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初中数学 圆 教案
教学设计示例1 　　教学目标：　　（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；　　（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；　　（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．　　教学重点：　　正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．　　教学难点：　　对定理的理解以及定理的证明方法．　　教学活动设计：　　（一）观察、分析、归纳：　　观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？　　2．正方形的边、角各有什么性质？　　归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．　　教师组织学生进行，并可以提问学生问题．　　（二）正多边形的概念：　　（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．　　（2）概念理解：　　①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）　　②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？　　矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．　　（三）分析、发现：　　问题：正多边形与圆有什么关系呢？　　发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．　　分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？　　（四）多边形和圆的关系的定理　　定理：把圆分成n(n≥3)等份：　　(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；　　(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．　　我们以n=5的情况进行证明．　　已知：⊙O中，
，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．　　求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；　　（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．　　证明：（略）　　引导学生分析、归纳证明思路：　　弧相等 　　说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．　　(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．　　(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．　　（五）初步应用　　P157练习　　1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么?　　2．求证：正五边形的对角线相等．　　3．如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形．　　（六）小结：　　知识：（1）正多边形的概念．（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．　　能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力　　（七）作业 教材P172习题A组2、3．教学设计示例2　　教学目标：　　（1）理解正多边形与圆的关系定理；　　（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；　　（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；　　（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；　　教学重点：　　理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．　　教学难点：　　对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．　　教学活动设计：　　（一）提出问题：　　问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？　　（二）实践与探究：　　组织学生自己完成以下活动．　　实践：1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？　　2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？　　探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？　　探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点．)　　（2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？ 　　（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？　　（三）拓展、推理、归纳：　　（1）拓展、推理：　　过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．　　
　　 & 同理，点E在⊙O上．　　所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．　　因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆．　　（2）归纳：　　正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上　　 它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．　　 其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．　　 正五边形的各顶点共圆．　　 正五边形有外接圆．　　 圆心到各边的距离相等．　　 正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．　　照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．　　定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．　　正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于 ．　　（3）巩固练习：　　1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．　　2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．　　3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．　　4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．　　（四）正多边形的性质：　　1、各边都相等．　　2、各角都相等．　　观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？　　3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．　　4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．　　5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．　　以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神．　　（五）总结　　知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；　　（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质．　　能力：探索、推理、归纳等能力．　　方法：证明点共圆的方法．　　（六）作业& P159中练习1、2、3．教学设计示例3　　教学目标：　　（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；　　（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；　　（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．　　教学重点：　　综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归．　　教学难点：综合运用知识证题．　　教学活动设计：　　（一）知识回顾　　1．什么叫做正多边形？　　2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？　　3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)　　4．正n边形的每个中心角都等于 ．　　5．正多边形的有关的定理．　　（二）例题研究：　　例1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．　　已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’．　　求证：五边形ABCDE是正五边形．　　分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．　　 教师引导学生分析，学生动手证明．　　证法1：连结OA、OB、OC，　　∵五边形ABCDE外切于⊙O．　　∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，　　又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．　　∴∠BAO=∠OCB．　　又∵OB=OB　　 ∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理& BC=CD=DE=EA．　　∴五边形ABCDE是正五边形．　　证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则　　OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．　　∠B=∠C
．　　同理&
