分享给朋友：把视频贴到Blog或BBS&&通用代码: <input id="link4" type="text" class="form_input form_input_s" value="" />复 制flash地址: 复 制html代码: <input type="text" class="form_input form_input_s" id="link3" value="" />复 制分享视频到站外获取收益&&手机扫码分享视频二维码2小时内有效南开大学 抽象代数1下载至电脑扫码用手机看用或微信扫码在手机上继续观看二维码2小时内有效南开大学 抽象代数1扫码用手机继续看用或微信扫码在手机上继续观看二维码2小时内有效，扫码后可分享给好友没有优酷APP？立即下载请根据您的设备选择下载版本
药品服务许可证(京)-经营-
节目制作经营许可证京字670号
请使用者仔细阅读优酷、、
Copyright(C)2016 优酷
不良信息举报电话:&#xe621; 上传我的文档
&#xe602; 下载
&#xe60c; 收藏
该文档贡献者很忙，什么也没留下。
&#xe602; 下载此文档
正在努力加载中...
《抽象代数》练习题库
下载积分：500
内容提示：《抽象代数》练习题库
文档格式：DOC|
浏览次数：184|
上传日期： 08:16:10|
文档星级：&#xe60b;&#xe60b;&#xe60b;&#xe612;&#xe612;
该用户还上传了这些文档
《抽象代数》练习题库
官方公共微信【抽象代数】 06 - 理想与直和 - 卞爱华 - 博客园
1. 同态与理想
　　同态定理和正规子群在分析群的结构中起到了重要的作用，我们可以对环进行同样的讨论。若环\(R_1\)到另一个系统\(R_2\)有映射\(f:R_1\mapsto R_2\)，满足公式（1），这样的映射称为同态映射。若映射为满的，则称\(R_1,R_2\)同态，记作\(R_1\sim R_2\)。容易证明\(R_2\)也是环，且\(R_1\)的零元、负数、单位元、逆元、可交换等性质都会映射到\(R_2\)中，但零因子却不一定保持。
\[f(a+b)=f(a)+f(b);\quad f(ab)=f(a)f(b)\tag{1}\]
　　&&求证：\(Z_m\sim Z_n\)的充要条件是\(n\mid m\)。
　　在群中已经知道，任何同态映射都对应于一个正规子群（同态核），同样环同态的研究可以等价到对同态核的研究。和群一样，环同态的同态核就是\(R_2\)中零元素的原像。容易证明同态核是一个子环，正如正规子群的特殊性一样，它也不是普通的子环。考虑零元素的归零性，同态核一定满足以下条件。一般地，环\(R\)中的加法子群\(N\)如果满足以下右边一式，它称为环的左（右）理想，两式都满足的叫理想，记作\(N\trianglelefteq R\)，容易证明理想（包括左右理想）都是子环。
\[n\in N,\: r\in R\quad\Rightarrow\quad rn\in N,\:&nr\in N\tag{2}\]
　　由定义知理想首先是加法群的子群，故它在加法下是正规子群。容易证明，加法群里到正规子群陪集的同态映射在环里也是同态映射（乘法封闭），故环的每个同态映射也与环的理想一一对应，理想担当起了正规子群的作用。和正规子群一样，理想不具有传递性，即理想的理想不一定是理想。容易证明，理想的交集还是理想，循环环的任何子环都是它的理想。对一般环\(R\)，显然\(Ra\)和\(aR\)分别是它的左右理想。
　　理想是一种特殊的子环，每个环\(R\)都有\(\{0\}\)和\(R\)两个平凡理想，其它理想叫真理想，没有真理想的环叫单环。从理想的定义知，对任何\(n\in N\)有\(nR\subseteq N\)，相比较群来看，这个结构是&坍塌&的，由此联想到单环和&好&的环之间一定有什么关系。好的环当然是指乘法形成群的除环和域，若它们有非零理想\(N\)，由\(aa^{-1}=1\)知\(1\in N\)，从而\(N=R\)，也就是说除环和域必定是单环。
　　对于任何环\(R\)，因为\(Ra\)是它的左理想，如果\(R\)没有非平凡的左理想，则\(Ra\)为\(R\)或\(\{0\}\)。如果存在\(Ra=\{0\}\)，容易证明\(a\)的生成环为理想，从而该生成环就是\(R\)，它是一个零乘环。反之如果\(Ra=R\)总成立，即一次方程\(ya=b\)总有解，故\(R\)是一个除环。综合以上讨论，如果环没有非平凡的左理想（或右理想），它要么为零乘环，要么为除环。
　　&&若\(H\trianglelefteq&N\trianglelefteq&R\)且\(N\)有单位元，求证\(H\trianglelefteq R\)；
　　&&求证：仅有有限个理想的整环是域。（提示：考察所有左理想\(Ra\)）
　　从前面的讨论已经知道，环\(R\)的理想\(N\)的所有陪集形成一个环，它与以理想为核的同态映射的像同构，被称为商环，记作\(R/N\)。与群论中一样，这个结论称为环的同态定理，它是解析环结构的基本工具。环的同态定理同样可以得到它的三个同构定理，它们与群的同构定理非常类似，就不多做说明了。
