老妇在儿子葬礼上认识了17岁少年，两人擦出火花。
当火车快将驶至之际，玩命伏到路轨上，惊险万分。
学之道：善学者,事半而功倍,又从而悦之。不善学者,事倍而功半,又从而厌之。名师诊断+科学学习方法，帮助家长解决孩子提分及家庭教育问题。
一、 配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
Ⅰ、再现性题组
Ⅱ、示范性题组：
二、换元法
三、待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法。
其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决。
要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
①利用对应系数相等列方程；
②由恒等的概念用数值代入法列方程；
③利用定义本身的属性列方程；
④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；
再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；
最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：
四、定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。
定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。
简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。
焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的
定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。
Ⅲ、巩固性题组：
五、数学归纳法
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；
第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较。
以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
Ⅰ、再现性题组：
六、参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。
直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。
参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。
参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。
运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
七、反证法
与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。
法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理。
使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛。
矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；
两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A‖，这就是逻辑思维中的“排中律”。
反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假。
而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。
再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。
所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。
即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。
应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；
如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。
具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
Ⅰ、再现性题组：
--------------------------
如果您正在为孩子的以下问题操心：叛逆、中高考提分、不喜欢学习、勤奋但是成绩不高.......
那么，请加QQ/微信： (长按复制)，或关注我的微信公众平台：jiaoyu-guanjia(长按复制).
学之道――善学者,事半而功倍,又从而悦之。不善学者,事倍而功半,又从而厌之。
名师诊断+科学学习方法，帮您解决孩子提分及家庭教育问题。
搜狐公众平台官方账号
生活时尚&搭配博主 /生活时尚自媒体 /时尚类书籍作者
搜狐网教育频道官方账号
全球最大华文占星网站-专业研究星座命理及测算服务机构
主演：黄晓明/陈乔恩/乔任梁/谢君豪/吕佳容/戚迹
主演：陈晓/陈妍希/张馨予/杨明娜/毛晓彤/孙耀琦
主演：陈键锋/李依晓/张迪/郑亦桐/张明明/何彦霓
主演：尚格?云顿/乔?弗拉尼甘/Bianca Bree
主演：艾斯?库珀/ 查宁?塔图姆/ 乔纳?希尔
baby14岁写真曝光
李冰冰向成龙撒娇争宠
李湘遭闺蜜曝光旧爱
美女模特教老板走秀
曝搬砖男神奇葩择偶观
柳岩被迫成赚钱工具
大屁小P虐心恋
匆匆那年大结局
乔杉遭粉丝骚扰
男闺蜜的尴尬初夜
客服热线：86-10-
客服邮箱：求全国卷文科数学的所有公式_高考吧_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0成为超级会员，使用一键签到本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：2,197,216贴子：
求全国卷文科数学的所有公式收藏
请大家帮忙le
为什么是小号
兄台，你是我见过最贪婪的伸手党。。不过那是除我之外。。。
买个小册子
实践出真知，多用才会用，记住没用
老师会印出来啊
登录百度帐号推荐应用
为兴趣而生，贴吧更懂你。或学好数学，首先要抱着浓厚的兴趣去学习数学，积极展开思维的翅膀，主动地参与教学全过程，充分发挥自己的主观能动性，愉快有效地学习数学。沪江中学学科网为大家整理了高中相关的数学公式，希望对大家有所帮助。
——《高中数学公式大全》专题简介
数列公式总结
高中数学公式总结&>&&>&高中数学公式大全【最新最全最清晰】pdf版
高中数学公式大全【最新最全最清晰】pdf版 23611字 投稿：孔斏斐
第八章消息的结构（一）倒金字塔结构 标签： 日本 金字塔结构 杜鲁门 总统 肯尼迪
21:40 倒金字塔型结构 肯尼迪遇刺伤命约翰逊继任美国总统（路透社达拉斯日电）急电：肯尼迪总统今天在这里遭到刺客枪击身死。…
谈谈如何提高初中语文优秀率 回想自己走过的教学道路，有一点是可以肯定的，即：以学生为主体、教师为主导、训练为主线的教学思路是发挥学生能动作用的主要环节，是素质教育的重要组成部分，是历年中考成绩不败的灵丹妙药。因为中学语文教学的目的就是培养学生具备听、…
药王庙中学王雪 《海洋是未来的粮仓》说课稿《海洋是未来的粮仓》说课稿一、说教材：这是语文版教材八年级上册第五单元中的自读课。这是一篇短小浅显，但却涉及有重大意义问题的事理说明文。本文以科学而乐观的态度、简洁而流畅的语言对人类担心的粮食问题做了充分的…
高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
x?A?x?CUA,x?CUA?x?A.
