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函数的奇偶性设f(x)为一个实变量实值函数，则f为奇函数若下列的方程对所有实数x都成立：f( -x) = - f(x) 几何上，一个奇函数与原点对称，亦即其图在绕原点做180度旋转后不会改变。奇函数的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。设f(x)为一实变量实值函数，则f为偶函数若下列的方程对所有实数x都成立：f(x) = f( - x) 几何上，一个偶函数会对y轴对称，亦即其图在对y轴为镜射后不会改变。偶函数的例子有|x|、x^2、cos(x)和cosh(sec)(x)。偶函数不可能是个双射映射。函数的周期性狄利克雷函数设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x士l)∈D，且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间，若D为有界的，则改函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函数。
三角函数诱导公式sin（2kπ+α）=sinα cos（2kπ+α）=cosα tan（2kπ+α）=tanα cot（2kπ+α）=cotα sec（2kπ+α）=secα csc（2kπ+α）=cscα sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα sec(π+α)=-secα csc(π+α)=-cscα sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα cot（－α）=－cotα sec(-α)=secα csc(-α)=-cscα sin（π－α）=sinα cos（π－α）=-cosα tan（π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotα sec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα sin（α-π）=－sinα cos（α-π）=－cosα tan（α-π）=tanα cot（α-π）=cotα sec(α-π)=-secα csc(α-π)=－cscα sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=－tanα cot（2π－α）=－cotα sec(2π-α)=secα csc(2π-α)=-cscα sin（π/2+α）=cosα cos（π/2+α）=－sinα tan（π/2+α）=－cotα cot（π/2+α）=－tanα sec(π/2+α)=-cscα csc(π/2+α)=secα sin（π/2－α）=cosα cos（π/2－α）=sinα tan（π/2－α）=cotα cot（π/2－α）=tanα sec(π/2-α)=cscα csc(π/2-α)=secα
sin（3π/2+α）=－cosα cos（3π/2+α）=sinα tan（3π/2+α）=－cotα cot（3π/2+α）=－tanα sec(3π/2+α)=cscα csc(3π/2+α)=-secα sin（3π/2－α）=－cosα cos（3π/2－α）=－sinα tan（3π/2－α）=cotα cot（3π/2－α）=tanα sec(3π/2-α)=-cscα csc(3π/2-α)=-secα对称轴与对称中心y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z)y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z)y=tanx 对称轴：无对称轴：对称中心：（kπ/2，0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]倍角公式sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2 tan(2α)=2tanα/(1-tan²α)cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式根据欧拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式
定义分段函数;对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集.类型1、分界点左右的数学表达式一样，但单独定义分界点处的函数值(例1）2、分界点左右的数学表达式不一样（例2）例子例1 某商场举办有奖购物活动，每购100元商品得到一张奖券，每1000张奖券为一组，编号为1号至1000号，其中只有一张中特等奖，特等奖金额5000元，开奖时，中特等奖号码为328号，那么，一张奖券所得特等奖金y元与号码x号的函数关系表示为0 ,x≠328y={ 5000, x=328例2 某商店卖西瓜，一个西瓜的重量若在4kg以下，则销售价格为0.6元/kg；若在4kg 或4kg 以上，则销售价格为0.8元/kg，那么，一个西瓜的销售收入y元与重量xkg的函数关系表示为0.6x 0〈x〈4y={ 0.8x, x≥4分段函数题型由于课本没有明确给出分段函数的定义，只以例题的形式出现，不少学生对它认识肤浅模糊，以致学生解题常常出错。本段介绍分段函数的若干种题型及其解法，以供大家参考。作图题例1作出函数f(x)=|x+1|+|x-1|的图像。分析：根据北师大版32页例题2知函数f(x)=|x+1|+|x-1|去绝对值符号后就变为分段函数f(x)=|x+1|+|x-1| =这个分段函数有三段，所以这个函数的图像应由三条线组成，其中两边各是一条射线，中间是一条线段。画出图像如图1所示。分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个以上的点。求函数值例2 已知函数f(x)= 求f(3)的值。解：由3∈（－∞，6），知f(3)=f(3+2)=f(5),又5∈（－∞，6）,所以f(5)=f(5+2)=f(7).又由7∈[6，+∞）所以f(7)=7－2=5，因此，f(3)=5。求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。求函数值域例3 求函数f(x)= 的值域。解：当-2≤x≤a时，x2 的取值有三种情形：（1）当-2≤a&0时,有a2≤x2≤4 ；(2)当0≤a≤2时,有0≤x2≤4 ；(3)当a&2时,有0≤x2≤a2
当x&a时，-|x|的取值有两种情形：（1）当-2≤a&0时，有-|x|≤0,（2）当a≥0时，有－|x|&-a 。所以原函数的值域为：（1）当-2≤a&0时,为(-∞,0]∪[a2,4] ；（2）当0≤a≤2时,为(-∞,-a)∪[0,4]；（3）当a&2时,为(-∞,-a)∪[0,a2]求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。函数的奇偶性例4判断下列函数的奇偶性（1）f(x)= （2）f(x)=解：（1）∵当x&0时，-x&0, f(x)=ex ,f(-x)=-e-(-x) =-ex ,即有f(x)=-f(-x),同理，当x&0时，也有f(x)=-f(-x)∴函数f(x）是奇函数。(2)∵当x=0时，f(0)=f(-0)=0 ,当x&0时，-x&0,f(x)=x(1-x) ,f(-x)=-(-x)[1+(-x)]=x(1-x) ,即有f(x)=f(-x),同理，当x&0时，也有f(x)=f(-x).∴函数f(x）是偶函数。判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x&0,-x&0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。函数的单调性例5 讨论函数f(x)= 的单调性。解：当x≥0时，f(x)=-x2+4x-10 ,它是开口向下，对称轴为x=2的抛物线的一部分，因此f(x)在区间[0，2]上是增加的，在区间(2,+∞)上是减少的；当x&0时，f(x)=-x2-4x-10 ，它是开口向下，对称轴为x=-2的抛物线的一部分，因此f(x)在区间[-2，0）上是减少的，在区间(-∞,-2)上是增加的。
