机械能单元测试卷_百度文库
机械能单元测试卷
石光中学学年度高三物理第一轮总复习单元测试卷
《机械能》（试卷满分：100分，完卷时间：60分钟）
一、选择题： (在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项是正确的。选对得5分，选不全得3分，有选错或不答的得0分，共50分)
1、关于机械能是否守恒的叙述，正确的是：
A、作匀速直线运动的物体机械能一定守恒； B、作匀变速运动的物体机械能可能守恒； C、外力对物体做功为零时，机械能一定守恒； D、只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒。
2、一位高三年级的男生在平直的公路上以最快的速度骑自行车，该车所受阻力为车和人总重力的0.05倍，则该男生的功率最接近于：
3、如图所示，站在汽车上的人用手推车的力为F，脚对车向
后的摩擦力为f，以下说法中正确的是：
A、当车匀速运动时，F和f对车做功的代数和为零； B、当车加速运动时，F和f对车做的总功为负功； C、当车减速运动时，F和f对车做的总功为负功； D、不管车做何种运动，F和f对车做功的总功率都为零。
4、在光滑的水平地面上，动能为E0、动量为P0的小钢球1与静止的小钢球2发生碰撞，碰撞前后球1的运动方向相反。将碰撞后球1 的动能和动量大小分别记为E1、P1，球2的动能和动量大小分别记为E2、P2，则必有：
A、E1&E0 B、E2&E0
5、如图所示，分别用恒力F1和F2先后将质量为m 的物体由静止开始沿相同的粗糙斜面由底端推至顶端，第一次力F1沿斜面向上，第二次力F2沿水平方向，两次所用的时间相同，则在两个过程中：
A、F1做的功比F2做的功多；
B、物体机械能变化量相同；
C、第二次合外力做功较多；
D、物体的动量变化量相同。
贡献者：hao3shuxue
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高一物理机械能习题
高一系列练习精彩点拨 10 部分 1.高一物理 机械能守恒定律 同步达纲 1．如图 8―51 所示，小球自 a 点由静止自由下落，到 b 点时与弹簧 接触，到 c 点时弹簧被压缩至最短，若不计弹簧的质量和空气阻力， 小球由 a→b→c 的运动过程中 A．小球的动能逐渐减小 B．小球的重力势能逐渐减小 C．小球的机械能守恒 D．小球的加速度逐渐减小2．两个质
量相同的小球 A、B，分别用细线悬挂在等高的 、 O1 、 O2 点，A 球 的悬线比 B 球的长， 如图 8―52 所示，把两球均拉到与悬线水平后由 静止释放，以悬点所在平面为参考平面，到两球经最低点时的A. A 球的速度等于 B 球的速度 B．A 球的动能等于 B 球的动能 C．A 球的机械能等于 B 球的机械能 D．A 球对绳的拉力等于 B 球对绳的拉力3． 某同学身高 1． 在运动会上他参加跳高比赛， 8m， 起跳后身体横着越过了 1． 8m 高的横竿，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g 取 10m/s2 ) A． 2m／s B． 4m／s C． 6m／s D． 8m ／s4．如图 8―53 所示，光滑的水平桌面离地面高度为 2L，在桌的边缘，一根长 L 的匀质软绳，一半搁在水平桌面上，另一半自然悬挂在桌面上，放手后，绳 子开始下落，试问，当绳子下端刚触地时，绳子的速度是多大?参考答案1【同步达纲练习】 1. BC 点拨：小球的机械能转化为弹簧的弹性势能，小球和弹簧组成的系统 的机械能守恒． 2. CD 点拨：A、B 两球荡下时，绳的拉力不做功，只有重力做功，机械能守1 2 v2 m v ? m gl, v ? 2 gl , T ? m g ? m ? 2m g, T ? 3m g. 2 l恒：另外3．B 点拨：算高度时要从该同学的重心量起，由 得 ． v ? 4.2m / s 4． v ?1 2 mv ? mgh , h ? 0.9m 2，11gL 点拨：取地面为零势能面，由机械能守恒定律得 2 m m L L 1 g ? 2 L ? g (2 L ? ) ? mg ? ? mv 2 2 2 4 2 222．高一物理 机械能守恒定律 同步达纲 【同步达纲练习】 1.下列叙述中正确的是( ) A.合外力对物体做功为零的过程中， 物体的机械能一定守恒 B.做匀速直线 运动的物体机械能一定守恒 C.做匀变速运动的物体机械能可能守恒 D.当只有重力对 物体做功时，物体的机械能守恒 2.从地面竖直上抛两个质量不同而动能相同的物体(不计空气阻力)，当上升到 同一高度时，它们( ) A.所具有的重力势能相等 B.所具有的动能相等 C.所具有的机械能相 等 D.所具有的机械能不等 3.如下图所示，在粗糙斜面顶端固定一弹簧，其下端挂一物体，物体在 A 点处 于平衡状态.现用平行于斜面向下的力拉物体，第一次直接拉到 B 点，第二 次将物体先拉到 C 点，再回到 B 点.则这两次过程中( )A.重力势能改变量相等 C.摩擦力对物体做的功相等B.弹簧的弹性势能改变量相等 D.弹簧弹力对物体做功相等4 .在人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运行的过程中，下列说法中正确的是 ( ) A.动量和动能都守恒 B.动量和动能都不守恒，但机械能 守恒 C.动量不守恒，但动能守恒 D.动量和机械能不守恒 5.物体由静止出发从光滑斜面顶端自由滑下，当所用时间是下滑到底端所用时 间的一半时，物体的动能与势能(以斜面底端为零势能参考平面)之比为 ( ) A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶2 6.光滑斜面 A、B 与水平方向的夹角分别为 30°与 60°，自斜面底以相同速率 沿斜面 A 向上抛出小球 a，沿斜面 B 向上抛出小球 b，则下述说法中正确的 是( ) A.a、b 球上升最大高度相等 B.a、b 球沿斜面的最大位移 相等 C.二球从抛出到返回时间相等 D.a 球比 b 球先返回抛出点37.质量 1.0kg 的铁球从某一高度自由落下， 当下落到全程中点位置时， 具有 36J 2 的动能，如果空气阻力不计，取地面为零势能处，g 取 10m/s ，则( ) A.铁球在最高点时的重力势能为 36J B.铁球在全程中点位置时具有 72J 机械能 C.铁球落到地面时速度为 12m/s D.铁球开始下落时的高度为 7.2m 8.在长 1m 的细线下吊一个 2kg 的小球，线上端固定，将线拉到与水平成 30° 角时，从静止放开小球，当线与竖直方向 30°角时，小球速度大小为 m/s，当小球到悬点正下方时对线的拉力大小等于 N. 9.竖直放置的轻弹簧下端固定在地面上，上端与轻质平板相连，平板与地面间 的距离为 H1，如下图所示.现将一质量为 m 的物块轻轻放在平板中心，让它 从静止开始往下运动，直至物块速度为零，此时平板与地面间的距离为 H2. 若取无形变时为弹簧弹性势能的零点，则此时弹簧的弹性势能 Ep= .10.如下图所示，ABC 是一段竖直平面内的光滑的 1/4 圆弧形轨道，圆弧半径为 R，O 为圆心，OA 水平，CD 是一段水平光滑轨道.一根长 2 R、粗细均匀的细 棒，开始时正好搁在轨道两个端点上.现由静止释放细棒，则此棒最后在水 平轨道上滑行的速度为 .【素质优化训练】 11.如下图所示，在细线下吊一个小球，线的上端固定在 O 点，将小球拉开使 线与竖直方向有一个夹角后放开，则小球将往复运动，若在悬点 O 的正下方 A 点钉一个光滑小钉，球在从右向左运动中，线被小钉挡住，若一切摩擦阻 力均不计，则小球到左侧上升的最大高度是( )4A.在水平线的上方 D.无法确定B.在水平线上C.在水平线的下方12.如下图所示，OA、OB、BC 均为光滑面，OA=OB+BC,角 α ＞β ，物体从静止 由 O 点放开，沿斜面到 A 点所需时间为 t1，物体从静止由 O 点放开沿 OBC 面 滑到 C 点时间为 t2，A、C 在同一水平面上，则关于 t1 与 t2 的大小的下述说 法中正确的是( )A.t1=t2 定B.t1＞t2C.t1＜t2D.条件不足，无法判13.如下图所示，有许多根交于 A 点的光滑硬杆具有不同的倾角和方向.每根光 滑硬杆上都套有一个小环，它们的质量不相等.设在 t=0 时，各小环都由 A 点从静止开始分别沿这些光滑硬杆下滑，那么这些小环下滑速率相同的各点 联结起来是一个( )A.球面B.抛物面C.水平面D.不规则曲面14.如下图所示，三小球 a、b、c 的质量都是 m，都放于光滑的水平面上，b、c 与轻弹簧相连，都静止.a 以速度 υ 0 冲向 b，碰后与 b 一起运动，在整个运 动过程中( )A.三球与弹簧的总动量守恒，总机械能不守恒 B.三球与弹簧的总动量守恒，总机械能也守恒 C.当 b、c 球速度相等时，弹簧的势能最大 D.当弹簧恢复原长时，c 球的动能一定最大，b 球的动能一定为零 15.如下图所示，A、B 两物体和轻弹簧相连接，放在光滑的水平面上，物体 A 紧靠竖直墙.现在向左施力 F 推物体 B 使弹簧压缩，然后由静止释放，A 将 被拉离竖直墙.那么 A、B 与弹簧组成的系统，在 A 离开竖直墙以后的运动 过程中，下列说法中正确的是( )5A.系统的动量始终等于撤去外力时的动量 B.A 与 B 的速度相同 时，弹簧的弹性势能最大 C.弹簧出现的最短长度等于撤去外力时弹簧的长度 D.系统的机械能总 等于撤去外力时弹簧的弹性势能 16.如下图所示，分别用质量不计不能伸长的细线与弹簧分别吊质量相同的小 球 A、B，将二球拉开使细线与弹簧都在水平方向上，且高度相同，而后由静 止放开 A、B 二球，二球在运动中空气阻力不计，到最低点时二球在同一水 平面上，关于二球在最低点时速度的大小是( )A.A 球的速度大 D.无法判定B.B 球的速度大C.A、B 球的速度大小相等17.如下图所示，光滑的轨道竖直放置，O 为圆心，半径为 0.2m，A 点比圆心高 0.1m，质量为 0.1kg 的小球通过 A 点时的速度大小为 2m/s，则小球通过 B 点时的速度大小等于 m/s ， 对 B 点 的 压 力 大 小 等 于 N，小球最大上升高度比 O 点高 m.一 18.如上图所示，在光滑水平面上有两个物体，其质量分别为 mA=1kg,mB=2kg,A 与墙面间连有一个轻弹簧，B 以 υ 0=6m/s 的速度向 A 运动，与 A 碰撞后粘合 在一起继续向右运动而压缩弹簧，则弹簧被压缩至最大程度时具有的弹性势 能是 J.19.如下图所示，一轻质杆上有两个质量相等的小球 A、B，轻杆可绕 O 点在竖 直平面内自由转动.OA=AB=l，先将杆拉至水平面后由静止释放，则当轻杆转 到竖直方向时，B 球的速度大小为 .620.