四川渠县中学&&&&& && 李秀琴
&&&&&&&& 二次函数是简单的非线性函数之一．初中，同学们对二次函数已作了研究，但由于认知能力和知识水平的限制，很难从本质上加以理解．进入高中以后，我们将对二次函数的概念和基本性质作深入的研究．因为它一直是高考中命题的重点也是学习好高中数学基础．&&&&&&&&&&&
&&&&&&& 一、从集合角度对二次函数概念的理解
&&&&&&& 初中函数的定义，是从变化的过程中两个相关联量的关系描述的，进入高中后在学习集合的基础上又重新定义了函数，主要是通过两个非空数集间的对应关系来解析函数，因此二次函数是从一个集合A（定义域）到另一集合B（值域）上的对应?:A&B，使得集合A中的任意一个元素x与集合B中唯一的元素y=ax2+bx+c(a&0)对应，记为?(x)= ax2+ bx+c(a&0)这里ax2+bx+c表示对应关系．
例1.&已知?(x)= 2x2+3x+2，求?(2)，?(a) ?(x+1)
解析：?(2)是当x=2时的函数值，?(a) 是当x=a时的函数值，?(x+1)是把x+1当作自变量，施加f的对应法则．
&&&&&&& 二、二次函数基本性质的应用．&
&&&&&&& （&）二次函数的图像，对称轴及其单调性的应用．
&&&&&&& 例2 已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c，当x&[－1，1]时，试证：
　　　　 (1)当b＜－2时，f(x)是递减函数；
　　　　 (2)当b＜－2时，f(x)在定义域内至少存在一个x,使|f(x)|& 成立．
&&&&&&& 分析：对于(1)只需考查对称轴，利用数形结合可证．但对于(2)的证明需要从结论中寻求证法，这是一个存在性问题的证明，可想到它的反面不存在，所以联想到反证法，这是方法选择的关键所在．
&&&&&&& 证明：(1)f(x)＝x2＋bx＋c
　　　　　　　　 ＝(x＋b/2 )2＋c－ b2/4，
　　　　　抛物线的对称轴x＝－b/2 ，当b＜－2时,
　－b/2 ＞1(如右图)　∴ 当b＜－2时，f(x)　x&[－1，1]是递减函数．
　　　　　(2)假设在x&[－1，1]内不存在|f(x)|& ，则有
　　　　　　　－1/2 ＜f(x)＜ 1/2
　　　　　　　∴ f(－1)＝1－b＋c＜1/2 ，f(1)＝1＋b＋c＞－1/2
　　　　　　　联立解得b＞－1/2 与已知b＜－2相矛盾，假设不成立，原命题成立．
&&&&&&& 评注：在证第(1)问时，若能牢牢把握抛物线开口向上时，以对称轴为界，左减右增的道理，你就会明白此题实际是要证定义域[－1，1]在x＝－b/2a 的左边即可，若把注意力放在企图确定函数b和c或为无法确定b和c而苦恼，则证明势必会遇到挫折，因为这种思维是建立在脱离题设的主观空想之上的．
&&&&&&& 点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用．讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析．&
&&&&&&& (二)．二次函数图象在含参一元二次方程实根分布中的应用
&&&&&&& （三）二次函数的最值与对称轴关系的应用．
&&&&&&& 1．讨论对称轴定，区间变的最值情况．
&&&&&&& 例3 已知函数 f(x)=x2-2x-3，试求：在[a,a+2] 上函数的最小值 .
&&&&&&& 解析：所给函数是已知的，但区间是可变动的，随着 值的不同，区间位置发生变化，而对于二次函数这种非单调的函数来说，其最值不能简单带入端点求解，故需画图帮助分析，如右图： 对称轴方程x=1： ．
&&&&&&&& (1) 当区间在对称轴左侧时，函数的最小值
&&&&&&& 是区间的右端点，即a+2 对应的函数值，也就是，当a+2&1 ,即 a&-1时，函数的最小值是：f(a+2)=(a+2)2-2(a+2)-3=a2+2a-3
&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&& (2) 当对称轴处于区间内部时，函数的最小值就是函数的最低点，也就是，&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&
&&&&&&&&&(3) 当区间在对称轴右侧时，函数的最小值是区间的左端点，即 对应的函数值，也就是，当a&1 时，函数的最小值是：
&&&&&&& 综上，函数的最小值& .
