扫码下载官方App 概率论与数理统计 所属微专业： 解决概率统计应用问题。--课程编程练习和测验使用慕测平台http://mooctest.net。请大家注册时务必保证注册邮箱与网易云课堂的注册邮箱一致，以便我们后期统计分数！& 证书要求 分，可以申请合格认证证书，达到分可以获得优秀认证证书，认证证书支持在线认证并且提供纸质版，中国大陆包邮。认证证书费用元，参与奋斗模式，可获得费用减免与奋斗特权，详见奋斗模式。 预备知识 高等数学python编程 授课大纲 第章：&概率论基本概念第讲：随机事件、样本空间第讲：概率的定义，概率的性质第讲：古典概型第讲：条件概率，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式第讲：独立性，系统的可靠性第讲：蒙提霍尔三门问题第讲：蒙特卡罗方法初步第讲：随机测试初步第章：&随机变量及其分布第讲：随机变量第讲：离散型随机变量第讲：常用的三种离散型随机分布：两点分布、二项分布、泊松分布第讲：分赌本问题第讲：分布函数第讲：连续型随机变量及其概率密度函数第讲：常用的三种连续性随机分布：均匀分布、指数分布、正态分布第讲：庞加莱买面包问题第讲：随机变量的函数的分布第讲：概率分布的实现与分析第章：多维随机变量及其分布第讲：二维随机变量的概念第讲：边缘分布第讲：条件分布第讲：独立性第讲：两个随机变量的函数的分布第.讲：多维随机变量的实现第章：随机变量的数字特征第讲：数学期望第讲：方差第讲：协方差、相关系数第讲：矩、协方差矩阵第讲：数字特征的实现第章：大数定律及中心极限定理第.1讲：切比雪夫不等式第.2讲：大数定律第5讲：中心极限定理第5讲：大数定律和中心极限定理的实现第章：抽样分布理论第.1讲：随机样本、统计量第.2讲：三大分布：-分布、F-分布、t-分布第.3讲：抽样分布定理第.讲：抽样分布的实现章：描述统计第7讲：变量定义第7讲：分类型数据统计图表第7讲：数值型数据统计图表第7讲：多变量数据统计图表第7讲：集中趋势度量第7讲：分散趋势度量第7讲：形态度量第章：参数估计第讲：点估计之矩估计第讲：点估计之极大似然估计第讲：估计量的评价标准第讲：区间估计的概念第讲：常见情形的几种区间估计第.讲：参数估计的实现第章：假设检验第讲：假设检验的概念第讲：几种常见情形的假设检验第讲：样本容量的选取第讲：分布拟合优度检验第.讲：假设检验的实现第章：方差分析第讲：单因素试验方差分析第讲：双因素试验方差分析第.讲：方差分析的实现第章：回归分析第讲：一元线性回归分析第讲：一元非线性回归分析第讲：多元线性回归分析第讲：回归分析的实现 ` 参考资料 陈希孺，数理统计学简史，&湖南教育出版社，2002茆诗松等，概率论与数理统计教程，高等教育出版社，2010盛骤、谢式千、潘承毅，概率论与数理统计，浙大第四版（新版），高等教育出版社，2010Allen B. Downey著，张建锋、陈钢译，统计思维：程序员数学之概率统计，人民邮电出版社，2013米曾马克等著，史道济等译，概率与计算，机械工业出版社，2007 常见问题 Python统计编程请登录http://mooctest.net/，我们将陆续添加练习题。 所属微专业 所属系列课程 网易公司()旗下实用技能学习平台。与顶级机构、院校和优秀讲师合作，为您提供海量优质课程，以及创新的在线学习体验，帮助您获得全新的个人发展和能力提升。 关注我们： & 网易公司 版权所有[概率论答案]概率论课后答案华南理工大学_概率论答案-牛bb文章网 四、典型例题 五、课本习题全解 六、自测题及答案 第2章 条件概率与独立性 一、大纲要求 二、重点知识结构图 三、基本知" /> [概率论答案]概率论课后答案华南理工大学 概率论答案 所属栏目： & 第1章 随机事件与概率 一、大纲要求 二、重点知识结构图 三、基本知识
四、典型例题 五、课本习题全解 六、自测题及答案 第2章 条件概率与独立性 一、大纲要求 二、重点知识结构图 三、基本知识 四、典型例题 五、课本习题全解 六、自测题及答案 第3章 一维随机变量 一、大纲要求 二、重点知识结构图 三、基本知识 四、典型例题 五、课本习题全解 六、自测题及答案 第4章 二维随机变量 一、大纲要求 二、重点知识结构图 三、基本知识 四、典型例题 五、课本习题全解 六、自测题及答案 第5章 随机变量的数字特征 一、大纲要求 二、重点知识结构图 三、基本知识 四、典型例题 五、课本习题全解 六、自测题及答案 第6章 大数定理和中心极限定理 一、大纲要求 二、重点知识结构图 三、基本知识 四、典型例题 五、课本习题全解 六、自测题及答案 第7章 数理统计的基础知识 一、大纲要求 二、重点知识结构图 三、基本知识 四、典型例题 五、课本习题全解 六、自测题及答案 第8章 参数估计 一、大纲要求 二、重点知识结构图 三、基本知识 四、典型例题 五、课本习题全解 六、自测题及答案 第9章 假设检验 一、大纲要求 二、重点知识结构图 三、基本知识 四、典型例题 五、课本习题全解 六、自测题及答案 附录 研究生入学考试的部分概率统计试题及解答 第1章 随机事件与概率 一、大纲要求 （1）理解随机事件的概率，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算. （2）了解概率的统计定义和公理化定义，掌握概率的基本性质. （3）会计算古典概型的概率和几何概型的概率. 二、重点知识结构图 随机现象 包含、相等、互斥、对立 、 事件的关系 随机试验 事件的和、积、差 随机现象 运算的性质 样本空间 事件域 随机事件 概率的统计定义 古典概率 几何概率 概率 概率的性质 概率的公理化定义 三、基础知识 1.随机试验的特征 （1）试验可以在相同的条件下重复地进行. （2）试验的可能结果不止一个，但明确知道其所有可能会出现的结果. （3）在每次试验前，不能确知这次试验的结果，但可以肯定，试验的结果必是所有可能结果中的某一个. 2.样本空间 在讨论一个随机试验时，试验的所有可能结果的集合是明确知道的，称这个集合为该实验的样本空间，常用表示，其元素称为样本点，常用记之，它是试验的一个可能结果. ..S.或.3.随机事件 在实际问题中，面对一个随机试验，人们可能会关心某些特定的事情在重复试验下是否会发生.例如，投资者关心明日收市股价是否上涨，即明日股价&今日收市价，它是样本空间的一部分.因此，称样本空间的一些子集为随机事件，简称事件，通常用大写英文字母记之. ABC、、4.事件的关系和运算 一个较为复杂的事件，通过种种关系，可使其与一些较为简单的事件联系起来，这时，我们就可设法利用这种联系，通过简单的事件去研究那些较为复杂的事件，用已知的事件去表示未知的事件. 5.事件的蕴含与包含 若当事件发生时必发生，则称蕴含，或者说包含，记作. ABABBAAB.6.事件的相等 若与互相蕴含，即且，则称事件与相等，记为. ABAB.BA.ABAB.7.事件的互斥(或称互不相容) 若事件不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生)，则称它们是互不相容的或互斥的. AB、若一些事件中的任意两个事件都互不相容，则称这些事件是两两互不相容的，或简称互不相容的. 8.事件的对立（或称逆） 互不相容的一个重要特例是“对立”.称事件为的对立事件或逆事件，常记作. ..BA.不发生AA9.事件的并（或称和） 对给定的事件、，定义一个称为并或和的事件，以记之. ABAB={发生或发生}={、至少有一个发生} ABABAB10.事件的交（或称积） 对给定的事件、，定义一个称为交或积的事件，以记之. ABAB={发生且发生}={、同时发生} ABABAB11.事件的差 两个事件、之差，记为.其定义是： AB.={发生但不发生}={发生且发生} ABB从定义可看出：=. AB12．事件域 定义 称样本空间的一些子集所组成的集合为事件域. .F如果满足以下3个条件：①；②若,则 ③若（）,则;称中的元素为事件. ..FA.FA.FiA.F1,2,i.1niiA..FFa13.概率的统计定义 定义 若事件在次试验中出现了次，则称比值为事件在次试验中出现的频率记作，即 Anr/rnAn..nfA..nrfAn.式中称为事件在次试验中出现的频数. rAn概率的统计定义 在同一组条件下所作的大量重复试验中，事件出现的频率总是在区间（0,1）上的一个确定的常数附近波动，并且稳定于，则称为事件的概率，记为.即 ApppA()PA()PAp.14.