闭区间连续函数的性质(转，作者不详)
从直观上理解,连续函数的图像是一条连续不断的曲线,这对于一般初等函数来说都是成立的。而闭区间上的连续函数的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点上,形成一条封闭的曲线,即与直线形成一个或多个封闭的区域。
先看何谓闭区间上的连续函数，连续的定义首先是点连续的定义，即函数在该点处的极限值等于该点处的函数值。若函数该点的极限值不等于函数值,经验告诉我们函数在该点必定断开。而若函数在区间上连续,是指函数在区间的每点都连续,在左端点右连续,右端点左连续。
下面讨论闭区间连续函数的相关性质,并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质。
1、闭区间连续函数在其定义域上有界
闭区间连续函数的图像是封闭的连续不断的曲线,可以想象这条曲线不可能纵向(y轴方向)无限延伸,而开区间上的连续函数可以在端点处无限延伸。
若函数在某点有极限,则在某点附近有界,而连续函数每点的极限都存在,因而在每点的附近都有界。
若命题条件改为开区间,端点处的函数值就像脱缰野马一样，没法控制。由此可见闭区间的条件是必须的。
2、闭区间连续函数必定在定义域上取得最大和最小值
闭区间上的连续函数有界,由确界定理知道该函数必有上下确界。由此可以联想到闭区间上连续函数总能取得最大最小值,分别对应于上下确界。闭区间的作用是令子列的极限值限制在闭区间里面。
3、零点定理
若连续函数的取值可正可负,那么此函数必定存在零点,称之为零点定理。
4、连续函数介值定理。
连续函数在区间内必能取得介于最大值与最小值之间的函数值。
从直观上看来,这是显然的。一条连续变化的曲线必会在某个时刻经过介值点。介值定理是零点定理的直接推论。
有界性,最值定理和介值定理合起来,说明了闭区间上的连续函数其值域也是闭区间,并且函数值能够取遍值域。&
5、闭区间上的连续函数必定一致连续。
一致连续说白了就是自变量无限接近时，对应的函数值也无限接近。一致连续的直观意义,就是函数的图像不会在很小的区间内变化任意大,图像每处切线的斜率不至于任意大。规定一个因变量的变化幅度,则自变量对应的变化幅度不能任意小。
由于一致连续的函数必定连续,故闭区间上的函数,连续跟一致连续是等价的。闭区间上的连续函数有紧致性,即直观理解上的封闭性,所以具有一些开区间上连续函数不具有的性质。反过来,开区间连续函数多了一些不可控的性质,譬如
f(x)=1/x函数图像在端点可以纵向无限延伸,如函数f(x)=(1/x)sin(1/x) ,其图像在端点处无限折曲。这些性质都是由于在自变量很小的变化下,因变量产生了不可控制的变化。这是一致连续的其中一个反面。开区间上一致连续的函数,除了端点外,能不能产生与闭区间连续函数相似的整体性质呢?
先讨论导致连续函数在开区间和闭区间上有相异性质的根本原因。开区间上的连续函数跟闭区间上的连续函数的根本差别在于,其左端点的右极限和右端点的左极限是否存在(开区间函数在端点没有定义,所以只从极限是否存在角度讨论,而不是从是否连续的角度)。开区间的连续函数在端点不存在左(右)极限,所以端点附近的性质如此“顽劣”:可以无限“延伸”,或无限“折曲”。在上文对有界性和介值定理的讨论里面,特别强调了闭区间条件所起的作用。闭区间有紧致性,可以通过相关的几个命题来刻画。而这些性质在开区间函数上不成立的原因,就在于端点处的左(右)极限不存在。因为只要加强开区间连续函数的条件,令左端点的右极限,右端点的左极限都存在,这时补充端点处的定义,令端点处的函数值与极限值相等,就得出一个闭区间的连续函数。这样的开区间连续函数就会在除端点外与闭区间连续函数有相似的整体性质,如有界性,证明和闭区间的几乎一样。而最值对应确界,要么能取得,要么就等于端点的极限值。
回到一开始的讨论,左右端点的极限是否存在和一致连续有什么关系?可以证明,两者之间是等价的。从直观上理解,一致连续把开区间的连续函数的两端给“封闭”了,由此可以看出一致连续和闭区间的紧致性紧密相连。
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高考数学函数的极限与连续性
题目 (选修Ⅱ)第二章极限函数的极限与连续性高考要求　　1了解函数极限的概念　　2掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限　　3了解函数连续的意义，　　4理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质知识点归纳1函数极限的定义:　　(1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a记作：f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a记作f(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a(3)如果f(x)=a且f(x)=a，那么就说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作：f(x)=a或者当x→∞时，f(x)→a2常数函数f(x)=c(x∈R)，有f(x)=cf(x)存在，表示f(x)和f(x)都存在，且两者相等所以f(x)中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限an中的∞仅有+∞的意义3 趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作　　特别地，；4　其中表示当从左侧趋近于时的左极限，　　　表示当从右侧趋近于时的右极限5 对于函数极限有如下的运算法则：如果，那么,　　,　当C是常数，n是正整数时:,这些法则对于的情况仍然适用6 函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，f(x)存在，且f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续7函数f(x)在(a，b)内连续的定义：　　如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数8函数f(x)在［a，b］上连续的定义：　　如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有f(x)=f(a)，在右端点x=b处有f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数9最大值　　f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在点x1处有最大值f(x1)10最小值　　f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在点x2处有最小值f(x2)11最大值最小值定理　　如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值12极限问题的基本类型：　分式型，主要看分子和分母的首项系数；　指数型(型），通过变形使得各式有极限；　根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使得各式有极限；题型讲解　　例1
求下列各极限：　　（1） （；　　（2）（－x）；　　（3） ；　　（4）　　分析：若f （x）在x0处连续，则应有f （x）=f （x0）,故求f （x）在连续点x0处的极限时，只需求f （x0）即可；若f （x）在x0处不连续，可通过变形，消去x－x0因式，转化成可直接求f（x0）的式子　　解:（1）原式＝＝=－　　（2）原式==a+b　　（3）因为=1,而==－1，≠,　　所以不存在．　　（4）原式=＝（cos+sin）＝　　例2 （1）设f（x）=;　　（2）f （x）为多项式,且=1,=5,求f（x）的表达式　　解:（1） f （x）=
（2x+b）=b,　　　　　　f（x）=
（1+2x）=2,　　　当且仅当b=2时, f （x）= f （x）,　　故b=2时,原极限存在　　（2）由于f（x）是多项式,且=1,　　∴可设f （x）=4x3+x2+ax+b（a、b为待定系数）　　又∵=5,　　即（4x2+x+a+）=5,　　∴a=5,b=0, 即f （x）=4x3+x2+5x　　点评:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同　　（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化　　例3 讨论函数f （x）= ?x （0≤x＜+∞）的连续性，并作出函数图象　　分析:应先求出f （x）的解析式，再判断连续性　　解:当0≤x＜1时，f （x）= x=x;　　当x＞1时，f （x）= ?x=?x=－x;　　当x=1时，f （x）=0　　∴f （x）=　　∵f（x）=（－x）=－1,　　f（x）= x=1,　　∴f（x）不存在　　∴f （x）在x=1处不连续，f （x）在定义域内的其余点都连续　　图象如图所示　　点评:分段函数讨论连续性，一定要讨论在"分界点"的左、右极限，进而判断连续性　　例4 （1）讨论函数f（x）=　　（2）讨论函数f（x）=在区间［0,3］上的连续性　　分析：（1）需判断f（x）=f（x）=f（0）　　（2）需判断f（x）在（0,3）上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续　　解:（1）∵f（x）=－1, f（x）=1,　　f（x）≠f（x）,　　∴f（x）不存在∴f（x）在x=0处不连续　　（2）∵f（x）在x=3处无定义,　　∴f（x）在x=3处不连续　　∴f（x）在区间［0,3］上不连续　　例5
设f（x）=当a为何值时,函数f（x）是连续的　　解:f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时,
f（x）=f（0）,　　即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时, f（x）在（－∞,+∞）内是连续的　　点评：分段函数讨论连续性,一定要讨论在"分界点"的左、右极限,进而断定连续性例6 求下列函数的极限：（1）
（2）（3）
（4）解：（1）（2）（3）（4）　　点评：有理分式函数求极限的问题，其解题依据是函数极限的四则运算法则应用极限运算法则必须保证该法则成立的条件，若条件不具备，则需对函数式变形！变形的基本途径有三条：在分式极限中除以的最高次幂；在分式极限中约去可能存在的零因子；当与均不存在时，求时，应该对进行运算例7