分段函数的单调性的判断方法：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即可。求函数的最小正周期求分段函数的最小正周期的方法有：定义法、公式法和作图法。例6 求函数f(x)= 的最小正周期。定义法：当x=2kπ或2kπ+π时，sin(2kπ+π)=sin2kπ=0当2kπ-π&x&2kπ时,2kπ&x+π&2kπ+π,k∈zf(x)=-sinx ,f(x+π)=sin(x+π)=-sinx ,即有f(x+π)=f(x) ，同理可证：当2kπ&x&2kπ+π （k∈z）时，有f(x+π)=f(x) ，所以f(x) 的最小正周期是π。公式法：∵（2kπ-π，2kπ）∪[2kπ，2kπ+π]=R ， （k∈z）x∈（2kπ-π，2kπ）,sinx &0 ,x∈[2kπ，2kπ+π],sinx ≥0 .∴f(x)=|sinx|= =所以f(x) 的最小正周期T= =π作图法:作出函数f(x)的图像如图2所示。由图2知f(x) 的最小正周期是π。 图2求函数的最大（小）值求函数的最大（小）值的方法有：数形结合法、分析综合法。例7 求函数f(x)= 的最大和最小值。解：∵函数f(x)=log2 x 在[1,8]是增加的，最大值是f(8)=3,最小值是f(1)=0。又∵函数f(x)=x+2 在[-8,1)是增加的，最小值是f(-8)=-6且f(x)&3。∴综上，得函数f(x) 的最大值是3 ，最小值是-6。求某条件下自变量的范围例8 函数f(x)=若f(x0)&-3则x0取值范围是______.解：（1）当x0≤-2时，f(x)=x0&-3 ， 此时不等式的解集是（-∞，-3） ；（2）当-2&x0&4时，f(x0)=x&-3 ，此时不等式的解集是 ；（3）当x0≥4时，f(x0)=3x0 &-3 ， 此时不等式的解集是 .所以则x0的取值范围是（-∞，-3）。求某条件下自变量的范围的方法：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可。求自变量的值例9 已知函数f(x)= ,若f(a)=2 ,则实数a的值是______.解：（1）当a≤-3时，f(a)=3a =2 ,3a ≤3= ，此时方程无解；（2）当-3&a&4时，f(a)= a+4 =2 ，解得 a=-2（3）当a≥4时，f(a)= =2 ,解得 a=4 ,∴实数a的值是a=-2 或a=4 。求某条件下自变量的值的方法：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的解，再求它们的并集即可。求函数的表达式例10 求二次函数f(x)=x2-2(2a-1)x+5a2-4a+2在[0，1]上的最小值g(a)的解析式。解：二次函数f(x)=x2-2(2a-1)x+5a2-4a+2=[x-(2a-1)]2+a2+1图像开口向上，对称轴是x=2a-1 .(1)若2a-1&0即a& 时，如图10-1所示二次函数f(x)在[0，1]上的最小值是g(a)=f(0)=5a2-4a+2 ；（2）若0≤2a-1&1即 ≤a&1时,如图10-2所示二次函数f(x)在[0，1]上的最小值是g(a)=f(2a-1)=a2+1；（3）若2a-1≥1即a≥1时,如图10-3所示二次函数f(x)在[0，1]上的最小值是g(a)=f(1)=1-2(2a-1)+5a2-4a+2=5a2-8a+5 .综上所述，二次函数f(x)在[0，1]上的最小值是g(a)=求分段函数的表达式的常用方法有：待定系数法、数形结合法和公式法等。本题采用数形结合法。
简介即√(ab)≤(a+b)/2 (a≥0,b≥0)基本不等式变形 ab≤((a+b)/2)^2a^2+b^2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）证明如果a、b都为实数，那么a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立证明如下：∵（a-b）^2;≥0∴a^2;+b^2;-2ab≥0∴a^2;+b^2;≥2ab如果a、b、c都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c时等号成立如果a、b都是正数，那么（a+b）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b时等号成立。（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号成立。）几何证明：在直角三角形中，∠BAC为直角点D为BC的中点，AE为高，设BE=a，EC=b易证：ΔABE∽ΔACE∴a/AE=AE/b即，AE=√（ab） ①又由于三角形中斜边大于直角边，∴AD&AE ②∵AD=1/2(a+b） ③联合①②③得，1/2(a+b）&√（ab）应用和定积最大：当a+b=S时，ab≤S^2/4（a=b取等）积定和最小：当ab=P时，a+b≥2√P（a=b取等）均值不等式：如果a,b 都为正数，那么√(( a^2+b^2)/2)≥（a+b）/2 ≥√ab≥2/（1/a+1/b)（当且仅当a=b时等号成立。）( 其中√(( a^2+b^2)/2)叫正数a,b的平方平均数也叫正数a,b的加权平均数；（a+b）/2叫正数a,b的算数平均数；√ab正数a,b的几何平均数；2/（1/a+1/b)叫正数a,b的调和平均数。）同向不等式：不等号相同的两个或几个不等式叫同向不等式，例：2x+5&3与3x-2&5是同向不等式异向不等式：不等号相反的两个不等式叫异向不等式。绝对不等式：不等式中对于字母所能取的一切允许值不等式都成立，这样的不等式叫绝对不等式，例：X^2+3&0，√X+1&-1等都是绝对不等式。矛盾不等式：不等式中，对于字母所能取的一切允许值不等式都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式条件不等式：不等式中对于字母所能取的某些允许值不等式能成立面对字母所能取的另外一些允许值不等式不能成立，这样的不等式叫条件不等式。例：3X+5&0 lg－&1等都是条件不等式。推广设a1,a2,a3,……,an都是正实数，则基本不等式可推广为：(a1a2a3a……an))^(1/n)≤(a1+a2+……+an)÷n(当且仅当a1=a2=……an时取等号）
一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为y=f -1(x)。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。定义一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y= g(x)(x∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}, 值域为{0}.）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2））。例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5y=2^x的反函数是y=log2 x例题：求函数y=3x-2的反函数解：y=3x-2的定义域为R，值域为R。由y=3x-2，解得x=(y+2)/3将x，y互换，则所求y=3x-2的反函数是y=(x+2)/3（x属于R）（11）反函数的导数关系：如果x=f(y）在区间I上单调，可导，且f’（y）≠0，那么它的反函数y=f’（X）在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导，且[f‘（x)]'=1\[f’（x）]'。（12）y=x的反函数是它本身。说明⑴在函数x=f^(-1)(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^(-1)(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^(-1)(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。 ⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^(-1)(x)，那么函数y=f’(x)的反函数就是y=f^(-1)(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)互为反函数。
⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数，如二次函数在R内不是反函数，但在其单调增（减）的定义域内，可以求反函数。⑷ 从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^(-1)(x)是**C到**A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的定义域（如下表）：函数：y=f(x)反函数：y=f^(-1)(x) 定义域： A C 值域： C A ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数y=f^(-1)(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数y=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^(-1)(s)=s/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^(-1)(x)=x/2-3. 有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=x+1/x，需将x进行分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a应用直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的：1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域； （我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步） 2、反解x，也就是用y来表示x；3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x； 4、写出原函数及其值域。 实例：y=2x+1（值域：任意实数）x=(y-1)/2y=(x-1)/2（x取任意实数）特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。反函数求解三步骤：1、换：X、Y换位2、解：解出Y3、标：标出定义域
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数学定义空间直线的方向直线方程的几种形式点到直线的距离两条平行线间的距离局限性:两条直线的位置关系数学定义几何学基本概念:从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，二直线平行；有无穷多解时，二直线重合；只有一解时，二直线相交于一点。常用直线与 X 轴正向的 夹角（ 叫直线的倾斜角 ）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。空间直线的方向空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置， 由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。在欧几里得几何学中，直线只是一个直观的几何对象。在建立欧几里得几何学的公理体系时，直线与点、平面等都是不加定义的，它们之间的关系则由所给公理刻画。直线方程的几种形式1：一般式:适用于所有直线Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0)2；点斜式:知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k(x-x0)当k不存在时，直线可表示为：x=x0当k为0时，直线可表示为：y=y03：截距式:不适用范围：任意与坐标轴垂直的直线和过原点的直线知道直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为x/a+y/b=14：斜截式: Y=KX+B (K≠0) 当k&0时，y随x的增大而增大；当k&0时，y随x的增大而减小。两直线平行时 K1=K2两直线垂直时 K1 X K2 = -15：两点式x1不等于x2 y1不等于y2两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)法线式[1]6：法线式： x·cosα+ysinα-p=07：点向式：知道直线上一点(x0,y0)和方向向量（u,v ）(x-x0)/u=(y-y0)/v (u≠0,v≠0)8：法向式：知道直线上一点（x0，y0）和与之垂直的向量（a，b）a（x-x0）+b（y-y0）=0点到直线的距离点P(x0,y0)到直线Ι:Ax+By+C=0的距离点到直线方程d=|Ax0+By0+C|/√A^2+B^2两条平行线间的距离IC1-C2I / √A^2+B^2局限性:各种不同形式的直线方程的局限性：(1)点斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直线；(2)两点式不能表示与坐标轴平行的直线；(3)截距式不能表示与坐标轴平行或过原点的直线；(4)直线方程的一般式中系数A、B不能同时为零．两条直线的位置关系若直线L1:A1x+B1y+C1 =0与直线 L2:A2x+B2y+C2=01. 当A1/A2≠B1/B2时, 相交2.A1/A2=B1/B2≠C1/C2, 平行3.A1/A2=B1/B2=C1/C2, 重合4.A1A2+B1B2=0, 垂直
复合函数定义设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域Dg中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数(composite function)，其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量（即函数）。生成条件不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x）的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ）的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。定义域若函数y=f(u）的定义域是B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R；⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的**，即求各部分定义域**的交集。⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值**的并集。⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空**。⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。周期性设y=f(u)，的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f（μ）的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+）增减性复合函数单调性依y=f(u)，μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”判断复合函数的单调性的步骤如下：⑴求复合函数定义域；⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；⑶判断每个常见函数的单调性；⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；⑸求出复合函数的单调性。例如：讨论函数y=0.8^(x^2-4x+3)的单调性。复合函数的导数解：函数定义域为R。令u=x^2-4x+3,y=0.8^u。