利用微分近似计算根号下3次方999.5的近似值
你好,请允许我来为你设y=x^1/3,y'=(1/3)/[(x^2)^1/3],x=999.5,x0=1000,则依据微分近似公式有：y(999.5)-y(1000)=y'(-1000)=(1/300)*(-1/2)=-1/600;所以原式等于10-1/600=
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°神水盟0893
这里用到的是：8^(1/3) = 2,目标是求 8.1^(1/3) = (0.1 + 8)^(1/3) 的近似值,为此,先对 (x + 8)^(1/3) 做泰勒展开.(x + 8)^(1/3) ≈ 2 + x / 12 - x^2 / 288 + (5 x^3) / 20736 ,令 x = 0.1,代入计算得到：8.1^(1/3) ≈ 2.,事实上用计算机直接计算得到这个值为：2.,对比发现误差已经相当小了.如果要更高的精度,泰勒展开更多位数即可.
就是，x 在 0 附近的时候，存在这样的近似公式：
(x + 8)^(1/3)
2 + x / 12 - x^2 / 288 + (5 x^3) / 20736 .
你是哪儿不明白呢？
这不明白(x + 8)^(1/3)
2 + x / 12 - x^2 / 288 + (5 x^3) / 20736
这个是泰勒展开得到的，令 f(x) = (x + 8)^(1/3) ，对 f(x) 在 0 处做泰勒展开。你是否学过高等数学一？
学过啊！！！就是忘记了
泰勒展开公式如下：
f(x) = f(0) + f'(0) * x + f''(0) / 2! * x^2 + f'''(0) / 3! * x^3 + …… + f(n)(0) / n! * x^n + ...
如果你想知道详情，建议翻翻课本~~
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&img src=&/1e56e35c54a54c7fc055a7_b.jpg& data-rawheight=&604& data-rawwidth=&428& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&428& data-original=&/1e56e35c54a54c7fc055a7_r.jpg&&这本书就挺好
这本书就挺好
谢邀 &a data-hash=&4f7c2f0d964abae275e8& href=&///people/4f7c2f0d964abae275e8& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@optimization& data-hovercard=&p$b$4f7c2f0d964abae275e8&&@optimization&/a&&br&我在网上搜索了一下，发现科学网的一篇文章，&a href=&///?target=http%3A//songshuhui.net/archives/31297& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&科学松鼠会&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&其中有一段话（来自&a href=&///?target=http%3A//songshuhui.net/archives/31297& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&科学松鼠会&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）：&br&“接着，黎曼开始了关于延展性，维数，以及将延展性数量化的讨论。他给了这些多度延展的量（几何对象）一个名称，德文写作 mannigfaltigkeit, 英文翻译为 manifold，英文字面意思可以理解为 “多层”，中国第一个拓扑学家江泽涵把这个词翻译为 “流形”，取自文天祥《正气歌》，“天地有正气，杂然赋流形”，而其原始出处为《易经》，“大哉乾元，万物资始，乃统天。云行雨施，品物流形。” 这个翻 译比英文翻译更加符合黎曼的原意，即多样化的形体。”（来自&a href=&///?target=http%3A//songshuhui.net/archives/31297& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&科学松鼠会&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）&br&这可能是原因吧。
我在网上搜索了一下，发现科学网的一篇文章， 其中有一段话（来自）： “接着，黎曼开始了关于延展性，维数，以及将延展性数量化的讨论。他给了这些多度延展的量（几何对象）一个名称，德文写作 mannigfaltigkeit, …
题主和我差不多的情况，我可能稍微弱一点，现在小学五年级，学了点微积分，数理方程，线性代数，近世代数，数论，微分几何，实、复分析，应用数学翻了翻感觉没意思，还有就是拓扑和李群学的很少。丘赛和普南特的题刷了几遍吧，感觉还行。&br&&br&手上有几本Bourbaki，看了一点点，但后面的不知从哪里看，需要看很多群论的东西吗？我的想法是想去做Compressive Sensing的东西，但不知道从哪里下手，现在很迷茫，明年就要毕业考试了，时间很紧。&br&&br&另外，同桌（女）的父亲建议我去学物理，但是感觉Newton的《原理》写的有点啰嗦，Maxwell比较厉害，von Neumann的量子数学基础看了下，写的真棒，Sakurai没看散射开始往后的内容，Dirac就是粗看的。目前看完了Peskin的Part I，看了一点重整化，但是没怎么看懂，现在比较迷茫，不知道如何进一步自学量子场论及后续课程。&br&&br&我的问题是，我这样的学渣，应该是去学纯数呢？还是去学量子物理？数学是我的第一爱好，但是量子物理作为最精确的理论之一，我应该需要掌握。&br&&br&真心求教，希望多交流。&br&&br&——————————————————————&br&我的确几乎读完了那些我所说的书，是真诚来向各位请教的，不要调皮哦，否则我也要出题“秒杀”你们。&br&我不是说着玩的
题主和我差不多的情况，我可能稍微弱一点，现在小学五年级，学了点微积分，数理方程，线性代数，近世代数，数论，微分几何，实、复分析，应用数学翻了翻感觉没意思，还有就是拓扑和李群学的很少。丘赛和普南特的题刷了几遍吧，感觉还行。 手上有几本Bourbak…
&b&&&& 为什么纤维丛理论如此重要？&/b&&br&因为这个概念及其性质广泛出现在物理中。为什么会广泛呢？因为这个概念十分简单基础，粗略就是有个空间（底），以及其上每一点都承载着另一个集合（纤维）。这决定了日常生活、理论物理中许多对象均可找到纤维丛的对应物。&br&&br&比如一个普通实函数，可以看成一个实线丛的截面，一个复标量场，可以看成复线丛截面。一个旋量，看成旋量丛的截面等。“纤维丛”就像“映射”一样是个万金油，往哪套都行。&br&&br&所以说纤维丛的“应用”太多了，其实已经不应该称为“应用”了。这个概念根深蒂固地嵌入到了现代理论物理之中，就像集合、矩阵、矢量一样，是数学物理的语言的一个音节。&br&&br&&b&&&& 我的问题是，除了作为描述规范对称性的数学结构之外，纤维丛是否还有在其它方面的应用？&br&&/b&纤维丛有无数物理应用，但是大部分都以规范场论作为最底层的载体。一个物理问题不夹杂任何规范理论其中的话，大概可以不提纤维丛这么花哨的名字。&br&&br&即使接受“局限于杨米尔斯规范场论与各类物质的耦合”这个设定，应用仍然十分宽广。尤其是：弯曲空间上的规范场论，以及要求在无穷远处场强为零的&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5Ek& alt=&\mathbb{R}^k& eeimg=&1&&上的规范场论。下面列举常见的“应用”（A类为不涉及超对称，B类为涉及超对称）：&br&&br&A1）狄拉克磁单极子&------&看似 R^3 实质 S^2 上的 U(1) 主丛/复线丛的陈数；&br&A2）规范场取整体规范的可行性问题，Gribov 问题 &------& &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BG%7D& alt=&\mathcal{G}& eeimg=&1&&主丛 &img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Ccal+G%7D+%5Cto+%7B%5Ccal+A%7D+%5Cto+%7B%5Ccal+M%7D%5C%5D& alt=&\[{\cal G} \to {\cal A} \to {\cal M}\]& eeimg=&1&& （规范变换群 --& 全体规范场 --& 规范模空间）的平凡性判定；&br&A3）瞬子与涡旋：&br&- 瞬子数&------& R^4 上 U(N) 主丛的拓扑数&br&- 瞬子的&b&模空间（&/b&全体瞬子构成的空间&b&）&/b&维度&------&R^4 上 狄拉克算符的指标&br&- 涡旋数 &------& C 上复线丛的拓扑数&br&- 涡旋解 &------& C 上复线从的全纯截面；&br&A4）量子反常：&br&- Fujikawa 方法 &------& S^4 狄拉克算符的指标以及瞬子数&br&- 规范反常（受规范场影响的费米子有效作用量的规范不变性判定）&------& 规范模空间 &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7D& alt=&\mathcal{M}& eeimg=&1&&上 Cech 上同调判定；&br&&br&B1）弯曲空间上是否可以定义超对称 &------& 某类旋量微分方程组是否有解 &------& 弯曲空间上Hermitian 结构和横向全纯结构的存在性&br&B2）1+1 维超对称 Sigma 模型的指标 &img src=&///equation?tex=%5Ctext%7BTr%7D%28-1%29%5EF& alt=&\text{Tr}(-1)^F& eeimg=&1&&与目标流形的欧拉示性数（即其切丛的欧拉示性数）&br&B3)（Donaldson-Witten理论）4 维弯曲空间 &img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& 上的一类 N=2 超对称规范场论的各种关联函数 &------& （定义在 &img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& 上的瞬子的）模空间上同调 &------& &img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& 的微分同胚不变量；&br&B4)（Seiberg-Witten理论）4 维弯曲空间 &img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& 上的一类 N=2 超对称理论的最小作用量位形 &------& &img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&一族非常特殊的旋量解构成的模空间 &------& &img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& 的微分同胚不变量；&br&&br&以上提到弯曲空间上的东西，纤维丛隐藏在：&br&1）弯曲空间 &img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& 的几何需要用一些张量场（度规&img src=&///equation?tex=g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&g_{\mu\nu}& eeimg=&1&&，复结构&img src=&///equation?tex=J_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&J_{\mu\nu}& eeimg=&1&&，切触结构&img src=&///equation?tex=%5Ckappa_%7B%5Cmu%7D%2C+R%5E%5Cmu%2C%5CPhi%7B%5E%5Cmu%7D%7B_%5Cnu%7D& alt=&\kappa_{\mu}, R^\mu,\Phi{^\mu}{_\nu}& eeimg=&1&&）来定义，这些场继而导致空间上的切丛和外代数丛携带更精细的结构；&br&2）所有的场（动态的规范场、背景的规范场、旋量场、标量场）等都应该是相应矢量丛的截面&br&3）所有的微分方程都是截面方程；&br&4）这些微分方程的解本身就隐藏了相应矢量丛的拓扑结构；&br&5）这些微分方程的全体解构成更神秘的模空间 &img src=&///equation?tex=%5Ccal%7BM%7D& alt=&\cal{M}& eeimg=&1&&；&br&6）&img src=&///equation?tex=%5Ccal%7BM%7D& alt=&\cal{M}& eeimg=&1&& 的拓扑性质（同调与上同调等）以及&img src=&///equation?tex=%5Ccal%7BM%7D& alt=&\cal{M}& eeimg=&1&& 上&b&其他纤维丛&/b&的拓扑性质反过来与 &img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& 的性质纠缠在一起。&br&&br&&b&参考文献&/b&：&br&[0] 梁灿斌，微分几何入门与广义相对论&br&[0] 侯伯元，侯伯宇，物理学
家用微分几何（由浅入深，深不见底（许多术语中文翻译看着尤其别扭））&br&[1] M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, Second Edition (Graduate Student Series in Physics)（由浅入深，基础全面）&br&[2] Bertlmann, Anomalies in Quantum Field Theory（量子反常相当详细的介绍，偏几何）&br&[3] Hori, Katz, Klemm, et.al, Mirror Symmetry（大黄书，可以跳过数学部分，直接看物理部分，开头几章通俗易懂，以 2 维场论为主要内容）&br&[4] Witten 的老论文，Donaldson 的老论文，近10年 Pestun, Nekrasov, Gaiotto, Benini组, Hosomichi组, Dumitrescu组, Pasquetti组, Drukker组等&b&无数前辈&/b&关于 supersymmetric partition function 的计算和结果分析，以及Superconformal Index 的计算（不熟）。
&&& 为什么纤维丛理论如此重要？ 因为这个概念及其性质广泛出现在物理中。为什么会广泛呢？因为这个概念十分简单基础，粗略就是有个空间（底），以及其上每一点都承载着另一个集合（纤维）。这决定了日常生活、理论物理中许多对象均可找到纤维丛的对应物。 …
并不能理解什么叫做楼主所说的配对。我简要谈下我对于上述所列名词的理解。&br&&br&1.&b&代数拓扑&/b&，所谓代数拓扑粗糙的说就是用（同调）代数的观点去研究拓扑学，给予每个（特定的）拓扑空间以一些代数的不变量，用以（在拓扑意义下）分类不同的空间。这个领域是上世纪上半页非常活跃的领域。通常能划进这个领域的有同伦理论，同调以及上同调理论，示性类理论，以及某种意义上的拓扑K理论，配边理论等等。&br&&br&2.&b&微分流形&/b&，它只是一个研究对象，通常来说我们不把它作为一个有效的方向区分。一个微分流形就是在流形这一拓扑结构上有某种富结构（微分结构），这种结构可以用来进行类似于欧式空间上做微积分的运算。&br&&br&3.&b&微分几何&/b&，微分几何在广义意义下可以泛指用类似于微积分的研究方法去研究微分流形的一切方式。然而通常来说它有一套标准的语言，那就是微分形式，例如联络和曲率张量等等，有时候它也继承了一些代数拓扑的方法（以微积分的方式，如De Rham 上同调）。&br&&br&4.&b&黎曼几何&/b&，黎曼几何是指黎曼流形的几何学。黎曼流形就是微分流形上再附加一个富结构（黎曼度量），因此研究它我们所用的方法可以是完全继承自前述微分几何的研究方法。因为上面有了度量，因此我们也可以做一些关于度量（相容）的几何，例如几何分析（就是一些估计）。也因为有了度量的限制，所以上面一些结构可以更确切的意义下确定下来，如 Levi-Civita 联络。&br&&br&5.&b&微分拓扑&/b&，微分拓扑，在某种程度上来说，就是在研究一个微分流形上的可微函数（并以此来研究流形的拓扑性质）。因此它和代数拓扑的关联度其实有限，只是说代数拓扑的一些东西能用在其中。而其中的一些重要理论，如Morse理论是很难出现在代数拓扑里的。&br&&br&6.&b&交换代数&/b&，这个和上面说的东西几乎八竿子打不着。交换代数的主要研究对象是交换环和上面的代数。虽然这种代数结构中会出现在上面的某些研究中，但是其相应的代数性质通常都不是研究的重点。&br&&br&7.&b&代数几何&/b&，代数几何是一个非常宽泛的概念，至少从现代的意义下来说，它和上述所有领域都或多或少有着一定的关联，但是又相当不同。从古典的意义上讲，代数几何研究的对象是一些多项式方程组的零点集的性质，因此它不仅能关联到流形概念（比方说多项式定义的超曲面），还能关联的数论（比方说丢番图方程）。从现代的意义上来说，它研究的对象是带有相应的富结构（结构层）的拓扑空间，并且在局部可以由一些交换环的谱给出。目前代数几何活跃的领域有复代数几何（由于GAGA，这和复几何有很高的相似性，但是代数几何可以处理奇点），算术代数几何等等，从方法上分类则主要有双有理几何，模空间，算术理论等等。&br&&br&----------------------分割线-----------------------------&br&提问者修改了问题，有鉴于新的问题和之前的表述关联性很小，因此我打算另立一段。&br&在开始写之前，我首先说明，&b&不建议在没有指导的情况下自学上述大部分领域&/b&，额，除非你很厉害，或者你想体验下民科是怎么样练成的（纯黑一下，请不要当真）。然后&b&请不要试图很快地学完所有的领域&/b&，贪多嚼不烂。&br&关于怎么区分，上面大致上也可以看成怎么区分，因此不再赘述。&br&课程顺序。这是一个很难讲的问题，因为&b&没有一个课程有着严格的先修课程，&/b&一个课程应当有怎样的预备知识通常仅仅取决于老师们的教法或者相应教科书的写法（例如是否自洽等等）。我下面仅仅是提一下上述课程通常可能需要用到的知识。&br&&b&代数拓扑&/b&：点集拓扑，然后就没了。因为一般代数拓扑教材都要从很基础的讲起，基本零门槛，如果觉得过度有难度考虑拿Armstrong的基础拓扑学过渡。&br&&b&微分几何&/b&：多元微积分的基本知识，一点拓扑学，其他都不是必需。&br&&b&黎曼几何&/b&：实质上和上面一样，这两个学起来实际上非常像。&br&&b&微分拓扑&/b&：知道微分流形的概念实质上就够了，知道流形上同调上同调理论更好。&br&&b&交换代数&/b&：抽象代数足以。&br&&b&代数几何&/b&：看你切入的角度，可以从多复变、复几何进入，也可以从交换代数进入，甚至于可以从复射影几何进入。&br&最后，上课的顺序不是死的，虽然通常来说可能有些前置课程的要求，但是缺什么补什么也是一种重要的能力。
并不能理解什么叫做楼主所说的配对。我简要谈下我对于上述所列名词的理解。 1.代数拓扑，所谓代数拓扑粗糙的说就是用（同调）代数的观点去研究拓扑学，给予每个（特定的）拓扑空间以一些代数的不变量，用以（在拓扑意义下）分类不同的空间。这个领域是上世…
更新了v2，不过越看越蛋疼了…&br&&br&----------------------------------&br&应该是没啥问题，因为arguement太简单…只要不是手抖算错…而且我觉得致谢里说那么多人检查过了也不会有错。&br&&br&Atiyah 九十高龄出来啪啪打脸说：在座的各位都是xx。&br&&br&其实想法非常简单，就是用指标定理；和一种特定的K theory，KR theory给了一个不变量。不过决定要算这个不变量似乎是受实代数几何启发。&br&然后算了下大家老早知道的一个近复结构，知道这个近复结构是odd type。然后一个关键的点在于用指标定理说明“所有”近复结构的type只取决于拓扑，于是我们现在知道近复结构都是odd type。&br&&br&然而从KR theory算出来，如果有可积近复结构（等价于复结构），那就应该是even type。&br&&br&于是gg…说真的，现在搞成这样子拿来给本科生当大作业都不过分…&br&&br&从这个故事可以看出来一个一贯公认的看法是，搞数学还是要看脸。当然也可以喂口鸡汤就是如果能找到对的人，问题就会很简单，比如KR theory，就看你找不找得到…不过60年也没人想到这个真的也是蛋疼。&br&&br&（不过看致谢也感觉是Atiyah早就知道但是懒得发的样子，这是我脑补的。）&br&&br&想想这也算是有生之年系列还真是有点excited…
更新了v2，不过越看越蛋疼了… ---------------------------------- 应该是没啥问题，因为arguement太简单…只要不是手抖算错…而且我觉得致谢里说那么多人检查过了也不会有错。 Atiyah 九十高龄出来啪啪打脸说：在座的各位都是xx。 其实想法非常简单，就是…