讨论下列函数在给定点处的连续性（1），点；（2），点；（3），点解（1）因为在点处无定义，所以在点处不连续　（2）因为当时，，所以又时，，所以所以故不存在，故在点处不连续（3）因为　　　　　　所，　　故在点处连续点评：①连续性定义是判断函数在给定点处是否连续的依据，也可以先作函数的图象，再从图象直观上作出判断，从直观上看，一个函数在-处连续是指这个函数的图象在-处没有中断②在研究分段函数在分段点-处的连续性时，先求在-处的左右极限，再检验其在-处的极限是否存在；若存在，则进一步验证在分段点处的极限值是否与分段点处的函数值相等换言之，判断分段函数-在其分段点-处连续的基本依据是：　　　　例8
函数在闭区间上的最大值是
，最小值是　　分析：由于在闭区间上连续，由图可知，当时，取最小值；当时，取最大值　　点评：求连续函数在给定闭区间上的最大值和最小值的依据是连续函数的最值定理该定理只说明了最值的存在性，在何处获得最值，可结合函数的图象作出判断小结：　　1 f（x）=Af（x）= f（x）=A,　　f（x）=Af（x）=f（x）=A　　2函数f（x）在x0处连续当且仅当满足三个条件：　　（1）函数f（x）在x=x0处及其附近有定义；　　（2）f（x）存在；　　（3） f（x）=f（x0）　　3会熟练应用常见技巧求一些函数的极限　　4 在学习过程中，要弄清函数极限与数列极限的联系与区别，借助于函数图象弄清处连续性的意义　　5函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需给予关注　　6在求函数极限时，需观察，对不能直接求的可以化简后求，但要注意类似于与的区别学生练习　　1f（x）=f（x）=a是f（x）在x0处存在极限的　　A充分不必要条件
B必要不充分条件　　C充要条件
D既不充分也不必要条件　　答案:C　　2f（x）=下列结论正确的是　　A=f（x）
B=2，不存在　　C f （x）≠f （x） D f （x）=0, 不存在　　答案: C　　3函数f（x）在x0处连续是f（x）在点x0处有极限的　　A充分不必要条件
B必要不充分条件　　C充要条件
D既不充分也不必要条件　　答案:A　　4已知函数f (x)是偶函数,且f (x)=a,则下列结论一定正确的是　　A f
B f （x）=a　　C f
D f（x）=|a|　　解析：∵f （x）是偶函数,∴f （－x）=f（x）　　又f （x）=a,
f（－x）=a,
f （x）=f （－x）,　　∴f（－x）= f （x）=a　　答案：B　　5等于　　A
D　　解析:∵=　　答案:A　　6f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件　　A充分不必要
B必要不充分C充要
D既不充分又不必要　　解析：f（x）在x=x0处有定义不一定连续　　答案：A　　7f（x）=的不连续点为　　Ax=0　　Bx=（k=0,±1,±2,...）　　Cx=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,...）　　Dx=0和x=（k=0,±1,±2,...）　　解析：由cos=0,得=kπ+（k∈Z）,∴x=　　又x=0也不是连续点,故选D　　答案：D　　8函数f（x）=则有　　Af（x）在x=1处不连续
Bf（x）在x=2处不连续　　Cf（x）在x=1和x=2处不连续
Df（x）处处连续　　解析：f（x）=0, f（x）=1,　　∴f（x）在x=1处不连续　　答案：A　　9若f（x）在定义域［a,b］上有定义,则在该区间上　　A一定连续 B一定不连续 C可能连续也可能不连续 D以上均不正确　　解析：有定义不一定连续　　答案：C　　10 =________________　　解析: ===3　　答案:3　　11若=2,则a=__________　　解析: =2,∴=2∴a=4　　答案:4　　12已知函数y=f （x）在点x=x0处存在极限,且f （x）=a2－2,f （x）=2a+1,则函数y=f （x）在点x=x0处的极限是____________　　解析:∵y=f（x）在x=x0处存在极限,　　∴f（x）=f（x）,即a2－2=2a+1∴a=－1或a=3　　∴f （x）=2a+1=－1或7　　答案:－1或7　　13若f （x）=在点x=0处连续，则f （0）=______　　解析:∵f（x）在点x=0处连续，∴f （0）=f （x）,　　f （x）= = =　　答案:　　14四个函数:①f（x）=;②g（x）=③f（x）=|x|;④f（x）=ax3+bx2+cx+d其中在x=0处连续的函数是____________（把你认为正确的代号都填上）　　答案：②③④　　15求y=f（x）=的不连续点　　解：易求f（x）的定义域为{x|x≠－1,0,1},所以f（x）的不连续点为x=－1,x=0和x=1　　16设函数f(x)=ax2+bx+c是一个偶函数,且f(x)=0,f(x)=－3,求出这一函数最大值　　解:∵f （x）=ax2+bx+c是一偶函数,
∴f （－x）=f （x）,　　即ax2+bx+c=ax2－bx+c　　∴b=0∴f （x）=ax2+c　　又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=－3,　　∴a=－1,c=1
∴f （x）=－x2+1　　∴f （x）max=f（0）=1
∴f （x）的最大值为1课前后备注