&&&&&&& 2．讨论对称轴变，区间定的最值情况．
&&&&&&& 例4 试求函数f(x)=-x2+2ax_-3 在 [1,3]上的最大值 g(a)．
&&&&&&& 解析：此类问题是所给区间已知，但所给函数位置不定，随着a 值的不同，函数在变．仍需画图分析：
函数可变为：f(x)=-(x-a)2+a2-3 ，对称轴方程：x=a ．
&&&&&&& （1）当对称轴在区间左侧时，函数的最大值是区间的左端点，即1对应的函数值，也就是，当a&1 时，函数的最大值是：f(1)=-12+2a-3=2a-4&&
&&&&&&& （2）当对称轴处于区间内部时，函数的最大值就是函数的最高点，也就是，当时，函数的最大值是：f(a)=a2-3&
&&&&&&&&&(3) 当对称轴在区间右侧时，函数的最大值是区间的右端点，即3对应的函数值，也就是，当a&3 时，函数的最大值是：
&&&&&&& 综上，函数的最大值 ．
&&&&&&& 三、二次函数与一元二次方程,一元二次不等式的综合应用
&&&&&&& 二次函数，一元二次不等式是高中数学中比较重要的两个内容,它们贯穿于整个高中数学体系,也是实际生活中数学建模的重要工具之一．尤其是二次函数在高中函数的教学中占有更为重要的地位．在历届高考试题中,二次函数与不等式的思想都是压轴题中不可缺少的内容．不等式与二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想．二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系,使学生能更好地将所学知识融会贯通,为学好高中数学奠定坚实的基础．
&&&&&&& 例5 （2007广东20题）已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[-1,1]上有零点，求a的取值范围．（解法略）
&&&&&&& 小结：本题考查二次函数、二次方程、二次不等式的相互转化，要求对二次函数的性质达到熟练掌握并运用自如的程度．
&&&&&&& 二次函数，作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系．可考查学生的数学基础知识和综合数学素质，锻炼学生的数学思维能力，提高学生用数学知识，数学思想方法解决问题的能力．
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第二十六章
二次函数[本章知识要点]1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念．3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．26．1
二次函数[本课知识要点]通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．[MM及创新思维]（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．　　请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．[实践与探索]例1． m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？分析
若函数是二次函数，须满足的条件是：．解
若函数是二次函数，则．解得
，且．因此，当，且时，函数是二次函数．回顾与反思
形如的函数只有在的条件下才是二次函数．探索
若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．解
（1）由题意，得
，其中S是a的二次函数；（2）由题意，得
，其中y是x的二次函数；（3）由题意，得
（x≥0且是正整数），　　其中y是x的一次函数；（4）由题意，得
，其中S是x的二次函数．例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．解
（1）；（2）当x=3cm时，（cm2）．[当堂课内练习]1．下列函数中，哪些是二次函数？（1） （2）（3）
（4）2．当k为何值时，函数为二次函数？3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．(1)请写出y与x的函数关系式；(2)判断y是否为x的二次函数．[本课课外作业]A组1． 已知函数是二次函数，求m的值．2． 已知二次函数，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．4． 用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．B组5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是
D．6．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是
）A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D． 圆的周长与圆的半径之间的关系[本课学习体会]26．2
二次函数的图象与性质（1）[本课知识要点]会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质．[MM及创新思维]　　我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是
、，那么二次函数的图象是什么呢？（1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？　　（1） （2）解
列表x...-3-2-10123......188202818......-18-8-20-2-8-18...分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思
在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．例2．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．（1）求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解
（1）由题意，得，
解得k=2．（2）二次函数为，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．分析
此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．解
（1）由题意，得．列表：C2468...14...描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2．回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．[当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）
（3）2．（1）函数的开口
，对称轴是
，顶点坐标是
；　（2）函数的开口
，对称轴是
，顶点坐标是
．3．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．[本课课外作业]A组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．（1）
（2）2．填空：（1）抛物线，当x=
．（2）当m=
时，抛物线开口向下．（3）已知函数是二次函数，它的图象开口
时，y随x的增大而增大．3．已知抛物线中，当时，y随x的增大而增大．（1）求k的值；
（2）作出函数的图象（草图）．4．已知抛物线经过点（1，3），求当y=9时，x的值．B组5．底面是边长为x的正方形，高为0．5cm的长方体的体积为ycm3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm3时底面边长x的值；（4）根据图象，求出x取何值时，y≥4．5 cm3．6．二次函数与直线交于点P（1，b）．（1）求a、b的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．7． 一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）．（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出MON的面积．[本课学习体会]26．2
二次函数的图象与性质（2）[本课知识要点]会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．[MM及创新思维]　　同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？，你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？，那么与的图象之间又有何关系？．[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象．解
列表．x...-3-2-10123......188202818......20104241020...描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思
当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索
观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数与的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线．解
列表．x...-3-2-10123......-8-3010-3-8......-10-5-2-1-2-5-10...描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．可以看出，抛物线是由抛物线向下平移两个单位得到的．回顾与反思
抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的．探索