2.德摩根公式
f(x)?x2?px?q，则
（1）方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为f(m)?0或
CU(AB)?CUACUB;CU(AB)?CUACUB.
3.包含关系
AB?A?AB?B?A?B?CUB?CUA ?ACUB???CUAB?R
4.容斥原理
card(AB)?cardA?cardB?card(AB)
card(ABC)?cardA?cardB?cardC?card(AB)
?card(AB)?card(BC)?card(CA)?card(ABC).
5．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集
（2）方程f(x)?0在区间(m,n)内有根的充要条件为
?f(m)?0?f(n)?0??f(m)?0?f(n)?0?2
或?； f(m)f(n)?0或?p?4q?0或?
af(n)?0af(m)?0???
2n –1个；非空的真子集有2n–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0);
f(x)?a(x?h)2?k(a?0);
(3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 7.解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式
N?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?0
?|f(x)?M?NM?Nf(x)?N
2|?2?M?f(x)?0
. 8.方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与
f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方
?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于
f(k1)f(k2)?0,或f(k1)?0且kbk1?k2
?k22)?0且2??b
?k2. 9.闭区间上的二次函数的最值
f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??b
处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若x??b
2a??p,q?，则f(x)b
min?f(?2a),f(x)max?max?f(p),f(q)?；
??p,q?，f(x)max?max?f(p),f(q)?，
f(x)min?min?f(p),f(q)?.
(2)当a<0时，若
??p,q?，则f(x)b
min?min?f(p),f(q)?，若x??2a
??p,q?，则f(x)max
?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?.
10.一元二次方程的实根分布 依据：若
f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有
一个实根 .
（3）方程f(x)?0在区间(??,n)内有根的充要条件为f(m)?0或??
p2?4q?0??p
?m11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据? (1)在给定区间(??,??)的子区间L（形如
?,???，???,??，
?,???不同）上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条
f(x,t)min?0(x?L).
(2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man?0(x?L).
f(x)?ax4?bx2?c?0恒成立的充要条件是?
14.15.充要条件 （1）充分条件：若
p?q，则p是q充分条件.
q?p，则p是q必要条件.
（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件.
（2）必要条件：若
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设1
单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0的图象.
26．互为反函数的两个函数的关系
x?x2??a,b?,x1?x2那么 (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?
f(x1)?f(x2)
?0?f(x)在?a,b?上是增函数；
f(a)?b?f?1(b)?a.
27.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为1
y?[f?1(x)?b],并不是y?[f?1(kx?b),而函数
y?[f?1(kx?b)是y?[f(x)?b]的反函数.
28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数
(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?
f(x1)?f(x2)
?0?f(x)在?a,b?上是减函数.
f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.
(2)指数函数f(x)?ax,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.
(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.
17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数
f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数
y?f(x?a)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a).
20.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则
函数f(x)的对称轴是函数x?a?b
;两个函数y?f(x?a)与
y?f(b?x) 的图象关于直线x?a?b
对称. 21.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(a
对称; 若f(x)??f(x?a),则函数y?f(x)为周期为2a的周期函数.
22．多项式函数
P(x)?anxn?an?1xn?1??a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数y?f(x)的图象的对称性
(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x) ?f(2a?x)?f(x).
(2)函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b
?f(a?mx)?f(b?mx)
?f(a?b?mx)?f(mx).
