同时带有英标 e 的单词 e^x和 x^n的积分怎么解？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-10-19 01:32 标签： x n e x 积分
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这个里边没有题主的积分，我加上。 原因一句话概括： 原函数不能用初等函数表示
谢邀。&br&&br&如其他答主所说，这是一个特殊函数，那便没有了继续算下去的动力。不过，让我加点东西。&br&&br&假设&img src=&///equation?tex=S_n+%3D+%5Cint+dx+%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%5En%7D& alt=&S_n = \int dx \frac{e^x}{x^n}& eeimg=&1&&，那题主要算的是&img src=&///equation?tex=S_1& alt=&S_1& eeimg=&1&&。用局部积分法，可知&br&&img src=&///equation?tex=S_n+%3D+%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%5En%7D+%2B+n+S_%7Bn%2B1%7D& alt=&S_n = \frac{e^x}{x^n} + n S_{n+1}& eeimg=&1&&，即&img src=&///equation?tex=S_1+%3D+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28n-1%29%21+%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%5En%7D+%2B+C& alt=&S_1 = \sum_{n=1}^{\infty} (n-1)! \frac{e^x}{x^n} + C& eeimg=&1&&&br&&br&但这个series是否存在？那要看看&img src=&///equation?tex=S_%7B%5Cinfty%7D& alt=&S_{\infty}& eeimg=&1&&是怎样，那即是要看看&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&的范围是什麽。&br&&br&如果看&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D& alt=&\frac{e^x}{x}& eeimg=&1&&本身，当&img src=&///equation?tex=x+%5Crightarrow+%5Cinfty& alt=&x \rightarrow \infty& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D+%5Crightarrow+%5Cinfty& alt=&\frac{e^x}{x} \rightarrow \infty& eeimg=&1&&；当&img src=&///equation?tex=x+%5Crightarrow+-%5Cinfty& alt=&x \rightarrow -\infty& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D+%5Crightarrow+0& alt=&\frac{e^x}{x} \rightarrow 0& eeimg=&1&&；当&img src=&///equation?tex=x+%5Crightarrow+0%5E%7B%2B%7D& alt=&x \rightarrow 0^{+}& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D+%5Crightarrow+%5Cinfty& alt=&\frac{e^x}{x} \rightarrow \infty& eeimg=&1&&；当&img src=&///equation?tex=x+%5Crightarrow+0%5E%7B-%7D& alt=&x \rightarrow 0^{-}& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D+%5Crightarrow+-%5Cinfty& alt=&\frac{e^x}{x} \rightarrow -\infty& eeimg=&1&&。&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D& alt=&\frac{e^x}{x}& eeimg=&1&&的最小点在&img src=&///equation?tex=x%3D1& alt=&x=1& eeimg=&1&&。可以画一图品尝。这个不定积分应该没有closed form的了。
谢邀。 如其他答主所说，这是一个特殊函数，那便没有了继续算下去的动力。不过，让我加点东西。 假设S_n = \int dx \frac{e^x}{x^n}，那题主要算的是S_1。用局部积分法，可知 S_n = \frac{e^x}{x^n} + n S_{n+1}，即S_1 = \sum_{n=1}^{\infty} (n-1)! \frac…
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五道口工科狗求不定积分∫e^(-x^2)dx
∫e^(-x^2)dx=(-1/2)∫de^(-x^2)/x=(-1/2)e^(-x^2)/x -(1/2)∫e^(-x^2)dx/x^2
=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3+(1/4)∫e^(-x^2)d(1/x^3)
=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3-(1/8)e^(-x^2)/x^4+(1/8)∫e^(-x^2)d(1/x^4)x^2=t
∫e^(-x^2)d(1/x^4)
=∫e^(-t)d(1/t^2)=e^(-t)/t^2+∫e^(-t)dt/t^2=e^(-t)/t^2-e^(-t)/t-∫e^(-t)dt/te^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+..+x^n/n!e^(-t)=1+(-t)+(-t)^2/2!+(-t)^3/3!+..+(-t)^n/n!∫e^(-t)dt/t=lnt-t -t^2/(2*2!)-t^3/(3*3!)-..-t^n/(n*n!)所以∫e^(-x^2)dx=(-1/2)e^(-x^2)/x-(1/4)e^(-x^2)/x^3-(1/8)e^(-x^2)/x^4+(1/8)e^(-x^2)/x^4-(1/8)e^(-x^2)/x^2-(1/8)[ln(x^2)-x^2-(x^2)^2/(2*2!)-(x^2)^3/(3*3!)-..-(x^2)^n/(n*n!)]
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求解∫e^(-x)x^ndx=?令F(n)=∫e^(-x)x^ndx (Fn中的n表示下标)∵Fn=-∫x^nd(e^(-x))=[-e^(-x)x^n]│+n∫e^(-x)x^(n-1)dx (应用分部积分法)=nF(n-1)∴得到递推公式F(n)=nF(n-1)∴F(n)=nF(n-1)=n(n-1)F(n-2)=.=n(n-1)(n-2).2*1*F(0)=n!*F(0)∵F(0)=∫e^(-x)dx =[-e(-x)]│=1∴F(n)=n!*F(0)=n!*1=n!故∫e^(-x)x^ndx=n!.
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