如上图所示，圆弧轨道在竖直平面内，半径为 R，高为 h，一物体从底端冲 上弧面，若不计摩擦，欲使物体通过圆弧顶端而又不脱离弧面，则物体在圆 弧底端时的速率 υ 0 应为 .21.如下图所示，在长度一定的细线下方系一小球，线的另一端固定，使悬线 与竖直方向成不同偏角 θ (0°＜θ ≤90°)时无速释放.则小球摆回到最低点 P 时，细线所受拉力的大 小范围是 .22.如上图所示，质量相等的重物 A、B 用绕过轻小的定滑轮的细线连在一起处 于静止状态.现将质量与 A、B 相同的物体 C 挂在水平段绳的中点 P，挂好后 立即放手.设滑轮间距离为 2a，绳足够长,求物体下落的最大位移.23.一根长为 L 的细绳，一端拴在水平轴 O 上，另一端有一个质量为 m 的小球. 现使细绳位于水平位置并且绷紧，如下图所示.给小球一个瞬间的作用，使 它得到一定的向下的初速度. (1)这个初速度至少多大，才能使小球绕 O 点在竖直面内做圆周运动? (2)如果在轴 O 的正上方 A 点钉一个钉子，已知 L，小球以上一问中的 最小速度开始运动，当它运动到 O 点的正上方，细绳刚接触到钉子时， 绳子的拉力多大?2 AO= 3724.黄河是我国也是世界上含沙量最多的大河.请回答下列有关黄河成灾和治 理的几个问题： (1)黄河的泥沙主要来自 . (2)根据河南省陕县水文站多年的观测资料，黄河平均每 立方米河水含沙量高达 37.7kg.如果按该水文站所测黄河 10 3 多年平均径流量 4.20×10 m 计算， 黄河每年通过该 站输往 下游的泥沙有多少吨?如果把这些泥沙筑成上底宽 0.6m，下底宽 1.4m，高 1m 的沙墙，则沙墙可绕地球赤道多少圈?(地球半径 R=6370km,黄河泥沙的密度按 -3 1.5g?cm 计算) (3)由于黄河成灾的要害是泥沙，因此 是治黄的关键所在.(4)上图是黄河两岸人民利用黄河下游河床高悬的特点创造的引黄淤灌工 程，实现了水沙资源的综合利用，化害为利.该工程把多泥沙的黄河水引出堤 外，主要依靠 ，它的吸程(图中 h1)最多不能超过 m? 如果某虹吸管的直径为 40cm，水面与堤脚的高差(图中 h2)为 5m，则该虹吸管 每秒可引水多少立方米?(不考虑水的粘滞力、管壁的阻力、摩擦力等的影响) 【知识验证实验】 随着人类能量消耗的迅速增加， 如何有效地提高能量利用率是人类所面临的 一重要任务.如下图是上海“明珠线”某轻轨车站的设计方案.与站台连接的 轨道有一小的坡度.请你从提高能量利用效率的角度，分析这种设计的优点.解析：节能.列车进站时，利用上坡使部分动能转化为重力势能，减少因为 刹车而损耗的机械能；列出出站时，利用下坡把储存的重力势能转化为动能， 起到节能作用.(若从力的角度分析，也可) 【知识探究学习】 2001 年 1 月 10 日， 我国航天试验飞船“神舟二号”成功发射.“神舟二号” 由中国酒泉卫星发射中心升空，在运行中进行了预定的空间科学实验.它标志 着我国航天事业迈出了重要步伐，是我国航天史上的重要里程碑. 酒泉这个神圣的地方，据史书记载，大将军霍去病曾带兵镇守此域，唐代大 诗人的名句“大漠孤烟直，长河落日圆”，描写的也是正是酒泉地区的风光， 与此相距不远的敦煌飞天女的神话故事，道出了华夏儿女亘古不灭的飞天梦想. 新型“长征”运载火箭，将重达 8.4 吨的飞船送至近地轨道 1，如下图所示，8飞船与火箭分离后，以速度 7.2km/s 绕地球做匀速圆周运动，经过运行几周， 飞船调整后在 Q 点开启发动机，短时间向外喷射高速气体使飞船加速，关闭发 动机后，飞船沿椭圆轨道 2 运行，到达 P 点，开启发动机再次使飞船加速，使 飞船速率符合圆轨道 3 的要求，进入轨道 3 后绕地球做圆周运动.利用同样方 法使飞船离地球越来越远，飞向广袤的宇宙太空.“神舟二号”飞船采用 20MHz 的频率向地面测控站发出无线电信号，报告 飞行的速度、位置、姿态以及各种试验情况.“神舟二号”在太空遨游了 7 天 后，宛如嫦娥下凡，姗姗降落在我国的内蒙古大草原.消息传来，举国欢庆. 这次飞行试验取得了丰硕成果，包括空间遥感、环境监测以及空间材料、生 命科学、天文和超重失重等科学试验，取得了大量翔实的数据，为我国载入航 天试验提供了充分的技术资料.“神舟二号”飞船的试验成功，再一次表明， 中国人民完全有能力独立自主攻克尖端技术，在世界高科技领域占有一席之 地. (1)轨道 1 离地面高度约 (已知地球半径 R=6400km,第一宇宙速 度为 υ 0=7.9km/s) A.8000km B.1600km C.6400km D.4200km (2)“神舟二号”在轨道 1 上的动能为 J.(3)飞船在轨道 2 上从 Q 点到 P 点过程中，速率 A.不变 B.增大 C.减少 法确定D.无(4)飞船在轨道 1、2、3 正常运行下，下列说法正确的是 A.飞船在轨道 3 上的速度大于在轨道 1 上的速度 B.飞船在轨道 3 上的速度小于在轨道 1 上的速度 C.飞船在轨道 1 上经过 Q 点的加速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点的加 速度 D.飞船在轨道 2 上经过 P 点的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点的加 速度 (5)飞船上的物体在下列哪些过程中处于超重状态? A.加速上升过程 B.在圆轨道 1 上运行 C.在椭圆轨道 2 上运行 D.减速下降过程 解析：(1)由物理知识 υ ＝ GM / r9可得 υ /υ 0= R(R ? h) ,求出 h=1600km. mυ =2.2×10 J. (3)由机械能守恒定律，飞船 Q 到 P，势能增大，动能减小. 2 (4)速度由 υ = GM / r 判断.加速度由 a=GM/r 判断. (5)飞船具有向上加速度时，处于超重状态，加速上升，减速下降时具有向 上的加速度，选 A、D. 航天技术是当今科技制高点，航天问题是理科综合的命题热点.我国“神 舟”号航天飞船的成功发射和近期“北斗”号导航卫星的升空，标志着我国航 天事业迈出了新的步伐，航天问题涉及到理科的能量、速度、动力来源等问题， 涉及到文科的地理知识、时政知识等. 答 案 1.C 、 D 5.B 9.mg(H1-H2) 【素质优化训练】 11.B 12.B 17.3.16；6；0.3 19.24gl 51 (2)Ek= 22 112.C 6.A 10. gR3.A 、 B 、 D 7.B、C、D4.B 8.2.71；413.C 18.614.A、C15.B、D16.A4 22. 320.2gh ≤v0 ≤ 2gh? gR21.mg＜T≤3mga23.(1) 3gL ；2mg 3．物理 机械能单元达纲检测题 【单元达纲检测】 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1.一物体从高处同一点沿不同倾角的光滑斜面滑到同一水平面，则( A.在下滑过程中，重力对物体做的功相同 B.在下滑过程中，重力对物体做功的平均功率相同 C.在物体滑到水平面的瞬间，重力对物体做功的瞬时功率相同 D.在物体滑到水平面的瞬间，物体的动能相同 2.自由落下的小球从接触竖直放置的弹簧开始到弹簧压缩到最大形变的过程 中，( ) B.小球的动能逐渐变小 D.弹簧的弹性势能逐渐变大10)A.小球的重力势能逐渐变小 C.小球的加速度逐渐变小3.质量为 m 的汽车以恒定功率 P 在平直公路上行驶， 汽车匀速行驶的速率为 υ 1， 若汽车所受阻力不变，则汽车的速度为υ 2(υ 2＜υ 1＝时，汽车的加速度大小 是(P A. m v22 P(v1 ? v2 ) m(v1 ? v2 )) B.P m v1C.P(v1 ? v2 ) m v1v2D.4.如下图所示，设 mA＞mB，不计滑轮的摩擦及质量，在 A 物体下落 的过程中，下列判断正确的是( A.物体 A 和 B 各自的机械能守恒 B.A 和 B 组成的系统机械能守恒 C.A 和 B 组成的系统机械能不守恒 D.A 的机械能减少，B 的机械能增加 5.在光滑水平面有一平板车上站着一个人，人与车一起做匀速直线运动.此人 手中拿着一个球，用如下两种方法将球水平抛出：一次沿车前进方向抛出， 对球做功为 W1，所施冲量大小为 I1；另一次沿与车运动相反方向抛出，对 球做功为 W2，所施冲量大小为 I2.若两次球离手时对地的速率相同，则两次 抛球过程比较( A.W1=W2,I1=I2 D.W1＜W2,I1＜I2 6.如下图所示，木块 A 放在木块 B 上左端，用恒力 F 将 A 拉至 B 的右端，第一 次将 B 固定在地面上，F 做功为 W1，生热为 Q1；第二次让 B 可以在光滑地面 上自由滑动，这次 F 做的功为 W2，生热为 Q2，则应有( ) ) B.W1 ＜ W2,I1 ＜ W2 C.W1=W2,I1 ＜ I2 )A.W1＜W2,Q1=Q2 Q2B.W1=W2,Q1=Q2C.W1＜W2,Q1＜Q2D.W1=W2,Q1＜7.如下图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在 A 处固定质量 为 2m 的小球，B 处固定质量为 m 的小球，支架悬挂在 O 点，可绕过 O 点并与 支架所在平面相垂直的固定轴转动.开始时 OB 与地面相垂直，放手后开始运 动.在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是(11)A.A 球到达最低点时速度为零 B.A 球机械能减少量等于 B 球机械能增加量 C.当支架从左向右回摆时，A 球一定回到起始 高度D.B 球向左摆动所能达到的最高位置应高于 A 开始运动时的高度 8.有一槽状的光滑直轨道，与水平桌面成某一倾角固定.一可视为质点的滑块， 从轨道顶端 A 点由静止开始下滑，经中点 C 滑至底端 B 点.设前半程重力对 滑块做功的平均功率为 P1，后半程重力对滑块做功的平均功率为 P2，则 P1∶ P2 等于( A.1∶1 点时的动能为( ) B.1∶ 2 ) C.1∶2 D.1∶( 2 +1)9.如下图所示，小球做平抛运动的初动能为 6J，不计一切阻力，它落到斜面 PA.10JB.12JC.14JD.8J10.质量为 m 的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内作半径为 R 的圆周运动， 运动过程中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点， 此时绳子的张力为 7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过 最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为(1 A. 4) D.mgRmgR1 B. 3 mgR1 C. 2mgR二、填空题(每小题 5 分，共 25 分) 11.