24.两个函数图象的对称性 (1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称.
y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线
(3)函数y?f(x)和y?f
(x)的图象关于直线y=x对称. 25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个
(3)对数函数
f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1). (4)幂函数
f(x)?x?,f(xy)?f(x)f(y),f'(1)??.
(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)，
f(0)?1,limg(x)
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a；
（2）f(x)?f(x?a)?0，
或f(x?a)?1
f(x)(f(x)?0)，
或f(x?a)??1
?f(x?a),(f(x)??0,1?),则f(x)的周期T=2a；
(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a；
(4)f(xxf(x1)?f(x2)
1?2)?1?f(x且
f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则f(x)的周期
f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)
?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a.
30.分数指数幂
?0,m,n?N?，且n?1）.
（a?0,m,n?N?，且n?1）.
31．根式的性质 （1
?|a|???a,a?0?
32．有理指数幂的运算性质 (1)
?as?ar?s(a?0,r,s?Q).
)?ars(a?0,r,s?Q). ?arbr(a?0,b?0,r?Q).
an?a1qn?1?
?q(n?N*)； q
注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
其前n项的和公式为
logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0)
34.对数的换底公式
(a?0,且a?1,m?0,且m?1,
或sn??1?q.
42.等比差数列
logab(a?0,且a?1,m,n?0,且
m?1,n?1,N?0).
?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为
?b?(n?1)d,q?135．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN;
N?logaM?logaN; (3)logMn
a?nlogaM(n?R).
f(x)?log2m(ax?bx?c)(a?0),记
??b2?4ac.若f(x)的定义域为R,则a?0，且??0;若f(x)
的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
若a?0,b?0,x?0,x?1
,则函数y?logax(bx)
(1)当a?b时,在(0,1a)和(1
,??)上y?logax(bx)为增函数.
(2)当a?b时,在(0,1a)和(1
,??)上y?logax(bx)为减函数.
n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则
（1）logm?p(n?p)?logmn.
mlogan?logm?a
. 38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，
y?N(1?p)x.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1n???sn?sn?1
,n?2( 数列{an}的前n项的和为
sn?a1?a2??an).
40.等差数列的通项公式
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；
其前n项和公式为
sn(a1?an)n?
2?nan(n?1)
1?2d)n. 41.等比数列的通项公式
n??bqn?(d?b)qn?1?d?
其前n项和公式为
?nb?n(n?1)d,(qs??1)
(b?d1?q)1?qnq?1?d
1?qn,(q?1). 43.分期付款(按揭贷款)
每次还款x?(1?b)n
元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).
44．常见三角不等式 （1）若
)，则sinx?x?tanx.
)，则1?sinx?cosx?(3)
|sinx|?|cosx|?1.
45.同角三角函数的基本关系式
sin2??cos2??1，tan?=
tan??cot??1.
46.正弦、余弦的诱导公式
?(?1)2sin?2??)??,?n?1
?(?1)2cos?,
cosn??(?co?s,2??)?? ?n?1
(?2si?n,47.和角与差角公式
sin(???)?sin?cos??cos?sin?;
cos(???)?cos?cos?sin?sin?;
. sin(???)sin(???)?sin2??sin2?(平方正弦公式);
cos(???)cos(???)?cos2??sin2?
bcos????)(辅助角?所在象限由点
(a,b)的象限决定,tan??b
48.二倍角公式
sin2??sin?cos?.
cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?.
49. 三倍角公式
cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??arccosa),k?
cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??2??arccosa)
sin3??3sin??4sin3??4sin?sin(??)sin(??)
tanx?a(a?R)?x?(k??arctana,k??),k?Z.
2tanx?a(a?R)?x?(k??
57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
60．向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,a
,k??arctana),k?Z.
cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??)
3tan??tan3???
tan3???tan?tan(??)tan(??)2
50.三角函数的周期公式
y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,
ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?；函数y?tan(?x??)，
y2)，且b?0，则
?x?k??,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?
51.正弦定理
?0)?x1y2?x2y1?0.
sinAsinBsinC
52.余弦定理
53. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,(2)设a=(x1,y1),b=(x2,(3)设A(x1,y1)，B(x2,
y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2). y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2).
a2?b2?c2?2bccosA; b2?c2?a2?2cacosB; c2?a2?b2?2abcosC.
