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刘炳初等 《泛函分析》第二版课后习题答案
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刘炳初等 《泛函分析》第二版课后习题答案
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>> 2 赋范线性空间与凸集
第 2 章 赋范线性空间与凸集2.1 赋范线性空间 2.2 凸集 2.3 一些重要例子 2.4 保持凸性的运算 2.5 分离超平面和支撑超平面12.1 赋范线性空间2.1.1 赋范线性空间 2.1.2 开集和闭集 2.1.3 上确界和下确界 2.1.4 序列收敛和完备性 2.1.5 紧性 2.1
.6 Banach 空间22.1.1 赋范线性空间? 线性空间(linear space)/向量空间(vector space) ? 指定义加法和标量乘法的非空集合 X ? 加法(addition) ? ? x, y ? X ， x ? y ? X ? 标量乘法 ? ? x ? X ， ? ? ? ， ? x ? X ??x , y , z ? X ， ? , ? ? ? ，满足：1. x + y = y + x (交换律) 2. 3. 4. 5.(x + y ) + z = x + (y + z ) (结合律)? (x ? y ) ? ? x ? ? y(? ? ? ) x ? ax ? ? x(?? ) x ? ? ( ? x ) (结合律)36． ?0 ? X ， x + 0 = x 7．对 ?x ? X ， ?y ? X ， x +y = 0 8． 1x ? x ? ? 线性空间在加法和标量乘法下是闭的(closed)。 线性空间的元素称为向量(vector)。4例 2.1 一些线性空间 ?N 维实向量空间或 N 维欧氏空间：所有 N 维实向量的集合?N? 所有实数序列的集合 ? x1 , x2 ,..., xn ,?? ， ?xn ? ? ? 所有多项式 x ? a0 ? a1t ? a2t 2 ? ? ? a N t N 的集合。5?消费集(例 1.1)和生产可能性集(例 1.2)本身不是线 性空间。?但它们都是线性空间 ? N 的子集，并且都从其母空 间中继续了许多线性特征。6例 2.2 (总需求和总供给) ? ?M 个消费者，每个消费者 m 购买消费组合 x m总需求(aggregate demand) x ? ?M其中对每种商品 n ，对它的总需求 xn ? xn ? ? ? xn1M其中 xn 是消费者 m 对商品 n 的需求。m? ? ?K 个厂商，每个厂商 k 的净产出向量为 y k总供给(aggregate suppley) y ? y ? ? ? y1 K均衡要求总需求等于总供给，即 x ? y?意味着: xn ? ? ? xn ? yn ? ? ? yn 或者: x n ? y n1 M 1 K7?范数(norm) ? 实值函数 ? : X ? ? 称为范数 ? ?x, y ? X ， ? ? ? ， 满足：1. 非负性(positivity)： x ? 0 2. 严格非负性(strict positivity)： x ? 0 ? x ? 0 3. 齐次性(homogeneity)： ? x ?| ? | x 4. 三角不等式(triangle inequality)： x ? y ? x ? y? 范数用来衡量向量的大小，符号 ? 表明范数是实 数集 ? 上绝对值的推广。8?度量(metric) d ( x , y ) ? x ? y ? ? 符合距离函数的要求 即对 ? x , y , z ? X ，满足：1. 非负性(positivity)： d ( x, y ) ? 0 2. 严格非负性(strict positivity)： d ( x, y ) ? 0 ? x ? y 3. 对称性(symmetry)： d ( x, y ) ? d (y , x) 4. 三角不等式(triangle inequality)： d ( x, z ) ? d ( x , y ) ? d ( y , z )? 集合 X 加上其度量 d 称为度量空间(metric space)， 表示为 (X , d ) 。9例 2.3 范数的一些例子 ? ?? 上的绝对值欧几里德（Euclidean）或 l2 ? 范数x 2 ? ? xT x ?1/ 22 ? ? x12 ? ? ? xn ?1/2Cauchy-Schwarz 不等式： x, y ? ? ， x y ? xNT2y 2。?