一木块静止在光滑的水平面上，被一水平飞来的子弹击中，子弹进入木块 的深度为 2cm，木块在水平面上移动了 3cm,则产生的内能与子弹损失的动 能之比为 . 12.如下图所示，物体的质量为 m=2kg,滑轮的质量和阻力不计，今用一竖直向 上的力 F=12N 向上拉，使物体上升 h=4m 的高度，则在此过程中拉力所做的 功是 J.(取 g=10m/s )21213.下图所示，质量 m=2kg 的物体从 10m 高处由静止下落，进入沙坑 d=0.1m 深 处静止.取 g=10m/s ，物体在沙坑中受到的平均阻力为2N.14.汽车以速度 υ 沿倾角为 θ 的斜坡匀速上行.若保持功率不变， 汽车能以 3υ 大小的速度在这个斜坡上匀速下行.由此可知汽车与路面间的摩擦因数 为 . 15.物体 A 在甲、乙两个恒力共同作用下从静止开始沿如下图中虚线做直线运 动.若两力方向与运动方向的夹角分别为 α 和 β ，则在移动位移 s 的过程 中，两力所做的功之比 W 甲∶W 乙= .三、实验题(15 分) 16.验证“机械能守恒定律”的实验采用重物自由下落的方法：1 (1)用公式 2mυ =mgh 时对纸带上起点的要求是 .2； 为此目的，所选择的纸带第一、二两点间距应接近 0.02s，则记录 B 点时，重锤的速度 υ B= Ekb= 是 ，因此可得出的结论是 .(2)若实验中所用重锤质量 m=1kg,打点纸带如下图所示，打点时间间隔为 ，重锤动能 .从开始下落起至 B 点，重锤的重力势能减少量13(3)根据纸带算出相关各点的速度 υ ，量出下落距离 h 为横轴画出的图线应是如下图中的 示 .v2 h,则以 2为纵轴，以.图线的斜率表四、计算题(17 题 6 分，18、19、20 题每题 8 分，共 30 分) 17.如下图所示，质量为 m 的重锤从高 h 处自由下落，打在质量为 M 的木桩上， 重锤与木桩一起下沉距离 s.求木桩在下沉过程中遇到的平均阻力.18.取离开地球无限远处为重力势能为零点.设地球质量为 M、地球半径为 R、 万有引力常量是 G.已知一质量为 m、离地心距离为 r 的人造地球卫星的势 能为Mm Epr=-G r.则该人造卫星在距地面高度 h 处绕地球作匀速圆周运动时所具有的机械能是多少?19.如下图所示，质量为 m 的物体静止在光滑圆轨道的最低点 A.现对 m 施加一1 大小不变、方向始终沿圆轨道切线方向的力，使物体沿圆周轨道运动 4圆周到达 B 点，在 B 点时立即撤去外力 F.若要使物体在竖直圆弧轨道内侧能够 通过最高点作完整的圆周运动，问所施的外力 F 至少要多大?1420.下图所示为水平气垫导轨，滑块 A、B 用轻弹簧连接.今将弹簧压紧后用轻 绳系在 A、B 上，然后以恒定速度 υ 0 向右运动.已知 A、B 质量分别为 m1、 m2，且 m1＜m2.滑动中轻绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，滑 块 A 的速度刚好为零.求： (1)绳断开到弹簧第一次恢复到自然长度过程中弹簧释放的弹性势能 EP； (2)在以后运动过程中， 滑块 B 是否会有速度等于零的时刻?试通过定量分析 讨论来证明你的结论.参考答案 1.A、D 7.B、C、D 13.2020 2.A、D 8.D 14.2tanθ 3.C 9.C 4.B、D 10.C 5.C 11.2∶5 6.A 12.9615.tanβ /tanα16.(1)初速度等于零；2mm (2)0.59m/s;0.17J；0.17J；在实验误差范围内，重锤动能的增加等于重锤 重力势能的减少 （3)C；重力加速度 gm 2 gh 17.(M+m)g+ ( M ? m) SGMm 18.- 2( R ? h)519. ? mgm1 (m1 ? m2 ) 20.(1) 2m2v02(2)B 没有速度为零的时刻，证明略. 4．验证机械能守恒定律 知识精讲 1.实验目的15学会用打点计时器验证机械能守恒定律的实验方法和技能. 2.实验原理 在物体自由下落的过程中，只有重力对物体做功，遵守机械能守恒定律，即 重力势能的减少量等于动能的增加量.利用打点计时器在纸带上记录下物体 自由下落的高度 h，计算出即时速度 υ ，便可验证物体重力势能的减少量1 △Ep=mgh 与物体的动能增加量△Ek= 2 1 是否相等， 即验证 gh 是否等于 2mυ2υ .23.实验注意事项 (1)安装打点计时器时，必须使穿纸带的两个限位孔在同一竖直线上，以减 小摩擦阻力. (2)接通电源前，穿过打点计时器的纸带应平展不卷曲，提纸带的手必须拿稳 纸带，并使纸带保持竖直，从而不致人为地增大摩擦阻力，导致机械能损 耗. (3)实验时，必须先接通电源，让打点计时器工作正常后才能松开纸带让垂锤 下落，从而使纸带下落的初速度为零，并且纸带上打出的第一个点是清晰 的一个小点. (4)选用纸带应尽量挑选第 1、2 两点间的距离接近 2mm 的纸带，以保让打第 一个点时纸带的速度为零. (5)测量下落高度时，都必须从起点算起，不能搞错，选取的各个计数点要离 起始点适当远一些，以减小测量高度 h 值的相对误差. (6)因验证的是 量重锤的质量 m. 4.实验误差 由于重物和纸带在下落过程中要克服阻力(主要是打点纸带所受的阻力)做 功，所以势能的减小量△Ep 稍大于动能的增加量△Ek. 【重点难点解析】 本实验重点是通过实验验证机械能守恒定律，难点是对机械能守恒条件的 深入理解及本实验的原理、实验器材的选用和误差的分析. 例 1 在“验证机械能守恒定律”的实验中，有如下可供选择的实验器材：铁 架台、打点计时器以及复写纸、纸带、低压直流电源、天平、秒表、导1 ghn,是否等于 2υ n，不需要知道动能的具体数值，故无需测216线、电键.其中不必要的器材是 是 源、重锤、刻度尺. .；缺少的器材解析：不必要的器材是低压直流电源、天平、秒表；缺少的器材有低压交流电 因为此实验要利用重锤和纸带系统做自由落体运动来验证机械能守恒.实 验中通过打点计时器记录重锤自由下落的运动情况，测量重物下落的高度 h.和对应记录点的速度 υ n，通过计算 械能守恒定律.显然处理数据时，比较1 mghn 和 2 1 ghn 和 2mυ2 n2 n的值进行比较来验证机υ的值即可验证机械能守恒定律是否成立.因此不需要天平、秒表，但必须要有低压交流电源、重锤和 刻度尺.因为打点计时器工作电源是低压交流电源而不是低压直流电源. 例2 应2在“验证机械能守恒定律”的实验中： ；开始打点记录时， .v2 为横轴，根据实验数据绘出的 2(1) 打 点 计 时 器 的 放 置 要 求 是(2)如果以 υ /2 为纵轴，以 h 是 是 锤，让它带着纸带自由下落.―h 图线，该线的斜率 .解析：(1)打点计时器底板平面要竖直夹稳；先打开打点计时器，然后释放重 (2)通过坐标原点的一条倾斜直线，该线的斜率等于重力加速度. 是因为：(1)只有打点计时器竖直夹稳，才能保证限位孔与纸带运动方 向相同，以减少纸带运动时和限位孔的摩擦.(2)若重锤做的是自由下1 落，应有 2 1 即2mυ =mgh2υv2 2 =g?h，由数学知识可知， 2和 h 成正比，v2 绘出 2-h 图线将是正比例函数图像，图线的斜率 k=g.例3在验证机械能守恒定律的实验中，有同学按以下步骤进行实验操作：A.用天平称出重锤和夹子的质量； B.固定好打点计时器，将连着重锤的纸带穿过限位孔，用手提住，且让手 尽量靠近打点计时器；17C.松开纸带，接通电源，开始打点.并如此重复多次，以得到几条打点纸带； D.取下纸带，挑选点迹清晰的纸带，记下起始点 O，在距离 O 点较近处选择 几个连续计数点(或计时点)，并计算出各点的速度值； E.测出各点到 O 点的距离，即得到重锤下落高度； F.计算出1 mghn 和 2mυ n，看两者是否相等. ；有错误或不妥的步骤是 ，② ， .2在以上步骤中，不必要的步骤是 (填写代表字母)；更正情况是① ③ ，④解析：本实验的目的是要验证机械能守恒定律，即比较重锤在下落过程中重力 势能的减小量△Ep 与动能的增加量△Ek 是否相等，如果操作不当或错误， 就会增大重锤和纸带所受阻力，导致机械能损耗过大，无法达到实验目 的，为了保证实验成功和减少机械能损耗，在实验操作时应遵照注意事 项，因此本题可对照实验注意事项和围绕减小误虑. 因本实验是通过比较重力势能的减小量△Ep 是否等于动能的增加量△Ek 是否相等来验证机械能守恒的，不需要知道动能的具体数值，因而不需要测出 重物(含重锤和夹子)的质量，故步骤 A 是多余的. 有错误或不妥的步骤是 B、C、D、F.原因和更正办法分别是： B 中“让手尽量靠近”应改为“让重锤尽量靠近打点计时器”，因打点计时器 开始工作应从与垂锤靠近的纸带开始打点，不致留下过长的空白纸带，纸带 也不宜过长，约 40cm 即可. C 中应先接通电源， 后松开纸带.因为只有当打点计时器工作正常后再让重锤下 落，才可保证打第一个点时重锤的初速度为零，并且使纸带上的第一个点是 清晰的小点. D 中应将“距离 O 点较近处”改为“距离 O 点较远处”，因为所取的各计数据 (或计时点)应尽量是重锤自由下落运动的真实记录，而打点计时器按通电源 开始工作后不一定很快就能达到稳定状态，同时开始的几个点比较密集，会 增加长度测量的误差.18F1 中应改为“ghn 和 21 和动能增加量 2υ n” 因本实验中是通过比较重锤的重力势能减小量 mghn ，2 n2mυ的大小来达到验证的目的，以于同一个研究对象(重锤)1 ghn 和 2来说，质量是一定的，故只需比较 【难题巧解点拨】 例 1υ2 n就能达到目的.在“验证机械能守恒定律”的实验中，已知打点计时器所用的电源的频 率为 50Hz，查得当地的重力加速度 g=9.80m/s ，测得所用的重物质量为 1.00kg.实验中得到一条点迹清晰的纸带(如图所示)，把第一个点记为 O， 另选连续的 4 个点 A、B、C、D 作为测量的点，经测量知道 A、B、C、D 各 点到 O 点的距离分别为 62.99cm，70.18cm，77.76cm，85.73cm.根据以上 数据， 可知重物由 O 点运动到 C 点， 重力势能的减少量等于 动能的增加量等于 J(取 3 位有效数字). J，2解析：由本实验原理：重物自由下落过程中，由于只有重力做功(忽略空气阻 力)，遵循机械能守恒定律，即物体的重力势能减少量等于动能的增加量， 即 mg△h= mυ .