53.面积定理 （1）
aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c222
AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).
(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).
x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2).
63.两向量的夹角公式
边上的高）.
absinC?bcsinA?casinB. 2
22(3)S?OAB?（2）
54.三角形内角和定理
在△ABC中，有
),b=(x2,y2)).
64.平面两点间的距离公式
dA,B=|AB|?A?B?C???C???(A?B)
C?A?B????2C?2??2(A?B).
?65.向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,A||b
(A(x1,y1)，B(x2,y2)).
y2)，且b?0，则
55. 简单的三角方程的通解
sinx?a?x?k??(?1)arcsina(k?Z,|a|?1).
cosx?a?x?2k??arccosa(k?Z,|a|?1).
tanx?a?x?k??arctana(k?Z,a?R).
?b=λa ?x1y2?x2y1?0.
a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0.
66.线段的定比分公式
设P1(x1,y1)，P2(x2,且1
y2)，P(x,y)是线段PP12的分点,?是实数，
x1??x2?x??OP?1??1??OP2
y??y56.最简单的三角不等式及其解集 1??2?y?1
sinx?a(|a|?1)?x?(2k??arcsina,2k????arcsina),k?Z?1???.
sinx?a(|a|?1)?x?(2k????arcsina,2k??arcsina),k?Z?(1?t)OP?OP?tOPt?（）. 12
67.三角形的重心坐标公式
sin??sin????k??(?1)k?(k?Z).
cos??cos????2k???(k?Z).
tan??tan????k???(k?Z).
PP??PP2，则
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(68.点的平移公式
''???x?x?h?x?x?h''
. ?OP?OP?PP???''
???y?y?k?y?y?k
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
x1?x2?x3y1?y2?y3
x?a?x2?a??a?x?a.
x?a?x2?a2?x?a或x??a.
75.无理不等式
PP'的坐标为(h,k).
. ???g(x)?0
?f(x)?g(x)?
69.“按向量平移”的几个结论 （1）点
P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(x?h,y?k).
(2) 函数y?f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'
的函数解析式为y?f(x?h)?k.
(3) 图象C'
按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y?f(x),则C'的函数解析式为y?f(x?h)?k.
(4)曲线C:f(x,y)?0按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'
的方程为f(x?h,y?k)?0.
(5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设
O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则
为的外心?OA?OB?OC. （2）O为?ABC的重心?OA?OB?OC?0.
（3）O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA. （4）O为?ABC的内心?aOA?bOB?cOC?0. （5）O为?ABC的?A的旁心?aOA?bOB?cOC.
71.常用不等式：
（1）a,b?R?a2?b2?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．
?当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）a3?b3?c3
?3abc(a?0,b?0,c?0).
（4）柯西不等式
(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2
,a,b,c,d?R.
a?b?a?b?a?b.
72.极值定理
已知x,y都是正数，则有
（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p；
（2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值14
s2. 推广 已知x,y?R，则有(x?y)2?(x?y)2
?2xy （1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大； 当|x?y|最小时,|x?y|最小.
（2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小； 当|x?y|最小时, |xy|最大.
73.一元二次不等式
ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)，如果a与ax2?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2?bx?c异号，则
其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)； x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).
?g(x)?0或?f(x)?0. ??
f(x)?[g(x)]2?g(x)?0?（3
f(x)?0?g(x)?0
f(x)?[g(x)]276.指数不等式与对数不等式
(1)当a?1时,
af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);
?f(x)?0logx)?log?
af(ag(x)??g(x)?0.
f(x)?g(x)(2)当0?a?1时,
af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);
?f(xlog)?log?
)?0af(xag(x)??g(x)?0
f(x)?g(x)77.斜率公式
y2?y1xP1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.
78.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为
（2）斜截式
y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距). （3）两点式 y?y1yy?x?x1
x(y1?y2)(P1(x1,y1)、
P2(x2,y2) (x1?x2)).
