第四题的第三问，该怎么用对数函数求导求导法求导

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-11-05 13:45 标签： 对数函数求导
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浅谈对数求导法_石富华
高校理科研究
浅谈对数求导法
九江学院理学院石富华
［摘要］本文介绍了对数求导法及其应用的范畴。［关键词］对数求导法幂指函数
在《微积分》的导数一章的教学中，我们发现有些题目它并不能用公式直接求导，而是需要应用对数求导法才可以求出其导数。在此，先介绍一下什么是对数求导法。
如若已知y=f(x),y≠0求y'。采用对数求导法：先对y=f(x)的两边取对数lny=lnf(x)，再将y看作关于x的函数，在上式两边关于x求导，得到1y'=(lnf(x))'，然后将y'从上式中解出来，可得:
''''
（1）y=y(lnf(x))即y=f(x)(lnf(x))
对数求导法的实质是将函数f(x)的导数转化为求其对数lnf(x)的导数，这也就是这一方法名字的缘由。那么，f(x)是什么样的函数时，我们采用对数求导法呢？一般地，f(x)若是下面两类函数，在求函数导数时都采用对数求导法。
一、幂指函数
对于幂指函数f(x)的求导，一般我们采用两种方法：一种是将其转化成复合函数，再按复合函数求导法则来求；另一种方法就是对数求导法。在做幂指函数求导中，通过两种方法的对比，很容易发现，前种方法由于要多一步转化，相对第二种就麻烦，而第二种对数求导法就步骤、过程都相对第一种方法要简洁。若直接用（1）式求，还可以免去取对数，求导过程仅需要应用求导公式即可写出幂指函数的导数，方法就更简单。
例1[1]求y=xsin(x&0)的导数。
解法1：在y=xsin的两边取对数得lny=lnxsin=sinxlnx两边对x求导，
1'=sin'xlnx+sinx(lnx)'=cosxlnx+sinxyy
即y'=xsin(cosxlnx+sin)解法2：直接应用（1）式求之
xxsinxsinsin'sinxsinx''
y=x(lnx)=x(sinxlnx)=x(cosxlnx+)二、由多个因子的积、商、幂或根式组成的函数这类函数由于其做同底对数可以写成对数之和、之差及其倍数，因而求函数的导数就可以转化为求各个分项的导数。对这类函数，用对（上接第168页）
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数求导法相对直接求导法要简单。
例2求y=xlnx1-sinx的导数。解：对等式的两边取对数得，
lny=1[lnx+lnlnx+1ln(1-sinx)]
x两边对求导，
'=[++?(-cosx)]yy
1-cosx]即得y'
例3[1]设y=()()()(a&0,b&0)求y。解：对等式的两边取对数得，
lny=ln()()()
xx=aln()+bln(+ln()
=alnb-alnx+blnx-blna+xlna-xlnb对上式两边关于x求导
-aaxbx'
y=y[++lna-lnb]=()()([+ln]从以上几个例子可以看出，利用对数求导法，求这两类函数的导数时，确实非常简单、方便。同时，我们大家也不难发现对数求导法的优点：
(1)当f(x)是幂指函数时，利用直接求导是不太可能的，但通过取对数将其转换成初等函数的形式，利用公式可求出导数。
(2)当f(x)是多个函数的积、商幂或根式的形式时，通过取对数转换成和、差的形式，求导起来就更简单。
有兴趣的读者，也可以想想下面函数的导数。
y=(x-1)(x-2)??(x-2011)
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两边取对数,得㏑y=1/2㏑(x+2)+4㏑(3-x)一5㏑(x+1),然后两边求导,得y'/y=…,后面的你自己会了.
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