绝对值之和或 l1 ? 范数x 1 ? ? xnn ?1N?Chebyshev 范数或 l? 范数x?? max ? xn ?n ?1N10?上述三个范数都属于 l p ? 范数x的特例，其中 p ? 1 。 ? ?p? N p? ? ? ? xn ? ? n ?1 ?1/ pp ? 1 ? l1 ? 范数； p ? 2 ? 欧几里德范数?x ? ? N , lim xp ??p? max ? xn ?n ?1N11例 2.4 生产计划 y ? ? y1 ,?, yN ? 的“大小 ” 的测量y 1 ? ? ynn ?1Ny2? y??yn ?1 nN2 n? max yn12?赋范线性空间(normed linear space) ? 定义在范数之上的线性空间 X?本书涉及的三类赋范线性空间 ? ? ?N 维实向量空间 ? N M ? N 阶实矩阵空间 ? M ?NS ? ? M 上的有界、连续的实值函数空间 C ( S )?f ??? , g ??? ? C ? S ? ,? ? ? ? f ??? ? g ??? ，x ? S 处的函数值为 f ( x ) ? g ( x )? ? f ? ? ? 在 x ? S 处的函数值为 ? f ( x )13例 2.5 (空间 l? )一生的消费路径选择问题 ? ? ? ? ? 一种商品， xt ? ? 表示 t 期时对该商品的消费量 设消费者是长生不老的 消费者计划 x ? ( x1 , x2 ,...) 消费集 X ? ( x1 , x2 ,..., xt ,...) xt ? ? ，它是一个线性空间 每期消费受资源限制： | xt |? K 。 结合范数 x ? max xn ，它成为赋范线性空间 l? 。n??? ?在这一范数中，任意消费计划的规模是任一时期最大的计 划消费的绝对值14? 子空间(subspace) ?Y ? X ， Y 称为 X 的子空间 ? ? x , y ? Y ， ? ? ?? x ? y ? Y ， ? x ?Y?每个赋范线性空间 X 都有两个平凡子空间： ?0? 和X 。15例 2.6 ? 的子空间 ? ? ? ? 原点 {0} 所有经过原点的直线 所有经过原点的平面3?3 本身例 2.7 次数小于 N 的多项式 设 Pn 表示所有次数小于 N 的多项式，由于加法和标量乘法 不会提高多项式的次数，因此，集合 Pn 是所有多项式的集合 P 的子空间。16?非空集合 S ? X ，跨度：?N ? span ? S ? ? ?? ? n x n ? n ? ?, x n ? X ? ? n?1 ?? 设 B 是子空间 Y 的子集，如果 B 中没有真子集具有跨 度这一性质，则称 B 是子空间 Y 的基(base)。 ? ? ? 基的元素是线性无关的 除 {0} 外，子空间 Y 通常有很多不同的基。 若 Y 有一个由有限个元素组成的基，则所有基都 有相同数目的非零元素，这一数目称为子空间的 维(dimension)。 若子空间没有有限基，则它是无限维的。?17例 2.8 ? 的标准基 ? 单位向量的集合Ne1 ? (1, 0, 0,..., 0) e 2 ? (0,1, 0,..., 0) e3 ? (0, 0,1,..., 0) ?? ?? e n ? (0, 0, 0,...,1)称为 ? 的标准基。 ? 每一向量 x ? ? x1 , x2 ,? , xN ? 都有唯一表达式：Nx ? ?1e1 ? ? 2e 2 ? ? ? ? N e N?1 ? x1 , ? 2 ? x2 ,?, ? N ? xN18? ?N? N 是具有许多可能的基的 N 维空间任意 K ? ? N ? 个线性无关的 N 维向量的跨度形成? 的 K 维子空间。192.1.2 开集、闭集和紧集? 开球(open ball)Br (x 0 ) ? x ? X d (x, x 0 ) ? x ? x 0 ? r??20例 2.9 ? 中的单位球 ? 单位球(unit ball) B ? x ? ? 2 || x || ? 1 ? ? ? 欧几里德或 l2 ? 范数：圆形2??l? ? 范数：正方形l1 ? 范数，单位球是菱形的21?S 是 x 0 的邻域 ? S ? X 包含 x 0 的开球， x 0 称为 S 的内点(interior point)? ? ?内部(interior) int S ? S 中所有内点的集合S 是开的(open) ? S ? int S S 是闭的(closed) ? S c 是开的。