?1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?0) （5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).
79.两条直线的平行和垂直
(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2
①l1||l2?k1?k2,b1?b2;
?l2?k1k2??1. (2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、
A2、B1、B2都不为零,
?l2?A1A2?B1B2?0；
80.夹角公式
:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,k1k2??1)
(2)tan??|A1B2?A2B1
(l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0).
?l2时，直线l1与l2的夹角是
. 81. l1到l
:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,k1k2??1)
(2)tan??A1B2?A2B1
(l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0).
?l2时，直线l1到l2的角是
. 82．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点
P0(x0,y0)的直线系方程为
y?y0?k(x?x0)(除直线x?x0),其中k是待定的系数; 经过定点
P0(x0,y0)的直线系方程为A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,B是
待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线
l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方
程为(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0(除l2)，其中λ是待
定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程是Ax?By???0(??0)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线Ax?By?C?0 (A≠0，B≠0)垂直
的直线系方程是Bx?Ay???0,λ是参变量．
83.点到直线的距离
P(x0,y0),直线l：
Ax?By?C?0).
84. Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域
设直线l:Ax?By?C?0，则Ax?By?C?0或?0所表示的
平面区域是：
若B?0，当B与Ax?By?C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax?By?C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若B?0，当A与Ax?By?C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax?By?C异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85. (A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面
设曲线C:(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0
A1A2B1B2?0），则
(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面区域
(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0所表示的平面区域上下两
(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0所表示的平面区域上下两
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x?a)2
?(y?b)2?r2.
（2）圆的一般方程 x2
?y2?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F
（3）圆的参数方程 ??
. ?（4）圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)).
87. 圆系方程 (1)过点
A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是
(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??[(x?x1)(y1?y2)?(y
?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??(ax?by?c)?0,其中ax?by?c?0是直线AB的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线l:Ax?By?C?0与圆
C:x2?y2?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程是
x2?y2?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0,λ是待定的系数．
(3) 过圆C2?y2
1:x?D1x?E1y?F1?0与圆
C222:x?y?D2x?E2y?F2?0的交点的圆系方程是
x2?y2?D1x?E1y?F1??(x2?y2?D2x?E2y?F2)?0
λ是待定的系数．
88.点与圆的位置关系
点P(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种
d?r?点P在圆外;d?r?点P在圆上;d?r?点P在
89.直线与圆的位置关系
直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系
d?r?相离???0; d?r?相切???0; d?r?相交???0.
其中d?A2?B
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
d?r1?r2?外离?4条公切线;
d?r1?r2?外切?3条公切线;
r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线; d?r1?r2?内切?1条公切线; 0?d?r1?r2?内含?无公切线.
91.圆的切线方程 (1)已知圆
x2?y2?Dx?Ey?F?0．
y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是 D(x0?x)E(y0?y)
x0x?y0y???F?0.
当(x0,y0)圆外时,
D(x0?x)E(y0?y)
x0x?y0y???F?0表示过两个切点
的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为③斜率为k的切线方程可设为两条切线．
①若已知切点(x0,
(2)点P(x0,y0)在双曲线?2?1(a?0,b?0)的外部
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
y?y0?k(x?x0)，再利用相切条
件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
y?kx?b，再利用相切条件求b，必有
(1）若双曲线方程为?2?1?渐近线方程：
22xyb??0?(2)已知圆x2?y2?r2．
①过圆上的Py2
0(x0,y0)点的切线方程为x0x?0y?r;
的圆的切线方程为y?kx?x2?x?acos?a2?y292.椭圆b2?1(a?b?0)的参数方程是?
. ?y?bsin?x2a2?y2
2?1(a?b?0)焦半径公式
PF1?c)，PF2?e(c
94．椭圆的的内外部
（1）点P(xx2y2
0,y0)在椭圆a2?b
2?1(a?b?0)的内部
（2）点P(xx2y2
0,y0)在椭圆a2?b
2?1(a?b?0)的外部?x220y0
95. 椭圆的切线方程
?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是x0xa2?y0y
2?1. （2）过椭圆
?1(a?b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是
2?1. （3）椭圆x2y2
a2?b2?1(a?b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是A2a2?B2b2?c2.