古典概率定义 古典概率定义 在古典概型中，如果基本事件的总数为（为有限数），事nn件所包含的样本点个数为（），则定义事件的概率为.即 Arrn.A()PA/rn()rAPAn..中包含的样本点个数基本事件总数15.概率的公理化定义 定义 设是样本空间，是随机事件，即是上事件域中的一个元素，是的实值函数，且满足下列3条公理，则称函数为事件的概率. .AA.Fa()PAA()PAA公理1 对于任意事件，有. A0()1PA..公理2 . ()1P..公理3 若两两互斥，则（可列可加性）. 12,,,,nAAA11()()iiiiPAPA.......四、典型例题 例1 设、是两个随机事件，若，则下列命题中正确的是（ ）. AB()0PAB.（A）和互不相容（互斥） （B）是不可能事件 ABAB（C）不一定是不可能事件 （D） AB()0()0PAPB..或解 一个事件的概率为0，这个事件未必是不可能事件；因此C项正确.反例如下：随机地向[0,1]区间内投点，令表示点的坐标，设，则，由几何概率可知，，由此例子还可得出A项和B项是不对的.D项也是错误的，反例如下：掷一枚均匀的硬币，设表示出现正面，表示出现反面，则，但，从而. x{01/2},{1/21}AxBx......{1/2}ABx..()0PAB.AB()()1/2PAPB..AB..()0PAB.例2 设当事件与同时发生时，事件就发生，则下列式子正确的是（ ）. ABC（A） （B） ()()()1PCPAPB...()()()1PCPAPB...（C） （C） ()()PCPAB.()()PCPAB.解 已知，则，又因为 ABC.()()PCPAB.()()()()()()1PABPAPBPABPAPB......所有B项正确，而A项、C项和D项显然是错误的. 例3 袋子里有5个白球，3个黑球，从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率. 解 样本空间所包含的样本点总数为. 28nC.设事件，则事件包含的样本点总数为，故 {}A.取出的两个球都是白球A25kC.kCPAnC...例4 一批产品工200个，其中有6个废品，求：（1）这批产品的废品率；（2）任取3个恰有1个废品的概率；（3）任取3个全是废品的概率. 解 样本空间所包含的样本点的总数为. 设事件 3200nC.；.若取出的3个产品中有个废品，则这个废品必是从6个废品中获得的，而另个合格品必是从194个合格品中获得的，从而事件所包含的样本点数为，故 {3}1,3iAii..取出的个产品中有个废品（）{}B.事件这批产品的废品率ii3i.iA)iiikCCi...6()0.03200PB..()0.086kCCPAnC....00002kCPAnC...例5 袋子里装有6个球，其中4个白球，2个红球.从袋中取球两次，每次任取一个，试分别就放回抽样和不放回抽样两种情况，求：（1）取到的两个球都是白球的概率；（2）取到的两个球颜色相同的概率；（3）取到的两个球中至少有一个是白球的概率. 解 设事件；事件； {}A.两个球都是白球{}B.两个球都是红球事件. {}C.两个球中至少有一个是白球第一种情况：不放回抽样 样本空间的基本事件总数为.事件的基本事件数为.事件基本事件数为. 116530nCC..AAkCC....B1121212BkCC....（1） 122()305AkPAn...（2）由于，且，因此 21()3015BkPBn...AB..217()()()51515PABPAPB.....（3） 114()1()11515PCPB.....第二种情况：放回抽样 第一次从袋中取球有6个球可供抽取，第二次也有6个球可供抽取，由乘法原理，共有种取法，即样本空间的基本事件总数为.对事件而言，第一次有4个白球可供抽取，第二次也有4个球可供抽取，由乘法原理，共有种取法，即中包含个基本事件.同理，中包含个基本事件. 66.A44.AB22.（1） 444()669PA....（2）由于，且，因此 221()669PB....AB..415()()()999PABPAPB.....（3） 18()()1()199PCPBPB......例6 从双不同型号的鞋子中任取只，试求下列事件的概率：（1）={没有成对的鞋子}；（2）={恰有一对鞋子} . n2(2)kkn.AB解 样本空间包含个样本点. 22knC（1）为使事件发生，先将鞋子成对地放在一起，然后从双鞋子中取出双，最后再从这双鞋子中每双取出1只，故事件的概率为 An2k2kA()2()kkkknnkknnCCCPACC..（2）为使事件发生，先从双鞋子中取出1双，再从剩下的双鞋子中任取双，最后再从这双鞋子中每双取出1只，故事件的概率为 B1n.22k.22k.B12222()2()kkkknnnkknnCCCnCPBCC........例7 随机地向半圆 （为正常数）内掷一点，点数在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，试求原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率. 202yaxx...ax/4.解 这是一个几何概型的概率计算问题. 设 ，在极坐标下可写为 2{(,):02,02}Sxyyaxxxa......{(,):2cos,0/2}Srra........设事件，故 {(,):2cos,0/4}Arra........2221124()22aaAPAaB........的面积的面积例8 将50个铆钉随地取来用在10个部件上，其中3个铆钉强度太弱，每个部件用3个铆钉，若将3个强度太弱的铆钉都装在同一个部件上，则这个部件的强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 解 设事件={发生一个部件强度太弱}，则所含的样本点数为.将50个铆钉装在10个部件上的所有装法的全体看作样本空间，则所包含的样本点数为，故 AA!(3!)CC!(3!)C1027!1(3!)()30!1960(3!)CCPAC..例9 设 为随机事件， ， 求 . AB、()0.5,()0.2PAPAB...()PAB解 因为 ，且 ，所以 ABAAB...ABA.()()()PABPAPAB...于是 ()()()0.50.20.3PABPAPAB......因此 ()1()0.7PABPAB...例10 在（0,1）内任取三个数 ，求以 为长度的三条线段围成一个三角形的概率. 解 设样本空间 ； {(,,):0,,1}Sabcabc...所求事件 {(,,):,,}Aabcabcacbbca.......因此 ()112AOABCDPAS.........的面积六面体的体积的面积边长为的正方体体积五、课本习题全解 1-1（1） ={1,2,3,4,5,6}； .（2）={（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4）（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5）}； .（3）={3,4,5,6,7,8,9,10}； .（4）用数字1代表正品，数字0代表次品，则 ={（0,0），（1,0,0），（0,1,0），（1,1,0,0），（0,1,1,0），（1,0,1,0），（1,1,1,0），（1,1,0,1），（1,0,1,1），（1,1,1,1）}. .1-2 （1） 为随机事件； 为不可能事件； 为随机事件； 为必然事件；（2）、（3）、（4）、（5）均为随机事件. ABCD1-3 （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） . AABCABCABCABCABCABC1-4 （1） ；（2） ； （3） ； （4） ABCABCABCABCABC；（5） ABCABC或ABCABCABCABCABCABCABC； ABC（6）或. ABCABCABCABCABCABCABCABC或ABC1-5 （1）买的是1985年以后出版的英文版物理书； （2）在“书店所有物理书都是1985年以后出版的且是英文版”这一条件下， . ABCA.1-6 （1）、（4）、（5）、（6）、（7）正确，其余均不正确. 1-7 若需要测试7次，即前6次恰好取出2个次品，还有一个次品在第7次取出，故有 次.而在10个中取出7个共有 种取法.