由题意知重物由 O 点运动至 C 点，下落的高度为 hC=OC,hc=77.76cm=0.776m,m=1.00kg,g=9.80m/s △Ep 为： △Ep=mghC=1.00kg×9.80m/s ×0.776m=7.62J. 重物经过 C 点的即时速度 υ C 可由下式求出：υ 又∵T=0.02s OD=85.73cm=0.8573m OB=70.18cm=0.7018m ∴υ0.857 ? 0.7018 2 ? 0.02 C= BD C= 2T OD ? OB = 2T2 21 22∴重力势能的减少量m/s=3.98/s∴重物动能的增加量△Ek 等于：1 △Ek= 2mυ2 C1 =2×1.00×(3.98) J=7.56J219例 2在利用重锤自由下落“验证机械能守恒定律”的实验中，在打出纸带并 测量出第 n 点到第 1 点的距离后， 用公式 υ n=ngT(T 为打点时间间隔)来计 算打第 n 点时重锤的速度，然后计算重锤动能的增量△Ek 和重锤重力势能 的减少量△Ep.计算时经常出现△Ek＞△Ep 的结果，试分析其中的原因.解析：本题可从如下两方面进行分析：(1)由于重锤和纸带受到阻力，它们下 落的实际加速度 a 将小于重力加速度，而利用重力加速度 g 来计算速度 υ =n?g?T，将使得 υ 值偏大. (2)在先接通电源使打点计时器工作， 再让纸带从静止释放的步骤中，常常容易造成纸带上记录下来的最初两点 之间的时间间隔小于 0.02s，计算中仍按 0.02s 计算，也将使得速度值 υ =n?g?T 偏大. 【命题趋势分析】 本节实验主要考查学生对实验原理的理解，分析误差产生的原因. 【典型热点考题】 某同学在做“验证机械能守恒定律”的实验时，不慎将一条选择好的纸带 的前面部分损坏了，剩下的一条纸带上各点间的距离，他测出并标在纸带上， 如下图所示.已知打点计时器的周期是 0.02s，重力加速度为 9.8m/s .2(1)利用纸带说明重锤(质量为 mkg)通过对应于 2、5 两点过程中机械能守恒. (2)说明为什么得到的结果是重锤重力势能的减小量△Ep 稍大于重锤动能的增 加量△Ek? . 解析：如果纸带前面部分没有损坏，则纸带上打点计时器所打的第一个点即是 重锤自由下落的初始时刻，由于 υ 0=0，则重锤下落 hn 过程中动能的增加 量△Ek 就在数值上等于h( n ?1) ? h( n ?1)1 hn 处的末动能 2mυ n，给数据分析和验证工作带来2方便.今纸带前面部分已损坏，仍可验证机械能守恒，只不过需要两次运 用公式 υ n=2t，分别计算 2、5 两点对应时刻的瞬时速度，然后计算出 2、 两点对应过程的动能增加量△Ek 和该过程的重力势能减小量△Ep， 5 再比较两者大小达到验证机械能守恒的目的. (1)重锤在对应 2、5 两点时的速度分别为20υ υ(2.80 ? 3.18) ?10?2 2 ? 0.02 1= (3.94 ? 4.30) ? 10?2 2 ? 0.02 2=m/s=1.495m/s m/s=2.06m/s则重锤在 2、5 两点对应过程的动能增加量为1 △Ek=Ek2-Ek1= 2mυ22 21 -2mυ2 11 =2m(υ 2-υ 1)=1.004mJ,-2 -22而重锤在该过程中下落的距离为 △h=(3.18+3.56+3.94)×10 m=10.68×10 m 则重锤在该过程减小的重力势能为 △Ep=mg?△h=1.047mJ 在允许的实验误差范围内可以认为△Ek=△Ep,即机械能守恒. (2)因重锤拖着纸带下落时，空气阻力和打点计时器的阻力做功而使重锤的机 械能有损失，故重力势能的减小量稍大于动能的增加量. 5． 验证机械能守恒定同步达纲 1.在“验证机械能守恒定律”的实验中有关重锤的质量，下列说法中正确的是 ( ) A.应选用质量较大的重锤，使重锤和纸带所受的重力远大于它们所受的力 B.应选用质量较小的重锤，使重锤的惯性小一些，下落时更接近于自由落体 运动 C.不需要称量重锤的质量 D.必须称量重锤的质量，而且要估读到 0.01g 2.某同学在进行“验证机械能守恒定律”实验时，获得了数条纸带，则正确的 是( ) A.挑选第一、二两点间的距离接近 2cm 的纸带进行测量 B.在纸带上选取点迹清楚的、方便测量的某点作计数点的始点. C.用刻度尺量出各计数点到第一点迹之间的距离， 得出重锤下落相应高度 h1、 h2??hn.21h( n ?1) ? h( n ?1)D.用公式 υ = A.质量 速度2t，计算出各计数点对应的重锤的瞬时速度. ) D.瞬时3.在验证机械能守恒定律的实验中，需要测量的是重物的( B.下落高度 C.下落时间4.在利用重锤做自由落体运动验证机械能守恒定律的实验中，挑选纸带的原则 是① ，② . 5.在使用重锤和打点计时器验证机械能守恒定律的实验中，选定了一条较为理 想的纸带，如下图所示，O 为起始点，以后各点依次记为 1、2、3??.纸带 上所打的各点， 记录了重锤在不同时刻的 是重锤从开始运动到各时刻的 重锤动能的表达式为 “4”点时重锤机械能的表达式为 T). ， 测得的 S1、 2、 3?? S S ，当打点计时器打点“4”时， ；若以重锤运动的起点为参考点.打第 (打点计时器的打点周期为6.在利用打点计时器等器材验自由下落物体的机械能守恒时，打点计时器的电 源频率是 50Hz，某同学先后打出两条纸带.纸带甲上第 1、2 两点，第 2、3 两点，第 3、4 两点，第 4、5 两点间的距离依次是 1.9mm、6.0mm、10.0mm、 14.0mm；纸带乙与上述对应的两点间距离依次是 2.5mm、6.0mm、10.0mm、 14.0mm.那么应该选用纸带 重 力 加 速度 大 小为 和增加的 等. 7.用打点计时器做“验证机械能守恒定律”的实验中，给出了下列操作： A.用刻度尺测出选定的 O 到 1、2、3??点之间的距离，查出当地 g 值； B.在支架上竖直架好打点计时器； C.测出重锤的质量；222进行测量和计算.根据你所选用的 m/s . 在 打 第 3 点 的瞬 时 ， 重物 的 速度 为纸带，利用第 2、3 两点间的距离和第 4、5 两点间的距离，可以算出当地的 m/s.为了验证机械能守恒定律，应该计算出打第 2、3、4 间时物体减少的 ，然后比较它们的数值在允许误差范围内是否近似相D.算出各对应点的势能和动能，并通过比较得出结论； E.提着纸带，使重物静止在靠近打点计时器的地方； F.把电池接到打点计时器的接线柱上； G.将 50Hz 低压电源接到打点计时器的接线柱上. H.接通电源再松开纸带. 请你选出其中正确的操作步骤，并排出合理的操作顺 序 .(用字母填写) 器打出的一些点子模糊不清，故必须选择比较清楚的点作为测量起点.今所 选的测量范围的第 1 点在米尺上的位置为 x1,第 4 点在米尺上的位置为 x2,第 7 点在米尺上的位置为 x3,第 10 点在米尺上的位置为 x4.若下落物体的质量为 m，打点计时器每隔 T 秒打一点，则可利用上述数据求出物体从第 4 点到第 7 点过程中，势能的减少量是 ，动能的增加量是 . 若 打 点 计 时 器 使 用 的 交 流 电 频 率 是 50Hz ， 读 得 x1=2.8cm, x2=8.1cm, x3=16.8cm， x4=29.1cm，则势能的减少量为 为 【知识探究学习】 为了测定一根轻弹簧压缩最短时能储存的弹性势能的大小，可将弹簧固定 在一带有光滑凹槽的轨道一端，并将轨道固定在水平桌面的边缘上，如下图所 示，用钢球将弹簧压缩至最短，然后突然释放，钢球将沿轨道飞出桌面，实验 时： .已知当地重力加速度 g=9.8m/s .28.在利用自由落体验证机械能守恒定律的实验中，由于在运动的初始阶段计时，动能的增加量(1)需要测定的物理量 (2)计算弹簧最短时弹性势能的关系式是 Ep=. .解析：设桌高为 h、小球平抛运动中的水平位移为 s、小球的质量为在弹簧 将小球弹开达到原长的过程中，弹簧的弹性势能全部转化为小球的动 能，1 因此有：EP= 2mυ2①231 小球离开凹槽后做平抛运动，因此有：h= 2gt2s=υ t ②由上两式消去 t 可得到：υ 由①、②两式消去 υgs2 2= 2 hmgs2 2 并整理有：EP= 4h由 Ep 的表达式可知，需测量 m、s 和 h. 参考答案 1.A、C 2.C、D 3.B、D4.①点迹清晰且在一条直线上；②第 1、两点迹间距离接近 2mmm( s 5 ? s 3 ) 2 5.位置；位移； 8T 2m( s 5 ? s 3 ) 2 ; 8T 2-mgs?46.甲；10m/0.4m/s；重力势能；动能27.B、G、E、H、A、Dm〔( x4 ? x2 ) 2 ? ( x3 ? x1 ) 2〕 72T 2 8.mg(x3-x2)； ；0.853mJ；0.851mJ6. 冲量和动量 名师点拨【难题巧解点拨】 例 1 对于质量一定的物体，下面陈述中正确的是 A．物体的动量发生变化，其动能必定变化 B．物体的动量发生变化，其动能不一定变化 C．物体的动能发生变化，其动量不一定变化 D．物体的动能变化，其动量必定变化 解析 对于质量一定的物体，由 p=mυ 可知，物体的动量变化只有可能是υ 的变化引起，υ 是矢量，其变化有三种可能：(1)方向不变，大小改变(例如， 自由落体运动)；(2)方向改变，大小不变(例如，匀速圆周运动)；(3)方向、 大小均改变(例如，平抛物体运动)．所以，在第二种情况中，物体速度的大 小不变，其动能就不变，动量的大小也不变，但由于物体速度的方向改变， 动量的方向也就改变，故动量在变化.选项 B 正确，选项 A 错误． 对于质量一定的物体， 物体的动能变化， 物体的速度大小一定变化， 又由 p=m24υ 可知，物体的动量一定变化，选项 C 错误，选项 D 正确． 答案 BD 点拨 要记住一些典型的物理现象(如自由落体运动、匀速圆周运动、平抛运 动等)及其运动学特征，并且深刻理解其中的规律．这样，我们就可以运用 这些具体的模型来分析抽象的问题． 例 2 质量为 0.2kg 的小球自距地 0.8m 高处自由落下，碰地后跳起，第一次 所能达到的最大高度是 0.45m， 若空气阻力不计， 以竖直向下方向为正方向， 则小球落地时的速度是________； 弹起时的速度是________； 碰撞过程中动 量的增量是_______. 解析 设小球落地时的速度是 v1 ，弹起时的速度是 v2 ，则自由落体运动公式 v 2 ? 2 gs ，得： v1 ? 2gs1 ? 2 ?10? 0.8m / s ? 4m / s ．小球弹起时做竖直上抛运动， 由 v12 ? v0 2 ? 2(?g)s 得：v2 ? 2gs2 ? 2 ?10? 0.45m / s ? 3m / s ，方向竖直向上，碰撞 过程中动量的增量是 ?p ? mv2 ? mv1 ? 0.2 ? (?3) ? 0.2 ? 