A等于负的根号2,B等于正的根号7,在A-B之间表示整数的点有多少个
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发表于 14:41:00
关于双曲线的两个离心率的观点,我感到疑惑.是否圆锥曲线均可认为有两个离心率?求教老封.
发表于 15:42:00
这是个有意义的问题，我过后回答。
发表于 16:17:00
这可从圆锥曲线的定点弦中点轨迹问题解释起。如图，设P是椭圆内部（或边界上）一点，过P作任意弦（割线）AB，求AB的中点M的轨迹。 由于整个问题只涉及仿射性质，故可借助圆来回答。见上右图，根据圆的垂径定理，可知轨迹为以OP为直径的圆。据此，通过逆向的仿射变换，可知椭圆相应问题的答案为：轨迹为以OP为直径（注：仍是直径，却为椭圆之直径！）的另一椭圆，不过其离心率必与原先的椭圆相等，且轴的方向也完全一致。当P点跑到椭圆外时，只是位于原椭圆外的那段是达不到的，须舍去。其余跟P在椭圆内的情形没有区别。 抛物线的情形亦与此类同。再来看双曲线，当P在双曲线内部（指含焦点的区域）时，与椭圆的情形完全相仿： 当P在双曲线外部时，似亦与椭圆情形类似，只是形外的有一段是取不到的： 至此，情况似还一切正常，感觉不出何以将椭圆、抛物线、双曲线分开讨论。且慢，再看下去。当P在双曲线外某些区域时，突发觉轨迹双曲线形状发生了意外变化，有可能从渐近线的一组对顶区域跑到另一对相邻区域，开口从狭窄变成了开阔（或者反之）！但其渐近线却依然与原先是平行的： 如何解释上述现象呢？固然，离心率可刻划圆锥曲线的形状——凡离心率相等者皆相似。按通常离心率的定义，在这两个区域中的双曲线离心率并不一样（两者倒数的平方之和为1），可为何互相之间会转换不定呢？ 对此，确让人百思不解。后来才想明白：倘借用射影几何的思想，在无穷远处看这两种双曲线，它们便都退化成同样的两条直线（渐近线），因此宽容地将其视为“形状相同”亦未尝不可。如硬是将它们区分开，反倒会自添麻烦，呵呵。还有一更具说服力的例子：在杨路教授“谈谈重心坐标” 一文（《初等数学论丛（第3辑）》，上海教育出版社1981年5月出版）中，论述了三角形中的等角共轭变换，将任意直线变作经过三个顶点的圆锥曲线，反之也对；而这条圆锥曲线是椭圆、抛物线、双曲线，取决于这条直线与三角形外接圆相离、相切、相交。（原因是：在等角共轭变换下，外接圆与无穷远线互为变换的像。这利用重心坐标的工具是不难说明的。）1999年6月，我与江西曹纲作了进一步的思考，发觉：外心离开这条直线的距离，可以定量决定作为等角共轭像的圆锥曲线的离心率。其中两个有意思的特例是：（1）当直线与△ABC的外切圆相切时，其等角共轭像总是抛物线；（2）当直线经过外心O时，其等角共轭像总是等轴双曲线。后一条等价于［德］H•德里《100个著名初等数学问题——历史和解》一书第50题所提到的彭赛列-布里昂匈定理 ：“二次曲线成为等轴双曲线的充要条件是：它上面存在四点构成垂心组！”其实，这就是外心O至这条直线距离为0时的特例。备考：《圆锥曲线的几何性质》一书亦几度提及这个结论，如问题№306：“证明通过一个三角形的三个顶点及其三条高线交点的圆锥曲线都是等边（轴）双曲线，并且确定这些双曲线的中心的轨迹。”　（Lond．1st&&B．A．Hon．1872年）（注：中心轨迹是垂心组的九点圆。）Brianchon（1785 – 1864年）和Poncelet（1788 – 1867年）都是法国有名的几何学家。下图显示当动直线与某一比外接圆大的同心圆保持相切时，它的等角共轭像一定是△ABC的形状不变的外接椭圆： 相当于说，其离心率可由外心O离这条直线的距离所确定。但当同心圆半径比外接圆小时，随着切线的转动，双曲线形状亦出现与前述同样的特异：尽管两条渐近线夹角不变，但双曲线可能从一组对顶角内部跑到另一组对顶角内部。当时我这样写道：——不过从更深远的眼光来看，仍应认为双曲线的“形状”不改变。