首先，从数学角度来讲，对于一个最简单的情形而言，Legendre变换指的是如下图所示：&br&&img src=&/fdffca85dcac38f_b.jpg& data-rawwidth=&384& data-rawheight=&218& class=&content_image& width=&384&&&br&(图片来自wikipedia:&a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Legendre_transformation& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Legendre transformation&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)&br&&br&对于一个凸函数&img src=&///equation?tex=y%3Dpx-f%28x%29& alt=&y=px-f(x)& eeimg=&1&&（其中&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&为凹函数,且是可微的），若令其值最大，则对其求导让右边为零，满足&br&&img src=&///equation?tex=p%3D%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdx%7D+& alt=&p=\frac{df}{dx} & eeimg=&1&&, &br&这样就从&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&到&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&建立起一个映射,即&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&到曲线斜率的映射。&br&若&img src=&///equation?tex=x%3Dg%28p%29& alt=&x=g(p)& eeimg=&1&&，即&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&到&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&的逆映射存在，因为&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&是一个凹函数，其切线斜率是与曲线上的点一一对应的。&br&&br&由此可以定义一个新的函数与&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&相对应:&img src=&///equation?tex=f%5E%7B%2A%7D+%28p%29%3Dg%28p%29%5Ccdot+p-f%28g%28p%29%29& alt=&f^{*} (p)=g(p)\cdot p-f(g(p))& eeimg=&1&&&br&这个函数是以&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&为自变量的函数。这个变换也就是把原来在的&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&对应于一个它的dual space上的&img src=&///equation?tex=f%5E%7B%2A%7D+& alt=&f^{*} & eeimg=&1&&。&br&&br&总而言之，它就是一种换一种方式描述同一个对象、且保证信息不丢失的对应方式。&br&&br&分析力学中的Legendre变换就是把刻画一个力学体系的动力学行为的表述方式从用Lagrangian变为Hamiltonian,对同一个体系从不同的角度（由位置与速度变为位置与动量）去表述。你说的没错，Lagrangian是在configuration space中的表述，而Hamiltonian所在的辛流形就是phase space.&br&&br&而热力学里的Legendre变换则是把体系用内能来描述转变为用焓来表述，所描述的东西是一样的，只是各自在不同情况下有各自的便捷之处。
首先，从数学角度来讲，对于一个最简单的情形而言，Legendre变换指的是如下图所示： (图片来自wikipedia:) 对于一个凸函数y=px-f(x)（其中f(x)为凹函数,且是可微的），若令其值最大，则对其求导让右边为零，满足 p=\frac{df}{dx} , …
假设最小作用原理是正确的 那么可以从&br&时间的对称性（homogeneity of time） 推导出 &b&能量守恒&/b&&br&空间的对称性（homogeneity of space） 推导出 &b&动量守恒&/b&&br&旋转的对称性（isotropy of space） 推导出 &b&角动量守恒&/b&&br&&br&经典力学的所有结论都可归纳为&b&欧氏空间&/b&的&b&几何性质&/b&&br&&br&十七世纪的物理学家说 「物理学是研究&b&守恒量&/b&的科学」&br&
而到了十八世纪物理学家说 「物理学是研究&b&对称性&/b&的科学」&br&&br&因为根据最小作用原理 &b&守恒量&/b&的本质是空间的&b&对称性&/b&&br&&br&这使得理论物理像几何一样可以被&b&公理化&/b&&br&只要在欧氏空间引入最小作用原理 就可以从欧氏空间的几何性质（即&b&对称性）&/b&推导出经典力学的所有内容&br&&br&这使得力学有了更通用的框架：空间的&b&几何性质 &/b&+&b& 最小作用原理 &/b&=&b& 守恒量&/b&&br&&br&那么&b&问题&/b&来了：&br&在我们生活的宇宙空间 几何性质究竟是什么？&br&欧式几何（即文首列举的对称性）是否充分描述了我们的宇宙空间？&br&&br&爱因斯坦的答案是&b&否定的&/b&&br&&br&在发现高斯绝妙定理以前 包括牛顿在内的人们一直以为&b&空间是平直的&/b&&br&这种对空间的误解 无异于古代人认为地球是平的&br&只在小范围观测地面 很容易产生「地面是平的」的错觉 &br&若扩大观测范围（上天） 不难发现地球其实是圆的&br&同理 古人对空间也存在这样的错觉&br&但只要在较大范围观测空间的话 不难发现&b&空间是弯曲的&/b&&br&&br&爱因斯坦对经典力学的补充 用一句话概括：&b&空间是弯曲的&/b&&br&而最小作用原理无需更改&br&&br&既然空间是弯曲的 欧式几何便不再适用 因为它假设&b&空间是平直的&/b&&br&&b&黎曼几何&/b&顺势被作为新的几何语言来描述宇宙空间&br&&br&黎曼几何把我们生活的时空描述为一个带有度量的四维流形 &img src=&///equation?tex=%28M%2Cg_%7Bab%7D%29& alt=&(M,g_{ab})& eeimg=&1&&&br&在这个流形上最多存在 n(n+1)/2 = 10 个对称 这些对称由 Killing 方程给出&br&&br&&img src=&///equation?tex=L_%7BV%7Dg_%7Bab%7D%3DV_%7Bb%3Ba%7D%2BV_%7Ba%3Bb%7D%3D0& alt=&L_{V}g_{ab}=V_{b;a}+V_{a;b}=0& eeimg=&1&&&br&&br&其中 4 个是 &img src=&///equation?tex=x%2Cy%2Cz& alt=&x,y,z& eeimg=&1&& 方向上的&b&空间对称&/b& 以及 &img src=&///equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& 方向上的&b&时间对称&/b&&br&
3 个是关于 &img src=&///equation?tex=x%2Cy%2Cz& alt=&x,y,z& eeimg=&1&& 轴的&b&旋转对称&/b&&br&
3 个是不同空间方向上的&b&洛仑兹变换&/b&（双曲旋转对称）&br&&br&根据最小作用原理 每一个&b&对称&/b&都对应一个物理&b&守恒量&/b&&br&&b&能量守恒 动量守恒 角动量守恒&/b&依然健在&br&但&b&质量守恒不在其列!&/b&&br&&br&&img src=&///equation?tex=E%3Dmc%5E2& alt=&E=mc^2& eeimg=&1&&&br&&br&我们发现&br&&b&质量&/b&与&b&热能&/b&和&b&机械能&/b&一样 不过是能量存在的一种形式&br&所以质量可以&b&转化&/b&为热能与机械能&br&以获得：&br&&img src=&/v2-68871ebacdaeabdc5250_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&644& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-68871ebacdaeabdc5250_r.jpg&&
假设最小作用原理是正确的 那么可以从 时间的对称性（homogeneity of time） 推导出 能量守恒 空间的对称性（homogeneity of space） 推导出 动量守恒 旋转的对称性（isotropy of space） 推导出 角动量守恒 经典力学的所有结论都可归纳为欧氏空间的几何性质…
区域不变性：&img src=&///equation?tex=U& alt=&U& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=R%5En& alt=&R^n& eeimg=&1&&中的任意开集，&img src=&///equation?tex=f%3AU%5Crightarrow+R%5En& alt=&f:U\rightarrow R^n& eeimg=&1&&是任意连续单射，那么&img src=&///equation?tex=f%28U%29& alt=&f(U)& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=R%5En& alt=&R^n& eeimg=&1&&中的开集，且&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&的逆映射是连续的。&br&&br&这是拓扑中的真正基本的定理，反映了欧氏空间的内蕴性质，由L.E.J.Brouwer于1912年证得。这个定理只需要&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&是连续单射（反函数定理要求&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&是连续可微的且Jacobi矩阵非奇异），只用了较弱的条件就证明了非常强的结论（开集不变）。因此这个看起来像是数学分析的定理，其实要用到很深的拓扑知识才能证明。听文爷爷说，这个定理由于条件容易满足而结论很强（连续单射推出其逆连续），在研究中有广泛的应用。
区域不变性：U是R^n中的任意开集，f:U\rightarrow R^n是任意连续单射，那么f(U)是R^n中的开集，且f的逆映射是连续的。 这是拓扑中的真正基本的定理，反映了欧氏空间的内蕴性质，由L.E.J.Brouwer于1912年证得。这个定理只需要f是连续单射（反函数定理要求f是…