4 ? ?1.4(kg ? m / s) . 答案 4m／s； -3m／s； -1.4kg?m／s． 点拨 正确解答本题的关键是要运用题目给的条件，注意动量的矢量性． 例3 质量为 0.1kg 的小球以υ =3m／s 的速度水平抛出，当 t=0.4s 时，小球 的动量多大?在 0.4s 内，重力的冲量是多大?(g 取10m / s 2 ) 解析 小球作平抛物体运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运 动 ． 当 t=0.4s 时 ， 小 球 的 水 平 速 度 v x ? 3m / s ， 竖 直 方 向 速 度v y ? gt ? 10? 0.4m / s ? 4m / s ， 小球的合速度 v ? v x ? v y ? 32 ? 4 2 m / s ? 5m / s (如图2 27―1)．所以，小球的动量 p=mυ =0.1×5kg?m／s=0.5kg?m／s．由于υ 与水平方向的夹角θ 满足： sinθ =4／5=0.8，即θ =53°，所以小球在 0.4s 的动量方向跟υ 相同，与水 平方向成 53°角． 在 0.4s 内，重力的冲量 I=mgt=0.1×10×0.4N?s=0.4N?s，方向沿重力方 向，竖直向下． 答案 0.5kg?m／s，与水平方向成 53°角；0.4N?s，方向竖直向下． 点拨 (1)用 I=Ft 计算力的冲量时，不论物体做直线运动或曲线运动，F 必须 是恒力，即大小方向均不变．当 F 的大小改变或方向改变时，就不能用该 式计算 F 的冲量． (2)当物体受多个力作用，欲求合力的冲量时，可以先用平行四边形定则求出 所有分力的合力 F合 ，再代入 I=Ft，求出合力的冲量，也可以将各分力代入25I=Ft 中，求得各分力的冲量，再用平行四边形定则将各分力的冲量合成， 得到合力的冲量． 【拓展延伸探究】 课题：研究动量改变的计算方法． 目的：进一步理解动量是矢量，知道矢量的减法遵守平行四边形定则． 问题：如图 7―2 所示，一个质量是 0.2kg 的钢球，以 2m／s 的速度斜射到 坚硬的大理石板上，入射的角度是 45°，碰撞后被斜着弹出，弹出的 角度是 45°，速度仍是 2m／s，你能不能用作图法求出钢球动量变化 的大小和方向?方法 1：在计算某个物理量的变化时，总是用后来的值减去原来的值．所以， 钢球动量的变化应等于钢球末动量减去初动量．根据矢量的运算法 则，矢量的差是矢量的和的逆运算，钢球的初动量加上动量的变化应 等于末动量，根据三角形定则求得钢球的动量变化△P(如图 7―3)， △P 的大小为 2mv ? 2 ? 0.2 ? 2kg ? m / s ? 0.56kg ? m / s ，方向竖直向上．方法 2：如图 7―4，建立直角坐标系，将钢球的初动量、末动量在水平方向 和竖直方向分解， mvx ? mvcos45? ， mvy ? ?mvsin 45? ， mvx ' ? mv' cos45? ， mvy ' ? mv' sin 45? ,则钢球在水平方向的动量变化为 ?p x ? mvx ' ?mvx ? 0 ，竖 直方向的动量变化为 ?p y ? mv' sin 45? ? ( ?mvsin 45? ) ? 2mvsin 45? ? 2mv，钢 球总的动量变化 ?p ?(?p x ) 2 ? (?p y ) 2 ? 2m v，方向竖直向上．26以上解法采用矢量的“先分解后合成”的方法，与前面所学求共点力的合 力时，先将各分力正交分解，再求各分力在 x、y 轴方向的合力 Fx 、Fy 然后求得 合力 F ? Fx 2 ? Fy 2 的思路是相同的． 特别提示：求钢球的动量化时，是用钢球后来的动量减去原来的动量，― 定要进行矢量运用，若用钢球后来的动量大小减去原来动量的大小，进行代数 运算，将会得出钢球的动量变化 ?p ? mv'?mv ? 0 的错误答案．同学们初学时特别 要注意辨别． 7.高一物理 机械能守恒定律 知识精讲 【基础知识导引】 1．掌握机械能守恒定律，知道它的含义和适用条件． 2．会根据适用条件判定实际的物理过程机械能是否守恒． 【教材内容全解】 (1)只有重力做功时机械能守恒． 设一个质量为 m 的物体自然下落， 经过高度为 h1 的 A 点(初位置)时速度为 v1 ， 下落到高度为 h2 的 B 点(末位置)时速度为 v2 (图 8-42)，由动能定理得：WG ? 1 1 2 2 mv 2 ? mv1 . 2 2又由重力做功与重力势能的关系得： WG ? mgh ? mgh2 11 1 2 2 1 1 或 mv1 2 ? mgh1 ? mv 2 2 ? mgh 2 2 2则 mv 2 2 ? mv1 2 ? mgh1 ? mgh 2这表明，在自由落体中，物体的动能与重力势能之和保持不变,则机械能守 恒． 事实上，上面推导过程中涉及重力做功与动能变化、势能变化的关系，与 物体的运动轨迹形状无关， 因而物体只受重力作曲线运动(如平抛运动、 斜抛运 动等)时，机械能也一定守恒． (2)只有弹力作用时机械能守恒． 如图 8-43 所示，一个质量为 m 的小球被处于压缩状态的弹簧弹开，速度由 v1 增大到 v2 ，由动能定理得：27WN ?1 1 2 2 mv 2 ? mv1 ? E k 2 ? E k1 2 2由弹力做功与弹性势能的关系得： WN ? E p1 ? E p 2 则 Ek 2 ? Ek1 ? E p1 ? E p2 即 Ek1 ? E p1 ? Ek 2 ? E p2 ，物体的动能与弹性势能之和保持不变，机械能守恒． (3)既有重力做功，又有弹力做功，并且只有这两个力做功时，机械能也守 恒． 如图 8―44 所示，一根轻弹簧一端固定在天花板上，另一端固定一质量为 m 的小球，小球在竖直平面内从高处荡下，在速度由 v1 增大到 v2 的过程中，由 动能定理得WG ? W N ?1 1 2 2 mv 2 ? mv1 2 2又由重力做功与重力势能的关系得 WG ? E p1 ? E p 2 由弹力做功与弹性势能的关系得 WN ? E p1 '?E p 2 ' 则 E p1 ? E p 2 ? E p1' ? E p 2 ' ? mv 22 ? mv12 即 E p1 ? E p1 '? mv12 ? E p 21 21 21 2 1 2 ? E p 2 '? mv 2 ， 物体的动能、 重力势能和弹性势能之和保 2持不变，机械能守恒． (4)有除重力和弹力之外的力做功，将使机械能增大或减小，机械能不守 恒．例如，升降机匀速提升重物时，重物的动能不变，势能在增大，总的机械 能不守恒，原因是除重力做功外，升降机也对重物做功，且做正功，通过做功 将电能转化为重物的机械能． 又例如，在水平面上运动的汽车刹车后，逐渐减速并停止，汽车的重力势 能不变，动能在减小，总的机械能在减少，原因是汽车受到摩擦力做功，且做 负功，通过做功将机械能转化为内能． (5)有除重力和弹力之外的力做功，但力所做功的代数和为零，则机械能守28恒.例如，汽车在水平面上匀速行驶时，虽然受牵引力与摩擦力的作用，但其动 能和势能均不变，机械能守恒．原因是牵引力与摩擦力做功的代数和为零． 综上所述，如果只有重力和弹力做功，其他力不做功或做功的代数和为零， 物体的动能和势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变．这就是机械能守 恒定律． 【难题巧解点拨】 例1 如图 8-45 所示，桌面高为 h，质量为 m 的小球从离桌面高 H 处自由落 下，不计空气阻力，假设桌面为参考平面，则小球落到地面前瞬间的机械能 为A．0 B．mgh C．mgH D．mg(H＋h) 解析 小球在下落过程中只受重力作用，机械能守恒．取桌面为参考平面， 小球刚下落时的机械能为 mgH，那么小球落至任一位置的机械能都是 mgH． 答案 C 点拨 这里不能死记硬背重力势能公式 E p ? mgh,否则会错选 B 或 D． 例2 枪竖直向上以初速 v0 发射子弹，忽略空气阻力，当子弹离枪口距离 为_________时，子弹的动能是其重力势能的一半． 解析 子弹射出后，只受重力作用，机械能守恒．设上升到 h 高时，子弹 的 动 能 是 其 重 力 势 能 的 一 半 ． 由 机 械 能 守 恒 定 律 得2 v0 1 1 2 1 2 m v0 ? m gh? m v ? m gh? m gh, h ? . 2 2 2 3g v2 答案 0 . 3g点拨 根据动能与势能的关系，将动能的表达式用势能的表达式表示． 例3 总长为 L 的光滑匀质铁链跨过一个光滑的小滑轮，开始时底端相齐 (图 8―46)．当略有扰动时，其一端下落，则铁链脱离滑轮的瞬间速度多大?29解析 铁链在运动过程中只有重力做功，机械能守恒．设铁链的质量为 m， 取铁链刚离开滑轮时其下端所在水平面为参考平面． 则初状态铁链的机械能3 3 E1 ? mg ? L ( L 是铁链重心到参考平面的高度) 4 4 1 1 末状态铁链的机械能 E 2 ? mg ? L ? mv 2 2 2 3 1 1 由机械能守恒定律得 mg ? L ? mg ? L ? mv 2 4 2 2 2gL 解得 v ? 2 2gL 答案 2点拨 本题用牛顿第二定律求解会非常困难，而用机械能守恒定律求解，思 路清晰，步骤简单． 例4 如图 8-47 所示的装置中，木块 B 与水平桌面间的接触是光滑的， 子弹 A 沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短，现将子弹、木 块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则此系统在从子弹开始射入木块到弹 簧压缩至最短的整个过程中A．动量守恒，机械能守恒 B．动量不守恒，机 械能不守恒 C．动量守恒，机械能不守恒 D．动量不守恒，机 械能守恒 解析 从子弹射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程可以分为两个阶段， 第一阶段，子弹射入，使木块获得速度，此过程时间非常短暂，弹簧还未被压 缩；第二阶段，子弹与木块以同一速度压缩弹簧，直到速度为零，弹簧被压缩 至最短． 在第一阶段，系统不受外力，动量守恒，但由于子弹射入 木块中会产生热 量，子弹损失一部分机械能，机械能不守恒． 在第二阶段，子弹和木块以同一速度压缩弹簧，只有弹力做功，机械能守 恒，而此阶段中，墙壁对弹簧产生越来越大的作用力，系统受到的合外力不为 零，动量不守恒． (从直观也可以判断出系统的动量从有到无，不守恒) 综上所述，子弹从开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中动量不守 恒，机械能也不守恒．