老殿曾对此感到困惑，在邮件中这样写道：【From: .cn&& 二次曲线位似？&&日 12:17】叶兄：上次信不知是否说清楚，兄言二次曲线位似，我一时没能深解。对图形作了变形，请叶兄指点。祝好殿林二○○四年五月十日 【To: .cn&&Re: 二次曲线位似？ 日 13:22】陈兄：你所感到费解处，在我看来并不费解，这实可归结为对二次曲线“位似”的一种理解方式：对二次曲线而言，最恰当的观点应当是——只要离心率相同，就应认为其“形状一样”。我所谓的“位似”，实是“形状一样”的同义词。可参考我在“新思索”开头部分所作的一个注（现复制如下，注意红色部分）。（下略……）老封04-05-20直到日，老殿终于求出了上述离心率的定量表达式：“昨天利用解析方法导出与三角形外心相距为d的直线关于三角形的等角共轭曲线的离心率的平方等于2R /（R＋d），R是三角形外接圆半径。即离心率只由直线到外心的距离决定。”至此，奥秘才被彻底解开了。原来上述公式中的d应取有向距离，有正负两值。他在日的来信中补充说：“以前寄给你的信中提到圆锥曲线的离心率计算公式，后面还有一个补充：圆锥曲线关于内接三角形的等角共轭像（直线）PQ的距离d也是有向线段，符号规律（只有双曲线需要考虑符号）是，d＞R时取正号，在PQ移近内接三角形过程中，每经过三个顶点和外心四者之一就改变一次符号（每经过三个顶点之一，圆锥曲线发生一次跃迁）。由于计算复杂，不知得出的符号规律是否完备，叶兄若有时间可以考虑一下。” 也就是说，圆锥曲线的离心率公式的完整版应取如下形式： 其含义如下：先在圆锥曲线上任取三点A、B、C以构成三角形，其外接圆半径为R；然后作出该圆锥曲线关于△ABC的等角共轭像（直线），△ABC的外心O离这条直线的距离为d。代入上述公式即可求得该圆锥曲线的离心率。 当圆锥曲线是椭圆或抛物线时，d≥R，代入公式时，d前只能取正号；当圆锥曲线为双曲线时，d＜R，代入公式时，d前可以取±号，因此有两个可能值（倒数的平方和为1）。我们都认可它是该双曲线的离心率。如果硬加取舍，反倒不方便了。建议对此采取变通的态度：认可圆锥曲线同时有两个离心率值——双曲线两个都是实值；抛物线时其一取1另一取无穷大；椭圆时一为实值、一为虚值。老殿后来几何画板中建立了度量圆锥曲线离心率的工具：离心率e&&——选圆锥曲线其操作结果便是：对双曲线，同时测出两个值；对椭圆，只能测出一值（另一显示为“未定义”）；对抛物线最为有趣，其一值当然是1，另一个是天文数字：某数×10^7，这反映了几何画板的测量误差，呵呵。最后，请大家参考版主ji23的一条帖子：“九点圆”（ool.net/topic_show.jsp?id=3500557&thesisid=494&flag=topic1）里面我介绍了2006年5月的一项有趣工作：&&“过四个定点的二次曲线的最小离心率，与其九点曲线的离心率的平方和恰好等于2。” 这是对垂心组四点及共圆四点两类极端情况推广得来的一个深刻结果。意味着圆和等轴双曲线处在两个极端：（1）圆是离心率最小的圆锥曲线，值为0；（2）等轴双曲线是离心率最大的圆锥曲线，值为sqrt（2）！有人会反问：难道双曲线的离心率没有比根号2更大的吗？呵呵，这正需要根据上述意义来理解的，指的是：双曲线两个离心率值中较小的那个达到最大。一个启示是：在理解数学概念时，有时需要更宽容些的态度，这样会给自己带来方便。例如有人把三角形的高刻板理解为是一条线段，因此发觉对于钝角三角形言，三条高交于一点的结论就出现了反例！又如，有人把圆的半径亦单纯理解为线段，于是在描绘圆大小时，总需在半径后面加上“长”字，依我看这些都算是蛇足。只要善于变通，学习数学就会显得更加灵活！
[本帖最后由:老封 最后编辑于
发表于 16:19:00