22例 2.10 开球是开集图 2.4 开球是开集?? N 中的开集和闭集具有如下事实：? ? 任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。 任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。24?边界点(boundary point) ?x 0 是 S ? X 的边界点 ? x0 ? X 的每个邻域既包含S 中的点也包含 S c 中的点? 边界(boundary) ?( S ) 是所有边界点的集合图 2.5 ? 2 中的内点和边界点25?闭包(closure) S ? int S ? ?S ? ?S ??S ? ? ? S 开S ? S ? S 闭。26例 2.10 (闭球) 闭球 Cr ( x ) ? {x ? X : ? ( x, x ) ? r} 是闭集。0 0例 2.11 (单位球面)单位球 B1 (0) 的边界是S1 ? 0 ? ? x ? X d ? x, 0 ? ? 1 ，称为单位球面(unit sphere)。2 ? 2 中单位球面是 S1 (0) ? {x ? ? 2 : x12 ? x2 ? 1} ，它是集 2 合 B1 (0) ? {x ? ? 2 : x12 ? x2 ? 1} 的边界。??27例 2.13 效率生产?生产计划 y ? Y 是有效率的(efficient) ? 不存在可行计划y? ? Y ， y ′ ? y , y ′ ≠ y?Eff (Y ) -有效率的生产计划的集合Eff ?y? ? ? y|y ′ ? y, y ′ ≠ y ? y ′ ? Y?? ?Y 的每个内点都是非效率的Eff (Y ) ? ?Y?Eff (Y ) 通常是 b(Y ) 的真子集282.1.5 上确界和下确界? X ? ? ， a 是 X 的上界(upper bound) ? ?x ? X ， x ? a ? X 的上界的集合 ? ??? (此时称 X 无上界)整个 ? (仅当 X =? 时) 闭的无界区间 [b , ? ) 上确界(supremumin) sup X? ? ? ?集合 X ? ? 的最小上界；X 向上无界，则取 sup ? ? ?? ，而 sup X ? ?当 sup X ? X 时，称 X 取得(或达到)上确界。29?X ? ? ， a 是 X 的下界(upper bound) ? ?x ? X ，a ? x。? ? ? ? 下确界(infimum) inf X 集合 X ? ? 的最大下界；X 向上无界，则取 inf ? ? ? ，而 inf X ? ??当 inf X ? X ，称 X 取得(或达到)上确界。302.1.4 序列收敛和完备性? ?m ? N 中的序列(sequence) {x m }? m ?1 或 {x }m??lim x m ? x 或 x m ? x ? ?? ? 0 ， ?M? ? ? ， m ? M ?? || xm ? x ||? ? 。?x 称为 {xm } 的极限点(limit point)或极限(limit)31?序列 {xm } 收敛 ? 极限惟一x1|| xm ? x ||? ?x2xmx图 2.6 序列收敛32?柯西序列(Cauchy sequence) ? ? 极限点 x 的候选点不易得时，一般采用柯西准则。{xm } 为柯西序列 ? ?? ? 0 ， ?M? ? ? ， m, n ? M ? ? || xm ? xn ||? ? 。?每个收敛的序列都是柯西序列。33?S 有界(bounded) ? 直径 d ( S ) ? sup ?d ( x, y ) x, y ? S ? 有限，即 d ( S ) ? ? 。?柯西序列 {xm } 有界，这意味着，每个收敛序列都有界。34?在一些度量空间中，柯西序列不会收敛于空间中的元 素。为此，我们有：?定义 2.4 (完备度量空间) 如果集合 X 中的每个柯西序 列都收敛于 X 中的一个元素，则称度量空间( X , d )是 完备的(complete)。?基本事实 具有度量 d ( x, y ) ?| x ? y | 的实数集 ? 是一个 完备的度量空间。35?子序列(subsequence) ? 给定序列 xm ，设有一个严格递增函数 m ? k ? ， 它将每个正整数 k 分配给一个正整数 m ? k ? ，则序 列 x? ?? ? ?? 称为 ?x ? 的子序列(subsequence)。mkm?紧度量空间 ? 度量空间 X 是紧的(compact) ? X 中的每个序列 都有收敛子序列 ? 