设 ={测试7次}，故 246376CCA710AA()8CCAPAA..1-8 设 ={能开门}，从6把钥匙中任取2把共有 种取法，故 A26C. 2611()15PAC..1-9 设 ={拨号不超过3次就能接通电话}，则 A.PA.......设 ={若记得最后一位是奇数时，拨号不超过3次就能接通电话}，则 B.6554543PB.......1-10 设 ={恰有2人的生日在同一个月份}，则 A. 55()12144CCCCPA..1-11 将五个数字有放回地抽取，出现的结果有 种. 35125.三个数字不同的取法有 种，故 ； 335360CA.60()0.48125PA..三个数字不含1或5，即每次只能在2、3、4中进行抽取，共有 3327.种取法，故 ； 27()0.216125PA..三个数字5出现两次，即有 种取法，故 . 213412CC.12()0.096125PC..1-12 设 ={指定的3本书恰好放在一起}，10本书的排列方法共有10！种，而指定的3本书的排列方法有3！种，剩下的7本书与指定的3本书这一整体的排列有8！种，故 A3!8!1()10!15PA..1-13 （1） ；（2） . ()416CCCPA..341()416PB..1-14 从10个人中任选3个人共有 种方法. 310C（1）设 ={最小号码是5}，当最小号码是5时，在 之间还有地两个号码，即有 种方法，故 A61025C253101()12CPAC..（2）设 ={最大号码是5}，当最大号码是5时，在之间还有两个号码，即有 种方法，故 B1424C243101()20CPBC..1-15 （1） ；（2） . ()9CCPACC..4()9CCCCPBCC...1-16 （1） ；（2） . 22261()15CPAC..1124268()15CCPAC..1-17 （1）设 ={样品中有一套优质品、一套次品}，则 A； ()825CCPAC..（2）设 ={样品中有一套等级品、一套次品}，则 B； ()825CCPBC..（3）设 ={退货}，则 C； 0076()825CCCCPCC....（4）设 ={该批货被接受}，则 D； 0749()825CCCPDC...（5）设 ={样品中有一套优质品}，则 E. 4()825CCPEC..1-18 (1)设 ={恰有5张黑体,4张红心,3张方块,1张梅花},则 A1352()CCCCPAC.(2)设 ={恰有大牌A,K,Q,J各一张而其余为小牌},则 B352()CCCCCPBC.1-19 设={至少有两张牌的花色相同},则 .六、自测题及答案 ACCCCCPAC...1．事件与互不相容，且，则 AB()0.8PA.()PAB.2. 则 ()0.5,()0.2PAPBA...()PAB.3．事件与互不相容，且 ，则 ABAB.()PA.4．,,,则事件、、 全不发生的概率为 ()()()1/4PAPBPC...()0PAB.()()1/16PACPBC..ABC5. 设是任意两事件，则（ ） AB、()PAB..(A) (B) ()()PAPB.()()()PAPBPAB..(C) (D) ()()PAPAB.()()()PAPBPAB..6. 设甲乙两人进行象棋比赛，设事件={甲胜乙负}，则为（ ）. AA(A){甲胜乙负} (B){甲乙平局} (C){甲负} (D) {甲负和平局} 7．某单位招工需经过四项考核，设能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别是0.6，0.8，0.91，0.95，且各项考核都是独立的，每个应招者都要经过 四项考核，只要有一项不通过即被淘汰，试求：（1）这项招工的淘汰率；（2）虽通过第一和第三项考核，但仍被淘汰的概率；（3）设考核按顺序进行，应试者一旦某项不合格即被淘汰，不参加后面项目的考核，求这种情况下的淘汰率. 8.从这九个数字中，又放回地抽取三次，每次任取一个，求所取的三个数之积能被10整除的概率. 1~99. 在某城市中发行三种报纸，订阅报的有45%，订阅报的有35%，订阅报的有30%，同时订阅报及报的有10%，同时订阅报及报的有8%，同时订阅报及报的有5%，同时订阅报的有3%，试求下列事件的概率：（1）只订报的；（2）只订报及报的；（3）只订一种报纸的；（4）正好订两种报纸的；（5）至少订阅一种报纸的. ABC、、ABCABACBCAAB【答案】 1.由且，得 ()0,PAB.()1()10.80.2PAPA.....()()()0.200.2PABPAPAB.....2．由 得 ()()()0.2PBAPBPAB....()0.5PA.==1-0.5-0.2=0.3 ()1()1()()()PABPABPAPBPAB.......1()[()()]PAPBPAB...3．由于，于是有，又由于与互不相容，所以有，即，因此 . AB=ABAB.=ABAB..AB..=()0PA.4事件 全不发生表示为。故 ABC, ()1()PABCPABC..= 1()1[()()()()()()()]PABCPAPBPCPABPACPBCPABC........= )........5.C 6.D 7.设，根据题意有 {},2,3,4iAii.第项考核合格（=1）,()0.8,()0.91,()0.95PAPAPAPA....（1） ()1()1()()()()PAAAAPAAAAPAPAPAPA....； 10.60.80.910.950.585......（2） ()()()()()()(1()())PAAAAPAPAPAAPAPAPAPA...0.60.91(10.80.95)0.131;......（3） ()PAAAAAAAAAA()()()()PAPAAPAAAPAAAA....()()()()()()()()()()PAPAPAPAPAPAPAPAPAPA....(10.6)0.6(10.8)0.60.8(10.91)..........0.60.80.91(10.95)....0.585.8.设={所取的三个数字中含有数5}，={所取的三个数字中含有偶数}， ={所取的三个数字之积能被10整除}，则，故 1A2AA12AAA.121212(()1()1()PAPAAPAAPAA.....）12121()()()PAPAPAA....60.214999.........................9.（1） ()(())(())PABCPABCPAABC....()(())()()()()PAPABCPAPABPACPABC......0.450.100.080.030.30;.....（2） ()()()()()PABCPABCPABABCPABPABC......0.100.030.07;...（3） ()()(()PABCABCABCPABCPABCPABC.....()(()()()()PABPABCPACPABCPBCPABC......）0.73;.（4） ()()()()PABCABCABCPABCPABCPABC.....()(()()()()PABPABCPACPABCPBCPABC.....）+()()()3()PABPACPBCPABC....0.100.080.;......（5） ()PABC()()()()()()()PAPBPCPABPACPBCPABC.......0.450.350.300.100.080.050.030.90.........第2章 条件概率与独立性 一、大纲要求 （1）理解条件概率的定义. （2）掌握概率的加法公式、乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式. （3）理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算. （4）了解独立重复试验概型，掌握计算有关事件概率的方法，熟悉二项概率公式的应用. 二、重点知识结构图 独立试验概型 二项概率公式 贝叶斯公式 乘法公式： ()()(|)PABPAPBA.定义： ()(|)()PABPBAPA.事件独立性的定义 条件概率 概率 全概率公式： 1()()(|)niiiPAPBPAB...三、基础知识 1.条件概率 定义 设有事件 ，且，在给定发生的条件下的条件概率，记为，有 AB、()0PB.BA(|)PAB()(|)()PABPABPB.2．乘法公式 定理 若对于任意事件，都有 ，则 AB、()0,()0PAPB..()()(|)()(|)PABPAPBAPBPAB..这个公式称为乘法定理. 乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形. 