利用变换?an?lim?anxn?0x?1n?0??n求得幂级数n?0nax?n?的和函数s(x)以后代入极限式即n(2n?1)这样的项在分子x可。其中的关键步骤是选择适当的，一般情况下如果n、n(???)?1(n)?1xxx中，则应该先用逐项积分再用逐项求导，此时的应为的形式，如、x(2n?1)?111，以方便先积分；若题目有(2n?1)、(3n?1)这样的项，则xn应为x(???)的形(2n?1)(3n?1)xx式，如、，便于先求导。这些经验在做一定量的题目后就会得到。 本章最后的知识点是付立叶级数，很少考到，属于比较偏的知识点，但其思想并不复杂，花时间掌握还是比较划算的。函数的付立叶级数的物理意义就是谐波分析，即把一个复杂周期运动看作是若干个正余弦运动的叠加。首先需记住付立叶展开式和收敛定理，在具体展开时有以下两种情况：
14 题目给出的函数至少有一个完整的周期，如图式即可，不存在奇开拓和偶开拓的问题。对于形状类似上图的函数，展开以 后级数中既有正弦级数也有余弦级数； 则直接套用公若为奇函数如，则展开后只有正弦级数；若为偶函数则展开后只有余弦函数； 题目给出函数后没有说明周期，则需要根据题目要求进行 奇开拓或偶开拓。如图，若要求进行奇开拓就是展开成奇函数，此时得到的级数中只有正弦级数，图像为；若要求进行偶开拓就是要展开成偶函数，此时得到的展开式中只有余弦级数，图像为。
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讨论级数在哪些处收敛？在哪些处发散？（第一届：五）
解（1）当时，此级数为，是交错级数．由莱布尼茨判别法知，此时级数收敛．
（2）当时，
又由可知收敛．
于是， 发散，
从而发散．
（3）当时，级数写成
除第一项外，每一项皆为负项，乘以后可转化为正项级数．
因此，与敛散性相同．而发散，发散，从而所给级数发散．
从上所述，所给级数当时收敛，其他情形发散．
对讨论幂级数的收敛域．（第二届：五）
书上此处是收敛区间，实际上指的是收敛域——因为以前的教科书上常把收敛域叫做收敛区间．另外，书上没有讨论和的情形．
所以收敛半径，收敛区间为．
（1）在右端点处，级数为．
当时，，根据比较审敛法的极限形式知，发散；
当时，由广义积分
发散，根据柯西积分审敛法知，发散；
当时，，根据比较审敛法知， 收敛．
综上所述，幂级数在右端点处，当时发散；当时收敛．
（2）在左端点处，级数为．
当时，，根据收敛的必要条件知，发散；
当时，↘，根据交错级数的莱布尼茨审敛法知，收敛．
综上所述，幂级数在左端点处，当时发散；当时幂级数收敛．
所以，当时，收敛域为；当时，收敛域为；当时，收敛域为．
设为正实数列，试证明：
（1）若对所有的正整数满足：，且发散，则也发散．
（2）若对所有的正整数满足：（常数），且收敛，则也收敛．（第三届：四）
、为正项级数．
（1）由，有
发散，故发散．
同（1），有．
收敛，故收敛．
正项级数比较审敛法的另一种形式：设、均为正项级数。若有，则收敛收敛，即发散发散。
、为正项级数．
（1）由．发散，发散．
（2）由．又，，即．收敛，收敛．
证明：任何正的有理数都可以表示为调和级数中有限项之和．
（第三届：十）
书上的分析与解法过程中都有错误．
任取定，其中。由↗（）且↘可知，必、，使得 ．
（1）若式中等号成立，则有，命题得证；否则，有．
作，于是．此时必存在唯一的，使得
（2）若式中等号成立，则有，命题得证；否则，有．再作，其中．因为，所以分子、满足
．于是，又存在唯一的，使得
（3）同上考虑，若式中等号成立，则有，命题得证；否则再令…，如此下去．由于（正整数）分子满足，所以上述步骤必定有限步后结束．命题得证．
设，，求证：级数收敛，并求其和．（第四届：十）
设，则．于是，得
比较两边各同次幂项的系数，可得
且知，，…．由归纳法可知，故当时，有，于是级数的部分和
因为当时，有，故，因此所给级数收敛，且和为．
求证级数收敛，并求其和．（第五届甲乙组：三）
当时，，其中称为为欧拉常数．
，故有界．
再由单调减即知，数列收敛．记，则，从而有．证毕．
证及解法一
是（）的低阶无穷大（其中为欧拉常数），有
由比较审敛法可知收敛．
下面求和．
于是，柯西乘积
由幂级数性质，当时，有
再逐项积分，得
又已证得在点收敛，故其和函数在点处左连续．于是，再
对上式两边令，即得．
证及解法二
令，即有，故，这同时也证明了级数收敛．
此级数为正项级数．记，则一般项的分母．由级数的收敛性，只需证明当充分大时，有分子，其中，则有．由于，，故级数收敛．于是，根据比较审敛法即知收敛．
求和法同解法一．
证及解法三
而是比（）低阶的无穷的，所以当充分大时，有，从而有，故收敛．
求和法同解法一．略．
根据定义，级数的和部分和数列的极限．于是，将其部分和表示成二次和，然后交换求和顺序以便求和——这与交换二次积分的积分顺序以便积分的方法相对应（前者是对离散变量求和，后者是对连续变量求和）．
证及解法四
（注意，）
故，这同时也证明了级数收敛．
下列级数绝对收敛的是（A）； （B）； （C）； （D）．（第五届大专组：二（6））
（C）（D）
求级数的收敛半径及和函数．
（第六届甲乙组：八）
先用极限求收敛半径．因为次幂项的系数为，所以考虑使用夹逼准则．其和函数的求法与例6相似．
记，则由，有．
，故，即得级数的收敛半径．
下面求级数的和．
所以在内及均绝对收敛，故它们的柯西乘积
也绝对收敛，而且
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