1/x2+2x+3e的2x次方的原函数数怎么求？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-11-10 15:45 标签： 设函数f x e 2x alnx
求1/(x^4+x^2+1)的原函数,要求要有过程
∫1/(x⁴+x²+1) dx= (1/2)∫(x+1)/(x²+x+1) dx - (1/2)∫(x-1)/(x²-x+1) dx= (1/4)[∫(2x+1)/(x²+x+1) dx + ∫dx/(x²+x+1)] - (1/4)[∫(2x-1)/(x²-x+1) dx - ∫dx/(x²-x+1)]= (1/4)ln|x²+x+1| - (1/4)ln|x²-x+1| + (1/4)∫dx/[(x+1/2)²+3/4] + (1/4)∫dx/[(x-1/2)²+3/4]= (1/4)ln| (x²+x+1)/(x²-x+1) | + (1/4)(2/√3){arctan[(2x+1)√3] + arctan[(2x-1)/√3] + C= (1/4)ln| (x²+x+1)/(x²-x+1) | + 1/(2√3)*arctan[√3x/(1-x²)] + C公式：arctanx+arctany = arctan[(x+y)/(1-xy)],xy A=1/2 C=-1/2-1/2+1/2-B+1-B=0 => B=1/2 => D=1/21/(x⁴+x²+1) = (x+1)/[2(x²+x+1)] - (x-1)/[2(x²-x+1)]
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分解因式：x^4+1=x^4+1+2x^2-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+ √2x+1)(x^2- √2x+1)待定系数法部分分式分1/(x^4+1)=(ax+b)/(x^2+ √2x+1)+(cx+d)/(x^2- √2x+1)去分母：1=(ax+b)(x^2- √2x+1)+(cx+d)(x^2+ √2x+1)1=x^3(a+c)+x^2(b+d- √2a+ √2c)+x(a- √2b+c+ √2d)+b+d对比系数：b+d=1,a+c=0,b+d- √2a+ √2c=0,a- √2b+c+ √2d=0解得：a= √2/ 4,c=- √2/4,b=d=1/21/(x^4+1)= √2/4*[ (x+ √2)/(x^2+ √2x+1)+(-x+ √2)/(x^2- √2x+1)]这样就可以用基本积分公式来得到结果了.
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