指数函数y=0.8^u在（-∞，+∞）上是减函数，u=x^2-4x+3在（-∞,2]上是减函数，在[2,+∞）上是增函数，∴ 函数y=0.8^(x2-4x+3)在（-∞,2]上是增函数，在[2,+∞）上是减函数。利用复合函数(composite function)求参数取值范围求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须将已知的所有条件加以转化。求导复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导法则1：设u=g(x)f'(x)=f'(u)*g'(x)法则2：设u=g(x),a=p(u)f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)例如：1、求：函数f(x)=(3x+2)^3+3的导数设u=g(x)=3x+2f(u)=u^3+3f'(u)=3u^2=3(3x+2)^2g'(x)=3f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)^2*3=9(3x+2)^22、求f(x)=√[(x-4)^2+25]的导数设u=g(x)=x-4,a=p(u)=u^2+25f(a)=√af'(a)=1/(2√a)=1/{2√[(x-4)^2+25]}p'(u)=2u=2(x-4)g'(x)=1f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)=2(x-4)/{2√[(x-4)^2+25]}=(x-4)/√[(x-4)^2+25]
对数函数一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a&0且a不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。对数的公理化定义真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零，底数则要大于0且不为1。对数函数的底数为什么要大于0且不为1？ 【在一个普通对数式里 a&0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义： log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）】通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm)，并且把loge N 记为In N。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a 〉0，a≠ 1时，a^X=N→X=logaN。由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：负数和零没有对数loga 1=0 log以a为底a的对数为1(a为常数)对数的定义和运算性质一般地，如果a（a&0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。底数则要&0且≠1 真数&0并且，在比较两个函数值时：如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a&1时）如果底数一样，真数越大，函数值越小。（0&a&1时）对数的运算性质当a&0且a≠1时，M&0,N&0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）(4)log(a^n)(M)=（1/n）log(a)(M)(n∈R)（5）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b&0且b≠1）(6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明：设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)(7)对数恒等式：a^log（a)N=N;log（a）a^b=b 证明：设a^log（a)N=X，log（a)N=log（a)X，N=X（8）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M ,log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(n/m)log(a)M5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1对数与指数之间的关系对数函数与指数函数互为反函数当a&0且a≠1时，a^x=N x=㏒(a)N关于y=x对称对数函数对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。（1） 对数函数的定义域为大于0的实数**。（2） 对数函数的值域为全部实数**。（3） 函数图像总是通过（1,0）点。（4） a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。（5） 显然对数函数无界。对数函数的常用简略表达方式：（1）log(a)(b)=log(a)(b)（2）lg(b)=log(10)(b)（3）ln(b)=log(e)(b)对数函数的运算性质：如果a〉0，且a不等于1，M&0，N&0，那么：
（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n属于R）（4）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R）对数与指数之间的关系当a大于0，a不等于1时，a的X次方=N等价于log(a)N=xlog(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R）换底公式 （很重要）log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lgaln 自然对数 以e为底 e为无限不循环小数(通常情况下只取e=2.71828)lg 常用对数 以10为底常用简略表达方式（1）常用对数：lg(b)=log(10)(b)（2）自然对数:ln(b)=log(e)(b)通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定（a&0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 关于X轴对称、可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。性质定义域求解：对数函数y=loga x 的定义域是{x ｜x&0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意真数大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需满足{x&0且x≠1} 。{2x-1&0 ，x&1/2且x≠1}，即其定义域为 {x ｜x&1/2且x≠1}值域：实数集R定点：函数图像恒过定点（1，0）。单调性：a&1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸对数的图像0&a&1时，在定义域上为单调减函数，并且下凹。奇偶性：非奇非偶函数，或者称没有奇偶性。周期性：不是周期函数零点：x=1注意：负数和0没有对数。两句经典话：底真同对数正底真异对数负。指数函数的求导:e的定义：e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2....设a&0,a!=1----(log a(x))'=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))=lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))=1/x*log a(e)特殊地，当a=e时，(log a(x))'=(ln x)'=1/x。----设y=a^x两边取对数ln y=xln a两边对求x导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。（1）对数函数的定义域为大于0的实数**。（2）对数函数的值域为全部实数**。（3）函数总是通过（1，0）这点。[1]（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。（5）显然对数函数无界。