紧集闭而有界362.1.4 Banach 空间? ? ?Banach 空间 ? 完备的赋范线性空间? N 是典型的有限维赋范线性空间定理 2.2 有限维赋范线性空间的性质：(1) 它是完备的； (2) 定义于其上的所有范数都是等价的； (3) 子集是紧集，当且仅当它是闭而有界的。372.2 凸集2.2.1 仿射集 2.2.2 凸集 2.2.3 凸锥382.2.1 仿射集?x1 , x2 ? ? N ， x1 ? x 2 ， ? ? ? ，形为 y ? ? x1 ? (1 ? ? )x2的点形成经过 x1 和 x 2 的直线。 ? ? ?? =0 对应于 y ? x2 ? =1 对应于 y ? x1? ? [0,1] 对应于 x1 和 x 2 之间的线段。39?y ? x2 ? ? (x1 ? x2 )?y 是基点 x 2 (对应于 ? =0 )和用 ? 缩放的方向x1 ? x2 (由 x 2 指向 x1 )之和。?? 给出了点 y 所在的从 x 2 到 x1 的部分路径。图 2.7 直线和线段40?x ? ?N 是仿射的(affine) ? ?x1 , x2 ? X ， ? ? ? ，? x1 ? (1 ? ? )x2 ? X? 形为 ?1x1 ? ? ? ? K x K 的点称为点 x1,?, x K 的仿射组合(affine combination)，其中 ?1 ? ? ? ? K ? 1 。?仿射集包含它的点的每一种仿射组合，即如果 X 是仿 射集， x1,?, x K ? X ， ?1 ? ? ? ? K ? 1 ，则?1x1 ? ? ? ? K x K 也在 X 中41?仿射集 X 可表示为子空间 V 加上偏移量(offset) x 0 ：X ? V ? x0 ? ?v ? x0 v ? V ? ， ?x 0 ? X?X 是仿射集 ? V ? X ? x0 ? ?x ? x0 x ? X ? 是 X 的子空间。42例 2.13 线性方程组的解集 ? 线性方程组的解集 X ? x Ax ? b 是仿射集，其中矩阵??A ? ? m?n ，向量 b ? ? m 。证明：设 x , x ? X ，即 Ax1 ? b ， Ax 2 ? b ，则对1 2?? ? ? ，有A ?? x1 ? (1 ? ? ) x 2 ? ? ? Ax1 ? (1 ? ? ) Ax 2 =? b ? (1 ? ? )b =b这意味着仿射组合 ? x ? (1 ? ? )x 也在 X 中。1 2? ?与仿射集 X 相联系的子空间是 A 的零空间，即 x Ax ? 0 。 反命题也成立：每个仿射集都可表示为线性方程组的解集。??43?仿射包(affine hull) aff X ?x ? ?N 中的点的所有仿射组合的集合affX ? ?1x1 ? ? ? ? K x K x1 ,? , x K , ?1 ? ? ? ? K ? 1??? 仿射包是包含 X 的最小仿射集：如果 S 为 任意满足 X ? S 的仿射集，则 aff X ? S 。442.2.2 凸集? 集合 X 是凸的(convex) ? ?x1 , x2 ? X ， ? ? [0,1] ，? x1 ? (1 ? ? )x2 ? X? 每个仿射集都是凸的凸集非凸集非凸集图 2.8 ? 2 中的凸集与非凸集45?形为 ?1x1 ? ? ? ? K x K 的点称为点 x1 ,..., xk 的凸组合(convex combination)，其中 ?1 ? ? ? ? K ? 1 ，?k ? 0, k ? 1,?, K? ? ? 注意，仿射组合没有这一非负性要求 集合是凸的 ? 它包含其元素的所有凸组合。 凸组合可以视为点的混合或加权平均(mixture orweighted average)，其中 ? k 是 x k 的权重。46例 2.14 (消费集) 消费集指所有可行消费组合的集合(例 1.1)。 如果 x 和 y 是两种消费组合，它们加权平均 ? x ? (1 ? ? )y 是另一 消费组合。消费集 X 是 ? N ? 的凸子集。47例2.15 ( 投入要求集) ? 投入要求集为 V ( y) ， x 和 x 是生产 y 的两种不同方式。 问题：能否将两种生产过程联合起来，并且仍生产 y ，1 2?? x1 ? (1 ? ? )x2 ?V ( y) ？? ?V ( y) 为凸集，则答案为是。生产者理论一般假设 V ( y) 是凸集，此时，称技术是凸的。48?X 的凸包(convex hull )convX ? ?1x1 ?? ? ?K xK xk ? X ,?k ? 