　　（1）第一同构定理：\(R/\text{Ker}\:f\cong f(R)\)；
　　（2）第二同构定理：\(N\trianglelefteq R,\:H\leqslant R\quad\Rightarrow\quad (H+N)/N\cong H/(H\cap N)\)；
　　（3）第三同构定理：\(H,N\trianglelefteq R,\:N\subseteq H\quad\Rightarrow\quad R/H\cong (R/N)/(H/N)\)。
　　&&讨论高斯整环在主理想\(\langle m+ni\rangle\)下的商群，证明其有\(m^2+n^2\)个元素，并列出代表元。（提示：先从虚数分大类，再讨论整数类）
2. 特殊理想
2.1 主理想
　　对于环的任何子集，我们可以用它来生成最小的环和理想。容易证明，元素\(a\)生成的加法子群是个循环环，所以它就是\(a\)的生成子环。由元素\(a\)生成的理想叫一个主理想（Principal Ideal），记作\(\langle a\rangle\)，下面来看看主理想的结构。首先主理想中一定包含\(a\)生成的加法群\(\{na\}\)，要求它是理想就必须包含\(Ra,aR\)，在加法的封闭性下它们具有统一格式\(ax+by+na\)。接下来根据乘法的封闭性知，其中还必须包括\(RaR\)，它的统一格式被扩展为\(ax+by+na+\sum{x_kay_k}\)。现在你可以证明，这种形式的所有元素构成一个理想，故它就是\(a\)生成的主理想。
\[\langle a\rangle=\{ax+by+na+\sum_{k=1}^{m}{x_kay_k}\}\tag{3}\]
　　总结就得到主理想的每个元素具有式（3）的形式，其中\(m,n\)整数（构造步数是有限的）。在特殊情况下，会有更简单的表达式，请自行推导。比如如果乘法可交换，则形式变为\(ax+na\)。当有单位元时，表达式可统一为\(\sum\limits_{k=1}^{m}{x_kay_k}\)。既可交换又有单位元，则简化为\(ax\)。特别地，循环环的每个理想都是主理想。
　　现在再来看由多个元素生成的环，它的结构形式是复杂的，但对理想却又比较好的结果。首先用归纳法容易证明，如果\(R_k\)为理想，则\(\sum{R_k}\)也为理想。这样对于任何子集\(\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)，\(\langle a_1\rangle+\langle a_2\rangle+\cdots+\langle a_n\rangle\)是一个理想，而且显然它由\(\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)生成的最小理想，从而有下式成立。
\[\langle a_1,a_2,\cdots,a_n\rangle=\langle a_1\rangle+\langle a_2\rangle+\cdots+\langle a_n\rangle\tag{4}\]
2.2 素理想和极大理想
　　我们已经提到过，一般的环其实很不&完美&，有时候我们更希望研究的是整环、单环、除环或域。借助于同态定理，可以尝试取适当的理想，将商环变得&完美&一点。首先来考虑商环\(R/N\)是整环的情景，整环首先无零因子，如果有\((a+N)(b+N)=N\)，则其中必有一个为\(N\)。展开后就得到，如果有\(ab\in N\)，则必定有\(a\in N\)或\(b\in N\)。当然整环还要求可交换，在一个交换环中，满足以下条件的理想叫素理想。容易证明，交换环的商群\(R/N\)是整环的充要条件是\(N\)为素理想。
\[ab\in N\quad\Rightarrow \quad a\in N\:\vee\: b\in N\tag{5}\]
　　根据第三同构定理，要使\(R/N\)为单环，必须不能有比\(N\)更&大&的理想。准确的定义是：如果\(N\ne R\)，且除\(N,R\)外没有包含\(N\)的理想，则\(N\)称为\(R\)的极大理想。比较显然，\(N\)为极大理想的充要条件是为\(R/N\)为单环。综合前面单环的结论可知，如果\(R\)有单位元，则\(R/N\)为除环的充要条件是\(N\)为极大理想，加上可交换的条件，结论就对域也成立了。
　　&&求证：\(Z\)的全部素理想为\(\{0\}\)和\(\langle p\rangle\)；
　　&&求证：\(Z\)的极大理想只有\(\langle p\rangle\)。
3. 直和分解
　　在群论中我们看到，直积分解是解构群的最好的方法，这个思想同样可以应用到环中。对环\(R_1,R_2,\cdots,R_n\)，容易证明集合\(R=\{(a_1,a_2,\cdots,a_n)\mid a_k\in R_k\}\)在以下运算下也形成环，\(R\)一般称为\(R_1,R_2,\cdots,R_n\)的外直和。\(R\)的理想\(R'_k=\{(0,\cdots,0,a_k,0\cdots,0)\mid a_k\in R_k\}\)与\(R_k\)同构，且\(R=R'_1+R'_2+\cdots+R'_n\)，而且每个元素的和分解是唯一的。