定理 设为任意个事件（），且 ，则有 12,,,nAAAn2n.121()0nPAAA..()()(|)(|)(|)nnnnPAAAAPAPAAPAAAPAAAA...3．全概率公式 定理 设为一列（有限或无限个）两两互不相容的事件，有 12,,BB1iiB.....()0(1,2,)iPBi..则对任一事件，有. A1()()(|)iiiPAPBPAB....4.贝叶斯公式 定理 设为一系列（有限或无限个）两两互不相容的事件，有 12,,BB则对任一具有正概率的事件，有 A1()(|)(|)()(|)kkkjjjPBPABPBAPBPAB....5.事件的相互独立性 定义 若两事件满足 ，则称（或）相互独立，简称独立. AB、AB、BA、定理 若四对事件中有一对是相互独立的，则另外三对事件也是相互独立的.即这四对事件或者都相互独立，或者都相互不独立. ;;ABABABAB、、 、；、 定义 设是个事件，若对所有可能的组合成立： 12nAAA，，，n1ijkn.....（共个） ()()()ijijPAAPAPA.2nC（共个） ()()()()ijkijkPAAAPAPAPA.3nC（共个） 1212()()()()nnPAAAPAPAPA.nnC则称 相互独立. 12,,nAAA定理 设个事件相互独立，那么，把其中任意（）个事件相应换成它们的对立事件，则所得的个事件仍然相互独立. nm1mn..n6. 重复独立试验，而且这些重复试验具备：（1）每次试验条件都相同，因此各次试验中同一个事件的出现概率相同；（2）各次试验结果相互独立；满足这两个条件的 次重复试验，称为重独立试验. nn定理 （二项概率公式）设在一次试验中，事件出现的概率为，则在重伯努利试验中，事件恰好出现次的概率为 A()(01)PApp...nk()nPk()(0,1,2,,)kknknnPkCpqkn...式中， 1()qpPA...四、典型例题 例1 掷两颗骰子，在第一枚骰子出现的点数被3整除的条件下，求两枚骰子出现的点数大于8的概率. 解 同时掷两枚骰子，样本空间所包含的样本点数总数为.若设 ={第一枚骰子出现的点数能被3整除}，则第一枚骰子出现3点或者6点，此时事件所包含的样本数为.设={两枚骰子出现的点数之和大于8}，则={（3,6），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6）}，故 6636n...AA2612k...BAB， ， 121()363PA..5()36PAB.()5(|)()12PABPBAPA..例2 袋子有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，现有两人依次随机地从袋子中各取一球，然后不放回，求两人取得黄球的概率. 解 设 ={第个人摸到黄球} ，则 iAi(1,2)i.1202()505PA..32()(|)()(|)()4954955PAPAAPAPAAPA.......例3 对一个目标依次进行三次对立的射击，设第一、二、三次射击命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求：（1）三次射击击中恰好有一次命中的概率；（2）三次射击中至少有一次命中的概率. 解 设 ={第 次命中}， ={恰有一次命中}，={至少有一次命中}，则 BC（1） ()()()()PBPAAAPAAAPAAA...0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36..........（2） 123()1()10.60.50.30.91PCPAAA.......例4 设三次独立试验中事件出现的概率相等，若已知至少出现一次的概率为19/27，求事件在一次试验中出现的概率. AAA解 由于 解得 {0}1(1)27PkPkp........13p.例5 掷三枚均匀骰子，设={三枚骰子掷出的点数中至少有两枚一样}， ={至少有一枚骰子掷出1}，问是否独立？ ABAB、解 考虑，若发生，则三枚骰子不出现1点，那么只有5种可能性发生（2,3,4,5,6），比不知发生时可能取的点数（1,2,3,4,5,6）少了一个，从5个数字取3个（可重复取），其中有两个一样的可能性，应比6个数字中取3个时有两个一样的可能性要大些，即.由此可以推出，故不独立. (|)PABBB()(|)PAPAB.()(|)PAPAB.AB、例6 若某种病菌在人口中的带病概率为0.83.当检查时，带菌者未必检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假设 ， (|)0.99P.阳性带菌(|)0.01P.阴性带菌， (|)0.05P.阳性不带菌(|)0.95P.阴性不带菌设某人检出阳性，问：他“带菌”的概率是多少？ 解 设={某人检出阳性}，={带菌}，={不带菌} A1B2B由题设知，故所求的概率为 ,()10.830.17,(|)0.99,(|)0.05PBPBPABPAB......111121()()(|)(|)()()(|)jjjPABPBPABPBAPAPBPAB....0.830.990.980.830.990.170.05......例7 甲、乙两人独立地对同一个目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射中的概率. 解 设={甲射击一次命中目标}，={乙射击一次命中目标}，则所求概率为 AB((()(|(()()()PAABPAPAABPABPAPBPAB...）)）=）0.60.750.60.50.60.5.....例8 已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.25%是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解 设={抽到一名男性}；={抽到一名女性}；={抽到一名色盲患者}，由全概率公式得 ABC11()(|)()(|)()5%0.25%2.625%22PCPCAPAPCBPB.......1()()(|)5%2.5%2PACPAPCA....由贝叶斯公式得 ()20(|)()21PACPACPC..例9 有两箱相同种类的零件，第一箱装50个，其中10个一等品；第二箱装30个，其中18个一等品.今从两箱中任取一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任选一个，均不放回抽样，试求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率. 解 （1）设={在第次中取到一等品}（） ，={挑到第箱}，则 iAi1,2i.iBi()(|)()(|)()0.452302PAPABPBPABPB.......（2）由于 ()(|)()(|)()PAAPAABPBPAABPB.........故 1(|)0.485()0.4PAAPAAPA...例10 设，求 ()0.10,(|)0.90,(|)0.20PAPBAPBA...(|)PAB解 由于 ()()()()PBPABABPABPAB...()(|)()(|)PAPBAPAPBA..0.100.90(10.10)0.200.27......故 ()()(|)0.100.901(|)()()0.273PABPAPBAPABPBPB.....例11 某商店成箱出售玻璃杯，每箱20个，假设各箱有0，1，2个残次品的概率依次为0.8,0.1,0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4个，如无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则退回.试求（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率. ..解 设={顾客买下玻璃杯}，={箱中有只残次品}（=0,1,2） ，由题意可知，，则 AiBii012()0.8,()()0.1PBPBPB...020412(|)1,(|),(|)519CCPABPABPABCC.....（1）由全概率公式，得 2012448()()(|)0.810.10.80.10.iiiPAPBPAB.............