0, k ? 1,?, K ,?1 ??? ?K ? 1???凸包 conv X 是包含 X 的最小凸集(a)(b)图 2.9 ? 2 中的凸包492.2.3 凸锥? ? 集合 X 为锥(cone) ? ?x ? X ， ? ? 0 ，有 ? x ? X 。X 是凸锥(convex cone) ? X 既是锥又是凸集，即?x1 , x2 ? X ， ?1 , ? 2 ? 0 ， ?1x1 ? ? 2 x 2 ? X图 2.10 凸锥50?形为 ?1x1 ? ? ? ? k x k 的点称为点 x1 ,..., xk 的锥组合(conic combination)，其中 ?i ? 0, i ? 1,..., k?集合 X 是凸锥 ? X 包含其元素的所有锥组合。51例 2.16 (凸技术)技术的典型假设是： (1)加法： Y ? Y ? Y ; (2)规模报酬不变：对 ?? ? 0, ? Y ? Y 加法要求生产过程是独立的。同时，通常的假定意味着生产 可能性集是一个凸锥。对技术来说，凸性的要求比较严格。52?集合 X 的锥包(conic hull)?? x ? ? ? ? x1 1 kkxi ? X , ? i ? 0, i ? 1,..., k??锥包是包含 X 的最小凸锥图 2-8 锥包532.3 一些重要例子2.3.1 超平面与半空间 2.3.2 欧几里德球、赋范球和赋范锥 2.3.3 多面体54?凸集的一些简单的例子 ? 空集 ? 、任意单点集 {x0 } 以及整个空间 ? N 是? N 的仿射子集，从而是 ? N 的凸子集。? 任意直线都是仿射集，如果它经过 0 ，那么它 是子空间，因而凸锥。 线段是凸集，但不是仿射集，除非它缩减为一 点。 形为 ?x 0 ? ? v ? ? 0, v ? 0? 的射线是凸集，但不 是仿射集。如果基点 x 0 ? 0 ，则它是凸锥。 ? 任意子空间都是仿射集和凸锥(因而是凸集)。??552.3.1 超平面与半空间? 超平面(hyperplane) ? ? ??x a x ? b? ， a ? ?TN，a ? 0 ，b?? 。线性方程组的解集，从而是仿射集。 法向量(normal vector)为 a 的超平面，常数 b ? ? 决定着超平面和原点之间的偏移：?x a (x ? x ) ? 0?T 0其中 x 是超平面上的任意点： a T x 0 ? b056??x a (x ? x ) ? 0? ? xT 00? a?? ?a ? ? v aT v ? 0??超平面由偏移 x 0 加上与法向量 a 正交的所有向量 组成图 2.12 ? 2 中的超平面57例 2.18 竞争性厂商的净收入函数 H p (c) ? y ? Y | ?p (y ) ? c 是 包含常数利润为 c 的生产计划的超平面，有时称为等利润线 (isoprofit lines)??58?(闭)半空间(halfspace)??x a x ? b? 其中 a ? 0T半空间是凸集，但不是仿射集。图 2.14 ? 2 中的半空间59?半空间的另一表示： x aT (x ? x 0 ) ? 0 ， a T x 0 ? b ? 解释：半空间由 x 0 加上与(外向法)向量 a 的夹角 成钝角或直角的任意向量组成??图 2.15 由 aT (x ? x0 ) ? 0 决定的半空间60? ?半空间的边界为超平面 x aT x ? b??开半空间(open halfspace) x aT x ? b 为半空间???x a x ? b? 的内部T612.3.2 欧几里德球、赋范球和赋范锥? 欧几里德球(Euclidean ball)，简称球：Br (x c ) ? x || x ? x c ||2 ? r ? x ( x ? x c )T (x ? x c ) ? r 2?? ??其中 r ? 0 ， x c 是中心，标量 r 为半径。 ? 欧几里德球的另一表达式Br ( xc )= ?x c ? ru || u ||2 ? 1?? ? 欧几里德球是凸集 赋范球(norm ball) x || x ? x c ||? r 是凸集??622.3.3 多面体? 多面体(polyhedron)T P ? x aT m x ? bm , m ? 1,? , M , cl x ? d l , l ? 1,? , L??? ?多面体是有限个半空间和超平面的交集 仿射集(如子空间、超平面、直线等)、射线、线 段和半空间都是多面体。 多面体是凸集?63图 2.13 多面体64?多面体的简单表达P = ?x Ax ? b , C x ? d?