96.双曲线a2?b
2?1(a?0,b?0)的焦半径公式
PF?|e(x?a2a2
1c)|，PF2?|e(c
97.双曲线的内外部
(1)0,y0)在双曲线a2?b
2?1(a?0,b?0)的内部
x. (2)若渐近线方程为y??b
x?xya?b?0?双曲线可设为
2??. x2y2x2y2
(3)若双曲线与??1有公共渐近线，可设为?0a2b2a2?b
（?，焦点在x轴上，??0，焦点在y轴上）.
99. 双曲线的切线方程
双曲线x2a2
2?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程
是x0xa2?y0yb
（2）过双曲线x2y2
2?1(a?0,b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是
2?1. （3）双曲线
a2?b2?1(a?0,b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是A2a2?B2b2?c2
100. 抛物线y2
?2px的焦半径公式
?2px(p?0)焦半径CF?xp0?2
过焦点弦长CD?xp1?2?x?p
?x1?x2?p. 101.抛物线y2
?2px上的动点可设为P(y2?2p
P(2pt2,2pt)或 P(x,y)，其中 y2?2px.
102.二次函数
?bx?c?a(x?b24ac?b2
(a?0)的图象是抛物线：
（1）顶点坐标为(?b2a,4ac?b2
)；（2）焦点的坐标为(?b4ac?b2?14ac?b2?2a,4a)；（3）准线方程是y?14a
103.抛物线的内外部 (1)点P(x0,
y0)在抛物线y2?2px(p?0)的内部
?y2?2px(p?0).
P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的外部
?y2?2px(p?0).
(2)点P(x0,y0)在抛物线y??2px(p?0)的内部?y2??2px(p?0).
点P(x0,y0)在抛物线y??2px(p?0)的外部?y2??2px(p?0).
(3)点P(x0,y0)在抛物线x?2py(p?0)的内部?x2?2py(p?0).
点P(x0,y0)在抛物线x?2py(p?0)的外部?x2?2py(p?0).
(4) 点P(x0,y0)在抛物线x?2py(p?0)的内部?x2?2py(p?0).
点P(x0,y0)在抛物线x??2py(p?0)的外部?x2??2py(p?0).
104. 抛物线的切线方程
代y即得方程 2
xy?xy0x?xy?y
Ax0x?B?0?Cy0y?D?0?E?0?F?0
，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.
109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b
y2?2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是
y0y?p(x?x0).
(1)抛物线（2）过抛物线
y2?2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是
y0y?p(x?x0).
y2?2px(p?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是
105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线
（3）抛物线
f1(x,y)?0,f2(x,y)?0的交点的曲线系方程是
f1(x,y)??f2(x,y)?0(?为参数).
?2?1,其中(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
k?max{a2,b2}.当k?min{a2,b2}时,表示椭圆; 当min{a2,b2}?k?max{a2,b2}时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
?存在实数λ使a=λb．
P、A、B三点共线
?AP||AB?AP?tAB?OP?(1?t)OA?tOB.
AB||CD?AB、CD共线且AB、CD不共线
?AB?tCD且AB、CD不共线.
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的
消去y得到(x1,y1),B(x2,y2)，由方程?
ax2?bx?c?0，??0,?为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.
107.圆锥曲线的两类对称问题
?存在实数对x,y,使
AB??|x1?x2|?|y1?y2|．
P位于平面MAB内的
?存在有序实数对x,y,使
MP?xMA?yMB，
或对空间任一定点O，有序实数对
119.对空间任一点
x,y，使OP?OM?xMA?yMB.
F(x,y)?0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是
F(2x0-x,2y0?y)?0.
（2）曲线F(x,y)?0关于直线Ax?By?C?0成轴对称的曲线是
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)F(x?,y?)?0.