（2）由贝叶斯公式，得 000()(|)0.81(|)0.848448()475PBPABPBAPA......五、课本习题全解 2-1 （1） ()()()()0.50.40.10.8;PABPAPBPAB.......（2） ()0.1(|)0.25;()0.4PABPABPB...（3） ()0.1(|)0.2;()0.5PABPBAPA...（4） ()()()0.50.12(|)0.6()PABPAPABPABPBPB.........2-2 因为是独立事件，所以有 AB、()()(),()()(),()()()PABPAPBPABPAPBPABPAPB...（1） ()()()(|)0.3;()()PABPAPBPABPBPB...（2） ()1()1()()10.70.40.72;PABPABPAPB........（3） ()()()(|)0.4;()()PABPAPBPBAPAPA...（4） ()()()(|)0.7()()PABPAPBPABPBPB...2-3 因为，所以 ABAAB..()()()PABPAPAB..又因为，所以 ()()()()PABPAPBPAB...()()()()()PABPAPABPAPB....当时，第一个不等式中的等号成立； AB.当时，第二个不等式中的等号成立； BA.当时，第三个不等式中的等号成立. AB..2-4 证明 (())()()()()PABCPACBCPACPBCPACBC....(()())()()()PAPBPCPABPC...(()()())()PAPBPABPC...()()PABPC.()()()()()()PABCPAPBPCPABPC..(())()()()()PABCPABCPAPBPC...()()()()PABPCPABPC...所以，分别与独立 ABABAB.、、C2-5 设={射手击中目标}，={第一次击中目标}，={第二次击中目标}，={第三次击中目标}.有题意可知，，即； A1A2A3A0.6100k.60k.1112233()()()(|)()(|)()(|)PAPAPAPAAPAPAAPAPAA.....40.410...............2-6 设={投掷两颗骰子的点数之和为偶数}，设={投掷两颗骰子的点数之和为奇数}，={点数和为8}，={点数和为6} 1A2A1B2B（1） ()5(|)()18CCPABPBACCCCPACC....；（2） ()12(|)()18CCPABPBACCCCPACC.....；（3） 662()12(|)21()21CCPABPABPBCC....2-7 设={此密码能被他们译出}，则 A.6553534PA.......2-8 ()1(|),1()10CCPABPBAPAC...1()1(|)6()6CCPABPABPBCC...2-9 设={第一次取得的全是黄球}，={第二次取出黄球、白球各一半}，则 AB,(|)CCCPAPBACC...所以 2530()()(|)CCCPABPAPBACC..2-10 设={第一次取得的是黄球}，={第二次取得的是黄球}，={第三次取得的是白球}，则 1A2A3A2(),(|),(|)bbcaababcabcCCCPAPAAPAAACCC.........所以 ()()(|)(|)PAAAPAPAAPAAA.1111112bbcaababcabcCCCCCC.......2bbcaababcabc.......2-11 设={这批货获得通过}，={样本中恰有一台次品}，={这批空调设备退货}；={第一次抽的是合格品}，={第二次抽的是合格品} ABADE（1） ()()(|);PAPDPED....（2） ()()(|)()(|);PBPDPEDPDPED.......（3） 136()1()1610PAPA...2-12 设={选出的产品是次品}，={产品是由 厂生产}，={选出的产品是正品} A1BB（1） （2） ();3000CPAC...(|);42CPBAC...（3） 761782(|)2958CPBBC...2-13 设={检验为次品}，={实际为正品} AB（1） ()5%90%95%1%0.0545PA.....；（2） ()(|)95%1%(|)0.5PBPABPBAPA....2-14 设={这位学生选修了会计}，={这位学生是女生} AB（1） ()()(|)0.66%0.036PABPBPAB....；（2） ()()(|)0.490%0.36PABPBPAB....；（3） ((())()()PAPABBPABPAB....）()(|)()(|)PBPABPBPAB..0.66%0.410%0.076.....2-15 设={此人被诊断为患肺癌}，={此人确实患肺癌} AB（1） ()98%3%(|)0.7519;()98%3%97%1%PABPBAPA.......（2） ()(|)3%2%(|)0.0001;2%3%97%99%()PBPABPBAPA.......（3）对于被检查者，若被查出患肺癌，可不必过于紧张，还有约25%的可能没有患肺癌，可积极准备再做一次检查.对地区医疗防病结构而言，若检查结果是未患肺癌，则被检查者基本上是没有患肺癌的. 2-16 设={收到信息为0}，={发送信息为0}，则有 AB(0.7(10.02)0.30.010.689PA......）(0.7(10.02)0.686PAB....）所以 (0.686686(|()0.689689PABPBAPA..））=2-17 设={这批计算机是畅销品}，={这批计算机销路一般}，={这批计算机是滞销品}，={试销期内能卖出200台以上}.根据题意有 1A2A3AB123()0.5,()0.3,()0.2PAPAPA...123(|)0.9,(|)0.5,(|)0.3PBAPBAPBA...（1） ()((|(|)()((|((|((|PABPAPBAPABPBPAPBAPAPBAPAPBA....））））））））0.50.90.726;0.50.90.30.50.20.1........（2） 22()0.15(|)0.242;()0.62PABPABPB...（3） 33()0.02(|)0.032;()0.62PABPABPB...（4） 33(|)1(|)10.PABPAB.....2-18 设={硬币抛掷出现正面}，={硬币是第个硬币} （=1,2,3,4,5），={抛掷又出现字面} AiBiiB（1） 125()()()()PAPABPABPAB....112255()(|)()(|)()(|)PBPABPBPABPBPAB....;...........（2）， ， 11()(|)0()PABPBAPA..(|)1()102PABPBAPA....， ， (|)1()52PABPBAPA....(|)1()102PABPBAPA....； 551()25(|)1()52PABPBAPA...（3） 10.PB...........2-19 设={一人击中}，={两人击中}，={三人击中}，={飞机被击落}.根据1A2A3AB题意有 1()0.40.5(10.7)0.60.50.30.60.50.70.36,PA...........2()0.40.5(10.7)0.40.50.370.60.50.70.41,PA...........3()0.40.50.70.14,PA....123(|)0.2,(|)0.6,(|)1PBAPBAPBA...所以 112233()()(|)()(|)()(|)PBPAPBAPAPBAPAPBA...0.360.20.410.60........2-20 设={这批元件能出厂}，则 A495()(4%0.)0.050.999999PA...............898.........0.8639.2-21 （1）设={这批产品经检验为合格品}，则 A()0.960.060.960.060.960.222PA...................0.757.（2）设={产品真是合格品}，则 B.960.96()3251622(|)0.982()0.757PABPBAPA...............六、自测题及答案 1 设与为两事件，若，且 ，则与 . AB()0PA.(|)()PBAPB.AB2 设事件与满足，， ，则 . AB()0.5PA.()0.6PB.(|)0.8PBA.()PAB.3 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%和10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为（ ）. （A） (B) (C) (D) 231335254.