还有一个补充：在几何画板中我曾作过一个圆锥曲线的工具：过三点与已知二次曲线位似&&——先选三点，再选二次曲线用这一工具作与已知双曲线位似的另一双曲线，就会出现类似情形，应允许两个不同的开口方向。对此，我觉得不仅不必不安，而且还应庆幸我们对圆锥曲线的宽容态度取得了胜利，呵呵。不过，这一工具是一年多前编的，还不够稳定（主要一步利用圆锥曲线与直线的交点工具，而这一工具当时就不够稳定）。且对于抛物线不适用。现我打算用老殿提供的圆锥曲线与直线的交点新工具重编一下。可惜思路却有点忘了……画板高手，自己动手来编一个吧！
[本帖最后由:老封 最后编辑于
发表于 16:58:00
还有，在“李不凡的几何题”一帖的末尾，我亦推导出一个类似的离心率公式，不妨参考：ool.net/topic_show.jsp?id=3532122&thesisid=494&flag=topic1
[本帖最后由:老封 最后编辑于
发表于 20:32:00
呵呵，联系无处不在，只要细心体会，学习啦
发表于 15:07:00
印证双曲线离心率具双值性的另一例子是塔克（Tucker，）图形。如下图，任取两个彼此透视的三角形：△ABC和△DEF，则它们非对应边的六个交点P1、P2、P3、P4、P5、P6一定同在一条二次曲线上！称为这一对透视三角形所确定的“Tucker二次曲线”。固定其中一个三角形ABC，而让另一个△DEF的三边平行移动，但要保持它们的透视中心P固定不变，则上述Tucker二次曲线是在位似地变化，形成所谓“Tucker二次曲线系”。 当Tucker二次曲线系是椭圆或抛物线时，情况一切正常。但调整P的位置及△DEF三边的方向，使所对应的Tucker二次曲线成为双曲线，则又可观察到双曲线“跃迁”的奇异现象。这就使人不得不认可：只要渐近线彼此平行的双曲线，就该认为是“位似”（广义）的；渐近线夹角相等的双曲线，就该认为是“形状一致”（广义）的。而这都依赖于对双曲线离心率的这种宽容处置：不管“胖瘦”如何，只要两个离心率值中有一个是相同的，就对它们的形状不加区分，呵呵。一般人要做到宽容真还不容易，就从这件小事开头吧！打开几何画板，试试上面的作图，你就会明白这回事了：
[本帖最后由:老封 最后编辑于
发表于 15:09:00
另外，前面提到的过三点与已知二次曲线位似&&——先选三点，再选二次曲线这个工具已成功更新！刚刚新鲜出炉，是稳定的，用起来很方便，对抛物线也适用。而对双曲线，恰好能感受其行踪不定的灵活！需要者可来索取，呵呵
[本帖最后由:老封 最后编辑于
发表于 15:11:00
其实制作这一工具的原理是2004年10月时的一项收获，写在了给老殿的信中：【To: .cn&& 日 11:17】陈兄：你好。这几天你的来信比平日少，想必在忙些什么吧？ 这几天，我正在思索一个十分重要的课题，不过在此封信中无以详述。先将所得到的一个有趣的结果介绍于此：如下图，△ABC和△DEF是任意两个三角形。过点A作DE，DF的平行线；过点B作EF，ED的平行线；过点C作FD，FE的平行线——由此得到六边形AC′BA′CB′。过点D作AB，AC的平行线；过点E作BC，BA的平行线；过点F作CA，CB的平行线——由此得到六边形DF′ED′FE′。这两个六边形都是三组对边分别平行的六边形（可称之为“平行六边形”），也即三组对边交点共于无穷远线，故由Pascal定理知它们都共圆锥曲线。有趣的是，这两个圆锥曲线是位似的！见下图。 更有趣的是，当所共圆锥曲线为椭圆时，我发现它们的面积与△ABC，△DEF的面积成正比！换句话说，当△ABC和△DEF面积相等时，两个椭圆是全等的——它们之间属于平移的关系。&&&&&&&&&&&&&&&&&& 老封04-10-25【附件】．gsp（20.8KB）
[本帖最后由:老封 最后编辑于
发表于 11:05:00
多谢老封.我还有一个问题与您讨论.我通过坐标运算及猜想验证曾得到如下结论:对于圆锥曲线上一点P,通过一个对应,即对定点张直角的弦恒过另一定点,得到另一点Q,则当P在曲线上运动时,Q点的轨迹与P点所在曲线相似.而且相似比为e^2/(2-e^2).但我不知道相似的原因,即上述对应的特殊之处.还有所得相似比是否有很好的解释?
