一条定理：对角相等，两异面直线判定定理平行还是四边形对角相等，两异面直线判定定理平行

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-09-14 12:40 标签： 两条相交直线对角
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初中数学定理公式大全 2
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平行四边形定理总结
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&&平&#8203;行&#8203;四&#8203;边&#8203;形&#8203;定&#8203;理&#8203;总&#8203;结&#8203; &#8203;十&#8203;分&#8203;的&#8203;全&#8203;,&#8203;而&#8203;且&#8203;用&#8203;彩&#8203;色&#8203;标&#8203;注&#8203;,&#8203;可&#8203;用&#8203;于&#8203;教&#8203;材&#8203;封&#8203;面&#8203;,&#8203;便&#8203;于&#8203;学&#8203;生&#8203;记&#8203;忆
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角平分线定理
角平分线定理1是描述角平分线上的点到角两边距离定量关系的定理，也可看作是角平分线的性质。而角平分线定理2是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。
角平分线定理角平分线定义
从一个的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的，叫做这个角的。
三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的，叫做这个三角形的一条角平分线。
角平分线定理角平分线定理
角平分线定理定理1
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
证明：如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC
∵AD是∠BAC的平分线
定理1证明图
∴∠BAD=∠CAD
∵DB⊥AB，DC⊥AC
∴∠ABD=∠ACD=90°
∴△ABD≌△ACD
故原命题得证。
该命题有：
逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
证明：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，且DB=DC
∵DB⊥AB，
∴∠DBA=90
同理∴∠DCA=90
在RT△DBA和RT△DCA中，
{DB=DC(已知）
AD=AD（公共边）
∴RT△DBA≌RT△DCA（HL）
∴∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等）
角平分线定理定理2
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。　　证明：如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线
过点D作DE⊥AB，DF⊥AC
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
定理2证明图
∴DE=DF(定理1)
∵2S△ABD=AB×DE,2S△ACD=AC×DF
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC
过点A作AG⊥BC，垂足为G
∵2S△ABD=BD×AG，2S△ACD=CD×AG
∴S△ABD:S△ACD=BD:CD
∴AB:AC=BD:CD
故原命题得证。
该命题有逆定理：
如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
角平分线定理三角形的角平分线长
由定理2和可以推导出三角形内的。
如右图，在△ABC中，AD平分∠BAC
可设AB=x,AC=y,BD=u,CD=v，则BC=u+v
由定理2我们知道 AB:AC=BD:CD，所以xv=uy
由斯台沃特定理，有=(x?v+y?u)/(u+v)-uv
用u=xv/v,v=uy/x替换原式中的u和v
即得AD?=xy-uv=AB×AC-BD×DC
角平分线定理定理2的其它证明法
已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB:AC=MB:MC
角平分线定理面积法
由三角形面积公式，得
S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM
S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM
∵AM是∠BAC的角平分线
∴∠BAM=∠CAM
∴sin∠BAM=sin∠CAM
∴S△ABM:S△ACM=AB:AC
根据共边定理可得S△ABM:S△ACM=MB:MC，则AB:AC=MB:MC
角平分线定理相似法
过C作CN∥AB，交AM的延长线于N
∴∠ABC=∠BCN
又 ∠AMB=∠CMN
∴△ABM∽△NCM
∴AB:NC=BM:CM
∵AM是∠BAC的角平分线
∴∠BAN=∠CAN
又 ∠BAN=∠ANC
∴∠CAN=∠ANC
∴AB:AC=MB:MC
（过M作MN∥AB交AC于N也可证明）
角平分线定理正弦定理法
作△ABC的外接圆，AM交圆于D
由正弦定理，得
正弦定理法图
AB:sin∠AMB=MB:sin∠BAM,
AC:sin∠AMC=MC:sin∠CAM
∵AM是∠BAC的角平分线
∴∠BAM=∠CAM
又∠AMB+∠AMC=180°
∴sin∠BAM=sin∠CAM
sin∠AMB=sin∠AMC
∴AB:AC=MB:MC
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八年级下册数学公式定理
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