其中T T ? a1 ? ?c1 ? ? ? ? ? A ? ? ? ? ，C ? ? ? ? ? aT ? ?cT ? ? m? ? p?652.4 保持凸性的运算2.4.1 交 2.4.2 仿射函数662.4.1 交? ? ? 两个凸集之交是凸集 任意凸集之交是凸集 子空间、仿射集和凸锥在任意个交下也是闭的。 ? 如：多面体是半空间和超平面(它们都是凸集)之 交，因而是凸集。672.4.2 仿射函数? 函数 f ? ? ? : ? N ? ?M 是 仿射的 (affine) ? f ( x ) ? Ax ? b ， 其中 A ? ? M ?N , b ? ? M ? 集合 S ? ? N 是凸的， f ? ? ? : ? N ? ?M 是仿射的 ?f ( S ) ? ? f (x) x ? S ? 是凸的。? f ? ? ? : ?K ? ?M 是仿射的 ? f ?1 ( S ) ? ?x f ( x) ? S ? 是凸的。68?例子 ? 缩放(scaling)和移动(translation) ? 集合 S ? ? N 是凸的， ? ? ? ， u ? ? N ? 集合? S 和 S ? u 是凸的其中 ? S = ?? x x ? S ? ， S ? u ? ?x ? u x ? S ?69?两个集合的和S1 ? S 2 ? ?x ? y x ? S1 , y ? S 2 ?? ?S1 和 S 2 是凸的 ? S1 ? S2 是凸的S1 和 S 2 是凸的 ? 笛卡尔乘积(Cartesian product)S1 ? S 2 ? (x1 , x 2 ) x1 ? S1 , x 2 ? S 2 是凸的???集合 S1 ? S 2 在函数 f ( x1 , x 2 ) ? x1 ? x 2 下的像是 S1 ? S270例 2.20 (多面体) 多面体 P = x Ax ? b , C x ? d? 可表示为 ? M ? 和 原点的笛卡尔乘积在仿射函数 f ( x ) ? ? b ? A x , d ? C x ? 下的逆像??x Ax ? b, Cx ? d? = ?xf ( x) ? ? m ? ? {0}?712.5 分离超平面和支撑超平面2.5.1 分离超平面定理 2.5.2 支撑超平面722.5.1 分离超平面定理? 分离超平面定理(separating hyperplane theorem) 凸集 C ? D ? ? ? ?a ? 0 ， b ? ? ， ?x ? C ，a T x ? b ； ?x ? D ， a T x ? b?超平面 x aT x ? b 称为 C 和 D 的分离超平面??(separating hyperplane)。图 2.17 分离超平面73?一种特殊情形时的证明 设集合 C 和 D 的(欧几里德)距离d (C , D ) ? inf ?|| u ? v ||2 u ? C , v ? D?为正数，且 ?c ? C , d ? D 达到最小距离： ||c ? d ||2 ? d (C, D) 定义： a ? d ? c, b ?2 || d ||2 2 ? || c ||2 2我们将证明仿射函数f (x) ? aT x ? b ? (d ? c)T (x ?d?c ) 2在 C 在非正，而在 D 上非负，即超平面 x aT x ? b 分离 C 和 D 。这一超平面与 c 和 d 之间的线段垂直，并且经过其 中心，如图 2.18。74??图 2.18 分离超平面的构造 先证明 f 在 D 上非负，关于 f 在 C 上非正的证明相似。 假设存在点 u ? D ，满足：c?d? ? f (u) ? (d ? c)T ? u ? ??0 2 ? ? (2.4)则 f (u) 可表示为：75d?c ? 1 ? T f (u) ? (d ? c)T ? u ? d ? ? ? (d ? c) (u ? d) ? d ? c 2 ? 2 ?2 2式(2.4)意味着 (d ? c)T (u ? d) ? 0 。于是，d d ? t (u ? d ) ? c dt2 2 t ?0? 2(d ? c)T (u ? d) ? 0 ，因此对一些很小的 t ? 0, t ? 1 ，我们有d ? t (u ? d) ? c 2 ? d ? c2也即，点 d ? t (u ? d ) 比 d 更靠近 c 。由于 D 是凸集并且包 含 d 和 u ，因此， d ? t (u ? d ) ? D 。但这是不可能的，因 为 d 被假设为 D 中最靠近 C 的点。762.5.2 支撑超平面? 设 X ? ? N ， x 0 ? ?X 。 a ? 