发表于 16:05:00
可参考这条帖：ool.net/topic_show.jsp?id=3877176&thesisid=494&flag=topic1里面我推导了：以椭圆内定点P为顶点作张角为90°的动弦，则动弦包络亦为一椭圆Ω，P为其一焦点。 设原椭圆的方程为：由此可知“手臂”OQ与OP之比为sqrt｛（a^2－b^2）/（a^2＋b^2）｝，这是与动点P位置无关的常值。且射线OP、OQ关于原椭圆的长轴恰好轴对称。因此，从P到Q的变换可分为两步：作关于长轴的一次轴对称，以及作关于原点O的一次伸缩。而这两个步骤都能保持图形的位似。所以，只要让P点沿某一曲线运动，则Q一点会沿另一位似的曲线运动；位似比就是前述的“手臂”之比。你所提到的情形是：当P跑到原先的椭圆边界上，此时包络椭圆Ω退化为线段，而动弦所经的定点就成了点Q。于是当P沿原椭圆运动时，像点Q之轨迹必是另一椭圆：
发表于 22:09:00
确实,当P在椭圆上时,Q的轨迹椭圆与原椭圆的相似比为(a^2-b^2)/(a^2+b^2),将e=c/a代入即为e^2/(2-e^2),而这一代数表达对于双曲线,抛物线均适用(正负可能有出入).这个变换所得结论也是对圆锥曲线普适的.我认为,将比例化为关于离心率的代数表达,对于结论的统一很有益.另外,双曲线的情形更丰富些,等轴双曲线是这一变换的奇异处.而抛物线则有一个平移的过程.这些因素阻碍了结论的进一步统一,不知是否有更好的方法将结论统一起来?所得相似比的代数式的结构,让我觉得这个比例应该有更深刻的含义.望高手不吝赐教.
发表于 22:19:00
还有,相关代数表达的得到有没有简便的方法?我的做法是通过特殊点得到一个表达式,然后猜想一般结论,再通过复杂的坐标运算来验证.有没有一步到位的更好的方法?
发表于 22:17:00
关于双曲线离心率的双值性，又找到一个生动例子。参见“种种构形下的相似三角形顶点轨迹”一帖末尾：（ool.net/topic_show.jsp?id=4182898&oldpage=1&thesisid=494&flag=topic1）
发表于 16:14:00
顶,希望ji23老师加精.
[本帖最后由:frankvista 最后编辑于
发表于 21:33:00
请参考 15:11所发的部分。
发表于 15:54:00
面对叶老师，只能膜拜。
发表于 16:36:00
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笑嘻嘻咯0031
1,根号下大于等于0,所以选C ,2由韦达定理可得,m^2-4=1,可得m=正负根号5,但是要方程有解,所以b^2-4ac大于等于0,所以选B 3,因为m,n为解,转化为mn,所以答案是A
其他几题懂了，就是第3题能再讲一下吗？
因为原方程Y=0时，X=m或n,所以m^2-=0,所以m^2-=-m,同理后面的=-n,所以原式=mn，根据韦达定理，可得1997
为什么m^2-=-m？从这里开始没懂
m^2-=m^2-1840m-m+1997=0-m=-m
后面的=-n，然后乘基=mn，之后韦达定理（可以百度。。。），因为nm为方程的跟，所以乘积为c/a=1997，我已经讲得不能再详细了。。。
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