为了生动起见，这里以刚体运动学为例说明为什么要引入“李群”和“微分流形”。首先，假设大家已经知道以下结论：刚体具有三个平移自由度和三个旋转自由度。&br&这里，我们先探讨比较简单的平移运动。&br&&ul&&li&对于刚体的平移运动来说，刚体上任意点的平移和数学中的“向量空间”具有相同的结构，数学中称为“同构”（isomorphism）。意思是说：&/li&&ul&&li&1) 存在一一映射(one-one correspondence)：我们生活在的“物理空间”中的每一点，都可以和数学上的“三维欧式空间&img src=&///equation?tex=R%5E3& alt=&R^3& eeimg=&1&&”中的一点（向量）对应。&/li&&li&2) 保持&加法&和&数乘&：“接连两次平移”对应“两个向量的加法”，“做n次相同的平移”对应“向量数乘以n”。&/li&&li&3) 满足向量空间的8个公理。这里，我们仅描述向量加法的交换律，如图所示：长方体先进行平移&img src=&///equation?tex=%7B%7B%5Cbf%7Bp%7D%7D_1%7D& alt=&{{\bf{p}}_1}& eeimg=&1&&后进行平移&img src=&///equation?tex=%7B%7B%5Cbf%7Bp%7D%7D_2%7D& alt=&{{\bf{p}}_2}& eeimg=&1&&和反过来的结果是一样的。&br&&/li&&/ul&&/ul&&img data-rawheight=&178& data-rawwidth=&401& src=&/9b3d4ad2e47_b.jpg& class=&content_image& width=&401&&&br&有的同学已经按耐不住要说：&这是显而易见的&。要注意的是，之所以显而易见是因为平移和我们生活所在的欧式空间规律太过相似，以至于大家有点“视而不见”。&ul&&li&进一步，我们要考虑比较烧脑袋的旋转。旋转揭示出：向量空间方法并不能描述世间所有的事物，必须引入其他结构。&br&&/li&&ul&&li&首先，我们考虑如何用数学描述旋转。一个直观且简单的想法来自刚才我们成功地用向量空间描述平移这件事情，也即用一个三分量的序列&img src=&///equation?tex=%28%5Calpha+%2C%5Cbeta+%2C%5Ctheta%29& alt=&(\alpha ,\beta ,\theta)& eeimg=&1&&表示旋转（注意：这里用序列而非向量是因为这种方法不满足向量空间公理）。其中，&img src=&///equation?tex=%5Calpha+%2C%5Cbeta+& alt=&\alpha ,\beta & eeimg=&1&&表示旋转轴的方向，&img src=&///equation?tex=%5Ctheta+& alt=&\theta & eeimg=&1&&表示刚体绕转轴的转角。如下图：&br&&/li&&/ul&&/ul&&img data-rawheight=&117& data-rawwidth=&137& src=&/aef9fb275a73a9d2797d13_b.jpg& class=&content_image& width=&137&&&br&&ul&&ul&&li&我们进一步模仿向量空间方法，建立加法和数乘运算，如下：&/li&&/ul&&br&&ul&&ul&&li&加法：&img src=&///equation?tex=%5Cleft%28+%7B%7B%5Calpha+_1%7D%2C%7B%5Cbeta+_1%7D%2C%7B%5Ctheta+_1%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cleft%28+%7B%7B%5Calpha+_2%7D%2C%7B%5Cbeta+_2%7D%2C%7B%5Ctheta+_2%7D%7D+%5Cright%29+%3D+%5Cleft%28+%7B%7B%5Calpha+_1%7D+%2B+%7B%5Calpha+_2%7D%2C%7B%5Cbeta+_1%7D+%2B+%7B%5Cbeta+_2%7D%2C%7B%5Ctheta+_1%7D+%2B+%7B%5Ctheta+_2%7D%7D+%5Cright%29& alt=&\left( {{\alpha _1},{\beta _1},{\theta _1}} \right) + \left( {{\alpha _2},{\beta _2},{\theta _2}} \right) = \left( {{\alpha _1} + {\alpha _2},{\beta _1} + {\beta _2},{\theta _1} + {\theta _2}} \right)& eeimg=&1&&&/li&&/ul&&/ul&&br&&ul&&ul&&li&数乘：&img src=&///equation?tex=k+%5Ccdot+%5Cleft%28+%7B%5Calpha+%2C%5Cbeta+%2C%5Ctheta+%7D+%5Cright%29+%3D+%5Cleft%28+%7Bk%5Calpha+%2Ck%5Cbeta+%2Ck%5Ctheta+%7D+%5Cright%29& alt=&k \cdot \left( {\alpha ,\beta ,\theta } \right) = \left( {k\alpha ,k\beta ,k\theta } \right)& eeimg=&1&&&/li&&/ul&&/ul&&br&&ul&&li&如果将角度取值放宽到&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Calpha+%2C%5Cbeta+%2C%5Ctheta++%5Cin+%5CRe+%5C%5D& alt=&\[\alpha ,\beta ,\theta
\in \Re \]& eeimg=&1&&，我们会惊喜的发现这些序列在这两种运算下还是封闭的。于是乎，我们高兴的将线性代数的结论运用在旋转之上，直到有一天我们不幸的发现：旋转和我们生活的三维欧式空间并没有相似的结构。举个例子，接连两个旋转之间，顺序不同，结果有可能不一样，如下图：图中，上面一行表示长方体先沿x轴转90度，再沿y轴转90度。下面一行表示先沿y轴转90度，再沿x轴转90度。最后竟然出现了不同的结果。这是不是太令人恐慌了？这说明旋转和我们生活的欧式空间不一样（两次旋转不满足交换律）。那旋转到底具有什么样子的结构呢？&img data-rawheight=&274& data-rawwidth=&463& src=&/a61ac153da6eb_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&463& data-original=&/a61ac153da6eb_r.jpg&&&/li&&/ul&&br&&br&&ul&&li&为了降低对象的复杂度，这里并不打算直接讨论三维旋转，而是从一维旋转说起。假设刚体沿着定轴旋转，任取刚体上转轴外一点，则此点的轨迹呈现为一个弧。旋转角度的弧度表示是弧长比半径&img src=&///equation?tex=%5Ctheta++%3D+%5Cfrac%7Bs%7D%7Bl%7D& alt=&\theta
= \frac{s}{l}& eeimg=&1&&，如下图（左）。为方便起见，令&img src=&///equation?tex=l%3D1& alt=&l=1& eeimg=&1&&。此时，点和角度一一对应，也就是说一维旋转可以用单位圆来描述，如下图（右）。首先，我们要说明向量空间方法不可行。图中表示了接连两次旋转&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Ctheta+_1%7D%5C%5D& alt=&\[{\theta _1}\]& eeimg=&1&&、&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Ctheta+_2%7D%5C%5D& alt=&\[{\theta _2}\]& eeimg=&1&&对应的向量&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cbf%7Bv%7D%7D_1%7D%5C%5D& alt=&\[{{\bf{v}}_1}\]& eeimg=&1&&、&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cbf%7Bv%7D%7D_2%7D%5C%5D& alt=&\[{{\bf{v}}_2}\]& eeimg=&1&&。但是问题是这两次旋转的运算结果&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cbf%7Bv%7D%7D_3%7D%5C%5D& alt=&\[{{\bf{v}}_3}\]& eeimg=&1&&并不能用向量的加法或者数乘得到（根据向量空间的加法的平行四边形法则，结果应该是&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cbf%7Bv%7D%7D_4%7D%5C%5D& alt=&\[{{\bf{v}}_4}\]& eeimg=&1&&），而看上去可以用中学曾经学过的某个东西......到底是什么呢？对，是欧拉公式：&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7Be%5E%7Bi%5Ctheta+%7D%7D+%3D+%5Ccos+%5Ctheta++%2B+i%5Csin+%5Ctheta+%5C%5D& alt=&\[{e^{i\theta }} = \cos \theta
+ i\sin \theta \]& eeimg=&1&&。因为有：&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7Be%5E%7Bi%5Cleft%28+%7B%7B%5Ctheta+_1%7D+%2B+%7B%5Ctheta+_2%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D+%3D+%7Be%5E%7Bi%7B%5Ctheta+_1%7D%7D%7D%7Be%5E%7Bi%7B%5Ctheta+_2%7D%7D%7D%5C%5D& alt=&\[{e^{i\left( {{\theta _1} + {\theta _2}} \right)}} = {e^{i{\theta _1}}}{e^{i{\theta _2}}}\]& eeimg=&1&&，也就是说旋转变换用&复数乘法&描述，又因为：&/li&&ul&&li&1）可结合。&/li&&li&2）存在单位元&img src=&///equation?tex=%7Be%5E%7Bi0%7D%7D+%3D+1& alt=&{e^{i0}} = 1& eeimg=&1&&。&/li&&li&3）存在逆元&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Cleft%28+%7B%7Be%5E%7Bi%5Ctheta+%7D%7D%7D+%5Cright%29%5E%7B+-+1%7D%7D+%3D+%7Be%5E%7B+-+i%5Ctheta+%7D%7D%5C%5D& alt=&\[{\left( {{e^{i\theta }}} \right)^{ - 1}} = {e^{ - i\theta }}\]& eeimg=&1&&。&/li&&/ul&&li&所以，旋转是用群结构建模的。复数群与旋转群SO(2)之间的关系可以通过&复数的矩阵表示&联系，也即令&img src=&///equation?tex=1+%3D+%5Cleft%5B+%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%2A%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A1%26%7B%7D%5C%5C%0A%7B%7D%261%0A%5Cend%7Barray%7D%7D+%5Cright%5D%2C%5C%3Bi+%3D+%5Cleft%5B+%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%2A%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%7B%7D%26%7B+-+1%7D%5C%5C%0A1%26%7B%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%7D+%5Cright%5D& alt=&1 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\end{array}} \right],\;i = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{ - 1}\\