如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．解
由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2），因此所求函数关系式可看作，
又抛物线经过点（1，1），所以，，
解得．故所求函数关系式为．回顾与反思
（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向对称轴顶点坐标[当堂课内练习]1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：，
．观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？2．抛物线的开口
，对称轴是
，顶点坐标是
，它可以看作是由抛物线向
个单位得到的．3．函数，当x
时，函数值y随x的增大而减小．当x
时，函数取得最
．[本课课外作业]A组1．已知函数，
．（1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．2． 不画图象，说出函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数通过怎样的平移得到的．3．若二次函数的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？B组4．在同一直角坐标系中与的图象的大致位置是(
)5．已知二次函数，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式．[本课学习体会]26．2
二次函数的图象与性质（3）[本课知识要点]会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．[MM及创新思维]　　我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象，是否也可以由函数平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解
列表．x...-3-2-10123......202......028......820...描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．回顾与反思
对于抛物线，当x
时，函数值y随x的增大而减小；当x
时，函数值y随x的增大而增大；当x
时，函数取得最
抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗?解
抛物线的顶点坐标为（0，0）；抛物线的顶点坐标为（-2，0）．因此，抛物线与形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线．抛物线是由向左平移2个单位而得的．回顾与反思
（a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向对称轴顶点坐标[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线的开口
，对称轴是
，顶点坐标是
，它可以看作是由抛物线向
个单位得到的．2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A组1．已知函数，， ．（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？3．函数，当x
时，函数值y随x的增大而减小．当x
时，函数取得最
．4．不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系．B组5．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求的值．[本课学习体会]26．2
二次函数的图象与性质（4）[本课知识要点]1．掌握把抛物线平移至+k的规律；2．会画出+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．[MM及创新思维]　　由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解
列表．x...-3-2-10123......202......8202......60-20...描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．它们的开口方向都向
，对称轴分别为
，顶点坐标分别为
．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思
二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索
你能说出函数+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．+k开口方向对称轴顶点坐标例2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值．分析
抛物线的顶点为（0，0），只要求出抛物线的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值．解
．向上平移2个单位，得到，再向左平移4个单位，得到，其顶点坐标是，而抛物线的顶点为（0，0），则　　　　　　　　　　　　　解得探索
把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，也就意味着把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．[当堂课内练习]1．将抛物线如何平移可得到抛物线
）A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位2．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为
．3．抛物线可由抛物线向
个单位，再向
个单位而得到．[本课课外作业]A组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．3．将抛物线如何平移，可得到抛物线？B组4．把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，则有
）A．b =3，c=7
B．b= -9，c= -15
C．b=3，c=3
D．b= -9，c=215．抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值．6．将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，其中h＞0，k＜0，求所得的抛物线的函数关系式．[本课学习体会]26．2
二次函数的图象与性质（5）[本课知识要点]1．能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．[MM及创新思维]　　我们已经发现，二次函数的图象，可以由函数的图象先向
个单位，再向
个单位得到，因此，可以直接得出：函数的开口
，对称轴是
，顶点坐标是
．那么，对于任意一个二次函数，如，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[实践与探索]例1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解　　　因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．由对称性列表：x...-2-101234......-1006860-10...描点、连线，如图26．2．7所示．回顾与反思
（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索
对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴
，顶点坐标
．例2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．分析
顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．解
，则抛物线的顶点坐标是．当顶点在x轴上时，有
．当顶点在y轴上时，有
或．所以，当抛物线的顶点在坐标轴上时，有三个值，分别是 -2，4，8．[当堂课内练习]1．（1）二次函数的对称轴是
．　（2）二次函数的图象的顶点是
时，y随x的增大而减小．　（3）抛物线的顶点横坐标是-2，则=
．2．抛物线的顶点是，则、c的值是多少？[本课课外作业]A组1．已知抛物线，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．2．利用配方法，把下列函数写成+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1） （2）（3）
（4）3．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．B组4．当时，求抛物线的顶点所在的象限．5. 已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标．[本课学习体会]26．2
二次函数的图象与性质（6）[本课知识要点]1．会通过配方求出二次函数的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．[MM及创新思维]　　在实际生活中，我们常常会碰到一些带有"最"字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗?[实践与探索]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）；
（2）．分析
由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．解
（1）二次函数中的二次项系数2＞0，因此抛物线有最低点，即函数有最小值．因为=，所以当时，函数有最小值是．（2）二次函数中的二次项系数-1＜0，因此抛物线有最高点，即函数有最大值．因为=，所以当时，函数有最大值是．回顾与反思