0 ， ?x ? X ， a T x ? a T x 0 ， 则超平面 x aT x ? aT x 0 称为 X 在点(supporting hyperplane)。??? X 边界点2内点的支撑超平面?几何解释：超平面 x aT x ? aT x 0 与 X 相切于点 x 0 ， 并且半空间 x aT x ? aT x 0 包含 X 。如图 2.20。????图 2.20 超平面 x aT x ? aT x 0 在点 x 0 处支撑 X77???支撑超平面定理(supporting hyperplane theorem)0对任意非空凸集 X 和任意边界点 x 0 ? ?X ，在点 x 处 存在 X 的支撑超平面。 ? 如果 X 的内部非空，通过对集合 {x0 } 和 int X 应用 分离超平面定理，结果立即可得 ? 如果 X 的内部为空，则 X 必然位于维数小于 N 的仿射集上，并且任意包含仿射集的超平面包含X 和 x 0 ，从而为(平凡)支撑超平面。78?正规化(normalization) ? 超平面 H ? p ? ? c ? ? x ? ? N ?pT x ? ? c ???H p ? c ? ? x ? ? N pT x ? c? 正规化??? 选择 c ? 1,|| p ||? 1 ，或者 ? 对某些 n, pn ? 179
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在数据区 定义无符号X,Y,Z 3个单元 ，若X&Y则Z=1；若X=Y则Z=2；若X&Y则Z=3 请写出详细的程, 分支程序设计
在数据区 定义无
分支程序设计
在数据区 定义无符号X,Y,Z 3个单元 ，若X&Y则Z=1；若X=Y则Z=2；若X&Y则Z=3 请写出详细的程 请在线的大哥哥姐姐们 帮帮我吧~~问题补充：
是汇编语言 好像是8086什么的 就是像下面这样的data
segmentmain
cs:code,ds:datastart:
z,2retmain
start jueleizhiwu222 分支程序设计
在数据区 定义无符号X,Y,Z 3个单元 ，若X&Y则Z=1；若X=Y则Z=2；若X&Y则Z=3 请写出详细的程
数据区的我不会就会c语言......写下来给你参考
一般思考的内容相同吧~!在你的那个程序当中加下面的应该可以吧我才学几天...不懂double bijiao(int x,y,z){
if(x&y) z=1;
else if(x==y) z=2;
ret憨互封就莩脚凤协脯茅}
你把上面的函数调用就可以了
= =意思是VB还是C还是其他？Let X and Y be vectors in R^3 which are non-collinear with the origin,and let Z be a vector in R^3 that does not lie on the plane spanned by X and Y.Then it is possible to express any other vector V in R^3 as a linear combination of X,Y,and Z.
毁灭系577252
因为X与Y线性无关,且Z不能由X与Y线性表示,故X,Y,Z线性无关,它们构成R3中的极大无关组,从而可以表示R3中任意一个向量.
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我们是向量x和y在R^3种non-collinear的来源，是向量Z在R^3不在飞机上的X和Y就有可能表达的任何其他途径V在R^的线性组合3个X，Y及Z
http://bishopw.loni.ucla.edu/air5/homogenous.htmlsee above website X'= [rotation matrix + translation matrix] X Y'
扫描下载二维码考点：交、并、补集的混合运算
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分析：根据题中的新定义，结合所给的条件，可得结论．
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点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．
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