函数最值一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。函数最小值设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≥M，②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。函数最大值设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最大值。一次函数最值一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。所以，无论是正比例函数，即：y=ax（a≠0） 。还是普通的一次函数，即：y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意实数），只要x有范围，即z&或≤x&≤m（要有意义），那么该一次函数就有最大或者最小或者最大最小都有的值。而且与a的取值范围有关系当a&0时当a&0时，则y随x的增大而减小，即y与x成反比。则当x取值为最大时，y最小，当x最小时，y最大。例：2≤x≤3 则当x=3时，y最小，x=2时，y最大当a&0时当a&0时，则y随x的增大而增大，即y与x成正比。则当x取值为最大时，y最大，当x最小时，y最小。例：2≤x≤3 则当x=3时，y最大，x=2时，y最小二次函数最值一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。 注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。而二次函数的最值，也和一次函数一样，与a扯上了关系。当a&0时观察右图。当a&0时，则图像开口于y=2x² y=½x²一样，则此时y 有最大值，且y只有最大值（联系图像和二次函数即可得出结论）此时y值等于顶点坐标的y值当a&0时观察右图。当a&0时，则图像开口于y=-2x² y=-½x²一样，则此时y 有最小值，且y只有最小值（联系图像和二次函数即可得出结论）此时y值等于顶点坐标的y值反比例函数最值一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。这反比例函数的最值，实际上，和二次函数、一次函数与a的关系一样，与k的取值范围有关系，然而，它并不像二次函数那样，最值是确定的，而是像一次函数那样，只有当x有取值范围后，最值才能有。当k&0时当k&0时，且x&0时，y随着x的增大而增大。而当k&0时，且x&0时，y随着x的增大而增大。这个是很容易弄混的，应当在草稿本上例题验算一下。当k&0时当k&0时，且x&0时，y随着x的增大而减小。而当k&0时，且x&0时，y随着x的增大而减小。这个同样是很容易弄混的，应当在草稿本上例题验算一下，然后与上面的进行对比
单调函数单调性立足于函数定义域的某一子区间。相对于整个定义域而言，单调性往往是函数的局部性质，而对于这一区间而言，单调性又是函数在这一区间上的“整体”性质。因此定义中的 ,x,y 具有任意性，不能以特殊值代替 。单调函数定义一般地，设函数f(x）的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1&x2时都有f(x1)&f(x2).那么就说f(x）在这个区间上是增函数。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1&x2时都有f(x1)&f(x2).那么就是f(x）在这个区间上是减函数。它必须是在这个定义域上连续不断的函数。性质如果函数y=f(x）在某个区间是增函数或减函数。那么就说函说y=f(x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x）的单调区间，在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。注意：⑴函数的单调性也叫函数的增减性；⑵函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念；增减函数⑶判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤有两种主要方法：定义法a.设x1、x2∈给定区间，且x1&x2.b.计算f(x1)- f(x2）至最简。c.判断上述差的符号。求导法利用导数公式进行求导，然后判断导函数和0的大小关系，从而判断增减性，导函数值大于0，说明是增函数，导函数值小于0，说明是减函数，前提是原函数必须是连续的。补充新叙内容在数学中在有序**之间的函数是单调（monotone）的，如果它们保持给定的次序。这些函数最先出现在微积分中后来推广到序理论中更加抽象结构中。尽管概念一般是一致的，两个学科已经发展出稍微不同的术语。在微积分中，我们经常说函数是单调递增和单调递减的，在序理论中偏好术语单调和反单调或序保持和序反转。一般定义设f: P → Q是在两个带有偏序 ≤ 的** P 和 Q 之间的函数。在微积分中，它们是带有平常次序的实数集的子集之间的函数，但是定义仍保持同更一般的序理论定义一样。函数 f 是单调的，如果只要 x ≤ y，则 f(x) ≤ f(y）。因此单调函数保持次序关系。微积分和实分析中的单调性在微积分中，经常不需要诉诸序理论的抽象方法。如上所述，函数通常是按自然次序排序的实数集的子集之间的映射。受在实数上的单调函数的图的形状的启发，这种函数也叫做单调递增的（或"非递减"的）。类似的，函数叫做单调递减的（或"非递增"的），如果只要 x & y，则 f(x) ≥ f(y），就说它反转了次序。如果把定义中的次序 ≥ 替换为严格次序 &gt；，则得到了更严格的要求。有这样性质的函数叫做严格递增的。还有通过反转序符号，可以得到对应的严格递减。严格递增或递减的函数是一一映射 （因为 &math&a & b&/math& 蕴涵 &math&a \neq b&/math&gt；）。要避免把术语非递减和非递增混淆于严格递增和严格递减。序理论中的单调性在序理论中，不限制于实数**，可以考虑任意偏序**甚至是预序**。在这些情况下上述定义同样适用。但是要避免术语"递增"和"递减"，因为一旦处理的不是全序的次序就没有了吸引人的图像动机。进一步的，严格关系 & 和 & 在多数非全序的次序中很少使用，因此不介入它们的额外术语。单调（monotone）函数也叫做 isotone 或序保持函数。对偶概念经常叫做反单调、antitone 或序反转。因此，反单调函数 f 满足性质x ≤ y 蕴涵 f(x) ≥ f(y），对于它的定义域中的所有 x 和 y。容易看出两个单调函数的复合也是单调的。常数函数是单调的也是反单调的；反过来，如果 f 是单调的也是反单调的，并且如果 f 的定义域是格，则 f 必定是常量函数。单调函数是序理论的中心。它们大量出现于这个主题的文章和在这些地方的找到的应用中。著名的特殊单调函数是序嵌入（x ≤ y 当且仅当 f(x) ≤ f(y) 的函数）和序同构（双射序嵌入）。