30答案 B 点拨 对过程较为复杂的物理问题，要分阶段逐一加以研究，找出规律，然 后综合考虑． 【拓展延伸探究】 课题：研究系统的机械能守恒条件． 目的：进一步理解系统的概念，掌握系统的机械能守恒条件． 问题：一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮，绳两端分别系着质量为 m1 、 m2 两 个物体，m1 ? m2 (图 8-48)．不计摩擦，证明：m1 和 m2 组成的系统的机械能守恒． 方法：演绎法．证明： m1 、 m2 分别受到重力和绳子拉力作用，由 F＝ma 得对 m1 有 m1 g ? T ? m1a 对 m2 有 T ? m2 g ? m2 a 联立解得 a ?(m1 ? m2 ) g m1 ? m22( m1 ? m2 )gh m1 ? m2设 m1 下降 h，则 m2 上升 h.由 v12 ? v02 ? 2as 对 m1 有 v 2 ? 0 ? 2ah, v 2m1 gh ? m2 gh?将 m1 、 m2 看成一个系统，该系统势能减少了 该系统动能增加了2(m1 ? m2 ) gh 1 1 1 1 m1v 2 ? m2 v 2 ? (m1 ? m2 ) ? v 2 ? (m1 ? m2 ) ? ? (m1 ? m2 ) gh 2 2 2 2 m1 ? m2系统势能的减少量等于动能的增加量，系统的机械能守恒． 在该系统中，除重力对 m1 、 m2 做功外，绳子拉力也对 m1 、 m2 做功，但是， 绳子拉力对 m1 做负功，对 m2 做正功，对系统做的功恰好为零．也就是说，系统 的机械能守恒的条件仍是只有重力和弹力做功，系统中物体所受其他力不做功 或做功的代数和为零． 【本章习题解答】 1．在下面列举的各个实例中(除 a 外都不计空气阻力)，哪些情况机械能是 守恒的?说明理由． a．跳伞员带着张开的降落伞在空气中匀速下落 b．抛出的手榴 弹或标枪在空中运动 c．拉着一个物体沿光滑斜面匀速上升(见图 8-49) d．在光滑水平面上滚动的小球碰到一个弹簧，把弹簧压缩后，又被弹回来 (见图 8-50) e．用细绳拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动 f．用细绳拴着一个小球，使小球在竖直面内做圆周运动31解析：a.不守恒，除重力做功外，还有空气阻力做功(负功)．本题除了用 机械能守恒定律的条件判断外，也可用机械能守恒的定义判断．降落伞匀速下 降，动能不变，但重力势能在减小，因而机械能不守恒． b．守恒，只有重力做功． c．不守恒，除重力做功外，还有绳的拉力做功，本题也可用机械能守恒的 定义判断． d．守恒，只有弹簧的弹力对小球做功． e．守恒，小球受到的重力、支持力和绳的拉力都不做功．事实上小球的动 能和势能均不变，所以机械能守恒． f.守恒，除重力做功外，绳的拉力始终与位移垂直，不做功． 8.机械能守恒定律 知识精讲 1.机械能 动能和势能(包括重力势能和弹性势能)，统称为机械能，即 E=Ek+Ep. 2.机械能守恒定律内容及其数学表达式 (1)机械能守恒定律：在只有重力(或弹簧的弹力)做功的情形下，物体的动能 和重力势能(或弹性势能)发生相互转化，但机械能的总量保持不变. (2)机械能守恒定律的表达方式，在各种具体问题中，可根据解题的需要，以 简便为原则列出不同形式的表达式.一般有下列几种常见形式： ①物体在初状态的机械能 E1 等于其末状态的机械能 E2， E2=E1 或 Ek2+Ep2=Ek1+Ep1 即 ? ②减少(或增加)的势能△Ep 等于增加(或减少)的总动能△Ek,即△EP=△Ek. ③系统内一物体机械能的增加(或减少)等于另一物体机械能的减少(或增加)， 即△E1=-△E2 (3)机械能守恒定律的具体内容包含以下几种情形： 在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的 总量保持不变； 在只有弹簧弹力做功的情形下，物体的动能和弹簧的弹性势能发生相互转化， 但机械能的总量保持不变； 在只有重力做功和弹簧弹力做功的系统内，则系统的动能，重力势能和弹性势 能之间发生相互转化，但三种形式能量之和即机械能总量保持不变. (4)由于组成机械能的势能是系统具有的，因而机械能守恒定律的研究对象是 物体系统.对地球表面单个物体往往也应用机械能守恒定律，这是因为地球和 物体相互作用过程中地球几乎不动，就不考虑地球动能和势能变化罢了. (5)由于机械能是状态量，不是过程量，而机械能的变化△E 才是过程量.因此 在所研究的物理过程中，必须先确定初始状态和终末状态的机械能.323.机械能守恒的条件 机械能守恒的条件是只有系统内的重力或弹性力做功.但并不意味着物体不受 其它外力，只是所受的其它外力不做功. 对机械能守恒的条件可理解为：没有系统外的力对系统做功，保证了所研究的 系统与外界没有发生机械能的传递与交换；系统内只有重力或弹性力做功，只 使系统内动能、重力势能或弹性势能发生相互转化，机械能没有转变成其它形 式的能.可见，这样的系统机械能是守恒的. 机械能守恒条件也是我们判断所研究的某个系统机械能是否守恒的依据和判 断方法.我们还可以由此进一步推论出：若系统内重力或弹性力之外的其它力 做功，则系统的机械能将发生改为.若其它力做负功则会使系统的机械能减少. 而且，系统机械能的变化就用其它力的功来量度. 【重点难点解析】 本节重点是理解机械能守恒定律的内容，列出定律的数学表达公式.难点 是在具体情况下，物体机械能是否守恒，机械能守恒与动量守恒的条件比较. 应用机械能守恒定律，只须考虑相互作用的物体系统的初、末状态的物理量， 而不须分析中间过程的复杂变化，使处理的问题得到简化.应用机械能守恒定 律时，相互作用的物体间的力可以是变力，也可以是恒力.只要符合守恒条件， 机械能就守恒. 机械能守恒条件和动量守恒条件不同.机械能是否守恒，决定于是否有重 力和弹力以外的力做功，而动量守恒，决定于是否有外力作用.所以，在利用 机械能守恒定律处理问题时要着重分析力的做功情况，看是否有重力和弹力以 外的力做功；在利用动量守恒定律处理问题时着重分析系统的受力情况(不管 是否做功)，并着重分析是否有外力作用或合外力是否为零.应特别注意：系统 动量守恒时，机械能不一定守恒；同样机械能守恒的系统，动量不一定守恒， 这是两个守恒定律的守恒条件不同的必然结论. 例1 如下图所示的装置中，木块 B 与水平桌面间的接触是光滑的，子弹 A 沿 水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短.现将子弹、木块和 弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则此系统在从子弹开始射入到弹簧压 缩至最短的整个过程中( )A.动量守恒，机械能守恒 B.动量不守恒，机械能不守恒 C.动量守恒，机械能不守恒 D.动量不守恒，机械能守恒 解析：子弹打击木块 B，子弹和 B 组成系统.由于作用时间很短，弹簧还未发生 形变， 合外力为零， 系统动量守恒.子弹对 B 的摩擦力做功(A 的位移很小)， 小于子弹克服摩擦力做功，两者的总功为摩擦力乘以子弹射入木块的深 度，即-f?d，机械能减少，机械能不守恒.在压缩过程中，系统受墙的冲 量，动量不守恒但机械能守恒，因系统所受墙的作用力不做功，只有弹簧33弹力做功.若从开始作用直到将弹簧压至最短作为一个过程，组成系统的 木块、子弹和弹簧既受外力作用又有除弹力以外的力做功，所以系统的动 量和机械能均不守恒.答案选 D. 说明 如果物体运动由几个不同的物理过程组成，则应分析每个过程动量和机 械能是否守恒.本题的关键是所要求研究的物理过程包含两个不同的过 程：①子弹射入木块的短暂过程，两者达到共同速度.因时间和空间上的 不明显性，容易漏掉和忽视，但相互作用的效果是明显的.②子弹和木块 以共同速度一起压缩弹簧的过程. 如下图所示，轻弹簧竖直立在水平桌面上并与桌面连接，在距弹簧上端 高为 h 处有一小球自由下落，正好落在弹簧上，把弹簧压缩后又被弹起， 不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )例 2A.小球落到弹簧上后立即做减速运动，动能不断减小，但动能与弹性势能之 和保持不变 B.小球在碰到弹簧后，把弹簧压至最短的过程中，系统的重力势能与动能之 和一直在减小 C.小球在碰到弹簧后，把弹簧压至最短的过程中，系统的弹性势能与重力势 能之和一直在增大 D.小球被弹簧弹起后，运动的最高点仍是出发点 解析：由于不计空气阻力，以小球、弹簧和地球组成的系统为研究对象，则 只有系统内的重力和弹力做功，因此系统的机械能守恒，即小球的动能、重力 势能和弹簧的弹性势能相互转化，这三种能量之和保持不变.所以本题应根据 机械能守恒进行分析与判断. 小球落到弹簧上，压缩弹簧向下运动至最低点的过程中，小球所受重力做正 功，使小球的重力势能减小，同时小球又克服弹簧弹力做功，使弹簧的弹性势 能增大.在此过程中，先是小球所受重力大于向上的弹力，合力向下，速度与 加速度方向均向下，小球向下作变加速运动，动能与弹性势能增大而重力势能 减小，因此选项 A 不正确；当小球运动到平衡位置时，小球所受合力为零，加 速度为零，速度增至最大，动能也达到最大；当小球越过平衡位置继续向下运 动时，小球所受合力及其产生的加速度方向改为向上，与速度反向，小球作变 减速运动，动能减小，重力势能继续减小而弹性势能继续增大；当小球到达最 低点时，动能减到零，重力势能减小到最小而弹性势能达到最大.由此可知，34在此运动过程中，动能与重力势能之和(等于系统机械能与弹性势能之差)随弹 性势能的增大而减小，故选项 B 正确.而弹性势能与重力势能之和(等于系统机 械能与动能之差)则在平衡位置上方是随动能的增大而减小，在平衡位置下方 是随动能的减小而增大，即经历了先减小后增大的过程，故选项 C 不对. 从最低点反弹后的运动中，动能、重力势能，弹性势能又经历了与上述相反 的过程，由机械能守恒可知小球上升的最高点与出发点相同，系统的机械能表 现为最大的重力势能，故选项 D 正确. 故本题正确答案是 B、D. 说明 本题是典型的动能、重力势能、弹性势能互相转化而机械能守恒的问 题，正确解答的关键，一是明确本题的机械能守恒即 E=EP 重+EP 弹+Ek 保持不变， 二是明确三个临界点，即弹簧上端、平衡位置和最低点.于是就能抓住动能与 弹性势能之和的变化情况与重力势能变化情况相反、动能与重力势能之和的变 化情况与弹性势能变化情况相反、重力势能与弹性势能之和的变化情况与动能 变化情况相反这三个最基本特点. 【难题巧解点拨】 明确机械能守恒定律成立条件，并会根据此条件去判断具体过程中机械能是 否守恒，是应用机械能守恒定律分析解决问题的前提. 