，　　即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点．所以五边形ABCDE是正五边形．　　 反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点．由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”．　　 此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。　　拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．　　求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）　　分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法．　　拓展2：已知：如图，同心圆⊙O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N．　　求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）　　学生独立完成证明过程，对B、C层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬．　　例2、已知：正六边形ABCDEF．　　 求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．　　作法：1过A、B、C三点作⊙O．⊙O就是所求作的正六边形的外接圆．　　2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆．　　用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆．　　练习：P161　　1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．　　2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是，举出一个反例．　　(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形；　　(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形．　　3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆．　　（三）小结　　知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法．　　能力与方法：重点复习了正多边形的判定．正多边形的外接圆与内切圆的画法．　　（四）作业　　教材P172习题4、5；另A层学生：P174B组3、4．探究活动　　折叠问题：（1）想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形．　　（提示：①对折；②再折使A、B、C分别与O点重合即可）　　（2）想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形．　　（提示：可以．主要应用把一个直角三等分的原理．参考图形如下：　　①对折成小正方形ABCD；　　②对折小正方形ABCD的中线；　　③对折使点B在小正方形ABCD的中线上（即B’）；　　④则B、B’为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形．） 　　探究问题：　　（安徽省2002）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：　　甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；　　乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形,&&& 形，
，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；　　丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能也 是正多边形．　　(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．　　(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证)．　　(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明)．　　（1）[说明]　　（2）[证明]　　（3）[猜想]　　解：（1）由图知∠AFC对
，而∠DAF对的
．所以∠AFC=∠DAF．　　同理可证，其余各角都等于∠AFC．所以，图1中六边形各内角相．　　（2）因为∠A对
，又因为∠A=∠B，所以
．　　同理
．所以　七边形ABCDEFG是正七边形．　　猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，……时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形．初中数学解题中《圆》中易错问题例析　
　　林郑娜
　　(福建省漳州市第八中学 福建漳州 363000)
　　摘 要:圆作为数学中的重要内容,由于其多解性和解题的灵活性,导致了不少学生在解题的过程中容易出错。为了有效的提高数学圆的质量,减少学生在解题中的错误,应当加强对圆解题过程中的错题分析,通过总结、归纳提高学生的解题效率。
　　关键词:初中数学 解题 分析
文献标识码:A
文章编号:14)05(b)-0074-02
　　解题作为活动的基本形式和重要内容,对学生数学概念的掌握以及数学公式的应用等都具有一定的考察意义。通过数学解题活动,使学生在解题的过程中能够了解和掌握数学解题思想和技巧,同时也培养了学生的智力,对于学生数学能力的发展和提高都具有重要的意义。在中学数学的教学过程中都配置了相当数量的题目,这也是学生理解和掌握数学知识的钥匙。
　　在求解初中圆的问题中,由于圆的特殊性质,容易出现双解或者多解的现象,许多学生在求解的过程中往往容易忽略,导致了出现解题错误的现象。通过对圆教学过程中的错误习题分析,发现部分学生对于圆的概念和性质掌握的不够透彻,当题目变化时学生有可能难以全面的认识问题。垂径定理作为圆形教学过程中的重要知识点,部分学生在应用的过程中容易遗漏推论中的相关条件。在利用三点来确定圆时,很多学生往往忽略了对三点是否在同一直线上进行判断,忽略了发散思维的作用。同时圆中的线段、角以及弧度等不同类型的知识比较多,对于学生的要求比较高,如果学生对其中某个知识点不能熟练掌握,那么在解决等圆或者同圆中利用弦来判断圆周角的时候容易忽略掉互补的情况。圆的不同线段的条件不同,所以其解题的方法也存在着巨大的不同。例如对于圆的切线来说,它应当满足直线要经过圆上的点,而且直线能够垂直于经过该点的半径,如果忽略了其中的一个条件就不能进行判断。特别地,圆知识的灵活性进一步的提高了其解题的难度,例如在计算和圆相关的位置问题时,圆的相离――内含、外离,以及相切――内切、外切,特别容易忽略其中的一种;同时在两个圆的相交问题中,也容易忽略到其中的一种条件。对于初中数学圆的知识比较复杂的情况,数学教师在教学的过程中应当加强对学生的引导,使学生能够养成自觉总结、归纳的习惯,保证会的题目能够作对、做全。
　　在求解圆和其内的两条平行线之间的距离时,要注意平行线在圆心同侧和异侧的情形,否则容易发生漏解的现象。例1:在一个直径为25 mm的圆中,弦AB=20 mm,弦CD=24 mm,而且AB和CD平行,现在求线段AB和CD之间的距离。
　　错解:如图1,过点O作OM和AB垂直相交于点M,同时交CD于N,然后连接OB、OD,那么可以得到OB=OD,由于AB=20,CD=24,所以可以得到BM=10,DN=12。
　　在直角三角形OBM和ODN中,可以得到OB2=OM2+BM2,OD2=DN2+ON2。
　　所以可以得到OM=7.5,ON=3.5。从而可以得出MN=OM-ON=4。
　　通过检查此题的解题步骤,没有发现错误的情况,但是由于原题中没有给出具体的图形,所以还可能存在AB和CD处于圆心O异侧的情况,造成了漏解的现象,如图2所示。
　　此时,当AB和CD处于圆心O异侧时,过点O作OM和AB垂直相交于点M,ON垂直CD于N,然后连接OB、OD,可以根据直角三角形的性质得到OM=7.5,ON=3.5,那么根据图形可以得到MN=11。所以AB和CD之间的距离为4 mm或者11 mm。
　　例2:已知两圆半径分别为4和5,其中相交圆的公共弦长为6,请求出这两个圆的圆心距。
　　在本题中两个圆相交时需要考虑到公共弦长和圆心距以及半径之间的关系,主要是关于公共弦和两个圆心之间的位置关系。在这种情况下可以分为两种情况,当两个圆心在公共弦的两侧时,或者两圆心在公共弦的同侧时,本题在解答的过程中就忽略了后一种情况。当圆心在公共弦的同侧时,如图4所示。
摘自： 　　
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本试卷为&的课后测试题
单选题(本大题共小题，
1.(本小题12分)
如图,在平面直角坐标系中,⊙P与x轴相切于原点O,平行于y轴的直线交⊙P于M,N两点.若点M的坐标是(2,-1),则点N的坐标是(
坐标与图形性质&
2.(本小题12分)
如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(3,a)(a>3),半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为,则a的值是()
坐标与图形性质&
3.(本小题12分)
如图,在平面直角坐标系中有一正方形AOBC,反比例函数经过正方形AOBC对角线的交点,半径为()的圆内切于△ABC,则k的值为()
待定系数法求反比例函数解析式&
正方形的性质&
三角形的内切圆与内心&
4.(本小题12分)
如图所示,在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,O是AB的中点,⊙O与AC、BC分别相切于点D、E,点F是⊙O与AB的一个交点,连接DF并延长交CB的延长线于点G,则BG的长是()
切线的性质&
相似三角形的判定和性质&
5.(本小题12分)
如图,点D、E分别在∠ABC的边BC、AB上,过D、A、C三点的圆的圆心为E,过B、E、F三点的圆的圆心为D,如果∠CAB=54°,设∠ABC=θ,那么θ=()
等边三角形的性质&
6.(本小题12分)
如图,半圆O的直径AB=5,两弦AC、BD相交于点E,弦CD=,且AC=4,则CE等于()
圆周角定理&
相似三角形的判定和性质&
7.(本小题14分)
在△ABC中,∠BAC=45°,∠ACB=60°,AC=4,P是BC边上的一个动点,以AP为直径的⊙O分别交AB、AC于点E和点F.P在BC边上运动的过程中,EF的最小值为()
圆周角定理&
解直角三角形&
8.(本小题14分)
如图,AB为半圆O的直径,AD、BC分别切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,AD与CD相交于D,BC与CD相交于C,连接OD、OC,对于下列结论:①OD2=DE&CD;②AD+BC=CD;③OD=OC;④=CD&OA;⑤&DOC=90&,其中正确的是( )
切线的性质&
相似三角形的判定和性质&
上一讲:&&&&&
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