每次试验成功的概率为（），重复进行试验直到第次才取得（）次成功的概率是（ ） p01p..nr1rn..（A） （B） (1)rrnrnCpp..11(1)rrnrnCpp....（C） （D） (1)rnrpp..111(1)rrnrnCpp.....5．设事件与为互不相容事件，且 ，，则命题正确的是（ ） AB()0PA.()0PB.（A） （B） （C）与独立 （D）与不独立 ()0PAB.(|)1PBA.ABAB6. 设 为任意两个事件，且 ， ，则下列成立的是（ ） AB、AB.()0PB.（A） （B） ()(|)PAPAB.()(|)PAPAB.（C） （D） ()(|)PAPAB.()(|)PAPAB.7.设 满足，则（ ） AB、(|)1PBA.（A）是必然事件（B）（C）（D） A(|)0PBA.AB.()()PAPB.8将一枚硬币独立地掷两次，设={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件（ ） 1A2A3A4A（A）相互独立 （B）相互独立 123,,AAA234,,AAA（C）两两独立 （D）两两独立 9.设是两事件，且 ， ， ，则必有（ ） 0()1PA..()0PB.(|)(|)PBAPBA.（A） （B） (|)(|)PABPAB.(|)(|)PABPAB.（C） （D） ()()()PABPAPB.()()()PABPAPB.10．设 . 试证明： (),()PAaPBb..1(|)abPABb...11．现有两种报警系统与，每种系统单独使用时，系统有效的概率为ABA0.92，系统有效的概率为0.93.在失灵的条件下，有效的概率为0.85.试求：（1）在失灵的条件下，有效的概率； BABBA（2）这两个系统至少有一个有效的概率. 12．设有分别来自三个地区的10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出2份，试求：（1）求先抽到的一份是女生报名表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生报名表，求先抽到的一份是女生报名表的概率. pq13．甲袋中有9个白球和1个黑球，乙袋中有10个白球，每次从甲、乙两袋中随机地各抽取一球交换放入另一袋中，这样进行了三次，求黑球出现在甲袋中的概率. 【答案】 1．相互独立 2．由得 ()(|),()0.5()PABPBAPAPA..()(|)()0.80.50.4PABPBAPA....于是 ()()()()0.50.60.40.7PABPAPBPAB.......3．A 设={抽到等品}（=1,2,3），有 ，故 iAii123()0.6,()0.3,()0.1PAPAPA...1311333()()0.62(|)1()10.13()PAAPAPAAPAPA......4． C 设={第次才取得次成功}；={前次试验中有次成功}； ={第次成功}；则 ，又因为与相互独立，由伯努利公式 ，得 ABC.BC()(1)kknknnPkCpp...(0,1,2,,)kn.11111()()()()(1)(1)rrnrrrnrnnPAPBCPBPCCpppCpp.............5．由于，故 ，又因为，即 .AB..()0PAB.()()0PAPB.()()()PABPAPB.因此，与 一定不独立. AB又由于 ()()()()0(|)1()()()PABPAPABPAPBAPAPAPA......所以应选B项和D项. 6.由于 ，故,,因此有 AB.ABA.()1PB.()()(|)()()()PABPAPABPAPBPB...所以应选 B项.当时，A项不成立；当时， C项和D项不成立. ()1PB.()1PB.7.由于,即,因此，，故,应选D项. (|)1PBA.()()PABPA.AB.()()PAPB.8.由于且 所以有 (),(),(),()2224PAPAPAPA....121(),4PAA.131(),4PAA.231(),4PAA.241(),4PAA.123()0,PAAA.， 1212()()()PAAPAPA.1313()()()PAAPAPA.， 2323()()()PAAPAPA.2424()()()PAAPAPA.123123()()()()PAAAPAPAPA.故两两独立但不相互独立，不相互独立，更不相互独立，故选C项. 123,,AAA234,,AAA9. ()()()(|)()(|)(|)()()1()()PABPABPABPABPBPBAPBAPAPAPAPA......()(1(|))()()()()()1()()1()PABPABPBPABPBPABPAPAPAPA........从最后一式解出,故选C项. ()()()PABPAPB.10. 由,,得 ()()()()PABPAPBPAB...0()1PAB..()()1()PAPBPAB...又因为，故 ()()()1(|)()()PABPAPBPABPBPB....1(|)abPABb...11．由于，因此 ()()()(|)0.851()()PBAPBPABPBAPAPA.....()()0.85(1())0.930.850.080.862PABPBPA........(1) ()()()0.920.862(|)0.8286;1()0.07()PABPAPABPABPBPB.......(2) ()()()()0.920.930.PABPAPBPAB.......12.设 ={报名表是第 区考生}（=1,2,3），={第次抽到的报名表是男生表}（=1,2），有 iHiijAjj1()(1,2,3),3iPHi..11217(|)(|)10PAHPAH..， 12228(|)(|)15PAHPAH..132320(|)(|)25PAHPAH..（1） ()()(|)iiipPAPHPAH...............（2） 121377(|)10930PAAH...122788(|)151430PAAH...1235201(|)25246PAAH...()()(|)iiiPAPHPAH..............()()(|)iiiPAAPHPAAH..............因此 9(|)61()6190PAAqPAAPA....13.设={ 次交换后黑球出现在甲袋中}（=1,2,3），={ 次交换后黑球出现在乙袋中} （=1,2,3），则 iAiiiA()()(|)()(|)0.PAPAPAAPAPAA.......()()(|)()(|)0.820.180.7561010PAPAPAAPAPAA.......第3章 一维随机变量 一、大纲要求 （1）理解随机变量的概念. （2）理解随机变量分布函数（）的概念及性质，会计算与随机变量有关的事件的概率. (){}FxPXx..（3）理解离散型事件变量及其概率分布的概念，掌握0――1分布、二项分布、泊松分布及其应用. （4）理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系. （5）掌握正态分布、均匀分布和指数分布及其应用. （6）会求简单随机变量函数的概率分布. 二、重点知识结构图 定义 分布函数 均匀分布 1/(),()0,baaxbfx.......当其他正态分布 2(,)N..指数分布 //,0()0,0xexfxx.........当当01(1,)Bp.分布二项分布， (,)Bnp()(1)kknknPXkCpp....泊松分布 {}/!kPXkek.....几何分布 1{}kPXkpq...是一个单调不减函数 ()Fx有界性， 0()1Fx..()1,F...左连续性 ()0F...(0)()FxFx..随机变量函数的分布 常用分布 性质 离散型 连续型 三、基础知识 1.随机变量 定义 如果对任意实数有{ } ，则称定义在样本空间上的实函数是随机变量，其中 . x:()wXwx..F.()XXw.w..a通常用字母、来表示随机变量。用字母、表示其取值. XYxy定义 设是一个随机变量，是任意实数，函数 称为随机变量的分布函数. 的分布函数也常简记为 Xx(){:()}FxPwXwx..(){}FxPXx..任一随机变量的分布函数，，具有下列性质： X()Fx()x....，+（1）单调不减性.若，则 . 12xx.12()()FxFx.