\end{array}} \right]& eeimg=&1&&，故有&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7Be%5E%7Bi%5Ctheta+%7D%7D+%3D+%5Ccos+%5Ctheta++%2B+i%5Csin+%5Ctheta++%3D+%5Ccos+%5Ctheta+%5Cleft%5B+%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%2A%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A1%26%7B%7D%5C%5C%0A%7B%7D%261%0A%5Cend%7Barray%7D%7D+%5Cright%5D+%2B+%5Csin+%5Ctheta+%5Cleft%5B+%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%2A%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%7B%7D%26%7B+-+1%7D%5C%5C%0A1%26%7B%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%7D+%5Cright%5D+%3D+%5Cleft%5B+%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%2A%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%7B%5Ccos+%5Ctheta+%7D%26%7B+-+%5Csin+%5Ctheta+%7D%5C%5C%0A%7B%5Csin+%5Ctheta+%7D%26%7B%5Ccos+%5Ctheta+%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%7D+%5Cright%5D%5C%5D& alt=&\[{e^{i\theta }} = \cos \theta
+ i\sin \theta
= \cos \theta \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\end{array}} \right] + \sin \theta \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{ - 1}\\
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\
{\sin \theta }&{\cos \theta }
\end{array}} \right]\]& eeimg=&1&&。因此，我们放弃向量空间的尝试，而使用复数或者矩阵来表示一维旋转。&br&&/li&&/ul&&/ul&&img data-rawheight=&279& data-rawwidth=&512& src=&/bf05f92d39e4e005e4ea2_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&512& data-original=&/bf05f92d39e4e005e4ea2_r.jpg&&&br&&ul&&ul&&li&一般地，三维旋转也具有群结构，而且进一步地具有&b&李群（Lie group）&/b&结构，具体的说是特殊正交群&img src=&///equation?tex=SO%283%29& alt=&SO(3)& eeimg=&1&&。它通过旋转矩阵&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Cbf%7BR%7D%7D%5C%5D& alt=&\[{\bf{R}}\]& eeimg=&1&&来描述，能够进行矩阵乘法，但是没有加法和数乘。旋转矩阵是一个3行3列的数表示的阵列，但并不是所有3*3矩阵都是旋转矩阵。它有约束&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cbf%7BR%7D%7D%5ET%7D%7B%5Cbf%7BR%7D%7D+%3D+%7B%5Cbf%7BI%7D%7D%5C%5D& alt=&\[{{\bf{R}}^T}{\bf{R}} = {\bf{I}}\]& eeimg=&1&&，上面的约束其实是六个约束（三个正交向量，三个单位向量）的统一表示。&/li&&li&上述内容主要讨论了旋转的代数层面，也即旋转用什么表示？运算法则又是什么？这样的问题。为了进一步讨论几何层面，我们需要先建立一些直觉。我们习惯地把直线（比如一根筷子）、平面（比如广场）等等满足向量空间运算法则的东西叫“平直的（Flat）”的空间。而圆（比如呼啦圈）、球面（地球表面）
等等这样的东西叫“弯曲的（Curved）”空间。流形（Manifold）就是曲线、曲面的高维推广。从一维旋转引申出的一个问题是：为什么我们不用直线或者平面描述一维旋转？因为旋转不满足向量空间运算（从上图可以看出，平行四边形法则得出的结果在圆之外）。&/li&&li&下面就来讨论三维旋转的几何。根据以上的讨论，我们知道了旋转并不是一个平直的东西（满足向量空间运算法则的空间）。特殊地，一维旋转看起来像一个圆，那么三维旋转看起来像什么？由于维数超出了三维空间，我们无法直观描述，只能根据数学公式构想。根据我们的直觉，一个9变量的矩阵描述的貌似是一个9维欧式空间。存在6个约束，那么旋转这个怪物好像是一个三维的东西。没错，旋转就是一个嵌在9维欧式空间中的3维怪物，但是这个怪物不是一个平直的三维空间（就是我们生活的日常空间），而是被极度扭曲的&b&流形（Manifold）&/b&。可以想象一下，一种模型是把它看成半径为&img src=&///equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&&为实心球。然后，假设有一根直线穿过实心球的球心，并交于球表面两点。这里，我们把这两点粘在一起并认为是同一个点。如果把所有穿过球心的直线和球面的两个交点都粘起来，就是旋转的拓扑结构。这个，大家想象出来旋转是什么样子了么？告诉你个秘密，我没想象出来。&/li&&/ul&&/ul&那么同学们，是不是很想知道旋转究竟还有哪些性质呢？嘿嘿，请阅读“李群”和“微分流形”吧~~~&br&&b&Remark:&/b&上文使用了一些抽象代数的概念，比如：结构、同构。&br&&ul&&li&数学结构（Mathematical structure）：数学结构的概念来自于布尔巴基学派，他们致力于用这个概念统一数学，给现代数学的风格带来了很大的影响。结构通常是指一个集合的元素之间的关系（关系的定义可以参考任意一本关于“集合论”的书），可以是代数运算（也就是通常所说的“代数结构”）、拓扑、序等等。比如，向量空间中定义了加法和数乘结构，群定义了群乘法结构。如果没有任何结构，就是集合本身。没有结构的集合就像一袋松散的沙子，仍人摆布。通常，赋予特殊结构的集合，就具有不同的性质。比如，拓扑空间是：集合+拓扑结构，用于描述连续性；度量空间是：集合+度量结构，用于描述距离。e.t.c.&/li&&br&&li&同构（isomorphism）：如果两个集合之间元素一一对应，而且这种对应又保持了运算，那么他们之间是“具有相同结构”（同构）的。更重要的意义在于，如果两个代数结构同构，就可以用一个代替另一个。之所以要用一个结构代替另外一个结构，是因为这个结构具有某种很好的性质，方便我们处理。比如，如果一个代数结构和矩阵群同构，就可以用矩阵表示另一个群的元素（比如上文描述的复数的矩阵表示），用矩阵乘法表示另一个群的群乘法（比如复数的乘法对应矩阵乘法）；如果现实生活中的某个事物的运动规律和一个代数结构同构，就可以用此代数结构表示事物的运动规律。（比如：平移和向量空间同构，旋转和单位正交群同构。这样，我们就可以用数学建模物理。）&/li&&/ul&
为了生动起见，这里以刚体运动学为例说明为什么要引入“李群”和“微分流形”。首先，假设大家已经知道以下结论：刚体具有三个平移自由度和三个旋转自由度。 这里，我们先探讨比较简单的平移运动。 对于刚体的平移运动来说，刚体上任意点的平移和数学中的“…
微分形式是用来积分的：&br&&img src=&///equation?tex=E%3D%5Cint_%7B%7B%5Ccal+M%7D_n%7D%5Cmathbf%7B%5Comega%7D& alt=&E=\int_{{\cal M}_n}\mathbf{\omega}& eeimg=&1&&&br&其中&img src=&///equation?tex=%7B%5Ccal+M%7D_n& alt=&{\cal M}_n& eeimg=&1&&是 n 维流形，&img src=&///equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&是 n 形式，比如&img src=&///equation?tex=%5Comega+%3D+f%28x%5E1%2C%5Ccdots%2Cx%5En%29%5C+dx%5E1%5Cwedge+dx%5E2%5Cwedge%5Ccdots%5Cwedge+dx%5En& alt=&\omega = f(x^1,\cdots,x^n)\ dx^1\wedge dx^2\wedge\cdots\wedge dx^n& eeimg=&1&&，所有流形上的积分都是这种形式的。&br&&br&因为积分测度的坐标变换是乘以 Jacobian，即雅克比矩阵的行列式，而行列式是反对称的，所以微分形式也是反对称的。&br&&br&我不知道这是不是 Cartan 当年的思路，总之我是这么理解的。
微分形式是用来积分的： E=\int_{{\cal M}_n}\mathbf{\omega} 其中{\cal M}_n是 n 维流形，\omega是 n 形式，比如\omega = f(x^1,\cdots,x^n)\ dx^1\wedge dx^2\wedge\cdots\wedge dx^n，所有流形上的积分都是这种形式的。 因为积分测度的坐标变换是乘以 Ja…
微分几何？&br&&differential geometry is the study of properties that are invariant under change of notations.&
微分几何？ "differential geometry is the study of properties that are invariant under change of notations."