最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探索
试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数的最大值或最小值．例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：x（元）130150165y（件）705035若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析
日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．解
由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为．设每日销售利润为s元，则有．因为，所以．所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．回顾与反思
解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在RtABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．（1）用含y的代数式表示AE；（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．解
（1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此．（2）由∥，得，即，所以，，x的取值范围是．（3），所以，当x=2时，S有最大值8．[当堂课内练习]1．对于二次函数，当x=
时，y有最小值．2．已知二次函数有最小值 -1，则a与b之间的大小关系是
D．不能确定3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]A组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）；
（2）．2．已知二次函数的最小值为1，求m的值．，3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：．y值越大，表示接受能力越强．（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？B组4．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围．5．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF．（1）求线段EF的长；（2）设EG=x，AGE与CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．[本课学习体会]26 . 2
二次函数的图象与性质（7）[本课知识要点]会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．[MM及创新思维]　　一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？[实践与探索]例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析
如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．解
由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入，得所以
．因此，函数关系式是．例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．分析
（1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入，即可求出a的值．解
（1）设二次函数关系式为，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到　　　　　　　　　　　　　解这个方程组，得a=2，b= -1．所以，所求二次函数的关系式是．（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为，又由于抛物线与y轴交于点（0，1），可以得到　　　　　　　　　　　　　解得
．所以，所求二次函数的关系式是．（3）因为抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），所以设二此函数的关系式为．又由于抛物线与y轴交于点（0，3），可以得到．解得
．所以，所求二次函数的关系式是．（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．回顾与反思
确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．（3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、时可利用此式来求．[当堂课内练习]1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y轴交点的纵坐标是 -6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．[本课课外作业]A组1．已知二次函数的图象经过点A（-1，12）、B（2，-3），（1）求该二次函数的关系式；（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．2．已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x= -1，求该二次函数的关系式．3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．4．已知二次函数，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．B组5．已知二次函数的图象经过（1，0）与（2，5）两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同．6．抛物线过点（2，4），且其顶点在直线上，求此二次函数的关系式．[本课学习体会]26 . 3
实践与探索（1）[本课知识要点]会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．[MM及创新思维]　　生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？[实践与探索]例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，问此运动员把铅球推出多远？解
如图，铅球落在x轴上，则y=0，因此，．解方程，得（不合题意，舍去）．所以，此运动员把铅球推出了10米．探索
此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）分析
这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．解
（1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C（如图26．3．3）．由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25），因此，设抛物线为．将A（0，1．25）代入上式，得，解得所以，抛物线的函数关系式为．当y=0时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5，所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m．（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为．由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得h= -1．6，k=3．7．所以，水流最大高度应达3．7m．[当堂课内练习]1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？[本课课外作业]A组1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门？2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？3．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；（2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？B组4．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0．4m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．5．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．[本课学习体会]26 . 3
实践与探索（2）[本课知识要点]让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．[MM及创新思维]二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．[实践与探索]例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？分析
若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。解
（1）根据题意，得(30≤x≤70)。（2）。顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。例2。某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：X（十万元）012...y11．51．8...（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？解