（2） lim()()0;xFxF.......lim()()1xFxF.......（3）左连续性，对任意实数，有 0x000lim()(0)()xxFxFxFx.....2.离散型随机变量 定义 有些随机变量，它全部的可能值只有有限个或者至多可列个，则称其为离散型随机变量. 离散型随机变量的概率分布{}必须满足两个条件： 12,,,,nppp（1）（） 0ip.1,2,3,i.（2），并且 11iip....(){}{}iiiixxxxFxPXxPXxp.........（1）二项分布 在“成功”概率是，即的重伯努利试验中，事件出现的次数是二项分布随机变量，其可能取得的值是 p()PAp.nAX0,1,2,,,,kn有分布律 {}kknknPXkCpq...(01,0)pkn....这个值也被记做，它正是二项式的展开式中的系数，因而得名“二项分布”.常以表示是参数为和的二项分布随机变量. (;,)bknp()npxq.kxX~(,)XBnpXnp定理1 在重伯努利试验中，事件发生的次数在和之间的概率是 nA1k2k2112{}(;,)kkkPkXkbknp.....在重伯努利试验中，事件至少发生次的概率是 nAr10{}1(;,)rkPXrbknp......特别是在重伯努利试验中，事件至少发生1次的概率是 {1}1(0;,)1nPXbnpq.....定理2 设，则当时，的值最大.若为整数，则同为最大值. [(1)]kentnp..(;,)bknp(1)np.(;,)(1;,)bknpbknp..（2）泊松分布 若 01~/!kkXeeek..............则称服从泊松分布，记为，参数为强度. X~()XP..定理3 （泊松定理）设随机变量服从二项分布 （ ，并与有关），且满足，则 X(,)Bnp(0,1)p.nlimnnp....lim{}lim(0,1,2,)!kkknknnnPXkCpqekk............（3）几何分布 定义 如果随机变量的分布列为 X1{}(1,2,;1)kPXkpqkqp......则称随机变量服从参数为的几何分布，记为. p~()XGp3.连续型随机变量 定义 若一个随机变量的分布函数可写成“变上限积分”的形式： X()XFx(){}()XXXFxPXxftdt......则称为连续型随机变量，称为的概率分布密度，简称密度函数. X()XfxX密度函数的性质： （1） ()0fx.（2） ()1fxdx......分布函数的导函数（在连续点上）就是其密度函数，即 ()()dFxfxdx.那么 {}()()()bXaPaXbfxdxFbFa......（1）均匀分布 若一个连续型随机变量 具有如下密度函数： 1()0,axbfxbaxaxb...........则称为服从上均匀分布的随机变量，记为，其分布函数为 X[,]ab~(,)XUab0()()1xxaxaFxfxdxaxbbaxb..................，，，（2）指数分布 若一个连续型随机变量具有如下的密度函数： X,0()0,0axaexfxx.......则称为带参数（&0）的指数分布随机变量，记为，其分布函数为 Xa~()XEa10()()00axxexFxftdtx............当当（3）正态分布 称概率密度为 22()/21()2xfxe.......()x......的随机变量服从正态分布（或高斯分布），记作，其中，， 与是常数，相应的分布函数是 X2~(,)XN..0....22()/21()2xxFxedx..........特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布，记作，0..1..X~(0,1)XN其密度函数和分布函数分别为 2/21()2xxe....()x......2/21()2xxxedx.......四、典型例题 例1 设随机变量，则随增大概率应（ ）. 2~(,)XN.....PX....（A）单调增大 （B）单调减少 （C）保持不变 （D）增减不定 解 因，此值不随的变化而变化，故C项正确. ..1(1)(1)2(1)1XPXP........................例2 设10件产品中恰好有2件次品，现进行连续不放回地抽样，直到取到正品为止.试求：（1）抽样次数的分布；（2）的分布函数；（3）； XX()Fx{3.5}PX.；. {2}PX..{13}PX..解 依题意知：是离散随机变量.因为只有2件次品，所以最多抽取3次就可以取到正品.因此的可能取值为1,2,3. XX（1）， ， ， 84{1}105PX...288{2}10945PX.....2181{3}109845PX.......故的分布列为 X1 2 3 ix4/5 8/45 1/45 {}iPXx.（2）的分布函数为 X014/512(){}44/552313xxFxPXxxx................当 当 当当（3） ， {3.5}0PX..， {2}{1}{2}{3}1PXPXPXPX.......... {13}{2}8/45PXPX.....例3 设随机变量的概率密度为 X102()0Axxfx....... 当其他试求：（1）值；（2）的分布函数；（3）. AX()Fx{1.52.5}PX..解 （1）， 22200()(1)42122AAfxdxAxdxxx..........................故. 12A..（2） (){}()xFxPXxftdt......2101022xxxxdtdttdtxdttdtdtx...............................................当 当0当200(/4)0212xxxxx............当 当当（3） 2.51.51{1.52.5}(1)0.06252PXxdx.......例4 设随机变量，试求：（1）；（2）常数，使；（3）常数，使 . ~(108,9)XN{101.1117.6}PX..a()0.9PXa..a{}0.01PXaa...解 （1） 101..7.6}333XPXP..............(3.2)(2.3).....(3.2)(1(2.3)).....(3.2)1(2.3).....0.....（2）， {}0.9333XaaPXaP.....................故 .873aa...（3） {}{2}{0}PXaaPXaPX......083333XaXPP....................a...........即，故 a..........495.3aa...例5 设随机变量服从标准正态分布，试求下列密度函数：（1）；（2） ；（3） . XXYe.221YX..YX.解 因 ，故 ~(0,1)XN2/21()2xxe....()x......（1） ，于是单增，得 xYe.ln,1/xyxy..故 （） 2(ln)/211()(ln)()2yYyyxey.......0y.（2），于是，得 221yx..， ，， （） 1112xy..2112xy...12141xy...22141xy....1y.故 (1)/41114(1)()01yYeyyyy.............当当（3），于是 ，得 (0)yxy..， ， ， 1xy.2xy..11x..21x...故 2/220()00yYeyyy...........当当例6（1997年研究生入学考试数学三）设随机变量的绝对值不大于1，且X， .在事件{}出现的条件下，在区间（-1,1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求的分布函数. 1{1}8PX...1{1}4PX..11X...XX()Fx解 （1）当时，； 1x..()0Fx.（2）当时，由于 11x...，得 1{1}{11}{11}{1}{1}PXPXPXPXPX...............115{11}1848PX.......另据条件知 1{1|11}(1)2PXxXx........于是对于，有 ，因此 11X...(1,](1,1)x...{1}{1,11}PXxPXxX..........{1|11)(11}PXxXPX..........155(1)2816xx.....(){1}{1}FxPXPXx.......{1}{1}PXPXx.......1557(1)81616xx.....（3）当时， . 1x.(){}1FxPXx...