谢邀。&br&&br&微分几何是个很大的领域，我下面讲两个有&b&实际应用背景&/b&的问题，幸运的是，我要讲的都是R^3中的曲面，也就是人类看得到的。&br&&br&第一个是极小曲面理论。极小曲面就是固定边界时面积最小（严格说是面积泛函的critical point）的曲面，学过微分几何的同学都知道由体积的第一变分公式，这个等价于平均曲率为0。所以也可推广到无边界的曲面。真正做极小曲面理论是非常困难的（知乎有个做极小曲面的， &a data-hash=&cbfc080a82745d41dfd80f1465ffa685& href=&///people/cbfc080a82745d41dfd80f1465ffa685& class=&member_mention& data-tip=&p$b$cbfc080a82745d41dfd80f1465ffa685& data-hovercard=&p$b$cbfc080a82745d41dfd80f1465ffa685&&@石久&/a& 可以让他介绍下极小曲面的数学理论），但是要&b&看到&/b&极小曲面并不难。你拿个铁丝去网肥皂泡就行了。。肥皂泡质量可忽略，自然张成的曲面根据力学原理就是极小曲面。&br&&br&第二个是Willmore conjecture.这个跟极小曲面有异曲同工之妙。他问的是一个曲面什么时候Willmore energy最小。这个Willmore energy是平均曲率的平方的积分，是有物理意义的，比如说可以看成细胞膜的表面能量。亏格为0的时候，这个猜想说能量最小的时候就是标准球面。&b&这个事情很早就被生物学家用实验观测的方法确认过了&/b&，但是严格的数学证明，则是迟至201x年的事情。&br&&br&好吧说要讲微分几何结果讲了两个变分问题。。
谢邀。 微分几何是个很大的领域，我下面讲两个有实际应用背景的问题，幸运的是，我要讲的都是R^3中的曲面，也就是人类看得到的。 第一个是极小曲面理论。极小曲面就是固定边界时面积最小（严格说是面积泛函的critical point）的曲面，学过微分几何的同学都…
谢邀。庞加莱猜想（现在应该叫定理）。3维单连通闭流形一定同胚于3维球面。单连通虽然不是很弱的条件，但同胚于球面这个结论太强了。这个定理连同Thurston的几何化纲领告诉你3维流形其实“不是特别多”，还“数得过来”。所以现在几何拓扑学家们开始折腾4维流形了。4维流形难度做起来就大多了，哪怕单连通的情形也不是这么容易。主要在于从4维开始，同胚的拓扑流形可以有不同的光滑结构，也可以没有光滑结构。
谢邀。庞加莱猜想（现在应该叫定理）。3维单连通闭流形一定同胚于3维球面。单连通虽然不是很弱的条件，但同胚于球面这个结论太强了。这个定理连同Thurston的几何化纲领告诉你3维流形其实“不是特别多”，还“数得过来”。所以现在几何拓扑学家们开始折腾4维…
为什么上述回答全是匿名呢？我认为，既然要回答，那就应该堂堂正正，亮明身份，为什么潜身缩首呢？&br&我认为，几何分析是一种研究问题的方式，而不是一个学科。&br&丘先生在几何分析上的工作大致可以分为两块。在real manifold上面，他的主要贡献是和Peter Li发展了梯度估计，这个方法发展到极致就是Li-Yau的heat kernel estimate。它在Ricci flow上有个类比被Hamilton证明了，对Poincare猜想的证明有一定作用。当然还有real Monge-Ampere equation，极小曲面等等重要工作，我只说一个脉络。&br&在complex manifold上就是Calabi猜想，这个猜想在弦论上有用，故而物理学家极为重视。当然，它有一些复几何上的implication，比如Chern number inequality，但是总体来讲复几何很大，这些implication你要说重要也重要，但是不是每个人都care。Calabi猜想的证明还导致了mirror symmetry这个领域。不过，从现在的发展来看，恐怕只有Kontsevich提出的homological mirror symmetry可以真正make sense并且推动数学的发展。当然，还有一个重要工作是Donaldson-Uhlenbeck-Yau。这个定理最早由Donaldson在algebraic surface上证明，后来又推广到algebraic manifold上。U-Y对compact Kahler manifold推广了Donaldson的结果。不过，Donaldson在algebraic manifold上的证明也简单很多，且人们主要用到的就是这个情形，一般的Kahler流形恐怕没有那么常用。当然，还有一些工作，比如open manifold上面的Kahler-Einstein metric，和Siu，Mok一起研究Poincare-Lelong equation从而对open Kahler manifold做uniformization等等。我只考虑主体脉络。&br&这样看来，要想把这些比较零散的工作梳理出脉络，从而变成一个学科并非易事。我们可以对比Gromov的工作。Gromov的holomorphic curve theory最早发展出Gromov-Witten invariant和quantum cohomology，被Floer推广到open string case又发展出Floer cohomology。受Sullivan等人的影响，Fukaya在chain level提出了A infinity structure。受Deligne猜想的启发，近年来辛几何学家开始关心Hochschild cohomology上的E2 algebra结构···可以说这些结构不断丰富，起点就是Gromov 1985年的文章，这些学问都可以清楚地融汇在一起，层次分明，这才是名符其实的开创学科。这些不变量还仅仅是辛几何的rigidity aspect。&br&辛几何的flexibility aspect也是由Gromov开创的，为此他发明了h-principal。现在做flexiblity aspect最好的数学家，Eliashberg，就是Gromov的师弟。&br&flexibility+rigidity就是辛几何的全部。或者具体地说，辛几何相当于代数拓扑+代数几何。因此，无论从哪个角度看，Gromov都更有资格被称为辛几何的奠基人。可是，数十年来，似乎没有任何人这样称呼Gromov，是不是有点不公平呢？&br&我想，几何分析之所以比较琐碎零散，辛几何之所以比较有条不紊，主要根源还在于Gromov和丘教授研究风格的区别。或者说，是西方数学家和中国数学家对于数学的态度和审美的区别。有时候，formulate theory并不能获得同行立竿见影的重视，而解决困难的问题无论在什么时候都是证明自己最直接的手段。&br&几何分析究竟是不是一个学科恐怕并不是问题的关键，关键是在中国人里面能不能出现一些像Gromov这样真正纯粹，执着于真理而不是名利的数学家。
为什么上述回答全是匿名呢？我认为，既然要回答，那就应该堂堂正正，亮明身份，为什么潜身缩首呢？ 我认为，几何分析是一种研究问题的方式，而不是一个学科。 丘先生在几何分析上的工作大致可以分为两块。在real manifold上面，他的主要贡献是和Peter Li发…
谢邀&br&说一下它们之间的区别吧，因为我是物理系的，所以可能有些数学概念不严谨。&br&首先几何的核心就是度量长度（广义的可以包括时间），我们初中就学习过毕达哥拉斯定理（中国叫勾股定理）&img src=&///equation?tex=a%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7D%3Dc%5E%7B2%7D& alt=&a^{2}+b^{2}=c^{2}& eeimg=&1&&, 这个定理虽然简单，确实深刻的。&b&它几乎就是整个几何学的building block。 &/b&&br&罗式几何和黎曼几何的提出是家喻户晓的欧几里得几何的第五公设问题，即能否去掉公理：在直线外一点做已知直线的平行线有且仅有一条。如果去掉这个定理，数学家发现并没有矛盾。于是产生了非欧几何。这也可以直观的去想，黎曼几何又称球面几何，比如在球面上&b&，对于一条经线是不可能找到和它平行的线的&/b&，因为任何开始和它平行的线最后都会和它相交于极点。罗氏几何可能难想一些，但是有一条平行线和没有平行线的例子都已经理解之后，另外的情况就是&b&罗氏几何了，罗氏几何又称双曲几何，过直线外一点和已知直线至少有两条平行线。&/b&&br&可能会奇怪，为什么会出现这种情况，答案是这几种几何的区别不是局域的而是整体的。说的更具体的一点，我们前面说到了度量长度用到了度规，也就是用尺子量线的长度，对于直线，我们每个人都会量，但是对于曲线的长度呢？对于曲线长度的度量，涉及到了“化曲为直”的线性化思想。也就是说如果很小的一段来看的话，那么曲线可以近似为一条直线，然后可以量这一小段，每一小段都这么量再加起来就行。通常弯曲空间中线段的长度类比于勾股定理可以写为&br&&img src=&///equation?tex=ds%5E%7B2%7D%3Dg_%7B%5Cmu%5Cnu%7Ddx%5E%7B%5Cmu%7Ddx%5E%7B%5Cnu%7D%3Dg_%7B11%7Ddx%5E%7B2%7D%2B2g_%7B12%7Ddxdy%2Bg_%7B22%7Ddy%5E%7B2%7D& alt=&ds^{2}=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=g_{11}dx^{2}+2g_{12}dxdy+g_{22}dy^{2}& eeimg=&1&&&br&这是最广义的长度公式，g是x,y的函数，针对于一点来看的话g都是常数可以写成一个矩阵，学过线性代数的话，会知道然后可以把它对角化，化成勾股定理的形式。这也是线性化的思想的体现。&br&&b&这样我们就利用勾股定理把线段长度的公式推广了。引入了一个叫做度规的量&/b&，我们说既然每一点，曲面都类似于平直面，那么怎么区分黎曼和罗氏几何与欧式几何的区别呢。答案蕴含在整体性，在二维曲面中，曲率就是一个数，通常用的是Gauss曲率，确切的说也就是密切面的两条主法线方向的曲率的乘积。对于黎曼几何，曲率是正的，因为球面两个主法线方向的曲率半径都是圆的半径r,所以曲率（曲率半径的倒数）的乘积就是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7Br%5E%7B2%7D%7D& alt=&\frac{1}{r^{2}}& eeimg=&1&&.而对于罗氏几何，它的曲率是负的。正，负，0，我们发现曲率是很好的区分不同曲面的方式。&br&要说清楚MInkovski时空，需要进行推广。首先根据狭义相对论，时空可以作为一个整体，于是我们在度量的时候不仅仅需要尺子，还需要表。表量时间，尺子量长度。这样它们结合就可以量时空距离了。但是时间是一个特殊的维度，我们需要再它上面加一个负号。闵式时空是四维平坦的时空，这就意味着我们可以整体的应用毕达哥拉斯定理计算时空的距离&br&&img src=&///equation?tex=ds%5E%7B2%7D%3D-dt%5E%7B2%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bdy%5E%7B2%7D%2Bdz%5E%7B2%7D& alt=&ds^{2}=-dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}& eeimg=&1&&. 闵式时空和欧式时空的区别可以通过号差来表示。也就是说把正的坐标加上负的坐标的个数。－1+1+1+1=2.对于欧式的，1+1+1+1=4&br&随着维数的增加，曲率越来越复杂了，对于二维的，只用一个数R就可以表示曲率，对于三维，就要扩展成一个3维对称矩阵&img src=&///equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}& eeimg=&1&&,有6个分量。对于4维的时候，要拓展成一个（1，3）阶的张量&br&&img src=&///equation?tex=R%5E%7B%5Cmu%7D_%7B%5Cnu%5Crho%5Csigma%7D& alt=&R^{\mu}_{\nu\rho\sigma}& eeimg=&1&&.只有它们都为0，这个时空才是平坦的。这也增加了广义相对论的复杂度。&br&&b&在四维时空中（伪黎曼流形），也有和罗巴切夫斯基和黎曼几何非常像的时空。我们叫做反德西特时空和德西特时空&/b&。因为罗氏几何和黎式几何是用标量曲率来分类的。如果计算四维的标量曲率，我们也会发现，当时空具有最大对称性的时候，标量曲率仍然有三种情况，如果标量曲率是负的，那么时空就叫做反德西特时空，如果标量曲率是正的就叫做德西特时空，如果标量曲率是0就叫做闵式时空。这三种时空在引力中都很重要，尤其是暗能量发现之后，随着宇宙学常数的复苏，很多模型都建立在ads时空之上，这就是另一个故事了。。。。。