二次函数定义二次函数及其图像一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。二次函数的几种表达式一般式y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [-b/2a,(4ac-b^2)/4a]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。顶点式y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。[1]例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)^2+2，把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)^2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，-h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数(16张)∵x+x=-b/a x1·x=c/a（由韦达定理得）∴y=ax^2+bx+c=a（x^2+b/ax+c/a）=a[x^2-(x1+x2)x+x1*x2]=a(x-x1)(x-x2)重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。其他知识介绍：牛顿插值公式f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b^2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。当△=b^2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。当△=b^2-4ac&0时，函数图像与x轴没有交点。二次函数图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。注意：草图要有 :1. 本身图像，旁边注明函数。2. 画出对称轴，并注明直线X=什么 （X= -b/2a）3. 与X轴交点坐标 （x1,0）；（x2,0），交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).轴对称二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
a,b同号，对称轴在y轴左侧a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。开口二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a&0时，二次函数图像向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。决定对称轴位置的因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0 ），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定与y轴交点的因素常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（-h,k)， 与y轴交于（0,C)。与x轴交点个数a&0;k&0或a&0;k&0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。a&0;k&0或a&0,k&0时，二次函数图像与X轴无交点。当a&0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x&h范围内是减函数，在x&h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y&k当a&0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x&h范围内是增函数，在x&h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y&k当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数二次函数的性质x的范围：全体实数y的范围：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 。周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a&0，则抛物线开口朝上；a&0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；⑷Δ=b2-4ac,Δ&0，图象与x轴交于两点：（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ=0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ&0，图象与x轴无交点；特殊地，Δ=4，顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形；Δ=12，顶点与两零点围成的三角形为等边三角形。②y=a(x-h)2+k[顶点式]此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）对称轴X=(X1+X2)/2 当a&0 且X≥(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a&0且X≤（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。增减性当a&0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反当a&0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反两个关联函数图像对称关系
对于一般式：①y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称②y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称③y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx+c-2b^2*|a|/4a^2关于顶点对称④y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称。对于顶点式：①y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称，即顶点（h,k）和（－h,k）关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。②y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称，即顶点（h,k）和（h,－k）关于y轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。③y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称，即顶点（h,k）和（h,k）相同，开口方向相反。④y=a(x-h)^2+k与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称，即顶点（h,k）和（－h,－k）关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。（其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）与一元二次方程的关系特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 顶点坐标 对 称 轴y=ax^2(0，0) x=0y=ax^2+K (0，K) x=0y=a(x-h)^2(h，0) x=hy=a(x-h)^2+k (h，k) x=hy=ax^2+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a当h&0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h&0时，则向左平行移动|h|个单位得到。当h&0,k&0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k（h&0,k&0）的图象当h&0,k&0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x-h)^2+k（h&0,k&0）的图象当h&0,k&0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h&0,k&0）的图象当h&0,k&0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h&0,k&0）的图象在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a&0时，开口向上，当a&0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；(2)当△=b^2-4ac&0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x1-x2| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）当△=0．图象与x轴只有一个交点；当△&0．图象与x轴没有交点．当a&0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y&0；当a&0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y&0。5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a&0(a&0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。