应用机械能守恒定律的基本思路是 (1)根据题意，选取合适的研究对象，对研究对象进行受力分析，弄清各力 做功情况，考察研究对象在运动过程中是否满足机械能守恒的条件. (2)明确研究对象的运动过程，恰当地选取参考平面，确定研究过程中的初 态和末态的机械能或动能及势能的表达式. (3)正确选择机械能守恒定律的表达式列出合适的方程.可分过程列式，也可 对全程列式. 例 1 如下图所示， 粗细均匀的全长为 L 的光滑铁链对称地挂在轻小而光滑的 定滑轮上.轻轻扰动一下铁链的一端，使它从静止开始运动，则铁链刚脱离滑 轮的瞬间的速度多大?解析：铁链在运动过程中只有重力做功，因此铁链的机械能守恒.当铁链刚 脱离滑轮时具有动能，而刚开始时铁链的动能为零，那么这个动能只能是减小 的重力势能转化而来的.因此应运用机械能守恒定律求解本题.35设铁链的质量为 m，由于只有重力对铁链做功，因此铁链的机械能守恒.铁链从 静 止 开 始 运 动 到 刚 脱 离 滑 轮 过 程 中 ， 减 少 的 重 力 势 能 为L L 1 △Ep=mg? 2 -mg? 4 = 4mgL，21 增加的重力势能为△Ep= 21 4 1 mgL= 2 1 =2mυ 根据机械能守恒定律，有△Ep=△Ek 即 得 mυ2υ2gL1 即铁链脱离滑轮瞬间的速度大小为 22gL .说明 本题也可以运用动能定理求解.但由于对物体做功的重力并不都是铁 链的全部重力，是一个变力，需要求变力的功.因此，对绳索、链条之类的运 动物体运用机械能守恒定律求解要方便一些.同时，在运用机械能守恒定律求 解这类问题时，由于此类物体在运动过程中常发生形变，其重心位置相对物体 来说不是固定不变的，因此确定初、末状态物体的重心及运动过程中重心高度 的变化便是正确求解的关键，而且运用减少的重力势能等于增加的动能列守恒 式会使运算更为简化.确定重力势能的变化还可运用等效法：如本题重力势能 的减少可等效于将图中的一半铁链移至另一半铁链的下端时所减少的重力势 能. 例 2 如下图所示，离地高为 H 的物体 A 通过跨在定滑轮上的轻绳与放在光 滑水平桌面上，质量和 A 相同的物体 B 连接，由静止开始下落和从同一高度单 独自由下落这两种情况下，A 离地面的高度 h 分别为多少时，它的动能与势能 相等?(设 B 没有滑离桌面)解析：当物体 A 单独自由下落时，由于只有重力做功，A 的机械能守恒.当 A 通过绳子连接 B 后再下落时，若选 A(包括地球)为研究对象，则绳对 A 的拉力 是系统之外的力，而且该力对 A 做了功，则 A 的机械能不守恒；若以 A、B 连 接体(包括地球)组成的系统为研究对象时，绳的拉力为内力，且对 A 和 B 做功 的代数和为零，B 物体在竖直方向上所受的一对平衡力没有做功，故该系统在 运动过程中只有 A 的重力做功，满足机械能守恒的条件.因此本题可运用机械 能守恒定律求解：36取地面为零势能参考面，设 A 离地高度为 h 时，其动能等于势能，则有1 mgh= 2mυ 当 A 物 体 单 独 自 由 下 落 时 ， 初 始 机 械 能 为 E1=mgH ， 末 态 时 机 械 能 为1 E2=Ep2+Ek2?=mgh+ 2 1 h= 22mυ =2mgh,由机械能守恒 E2=E1 得 mgH=2mgh.2∴ H 当 A 通过绳子连接 B 后再由静止下落时，设桌面高为 H′，则初态系统的机械 能为 E1=mgH+mgH′，末了状态系统的机械能为 机械能守恒定律得 E2=E1,即1 mgH+mgH′+ 21 E2=mgh+mgH′+ 2(m+m)υ ，根据2?2mυ =mgH+mgH′2将1 mgh= 2mυ 代入上式，解得21 h= 3 H即两种情况下，A1 物体动能与势能相等时离地面的高度分别为 3 H1 和2H.说明 通过本题解答可以看出，应用机械守恒定律解决问题时，必须根据机 械能守恒的条件合适地选取研究对象，这个研究对象可以是单个的质点与地球 (或弹簧)组成的系统，也可以是质点组与地球(或弹簧)组成的系统.研究对象 选取得当，系统机械能守恒，如果选取不当，则机械能可能不守恒. 【课本难题解答】 148 页(2)题：由于重力势能变化为零，根据机械能守恒定律，动能相同，落地 速度相同，大小都为 10m/s. 【命题趋势分析】 机械能守恒定律是力学中的重要定律，也是考查的重点内容之一. 【典型热点考题】 例 如下图所示，半径为 r，质量不计的圆盘盘面与地面相垂直.圆心处有一 个垂直盘面的光滑水平固定轴 O，在盘的最右边缘固定一个质量为 m 的小球 A， 在 O 点的正下方离 O 点 r/2 处固定一个质量也为 m 的小球 B.放开盘让其自由转 动，问：(1)当 A 球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少?37(2)A 球转到最低点时的线速度是多少? (3)在转动过程中半径 OA 向左偏离竖直方向的最大角度是多少? 解析：(1)两小球势能之和的减少，可选取任意参考平面进行计算.设以通过 O 点的水平面为参考平面，开始时和 A 球转到最低点时两球的重力势能之和分 别为：r Ep1=EpA+EpB=0+(-mg 2, Ep2=E′pA+E′pB=(-mgr)+0=-mgr, 则两球重力势能之和减少量为1 △Ep=Ep1-Ep2=- 2r )=-mg 2mgr-(-mgr)=1 2mgr.(2)由于圆盘转动过程中，只有两小球重力做功，机械能守恒，因此两球重力 势能之和的减少一定等于两球动能的增加.设 A 球转到最低点时，A、B 两球速 度分别为 υ A、υ B，则△Ep=△EkA+△EkB,即 mυ υ B. ① 又 A、B 两球固定在同一个圆盘上，转动过程中的角速度 ω 相同，由圆周运动 知： υ A=ω r， υ B=ω 所以 υ A=2υ B。r 2 1 2 1 mgr= 22 A1 +22， ②代入①式，得 υ A= (3)设半径 OA 向左偏离竖直线的最大偏角为 θ ，如上图所示.该位置的机械能r E3=Ep3=mg 21 E1=Ep1=- 24 gr 5sinθ -mgrcosθ . 而开始时的机械能 mgr. 由机械能守恒定律，得：E3=E1, mgrsinθ -mgrcosθ mgr, 2cosθ =1+simθ . 等式两边平方并整理，得 2 5sin θ +2sinθ -3=0.381 21 =- 2解得：sinθ3 = 5 ,sinθ=-1(舍去).∴ θ 9. 机械能守恒定律的应用 知识精讲 【基础知识精讲】 1.判断机械能守恒的两种方法 (1)对某一物体或系统， 若只有重力(或弹力)做功， 其他力不做功(或其他力 做功的代数和为零)，则机械能守恒. (2)对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能之间的相互转化， 系统跟外界没有发生机械能传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有 内能产生)，则系统的机械能守恒. 2.功和能量转化的关系 (1)合外力对物体所做的功等于物体动能增加(或减少)：W 合=Ek2-Ek1，此即动 能定理. (2)只有重力(或弹力)做功，物体的机械能守恒，E1=E2. (3)只要重力对物体做功， 物体的重力势能一定变化， WG=Ep1-Ep2.重力势能 且 的变化只跟重力做功有关，与物体运动的路径无关. (4)重力和弹簧的弹力之外的力对物体对物体做的功，等于物体的机械能变 化：Wf=E2-E1.Wf 为正功，机械能增加；Wf 为负功，机械能减少. 3.动量守恒定律和机械能守恒定律的比较 (1)两个定律的研究对象都是相互作用的物体组成的系统.两个定律的数学 表达式中的物理量都是相对于同一参照系的. (2)两定律研究的都是某一物理过程，注重的是运动过程中初、末状态的物 理量而不探究运动过程中各物体间的作用细节. (3)两定律的成立条件不同， 动量是否守恒， 决定系统所受合外力是否为零， 而不管内外力是否做功.而机械能是否守恒，决定于是否有重力和弹力以外的 力做功，而不管这些力是内力还是外力. (4)动量守恒定律的数学表达公式是矢量式， 要使运算简便， 可先定正方向， 把矢量运算变为代数运算，机械能守恒定律的数学表达公式是标量式，但要先 选定零重力势能面，才能列出具体的机械能守恒公式. 【重点难点解析】 本节重点是机械能守恒定律的具体运用， 难点是同时应用动量守恒定律和机 械能守恒定律分析解决较复杂的力学问题. 机械能守恒定律只关心运动的初末状态， 而不必考虑这两个状态之间变化过 程的细节.因此，如果能恰当地选择研究对象和初末状态，巧妙地选定零势能 参考平面，问题能得到简捷、便利的解决，可避免直接应用牛顿定律可能遇到 的困难.机械能守恒定律为解决力学问题提供了一条简捷的途径. 系统机械能若不守恒， 则优先考虑运用动能守恒、 动量定理或动量守恒定律.393 =arcsin 5 .例 1 如下图所示， 质量为 M 的小车在光滑的水平面上以 υ 0 向左匀速运动， 一质量为 m 的小球从高 h 处自由下落，与小车碰撞后，反弹上升的高度仍为 h， 设 Mm，碰撞弹力 Nmg，球与车之间的摩擦系数为μ ，则小球弹起后的水平速度是 ( )A. 2 ghB.0C.2μ2ghD.-υ0解析：设小球与小车碰前速度为 υ 1，碰后竖直向上弹起速度为 υ 2，碰后水 平速度为 υ 3，相互作用时间为 t，相互作用时间为 t，相互作用弹力为 N，摩 擦力为 f.设向上方向为正方向，则据机械能守恒定律及动量定理有： υ 1= 2gh υ 2= 2gh (N-mg)t=+mυ 2-m(-υ 1)=m(υ 2+υ 1) 又因为2m 2 gh Nmg:所以有：N= t 2?m 2 gh t N=2?m 2 gh t ?t=mυ 3，小球在水平方向只受摩擦力 f=μ水平方向应用动量定理有：ft=mυ υ 3=2μ2gh .故选3，C.说明 小球弹起有水平速度是因为受到摩擦力作用， 解题的关键是先求出摩 擦力，然后应用动量定理求水平速度. 例 2 如下图所示， 带有光滑弧形的小车质量为 M=m， 放在光滑的水平面上. 一质量也是 m 的铁块，以速度 υ 沿水平轨道向上滑去，至某一高度后再向下 返回，则当铁块回到小车右端时将( )A.以速度 v 0 作平抛运动 C.自由下落B.以小于 v 0 的速度作平抛运动 D.静止于车上解析：小车和铁块组成的系统水平方向上动量守恒，系统机械能守恒，设铁 块回到小车右端的速度为 υ 1，小车的速度为 υ 2，则：40mυ 0=mυ 1+mυ1 22 02 2mυ mυ mυ 2 由上述两式得 υ 1=0,υ 2=υ 铁块滑到右端时，速度为零.选 C. 