谢邀 说一下它们之间的区别吧，因为我是物理系的，所以可能有些数学概念不严谨。 首先几何的核心就是度量长度（广义的可以包括时间），我们初中就学习过毕达哥拉斯定理（中国叫勾股定理）a^{2}+b^{2}=c^{2}, 这个定理虽然简单，确实深刻的。它几乎就是整个…
是题主吐了一个槽以后，想继续引发另一个槽。更有意思的是，题主却以大义凛然的方式说：“给需要的人。”似乎题主期待周围有一群各种看不惯的数学和物理工作者。&br&术业有专攻，不同领域有不同领域研究特点。不问为什么这么用知识，不问方法论能否加以改进，而问什么用法是其他人看起来愚蠢的，这个问题才是令人最看不惯的。&br&&br&============
更新 ============&br&至于为什么物理学用的数学严谨度不够，我的看法是：&br&（1）很多物理学能算的东西很可能都是超出现在数学能定义的范畴的。但数学上（暂时）不能定义不代表物理学计算的量没有意义。比如拓扑量子场论（TQFT）中得配分函数就是很好的例子。虽然Witten在定义拓扑量子场论时受到数学家工作的启发，但是我们也可以脱离数学，把TQFT作为一个纯粹物理的东西来看待。这时候物理学用所谓的很不严谨的办法算出来的东西是有明显几何意义的量，这时候数学家再看不习惯，也不得不承认是数学并没有发展到能用来定义这些物理计算量的程度，而不是物理学家在胡扯。&br&（2）关于近似。在之前的答案里我写过这部分，简单重复就是自然界大多数东西都不能严格计算。换句话说，&b&是数学不能完全解决所有实际问题，而不是用来研究实际问题的学科有毛病。&br&&br&&/b&从其他学科的角度，我觉得数学没有什么地方是可以让人看不惯的。在承认数学也有局限的同时，你不得不钦佩数学家在抽象思维上的卓越才华。不相信这个的人，去读读代数几何的书就够了。&br&&br&然而，每个学科各自发展的道路上大多时候都是独立的，不会因为其他学科在干什么而特意去改变自己的前进方向。毕竟，学科内部存在的问题已经足够吸引人了。这也就是为什么不同学科之间常会出现脱节的情况，&b&但这不是题主所说的互相看不习惯的理由。&/b&
是题主吐了一个槽以后，想继续引发另一个槽。更有意思的是，题主却以大义凛然的方式说：“给需要的人。”似乎题主期待周围有一群各种看不惯的数学和物理工作者。 术业有专攻，不同领域有不同领域研究特点。不问为什么这么用知识，不问方法论能否加以改进，…
最近做的东西刚好和这个沾点边……要公式和文献这里倒是都有嗯……&br&&br&问题描述基本是一个正确的方向。实际上，对于这样的热力学系统，我们极小化液体界面的&b&自由能&/b&，来计算液体界面的形状。而需要的约束通常是体积不变。自由能可以经过力学的分析，计算可逆过程的能量变化来得到。比如对于最简单的闭合液面，我们知道表面张力是施加在液面上任意一条线上的，单位长度上受到的力称为表面张力系数。那么当液体表面增加一点点后，能量的增加正比与表面张力系数乘以面积增加（力乘以长度=单位长度的力乘以长度乘以长度），所以表面自由能可以写作：&br&&img src=&///equation?tex=F%3D%5Coint%5Csigma+dA+& alt=&F=\oint\sigma dA & eeimg=&1&&&br&其中&img src=&///equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&是表面张力系数，&img src=&///equation?tex=dA& alt=&dA& eeimg=&1&&是每一小块的面积。如果表面张力系数是常数，那么这个问题实际上就是同样体积的液体怎样形状表面积最小，于是得到的显然就是球。&br&&br&当然这个唯像的例子太简单……一个复杂的例子，比如红细胞的细胞膜，我们一般认为是一种弹性膜（或者更确切、液晶），它的表面自由能是：&br&&img src=&///equation?tex=F%3D%5Cfrac%7B%5Ckappa_b%7D%7B2%7D%5Coint%282H%2BC_0%29%5E2dA%2B%5Ckappa_s%5Coint+KdA%2B%5Coint%5Csigma+dA%2B%5CDelta+p%5Cint+dV& alt=&F=\frac{\kappa_b}{2}\oint(2H+C_0)^2dA+\kappa_s\oint KdA+\oint\sigma dA+\Delta p\int dV& eeimg=&1&&&br&其中，&img src=&///equation?tex=H& alt=&H& eeimg=&1&&是曲面上每一点的平均曲率，&img src=&///equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&是曲面上每一点的高斯曲率，&img src=&///equation?tex=%5Ckappa& alt=&\kappa& eeimg=&1&&是两个系数，&img src=&///equation?tex=C_0& alt=&C_0& eeimg=&1&&是自曲率常数（液晶的效应就在此）。实际上，自由能第一项是弹性膜弯曲导致的自由能，第二项是弹性膜拉伸导致的自由能，最后一项还是体积功。弹性膜的弹性自由能的推导比较麻烦……详见朗道的弹性力学，是用了不同于弹性体的自由能的推导方式。其实，对于闭合曲面，第二项是拓扑不变量，所以只要球没有变成面包圈，那项的积分是常数，不用考虑。&br&&br&接下来要做的还是把约束条件乘以拉格朗日乘子加进去，然后做变分法解欧拉-拉格朗日方程。得到的形状方程是：&br&&img src=&///equation?tex=2%5Ckappa_b%5Cnabla%5E2H%2B%5Ckappa_b%282H%2BC_0%29%282H%5E2-2K-C_0H%29-2%5Csigma+H%2B%5CDelta+p%3D0& alt=&2\kappa_b\nabla^2H+\kappa_b(2H+C_0)(2H^2-2K-C_0H)-2\sigma H+\Delta p=0& eeimg=&1&&&br&嗯，鉴于平均曲率的表达式极其复杂，这方程我也不会解……但这个方程轴对称的解成功模拟了红细胞的双面凹的形状，还预测出了另一种形状的磷脂泡，被实验confirm了。&br&&br&但因为变分法不涉及初始状态，所以不会发生在正方形中找不到正确解的情况哦，那是约束条件的问题。&br&&br&这些工作可参考刘寄星、欧阳钟灿等人的工作。一些相关的书比如（我也在准备深入看一些）：&br&&a href=&///?target=http%3A///Statistical-Thermodynamics-Interfaces-Membranes-Frontiers/dp//ref%3Dsr_1_1%3Fie%3DUTF8%26qid%3D%26sr%3D8-1%26keywords%3DStatistical%2BThermodynamics%2Bof%2BSurfaces%252C%2BInterfaces%252C%2Band%2BMembranes& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Statistical Thermodynamics Of Surfaces, Interfaces, And Membranes (Frontiers in Physics): Samuel Safran: 1: : Books&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&///?target=http%3A///Intermolecular-Surface-Forces-Third-Edition/dp//ref%3Dsr_1_1%3Fie%3DUTF8%26qid%3D%26sr%3D8-1%26keywords%3DIntermolecular%2Band%2BSurface%2BForces& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Intermolecular and Surface Forces, Third Edition: Revised Third Edition: Jacob N. Israelachvili: 4: : Books&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&弹性膜的问题看Landau的弹性力学就可以……然后液晶的问题可以考虑Helfrich的工作……&br&&br&如果应&a data-hash=&cb2f03145ddb645ccdddcd& href=&///people/cb2f03145ddb645ccdddcd& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@金晨羽& data-hovercard=&p$b$cb2f03145ddb645ccdddcd&&@金晨羽&/a&的问题，来尝试用变分法在体积不变的约束下算&img src=&///equation?tex=F%3D%5Coint+dA+& alt=&F=\oint dA & eeimg=&1&&的极小，其实得到的是曲线平均曲率&img src=&///equation?tex=H%3D& alt=&H=& eeimg=&1&&常数，但如果选定坐标系求解会非常复杂。比如取球坐标系，那么一般的曲面方程大体可以用&img src=&///equation?tex=r%3Dr%28%5Ctheta%2C%5Cphi%29& alt=&r=r(\theta,\phi)& eeimg=&1&&来表示（&img src=&///equation?tex=%5Ctheta%5Cin%5B0%2C%5Cpi%5D& alt=&\theta\in[0,\pi]& eeimg=&1&&,&img src=&///equation?tex=%5Cphi%5Cin%5B0%2C2%5Cpi%29& alt=&\phi\in[0,2\pi)& eeimg=&1&&），那么曲面的表面积是积分：&br&&img src=&///equation?tex=A%5Br%5D%3D%5Cint+%5Csqrt%7B%5Cleft%28r%5E2%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+r%7D%7B%5Cpartial+%5Ctheta%7D%5Cright%29%5E2%5Cright%29%5Csin%5E2%5Ctheta%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+r%7D%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%5Cright%29%5E2%7Drd%5Ctheta+d%5Cphi& alt=&A[r]=\int \sqrt{\left(r^2+\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)^2\right)\sin^2\theta+\left(\frac{\partial