\[(a_1,a_2,\cdots,a_n)+(b_1,b_2,\cdots,b_n)=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)\tag{6}\]
\[(a_1,a_2,\cdots,a_n)\cdot(b_1,b_2,\cdots,b_n)=(a_1b_1,a_2b_2,\cdots,a_nb_n)\tag{7}\]
　　鉴于以上讨论，当环\(R\)有理想\(R_1,R_2,\cdots,R_n\)满足：（1）\(R=R_1+R_2+\cdots+R_n\)；（2）\(R\)中的任何元素\(a\)可以唯一表示为\(a=a_1+a_2+\cdots+a_n,(a_k\in R_k)\)。则称\(R\)为\(R_1,R_2,\cdots,R_n\)的内直和，简称直和，记作\(R_1\oplus R_2\oplus\cdots\oplus R_n\)。
　　定义中第二个条件有更容易使用的等价形式，一个是零元素的表示法唯一，另一个是每个直和项的独立性（公式（8））。第二个等价条件说明了直和项的无关性，即\(R_i\cap R_j=\{0\}\)，如果有\(a_i\in R_i,b_j\in R_j\)，则\(a_ib_j\in R_i+R_j\)，所以\(a_ib_j=0\)。进一步如果\(a,b\)有直和分解\(a=a_1+\cdots+a_n,b=b_1+\cdots+b_n\)，可以有公式（9）成立，即任何元素的运算都能映射到各个直和项中。直和分解是一种无关性分解，它将大的环分解为无关的小环来研究。
\[R_k\cap (R_1+\cdots+R_{k-1}+R_{k+1}+\cdots+R_n)=\{0\}\tag{8}\]
\[ab=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\tag{9}\]
3.2 理想与直和
　　直和分解使得我们可以在更小的理想中分别讨论环的性质，现在来看看一般理想与直和分解的关系。首先考虑直和项的理想\(N\trianglelefteq&R_k\)，则对任意\(n\in N\)，有\(nR=n(N_1+\cdots+N_n)=nN_k\in N\)，同理有\(Rn\in N\)。从而有\(N\trianglelefteq R\)，即直和项的理想也是直和的理想。由这个结论很容易有，直和项的理想\(N_k\trianglelefteq R_k\)的直和也是\(R\)的理想（公式（10））。
\[N_1\oplus N_2\oplus\cdots\oplus N_n\trianglelefteq R\tag{10}\]
　　反之对任何一个理想\(N\trianglelefteq&R\)，\(N_k=N\cap R_k\)也是理想，那么\(N\)是否是\(N_k\)的直和呢？本质上只要证明任何\(n\in N\)，它的直和分解满足\(n_k\in N\)。要使得这个性质成立，需要借助单位元\(1_k\)，\(n_k=1_kn\in N\)，故可以假设\(R\)存在单位元，使得反命题成立，因为单位元的直和分解便得到\(R_k\)的单位元。
　　现在的问题自然是，什么样的环有直和分解？如何进行直和分解？假设\(R\)的特征为\(n\)，且有互质分解\(n=n_1n_2\)，我们希望\(R\)可以分解为特征值分别为\(n_1,n_2\)的直和项。由于\(n_1,n_2\)互质，则存在\(sn_1+tn_2=1\)，考察集合\(R_1=\{sn_1a\mid a\in R\}\)和\(R_2=\{tn_2a\mid a\in R\}\)。首先容易证明它们都是理想，再由于\(a=sn_1a+tn_2a\)，故有\(R=R_1+R_2\)。假设\(a\in R_1\cap R_2\)，则容易有\(n_1a=n_2a=0\)，进而得到\(a=0\)，所以\(R_1\cap R_2=\{0\}\)，从而\(R=R_1\oplus R_2\)。
　　最后来计算\(R_1,R_2\)的特征\(m_1,m_2\)，根据\(R_1,R_2\)的定义先有\(m_1\leqslant n_1,m_2\leqslant n_2\)，再由\(n\)是\(R\)特征有\(m_1m_2\geqslant n\)，从而\(m_1=n_1,m_2=n_2\)。至此结论得证，如果对\(n\)进行素数分解\(n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_m^{\alpha_m}\)，就可以将环分解为幂次特征的直和项（公式（11））。
\[R=R_1\oplus R_2\oplus\cdots\oplus R_m,\quad\text{Char}\,R_k=p_k^{\alpha_k}\tag{11}\]
3.3 直和的应用