说明 由于小车和铁块满足水平方向上动量守恒和系统机械能守恒条件， 故 不必关心运动的过程，直接用动量守恒定律和机械能守恒定律求解. 例 3 一物体从固定的斜面底端 A 点冲上斜面， 向上滑到斜面上的 B 点时， 与在 A 点时比较，其动能减少 100J，由于摩擦力的作用其机械能减少 30J.当 它再次返回 A 点时，动能为 100J.则当它向上冲时，在 A 点所具有的初动能为 多大? 解析：设斜面倾角为 θ ，A、B 间距离为 s1,则物体由 A 运动到 B 时，根据动 能定理，有 (f+mgsinθ )s1=△Ek=100J. ① 根据功和能的关系知机械能减少等于克服摩擦力所做的功，有 fs1=△E 机=30J. ② 设物体从 A 点沿斜面上升的最大距离为 s，则有 A 点的初动能 EkA 等于克服 摩擦力和重力做的总功，即 EkA=(f+mgsinθ )s. ③ 由①、③式，解得E kA s= ?E k1 =21 1+ 22s1， ④ 所以从 A 点到最大高度处这一过程中克服摩擦力做的功为E kA Wf=fs= ?E kfs1.E kA Wf= ?E k30 机= 100 EkA=0.3EkA.⑤将②式代入⑤式，得 ?△E 物体从 A 点出发返回 A 点过程中克服摩擦力做功为 2Wf，重力势能不变，根 据功能关系，有 EkA-E′kA=2Wf,即 EkA-E′kA=2×0.3EkA. 所以在 A 点所具有的初动能为5 EkA= 2 5 E′kA= 2 5 E′kA= 2×100J=250J.说明 本题涉及到动能、 重力势能、 机械能、 重力做功和摩擦力做功等概念， 要弄清动能变化和机械能变化分别是由外力的总功和摩擦力做功量度的.解题 关键是求出往返过程克服摩擦力做的总功.这样，要求选好物理过程，充分利 用冲上和返回过程摩擦力做功相等的特点.41【难题巧解点拨】 应用机械能守恒定律(或综合其它力学规律)解题的基本方法和策略很多， 但 关键的是要着重注意以下两个方面： (1)审题意明过程：就是认真仔细审查题意，明确物理情景，分析并明确物 体的运动所经历的物理过程，弄清过程的来龙去脉、因果关系及制约关系、过 程的发生和演变情况.如果有几个过程，还应找出各个过程的联系及有衔接关 系的参量.必要时要画出受力和运动情况示意图以帮助分析，从而建立正确的 物理情景和过程. (2)抓本质明特征：就是对研究对象所经历的每个物理过程进行仔细分析， 抓住所研究的过程中具有的本质特征，剔除次要因素，排除干扰.只要抓住了 所研究的过程的本质，明确了该过程的特征或符合的条件，那么该过程所遵循 的规律和可以列出的方程也就清楚了.在此基础上，再根据前、后过程之间的 联系也可列出相应的关系式.然后解方程组，便可解决具体的物理问题. 在上述两个“关键”中要特别注意过程隐蔽和存在“临界点”的问题； 注意 特征隐蔽和存在“临界条件”的问题. 例 1 如图所示，A、B 两物体彼此接触静放于水平面上，且水平面和 A 的 表面均光滑，物体 C 由静止开始从 P 点下滑，设三个物体的质量均为 m,C 刚滑 到最低点时速率为 υ ，则( )A.A 和 B 不会出现分离现象 B.当 C 第一次滑到 A 左侧最高点时，A C.当 C 滑行到 A 左侧最高点时，A D.A 将会从桌面左边滑出v 的速度为 4，方向向左v 的速度为 2，方向向左解析：此问题中，因为所有接触面均光滑，所以满足水平方向上动量守恒， 机械能守恒. 当 C 从 P 下滑时，A 将向右滑动，故 B 也向右滑动，所以 A 和 C 组成系统有 向左的动量，当 C 滑到 A 最低点时，A 开始减速，AB 分离. 当 C 滑到 A 最低点时，有：1 mgh= 2mCυ (mA+mB)υ 1 mCυ =(mA+mB)υ 1 当 C 从 A 的最低点滑到 A 的左侧最高时，有水平方向动量守恒： mCυ -mA?υ 1=(mC+mA)υ 共4221 +22mA=mB=mC,由以上得：υ .故选 B、D. 说明 A、B 分离的前提是 vA＜vB.解此题要选择好研究的对象，明确物理过 程. 例 2 如下图所示，质量为 m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固 定在地上，平衡时，弹簧的压缩量为 x0，一物块从钢板正上方距离为 3x0 的 A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连.它们到达最 低点后又向上运动，已知物块质量也为 m 时，它们恰能回到 O 点，若物块质量 为 2m，仍从 A 处自由落下，则物块与钢板回到 O 点时，还具有向上的速度，求 物块向上运动到达的最高点与 O 点的距离.v 共= 4解析： 物体和钢板碰撞过程瞬间动量守恒，而后，系统机械能守恒. 物块与钢板碰撞前速度υ 0= 6gx0 υ 1 为两物体碰后的共同速度，则 mυ 0=2mυ 1,∴υ 设碰前弹簧的弹性势能为 Ep,则1 Ep+ 2v0 1= 2(2m)υ 1=2mgx0 当 2m 的物体与钢板相碰，则 2mυ 0=3mυ 2，∴υ υ 0 两次弹簧的势能相等，则1 Ep+ 2 1 2 2 2= 32(3m)?υ (3M)?υ 式中 υ 为物块离钢板的速度. ?2m?υ =2mgL 2 ∴ L=υ /2g22 21 =3mgx0+ 22x0 说明 本题是关键是正确列出两次动量守恒等式和碰后的机械能守恒等式， 根据运动学公式求出 L.要学会选择零等势面.1 整理：L= 243例 3 如下图所示，小球 A 用不可伸长的轻绳悬于 O 点，在 O 点的正下方有 一固定的钉子，OB=y.初始时，小球 A 与 O 同水平面，无初速释放 A，绳长为 L.为使球能绕 B 点做圆周运动，求 y 的取值范围.解析：小球摆到最低点只有重力做功，绳碰到 B 点的钉子后，绳绕 B 点做圆 周运动，要保证让小球上升到圆最高点，则圆半径不能太大.设 R=L-y. ① 做完整的圆周运动，只要最高点 D 满足关系式 2 mυ D/R≥mg. ② 球从初始位置释放，到圆的最高点 D，只有重力做功，拉力不做功，机械能 守恒，有1 mg(L-2R)= 2mυ D.3 L＞y≥ 5 L.2③由①、②、③式，得说明 小球在竖直平面内做圆周运动， 既要遵守机械能守恒定律， 也要服从 圆周运动的规律.若仅从机械能守恒角度分析， 小球可达水平线 OA 以下任一点， 在圆周最高速度也可为零.事实上，因小球运动受线约束，且遵从圆周运动规 律，须在最高点具有足够的速度才能做完整的圆周运动.否则，小球在未到最 高点之前已离开圆轨道做抛体运动了. 【课本难题解答】 151 mυ 0 大于 2m 高处的重力势能，故能冲上站台， 根据机械能守恒定律，可解得在站台上的速度为 3m/s. 【命题趋势分析】 机械能守恒定律应用非常广泛.也是考查的重点内容.在力学的综合题目中 有广泛应用.在竖直平面上的圆周运动中，常有圆周运动中的牛顿第二定律和 机械能守恒定律的综合.诸如和动量守恒的综合，和其它力学知识综合起来， 这些都是考查的重点内容. 【典型热点考题】 例 1 如下图所示，质量均为 m 的三个小球 A、B、C 用两根长均为 l 的细线 相连，放在高为 h 的光滑水平桌面上(h＜l)，其中 A 球刚跨过桌边.从静止开 始释放后，A、B 球相继下落后着地后均不反跳，则 C 球刚离开桌边时的速度大 小是多少?441 页(5)题：由于初动能 22解析：在 A 球落地前，A、B、C 三球连接体与地球组成的系统机械能守恒； A 球着地后，B、C 球与地球组成的系统因只有重力做功而机械能守恒；B 球着 地后，对 C 球又只有重力做功，C 球与地球组成的系统机械能守恒.故可应用机 械能守恒定律求解. 设 A 球落地时的速度为 υ 1，则由释放到 A 球着地的过程中，由机械能守恒 定律，A、B、C 系统减少的重力势能等于连接体增加的动能， 即 ?3m?υ 1 ① 设 B 球着地时的速度为 υ 2，从 A 球着地后至 B 球着地前的过程中，由机械 能守恒定律，B 球减少的重力势能等于 B 球和 C 球增加的动能， 即 ?2m?υ ?2m?υ 2 将①式中的 υ 1 代入②式解得：5 gh 31 mgh= 221 mgh= 221 2- 22 1②υ 2= 由于 l＞h，B 球着地后又不再反跳，C 球即以速度 υ 2 作匀速直线运动直到 离开桌边.因此 C 球离开桌边时的速度大小为5gh 3.说明 正确解答本题的关键是要明确 A 球着地前和 B 球着地前的两个运动过 程中作为研究对象的系统的组成不同，两个过程中的两个研究系统的机械能在 各自的过程中分别守恒.而对于全过程，机械能并不守恒，因 A、B 两球与地面 碰撞过程中均有 机械能损失，切 不可认为全过程 机械能守恒而列 出方程1 2mgh= 2?3m?υ .2例 2 一轻绳通过无摩擦的定滑轮与在倾角为 30°的光滑斜面上的物体 m1 连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体 m2 连接.已知定滑轮到杆的距离为 3 m，物体 m2 由静止从 AB 连线为水平的位置开始下滑 1m 时，m1、m2 恰受力平 衡如图所示.试求：(1)m2 在下滑过程中的最大速度.45(2)m2 沿竖直杆能够向下滑动的最大距离. 解析：(1)由图可知，随 m2 的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m2 在 C 点受力恰好平衡， 因此 m2 从 B 到 C 的过程是加速过程， 以后将做减速运动， 所以 m2 的最大速度即出现在图示位置.对 m1、m2 组成的系统来说，在整个运动 过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械 能守恒.△E 增=△E 减，即 m1υ m2υ 2+m1g( AC - AB )sin30°=m2g? 又由图示位置 m1、m2 受力平衡，应有： Tcos∠ACB=m2g,T=m1gsin30°. 又由速度分解图知1 22 11 +22BCυ 1=υ 2cos∠ACB, 代入数值后可解得 υ 2=2.15m/s. (2)m2 下滑距离最大时 m1、m2 速度为零，对整个过程应用机械能守恒定律， 得△E′增=△E′减，即 m1g( H 2 ? AB2 - AB )sin30°=m2gH. 利用(1)中质量关系可求得 m2 下滑的最大距离为4 H= 33 m=2.31m.说明 该题综合运用了机械能守恒、 受力平衡及速度分解等知识， 其中正确 表示出 m1、 2 速度间的关系是解决该题的关键.该题选用△E 增=△E 减表达式列方 m 程，就避免了参考平面不好选取这样一个难点.46
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