（1）设二次函数关系式为。由表中数据，得 。解得。所以所求二次函数关系式为。（2）根据题意，得。（3）。由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2。5时，S随x的增大而增大。．[当堂课内练习]1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价
D、20元2．某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多少万元？[本课课外作业]A组1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？2．某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？B组4．行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为"刹车距离"，为了测定某种型号汽车的刹车性能车速不超过140千米/时，对这种汽车进行测试，数据如下表：刹车时车速（千米/时）0102030405060刹车距离00．31．02．13．65．57．8　　1以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象；　　2观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式；　　3该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5米，请推测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？[本课学习体会]　　　　　　　　　　　26 . 3
实践与探索（3）[本课知识要点]（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；（2）了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．[MM及创新思维]　　给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）．它们的图象分别为观察图象与x轴的交点个数，分别是
个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？[实践与探索]例1．画出函数的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？解
图象如图26．3．4，（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程的解相同．（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．回顾与反思
（1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．例2．（1）已知抛物线，当k=
时，抛物线与x轴相交于两点．（2）已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a=
．（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且，则k的值是
（1）抛物线与x轴相交于两点，相当于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式＞0．（2）二次函数的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程的两个实数根相等，即=0．（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程的两个根，又由于，以及，利用根与系数的关系即可得到结果．请同学们完成填空．回顾与反思
二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．例3．已知二次函数，（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？分析
（1）要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即＞0．（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程有两个负实数根，因而必须符合条件①＞0，②，③．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①＞0，②．解
（1）=，由，得，所以＞0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．（2）由，得；由，得；又由（1），＞0，因此，当时，两个交点都在原点的左侧．（3）由，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．探索
第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数是由函数上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．[当堂课内练习]1．已知二次函数的图象如图，则方程的解是
，不等式的解集是
，不等式的解集是
．2．抛物线与y轴的交点坐标为
，与x轴的交点坐标为
．3．已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为
．4．函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．[本课课外作业]A组1．已知二次函数，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．（1）方程的解是什么？（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？2．如果二次函数的顶点在x轴上，求c的值．3．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围．4．已知二次函数，求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；（2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积；（3）x为何值时，y＞0．5．你能否画出适当的函数图象，求方程的解？B组6．函数（m是常数）的图象与x轴的交点有
D．1个或2个7．已知二次函数．（1）说明抛物线与x轴有两个不同交点；（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；（3）a取何值时，两点间的距离最小？[本课学习体会]26 . 3
实践与探索（4）[本课知识要点]掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．[MM及创新思维]　　上节课的作业第5题：画图求方程的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．甲：将方程化为，画出的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．[实践与探索]例1．利用函数的图象，求下列方程的解：（1） ；（2）．分析
上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．解
（1）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．5，得到它们的交点（-3，9）、（1，1），则方程的解为 -3，1．（2）先把方程化为，然后在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．6，得到它们的交点（，）、（2，4），则方程的解为 ，2．回顾与反思
一般地，求一元二次方程的近似解时，可先将方程化为，然后分别画出函数和的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：(1)；
（2）．分析
（1）可以通过直接画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．解
（1）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．7，得到它们的交点（，）、（1，1），则方程组的解为．（2）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．8，得到它们的交点（-2，0）、（3，15），则方程组的解为．探索
（2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线的图象，请尝试一下．[当堂课内练习]1．利用函数的图象，求下列方程的解：（1）（精确到0．1） ；（2）．2．利用函数的图象，求方程组的解：[本课课外作业]A组1．利用函数的图象，求下列方程的解：（1）
（2）2．利用函数的图象，求下列方程组的解：（1）；
（2）．B组3．如图所示，二次函数与的图象交于A（-2，4）、B（8，2）．求能使成立的x的取值范围。[本课学习体会]第二十六章小结与复习一、本章学习回顾1． 知识结构2．学习要点（1）能结合实例说出二次函数的意义。（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。（3）掌握二次函数的平移规律。（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。3．需要注意的问题　　在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。二、本章复习题A组一、填空题1．已知函数，当m=
时，它是二次函数；当m=
时，抛物线的开口向上；当m=