综上，分布函数为 xxFxxx...............当 当当例7 设，求:（1）；（2）；（3） 2~(3,2)XN{25}PX..{2}PX.{3}PX.解 因，故 . 3~(0,1)2XN.（1） }122222XXPXPP.........................11(1)()(1)[1()]22..........0.50.5328;....（2） {2}1{2}1{22}PXPXPX.........XP...............52222XXPP..........................1(0.5)(2.5)11(0.5)1(2.5)..............0.80.6977;....（3） 333{3}1{3}122XPXPXP................50.5.2XP................例8 设服从泊松分布，且已知，求 . X{1}{2}PXPX...{4}PX.解 由题意可知 ，的概率分布列为 ~()XP.{}(0,1,2,)!kPXkekk......已知，所以 ，即，解得或（舍去）.故.因此 22ee.......22...2..0..~(2)XP{4}{3}{4}{41}{51}PXPXPXPXPX...........0....例9 （寿命保险问题） 在保险公司里有2500位同年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在一年里每个人死亡的概率为0.002，每位参加保险的人在1月1日付12元保险费，而在当年死亡时家属可领取保险公司的赔偿金2000元.问：（1）“保险公司亏本”的概率是多少？保险公司获利不少于10000元的概率是多少？ 解 （1）设为该保险年中的死亡的人数，则，设={保X~()XBA险公司亏本}，则 {}{15}AXX......因此 16(){15}0.kkkkPAPXC......0.kkkkC.....069!kkek......由于此处很大，很小， ，故可用泊松分布来近似代替二项分布.由此可见在一年里，保险公司亏本的概率是非常小的. npnp.....（2）设={保险公司获利不少于10000元}，则 B{00}{10}BXX.....故 (){10}0.kkkkPBPXC......05!kkek.....由以上结果可知保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上，这就说明了保险公司为什么那样乐于开展保险业务. 例10 有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验；从中任取10件，经检验无次品则接受这批产品，次品大于2则拒收；否则作第二次检验，其做法是从中任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品.若产品的次品率为10%，求：（1）这批产品第一次检验就能接受的概率；（2）需作第二次检验的概率；（3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率；（4）这批产品在第一次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率；（5）这批产品被接受的概率. 解 设表示抽检的10件产品中产品的件数，因产品的批量很大，可以近似认为 . X~(10,0.1)XB（1）设表示第一次检验能接受的事件，则 1A101(){0}(0.9)0.3487PAPX....（2）用表示需作第二次检验的事件，则 2A2(){1}{2}PAPXPX.....1(0.9)(0.1)(0.9)CC......98(0.9)450.01(0.9)....8(0.9)(0..5811.....（3）令表示第二次检验的5件产品的次品数，则 ，设表示第二次检验被接受的事件，则 Y~(5,0.1)YB3A53(){0}(0.9)0.5905PAPY....（4） 2323()()()0..3431PAAPAPA....（5）设表示这批产品被接受，则 4A4(){0}{1,0}{2,0}PAPXPXYPXY........0..6918...例11 在区间上任意投掷一个质点，以表示这个质点的坐标，设这个质点落在中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求的分布函数. [0,]aX解 由分布函数的定义，有 (){}XFxPXx..当时，事件表示点落在区间之外，它是不可能事件，所以 ；当时，事件的概率等于落在区间内的概率，它与的长度成正比，即，但当时，事件是必然事件，即，所以，因此；当时，事件是必然事件，所以，因此 0x.{}Xx.X[0,]a{}0PXx..0xa..{}Xx.x{}PXxkx..xa.{}1PXa..1ka.{}xPXxa..xa.Xx.{}1PXx..00()01XxxFxxaaxa............当 当当例12 设随机变量的分布律为 X-3 -2 -1 0 1 2 3 X0 0 P1516151151130求的分布律. 2YX.解 因为 {}{}{}(0)PYkPXkPXkk.......所以 1{0}{0}5PYPX....117{1}{1}{1}61530PYPXPX.........11{4}{2}{2}055PYPXPX.........}{3}03030PYPXPX.........故的分布律为 Y0 1 4 9 YP15730151130例13 对某目标进行独立射击，每次射中的概率是，直到射中为止.求：（1）射击次数的分布律；（2）脱靶次数的分布律. pXY[思路点拨] （1）用来验证是的分布律.（2）题意是射中为止. 11(1)1kkpp......1{}(1)kPXkpp....X解 （1）依题意，射击命中可能发生在第一次、第二次，，所以所有可能的取值为设={射击时在第次命中}，则，于是 X1,2,,,,kkAk112{}kkXkAAAA...1{}(1)kPXkpp....由于可任意取值，因此的分布律为 kX1{}(1)kPXkpp....(1,2,)k.（2）射击时，可能没有脱靶，也可能脱靶一次，脱靶二次，，因此的所以可能取值为则，于是 Y0,1,2,,,,k112{}kkYkAAAA...{}(1)kPYkpp...(1,2,)k.即为的分布律. Y例14 为保证设备正常工作，需配备适当数量的维修人员（配备少了影响生产，配备多了浪费人力），根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，每台设备工作情况互相独立.（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；（2）设有100台设备，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？ [思路点拨] 用表示同时发生故障的设备的台数，由于此问题可看成是的重伯努利概型，所以有. X0.01p.n~(,)XBnp解 （1）1人维修20台设备，，. 20,0.01np..~(20,0.01)XB(0.99)kkkPXkC...(0,1,2,,20)k.于是所求概率为 {1}1{1}1{0}{1}PXPXPXPX.........00.010.........由于，因此可用泊松分布近似代替二项分布，即 20,0.2nnp....(0.2)P(20,0.01)B10.20.20.20.2{1}111.20.01751!PXeee..........（2）100台设备统筹考虑，. 100,~(100,0.01)nXB..01(0.99)kkkPXkC...(0,1,2,,100)k.设设备个维修人员，所求概率为 N1{}{1}0.01(0.99)!kkkkkNkNPXNPXNCek...............由于，因此可用近似代替 .即 100,1nnp....(1)P(100,0.01)B111{}0.01!kkNPXNek........查泊松分布表得，故，因此配备4个维修人员就可以达到要求. 15N..4N.例15 设随机变量在区间（0,5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率. X210xXx...[思路点拨] 为使方程有实根，判别式必须不小于零，即，计算该事件的概率即可. 240X..解 随机变量的密度函数为 X欢迎您转载分享： 更多精彩：