r}{\partial\phi}\right)^2}rd\theta d\phi& eeimg=&1&&&br&而约束条件是体积一定，即&br&&img src=&///equation?tex=V%3D%5Cint%5Cint_0%5E%7Br%28%5Ctheta%2C%5Cphi%29%7Dr%5E2%5Csin%5Ctheta+drd%5Ctheta+d%5Cphi%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cint+r%5E3%28%5Ctheta%2C%5Cphi%29%5Csin%5Ctheta+d%5Ctheta+d%5Cphi& alt=&V=\int\int_0^{r(\theta,\phi)}r^2\sin\theta drd\theta d\phi=\frac{1}{3}\int r^3(\theta,\phi)\sin\theta d\theta d\phi& eeimg=&1&&&br&引入拉格朗日乘子&img src=&///equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&&，我们改极小化泛函：&br&&img src=&///equation?tex=A%5Br%3B%5Clambda%5D%3D%5Cint+%5Csqrt%7B%5Cleft%28r%5E2%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+r%7D%7B%5Cpartial+%5Ctheta%7D%5Cright%29%5E2%5Cright%29%5Csin%5E2%5Ctheta%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+r%7D%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%5Cright%29%5E2%7Drd%5Ctheta+d%5Cphi%2B%5Clambda%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cint+r%5E3%5Csin%5Ctheta+d%5Ctheta+d%5Cphi-V%29& alt=&A[r;\lambda]=\int \sqrt{\left(r^2+\left(\frac{\partial r}{\partial \theta}\right)^2\right)\sin^2\theta+\left(\frac{\partial r}{\partial\phi}\right)^2}rd\theta d\phi+\lambda(\frac{1}{3}\int r^3\sin\theta d\theta d\phi-V)& eeimg=&1&&&br&可以用欧拉-拉格朗日方程来解：对于泛函&br&&img src=&///equation?tex=A%5Bf%28x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_n%29%5D%3D%5Cint+L%28f%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_i%7D%2Cx_i%29d%5Enx& alt=&A[f(x_1,x_2,\cdots,x_n)]=\int L(f,\frac{\partial f}{\partial x_i},x_i)d^nx& eeimg=&1&&&br&它的极大/极小由欧拉-拉格朗日方程：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+L%7D%7B%5Cpartial+f%7D-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+x_i%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+L%7D%7B%5Cpartial%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x_i%7D%29%7D%3D0& alt=&\frac{\partial L}{\partial f}-\sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial L}{\partial(\frac{\partial f}{\partial x_i})}=0& eeimg=&1&&&br&给出。但这个方程太复杂了，我还是不继续写了。下面引用一点别人的结果：&br&&br&泛函&br&&img src=&///equation?tex=A%3D%5Coint+dA%2B%5Clambda%5Cint+dV& alt=&A=\oint dA+\lambda\int dV& eeimg=&1&&&br&参考前面引用的液晶膜的方程，令&img src=&///equation?tex=%5Csigma%3D1& alt=&\sigma=1& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5CDelta+p%3D%5Clambda& alt=&\Delta p=\lambda& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5Ckappa_b%3D%5Ckappa_s%3D0& alt=&\kappa_b=\kappa_s=0& eeimg=&1&&，变分后应该给出&img src=&///equation?tex=H%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%7D%7B2%7D& alt=&H=\frac{\lambda}{2}& eeimg=&1&&，而这个条件如果解出具体曲面方程，代入约束可以确定出拉格朗日乘子&img src=&///equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&&的具体值，所以实际上泛函的极小对应于平均曲率为常数的曲面。而三维欧式空间的常正（平均）曲率曲面只有球面（有定理，见&a data-hash=&828da5d68a& href=&///people/828da5d68a& class=&member_mention& data-hovercard=&p$b$828da5d68a&&@陳浩&/a& 的答案）。&br&&br&对于一般弹性膜，就更复杂了我就不去尝试解了……（我曾在球坐标系中把平均曲率具体表达式写出来，单是分子，就在16开纸上横着写了2行，然后分母1行= =幸亏有Mathematica……）
最近做的东西刚好和这个沾点边……要公式和文献这里倒是都有嗯…… 问题描述基本是一个正确的方向。实际上，对于这样的热力学系统，我们极小化液体界面的自由能，来计算液体界面的形状。而需要的约束通常是体积不变。自由能可以经过力学的分析，计算可逆过…
算子代数这个方向分支很广，应用也很多，但如 &a data-hash=&c2cd79eee9cad404aa6d6ee0c80fbffb& href=&///people/c2cd79eee9cad404aa6d6ee0c80fbffb& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@千本& data-tip=&p$b$c2cd79eee9cad404aa6d6ee0c80fbffb& data-hovercard=&p$b$c2cd79eee9cad404aa6d6ee0c80fbffb&&@千本&/a&所说，只需要泛函分析做基础就足够了，用到什么学什么也来得及。&br&&br&但是算子代数的应用角度很多，所以读哪些书最好先确定目的。一般来说，现在很多人学习算子代数一是为了数学化量子力学和量子场论， 二是研究非交换几何。不同的目的决定了你从那方面入手。纯粹的算子代数研究的人不多。&br&&br&学过泛函分析的话你就可以读懂这样一句话：“对于希尔伯特空间上的有界线性算子，我们可以做加法，做乘法（也就是算子的复合），还可以做数乘。所以所有有界线性算子的全体构成了一个代数。而算子代数这门学科就是要研究这个代数的子代数的性质。”&br&&br&为什么要研究它呢？因为这个代数有个很好（cha）的性质------它是不交换的。最简单的，有限维空间的有界线性算子是矩阵，就是不交换的。量子力学刚刚开始的时候，大家就发现很多可观测量是不可交换的，如果想用数学模型来描述可观测量，就需要找到一个非交换的代数。在当时的时代，大家能找到的唯一的非交换代数就是矩阵代数，然后大家就happy地用起来了。慢慢地，矩阵不够用了，大家需要用到无穷维的矩阵，而无穷维矩阵并没有坚实的数学基础。怎么办？天上掉下来个 冯诺依曼。36年到43年，冯诺依曼写了一系列文章来研究这件事情。题目很直白，就叫做“On rings of operators (I, II, III, IV)”， 顺便还写了本书叫 “量子力学的数学基础”。这几篇文章奠定了算子代数这个学科的基础（原谅我忽略了Jordan, Murray 等奠基者，冯诺依曼太耀眼了），很值得读一读，但读起来不太容易，因为语言和工具比较古老，我们可以先学些基础再去瞻仰。&br&&br&就现在的算子代数来说，入门不需要物理背景。大家主要关心的是两类子代数：C* 代数（为什么不叫盖尔芳德代数呢？） 和 冯诺依曼代数。一本不错的参考书是&br&Blackadar
&i&Operator Algebras: Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras&/i&.&br&作者主页上有电子版&br&&br&就我个人而言，更喜欢的是Dixmier 的两本砖头：C*-algebra 和 von Neumann algebra。只是这两本太厚，而且有点古老，基本是Allan Connes 之前算子代数的总结，可以当字典翻翻。（当然，这三本我都没读完）&br&&br&对于C* 代数来说，我们碰到的第一个大定理是：对每一个交换C*代数都存在一个仿紧拓扑空间使得这个代数同构于空间上所有连续函数的全体组成的代数。交换C*代数的集合和仿紧拓扑空间（一点点点集拓扑还是需要的）的集合是一一对应的。然后我们就可以通过研究交换C*代数来研究拓扑。如果代数这边推广到一般的非交换代数，我们就可以把另一边推广到非交换拓扑空间（是不是听起来很高大上？）。这就是非交换几何的一个起源。如果你懂一些拓扑K理论，（不懂也没关系，可以现学）我们就通过这个关系将K理论推广到了C*代数的K理论。（两个K理论没啥不一样的甚至有些人把C*代数K也叫做拓扑K也叫算子K, 把代数K的名字给了一般环上的K理论（好难好难的））&br&所以从某种意义上来说，C*代数是一个拓扑理论。&br&&br&对应的，冯诺依曼代数是一个测度理论（需要一点点测度论基础，比如什么是Haar测度，当年冯诺依曼就是照着Haar测度搞出来的）。粗略来说按照trace 函数的值（记得冯诺依曼代数是矩阵代数的推广，这里的trace 也相当于矩阵trace的推广）可以将冯诺依曼代数分为三类， I, II 两类对应 trace是0 和有限实数，还好，第三类对应trace 正无穷，很难很难（Connes 就是分类这个东东得了fields）。在connes 的那本“非交换几何”里不同类别的冯代数对应了 叶层结构 (foliation) 是不是有好的测度。&br&&br&看到这如果你不专门做算子代数方向的研究，我想基本也就够了，如果做了这方向，下一步就要去问自己的老师，毕竟分支这么多，找一个扎下去才是根本。
算子代数这个方向分支很广，应用也很多，但如 所说，只需要泛函分析做基础就足够了，用到什么学什么也来得及。 但是算子代数的应用角度很多，所以读哪些书最好先确定目的。一般来说，现在很多人学习算子代数一是为了数学化量子力学和量子场论， 二是研…
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