　　先来粗略讨论一下环的存在性，显然任何阶的交换环都是存在的，比如\(Z_n,Z\)。哈密尔顿环给出了无穷阶非交换环的例子，我们现在想知道有限阶的非交换环存在吗？在群论中我们知道，任何有限交换群都可以按不变因子进行直和分解。对于环\(R\)的加法也有\((R,+)=\langle b_1\rangle\oplus\cdots\oplus\langle b_m\rangle\)，其中\(|b_k|\mid |b_{k+1}|\)。如果\(n=|R|\)不含高于一次的因子，则\(R=\langle b_1\rangle\)为循环环，从而是可交换的。这样就知道，一个非交换环必定是含有有平方因子\(n=n_1^2n_2\)。
　　反之对这样的\(n\)，其实也是可以构造出一个非交换环的，我们只需构造出一个非交换的\(n_1^2\)阶环，它与任何\(n_2\)阶环的直和便是\(n\)阶非交换环。对于一个\(n_1\)阶环R，考察二元组\((x,y)\)集合，定义加法和乘法如下，容易证明该集合在定义的加法和乘法下构成非交换环。至此就得到了有限阶非交换环存在的充要条件是，环的阶含有平方因子。
\[(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2),\quad (x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_2+y_2)(x_1,y_1)\tag{12}\]
　　最后我们用环的语言来描述&中国剩余定理&，回顾定理的内容：若\(m_1,m_2,\cdots,m_n\)互质，则方程组\(x\equiv a_k\pmod{m_k},(k=1,2,\cdots,n)\)在模\(m_1m_2\cdots m_n\)下有且仅有一个解。站在环的角度，\(m_k\)的同余类是一个主理想环，因此考察环\(R\)的理想\(I_1,I_2,\cdots,I_n\)。\(m_i,m_j\)互素可以说成是\(I_i\oplus I_j=R\)，而要证的结论则是公式（13）。
\[R/\cap I_k\cong R/I_1\times R/I_2\times\cdots\times R/I_n\tag{13}\]
　　首先容易验证\(R\to R/I_1\times R/I_2\times\cdots\times R/I_n\)是同态映射，如果能证明它是满射，由同态基本定理可以得到结论。证明方法和初等数论中本质是一样的，我们需要为每一维构造\(r_k=(\cdots,0,a_k,0\cdots)\)。这个条件等价于\(r_k\in a_k+I_k\)且\(r_k\in (\prod{I_i})/I_k\)，或者说\(R=I_k+(\prod{I_i})/I_k\)。如果环有单位元，该等式可以从\(R=I_i+i_j\)轻易推得，故结论得证。&&&&抽象代数(数学教材pdf)
&抽象代数(数学教材pdf)
抽象代数，包含有群（group)、环(ring)、Galois理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
若举报审核通过，可奖励20下载分
被举报人：
举报的资源分：
请选择类型
资源无法下载
资源无法使用
标题与实际内容不符
含有危害国家安全内容
含有反动色情等内容
含广告内容
版权问题，侵犯个人或公司的版权
*详细原因：
VIP下载&&免积分60元/年（1200次）
您可能还需要
Q.为什么我点的下载下不了，但积分却被扣了
A. 由于下载人数众多，下载服务器做了并发的限制。若发现下载不了，请稍后再试，多次下载是不会重复扣分的。
Q.我的积分不多了，如何获取积分？
A. 获得积分，详细见。
完成任务获取积分。
论坛可用分兑换下载积分。
第一次绑定手机，将获得5个C币，C币可。
关注并绑定CSDNID，送10个下载分
下载资源意味着您已经同意遵守以下协议
资源的所有权益归上传用户所有
未经权益所有人同意，不得将资源中的内容挪作商业或盈利用途
CSDN下载频道仅提供交流平台，并不能对任何下载资源负责
下载资源中如有侵权或不适当内容，
本站不保证本站提供的资源的准确性，安全性和完整性，同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
课程资源下载排行
您当前C币：0&&&可兑换 0 下载积分
兑换下载分:&
消耗C币:0&
立即兑换&&
兑换成功你当前的下载分为 。前去下载资源
你下载资源过于频繁，请输入验证码
如何快速获得积分？
你已经下载过该资源，再次下载不需要扣除积分
抽象代数(数学教材pdf)
所需积分：1
剩余积分：0
扫描微信二维码精彩活动、课程更新抢先知
VIP会员，免积分下载
会员到期时间：日
剩余下载次数：1000
抽象代数(数学教材pdf)
剩余次数：&&&&有效期截止到：
你还不是VIP会员VIP会员享免积分 . 专属通道极速下载
VIP下载次数已满VIP会员享免积分 . 专属通道极速下载，请继续开通VIP会员
你的VIP会员已过期VIP会员享免积分 . 专属通道极速下载，请继续开通VIP会员