时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．2．抛物线经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为
．3．抛物线，开口向下，且经过原点，则k=
．4．点A（-2，a）是抛物线上的一点，则a=
； A点关于原点的对称点B是
；A点关于y轴的对称点C是
；其中点B、点C在抛物线上的是
．5．若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是
．6．把函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式为
．7．已知二次函数的最小值为1，那么m的值等于
．8．二次函数的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为
．9．抛物线的对称轴是
，根据图象可知，当x
时，y随x的增大而减小．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为
．11．若二次函数的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为
．12．抛物线的开口方向向
，顶点坐标是
，对称轴是
，与x轴的交点坐标是
，与y轴的交点坐标是
．13．抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，，若，那么c值为
，抛物线的对称轴为
．14．已知函数．当m
时，函数的图象是直线；当m时，函数的图象是抛物线；当m
时，函数的图象是开口向上，且经过原点的抛物线．15．一条抛物线开口向下，并且与x轴的交点一个在点A（1，0）的左边，一个在点A（1，0）的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出这条抛物线的函数关系式
．二、选择题16．下列函数中，是二次函数的有
D、4个17．若二次函数的图象经过原点，则m的值必为
）A、-1或3
D、无法确定18．二次函数的图象与x轴
）A、没有交点
B、只有一个交点
C、只有两个交点
D、至少有一个交点19．二次函数有（
）A、最大值1
B、最大值2
C、最小值1
D、最小值220．在同一坐标系中，作函数，，的图象，它们的共同特点是（D
）A、都是关于x轴对称，抛物线开口向上B、都是关于y轴对称，抛物线开口向下C、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D、都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点21．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是
D、且22．二次函数的图象可由的图象
）A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到23．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高
）A、4元或6元
D、8元24．若抛物线的所有点都在x轴下方，则必有
D、25．抛物线的顶点关于原点对称的点的坐标是
）A、（-1，3）
B、（-1，-3）
C、（1，3）
D、（1，-3）三、解答题26．已知二次函数．（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值；（2）求抛物线与x轴、y轴的交点；（3）作出函数图象的草图；（4）观察图象，x为何值时，y＞0；x为何值时，y= 0；x为何值时，y＜0？27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式．28．已知二次函数，当x=2时，y有最大值5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函数的函数关系式．29．已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2．（1）求二次函数的函数关系式；（2）设此二次函数图象的顶点为P，求ABP的面积．30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解：（1）；
（2）．31．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162-3x．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？B组一、选择题32．若所求的二次函数的图象与抛物线有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为
D、33．二次函数，当x=1时，函数y有最大值，设，（是这个函数图象上的两点，且，则
D、34．若关于x的不等式组无解，则二次函数的图象与x轴
）A、没有交点
B、相交于两点C、相交于一点
D、相交于一点或没有交点二、解答题35．若抛物线的顶点在x轴的下方，求m的值．36．把抛物线的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，求m、n．37．如图，已知抛物线，与x轴交于A、B，且点A在x轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，OA=OB，（1）求m的值；（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C的坐标．38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．C组解答题39．如图，已知二次函数，当x=3时，有最大值4．（1）求m、n的值；（2）设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B，求A、B点的坐标；（3）当y＜0时，求x的取值范围；（4）有一圆经过A、B，且与y轴的正半轴相切于点C，求C点坐标．40．阅读下面的文字后，解答问题．有这样一道题目："已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)、 、
，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．"题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整．41．已知开口向下的抛物线与x轴交于两点A（，0）、B（，0），其中＜，P为顶点，∠APB=90°，若、是方程的两个根，且．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的函数关系式．42．已知二次函数的图象如图所示．（1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）求m的取值范围；（3）在（2）的情况下，若，求C点坐标；（4）求A、B两点间的距离；（5）求ABC的面积S．第二十六章自我检测题（时间45分钟，满分100分）一、精心选一选（每题4分，共20分）1．抛物线的顶点坐标是
）A、（2，0）
B、（-2，0）
C、（1，-3）
D、（0，-4）2．若（2，5）、（4，5）是抛物线上的两个点，则它的对称轴是 （
D、3．已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，则函数的图象经过的象限是
）A、第三、四象限
B、第一、二象限C、第二、三、四象限
D、第一、二、三象限4．抛物线与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线相同，则的函数关系式为
D、5．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线，则
）A、b=2，c= -2
B、b= -6，c=6
C、b= -8，c=14
D、b= -8，c=18二、细心填一填（每空3分，共45分）6．若是二次函数，则m=
。7．二次函数的开口
，对称轴是
。8．抛物线的最低点坐标是
时，y随x的增大而增大。9．已知二次函数的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的关系式为
，它与x轴的交点的个数为
个。10．若y与成正比例，当x=2时，y=4，那么当x= -3时，y的值为
。11．抛物线与y轴的交点坐标是
，与x轴的交点坐标是
。12．有一长方形条幅，长为a m，宽为b m，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为
，自变量x的取值范围为
。13．抛物线与直线只有一个公共点，则b=
。14．已知抛物线与x轴交点的横坐标为 -1，则=
。15．已知点A（1，4）和B（2，2），试写出过A、B两点的二次函数的关系式（任写两个）、
。三、认真答一答（第17题8分，其余各9分）16．已知二次函数的图象经过点（3，2）。（1）求这个二次函数的关系式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围。17．根据下列条件，求二次函数的关系式：（1）抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（3，0）；（2）抛物线顶点坐标是（-1，-2），且经过点（1，10）。18．已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0）。（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的函数关系式。19．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元。（1）设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额Q元，写出Q关于x的函数关系式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？
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