截距式的一般形式　　x/a+y/b=1（a≠0且b≠0）为截距式的一般形式。　　其中a为横截距，b为纵截距，　　即与x轴交点是A(a,0)，与y轴交点是B(0,b) 。　　a是直线与x轴的截距，不能等同于距离。距离一定不为负，但截距可正可负。　　例如:x/(-2)+y/4=1　　表示在x轴上的截距是-2，在y轴上的截距是4　　与x轴交点到原点的距离却是2，与y轴交点到原点的距离是4。　　截距式直线方程的右边必须是1。　　注：　　适用范围：与坐标轴不垂直且不过原点的直线。　　总结:　　对于x/a+y/b=1　　与x轴交点是A(a,0),与y轴交点是B(0,b)　　与x轴的截距是a,与y轴的截距是b　　A到原点的距离是|a|,B到原点的距离是|b|
函数周期性函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期.1.概念的提出：将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），假如存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。“当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达.2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)概念的具体化：当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。T=2kπ(k∈Z且k≠0)所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0)展示正、余弦函数的图象。周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。）强调定义中的“当x取定义域内的每一个值”令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0所以T=0或T=-2x强调定义中的“非零”和“常数”。例:三角函数sin(x+T)=sinxcos(x+T)=cosx中的T取2π3. 最小正周期的概念：对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。）在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。4.例：求下列函数的周期：（1）y=3cosx分析：cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。）（2）y=sin(x+π/4)分析略，说明在x后面的角也不影响周期。（3）y=sin2x分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。）（4） y=cos(x/2+π/4) （分析略）（5）y=sin(ωx+φ) （分析略）结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A0, xR) 的函数的周期为T=2π/ω周期函数性质：（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的**。其他周期函数（非三角函数）Dirchlet函数D(X)={1 X为有理数时{0 X为无理数时复指数函数：y=e^(jwt),其中j为虚数单位，w为任意实数，t为自变量。重要推论1，若有f(x)的2个对称轴x=a,x=b.则T=2|a-b|2，若有f(X）的2个对称中心（a,0）(b,0)则T=2|a-b|3,若有f(x)的1个对称轴x=a,和1个对称中心(b,0)，则T=4|a-b|
偶函数偶函数（Even Function)定义：1、如果知道函数表达式,对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足 f(x)=f(-x) 如y=x²，y=cos x2、如果知道图像,偶函数图像关于y轴（直线x=0）对称.3、偶函数的定义域D关于原点对称是这个函数成为偶函数的必要非充分条件.例如:f(x)=x^2,x∈R(f(x)等于x的平方,x属于一切实数),此时的f(x)为偶函数.f(x)=x^2,x∈(-2,2](f(x)等于x的平方,-2&x≤2),此时的f(x)不是偶函数如图①奇函数（关于原点对称），图②即为偶函数，（关于y轴对称）注意定义域为关于y轴对称，则f(x)=f(-x)一定是是偶函数相关函数：奇函数，非奇非偶函数定义：1、如果知道函数表达式,满足f(x)=f(-x) 如y=x*x，y=Cosx2、如果知道图像,偶函数图像关于y轴（x=0）对称.3、偶函数的定义域必须关于原点对称，否则不能成为偶函数如图（1）奇函数（关于原点对称），图(2)偶函数，（关于y轴对称）关于奇偶函数判断的方法代数判断方法：先判断定义域是否关于原点和Y轴对称，若不对称，即为非奇非偶，若对称，f(-x)=-f(x)的是奇函数 f(-x)=f(x)的是偶函数几何判断方法：关于原点对称的函数是奇函数，关于Y轴对称的函数是偶函数如果f(x)为偶函数，则f(x+a)=f(-x-a)运算方法(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数.(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.(7).奇函数一定满足f(0)=0（因为F（0）这个表达式表示0在定义域范围内，0在定义域范围内，F(0)就必须为0）所以奇函数不一定有f(0)，但有F（0）时F（0）必须等于0，不一定有f(0)=0，推出奇函数，此时函数不一定为奇函数，例f(x)=x^2.（8）定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；——因为定义在R上，所以在x=0点存在f(0)，要想关于原点对称，在原点又只能取一个y值，只能是f(0)=0。（这是一条可以直接拿来用的结论：当x可以取0，f（x）又是奇函数时，f（0）=0）。（9）当且仅当f（x）=0（定义域关于原点对称）时，f（x）既是奇函数又是偶函数。(10) 在对称区间上，被积函数为奇函数的定积分为零。
指数函数单调性简介指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a&1,0&a&1的情况。再讨论g(x)的增减，,然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断！同增同减的规律y=a^x 如果a&1,则函数单调递增,如果0&a&1,则函数单调递减. 1、复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大； 2、复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X。因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大。因此可得“同增” 若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小。反之亦然，因此可得“异减”。
对勾函数定义对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数”所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如f(x)=ax+b/x的函数。由图像得名。图像对勾函数：图像，性质，单调性对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线，y=x。奇偶性与单调性当x&0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a&0，b&0），也就是当x=sqrt(b/a）的时候（sqrt表示求二次方根）奇函数。令k=sqrt(b/a），那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x&0}和{x|0&x≤k} 变化趋势：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。渐近线对号函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支双曲线。均值不等式对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。现在把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。导数求解其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。举几个例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。明白了吧，x为分母的时候可以转化成负指数幂。那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx^-1，求导方法一样，求得的导函数为a+(-b)x^-2，令f'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是x=sqrt(b/a），如果需要的话算出f(x）就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用那个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x，就不能用均值定理了。上述研究都是建立在x&0的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。事实上，利用将对勾函数进行选择可以得到标准的双曲线方程。也就是说，对勾函数是双曲线，这个利用二阶矩阵的变幻也是可以得到的。另外对于二次曲线，他只可能是以下几种情况：圆，椭圆，双曲线，抛物线，或者是两条直线。由对勾函数的图像看出来，非双曲线莫属了。其它解法面对这个函数 f(x)=ax+b/x,我们应该想得更多，需要我们深入探究：⑴它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；⑵函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；⑶众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。
反三角函数为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2&y&π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0&y&π。反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了【arc+函数名】的形式表示反三角函数，而不是f-1(x）。⑴正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。【图中红线】⑵余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。【图中蓝线】⑶正切函数y=tan x在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。【图中绿线】注释：【图的画法根据反函数的性质即：反函数图像关于y=x对称】反三角函数主要是三个：y=arcsin(x），定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]图象用红色线条；y=arccos(x），定义域[-1，1] ， 值域[0，π]，图象用蓝色线条；y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2），图象用绿色线条；y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π），图象无；sin(arcsin x)=x，定义域[-1，1]，值域 [-1，1] arcsin(-x)=-arcsinx证明方法如下：设arcsin(x)=y，则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得其他几个用类似方法可得cos(arccos x)=x，arccos(-x)=π-arccos xtan(arctan x)=x，arctan(-x)=-arctanx公式反三角函数其他公式：cos(arcsinx)=√(1-x^2)arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π-arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π-arccotxarcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=xarcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……（|x|&1) !！表示双阶乘arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……）（|x|&1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……举例当 x∈[-π/2，π/2] 有arcsin(sinx)=xx∈[0，π]， arccos(cosx)=xx∈（-π/2，π/2）， arctan(tanx)=xx∈（0，π）， arccot(cotx)=xx&0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似若 (arctanx+arctany）∈（-π/2，π/2），则 arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))例如，arcsinχ表示角α，满足α∈[-π/2，π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β，满足β∈[0，π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ，满足φ∈（-π/2，π/2)且tanφ=2
刺激人！欺负我数学不好
= =好学术。。。我还以为是函数体。。所以戳进来了，自插双目。。
此等好贴怎么能不顶
艹！手贱了！我的流量！！！！！！！！
编辑本段中创建函数公式 在Microsoft 、等软件插入函数时，一般需要借助其编辑公式功能。以Word文档为例介绍Word中创建函数公式的方法： 第1步，打开2010文档窗口，切换到“插入”功能区。在“符号”分组中单击“公式”按钮（非“公式”下拉三角按钮）。 第2步，在2010文档中创建一个空白公式框架，在“公式工具/设计”功能区中，单击“结构”分组中的“函数”按钮。在打开的函数结构列表中会显示三角函数、、、反双曲函数等多种类型的函数。根据需要选择合适的函数形式（例如选择“正弦函数”）。 第3步，在空白公式框架中将插入函数结构 ，单击占位符框并输入具体函数数值即可。
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