A2?B2A2?B2
108.“四线”一方程
O和不共线的三点A、B、C，满足
，则当k?1时，对于空OP?xOA?yOB?zOC（x?y?z?k）
间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k?1时，若O?平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O?平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．
A、B、 C、D 四点共面?AD与AB、AC共面?AD?xAB?yAC?
OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC（O?平面ABC）.
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP
Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0，用
xy?xy0x0?x
x0x代x2，用y0y代y2，用0代xy，用代x，用
对于一般的二次曲线
?xOA?yOB?zOC.
121.射影公式 则
AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影
A'，作B点在l上的射影B'，则
A'B'?|AB|cos〈a，e〉=a·e
122.向量的直角坐标运算
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则 (1)a＋b＝(a1(2)a－b＝(a1(3)λa＝(
tan2?1?tan2?2?(sin2A'?sin2B')tan2?.
特别地,当?AOB
sin2?1?sin2?2?sin2?. 131.二面角??l??的平面角
?b1,a2?b2,a3?b3)； ?b1,a2?b2,a3?b3)； ?a2b2?a3b3；
或??arccos（m，n为平面
|m||n||m||n|
?a1,?a2,?a3) (λ∈R)；
?，?的法向量）.
132.三余弦定理
(4)a·b＝a1b1
123.设A(x,y,z)，B(x,
AB与AC所成的角为?2，AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2.
设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，
111222AB?OB?OA= (x2?x1,y2?y1,z2?z1). r124．空间的线线平行或垂直
设1,1,z1)，b?(x2,y2,z2)，则
r?xaPrb?r1??x2
a??br(br?r0)??
?y?1??y2；
2a?rb?ra?r
b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0.
125.夹角公式
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则 cos〈a，b〉
推论 (a1b?a)2?(a22222
2b2?a3b31?a2?a3)(b21?b2?b3)，
此即三维柯西不等式.
126. 四面体的对棱所成的角 四面体
ABCD中, AC与BD所成的角为?,则
cos??|(AB2?CD2)?(BC2?DA2)|
127．异面直线所成角
cos??|cosra,r
b|?（其中?（0o???90o
）为异面直线a,
ba,所成角，b分别表示异面直线a,b的方向向量）
128.直线AB与平面所成角
??arcsinAB?m
(m为平面?的法向量).
129.若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边
AC,BC与平面?成的角分别是?1、?2,A、B为?ABC的两个内角，
sin2?1?sin2?2?(sin2A?sin2B)sin2?.
特别地,当?ACB
sin2?21?sin?2?sin2?.
130.若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边
AC,BC与平面?成的角分别是?1、?2,A'、B'为?ABO的两个内角，
133. 三射线定理 若夹在平面角为?
的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是
?1,?2,与二面角的棱所成的角是θ，则有
sin2?sin2??sin2?1?sin2?2?2sin?1sin?2cos? ; |?1??2|???180?(?1??2)(当且仅当??90时等号成立).
134.空间两点间的距离公式
,z1)，B(x2,
y2,z2)，则
dA,B=|AB|??
135.点Q到直线l距离
h?(点P在直线l上，
直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ).
136.异面直线间的距离
(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是
l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离).
137.点B到平面?
（n为平面?的法向量，AB是经过面
?的一条斜线，A??）.
138.异面直线上两点距离公式
??E?AA'?F）.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA'的长度为h.在直线a、b上分别
取两点E、F，A'
E?m,AF?n,EF?d).
139.三个向量和的平方公式
(a?b?c)2?a2?b2?c2
?2a?b?2b?c?2c?a
?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?
140. 长度为l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
l1、l2、l3，夹角分别为?1、?2、?3,则有
21?l22?l3?cos?1?cos2?2?cos2?3?1
?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
141. 面积射影定理
; ?An?A?1n
（4）nAn（5）
. An?A?mA?1nn
(6) 1!?2?2!?3?3!??n?n!?(n?1)!?1.
(平面多边形及其射影的面积分别是
S、S'，它们所在平面所成锐二面角的为
153.组合数公式
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c和S,则
Anmn(n?1)?(n?m?1)n！
==(n∈N，CmAm1?2???mm！?(n?m)！
m?N，且m?n).
154.组合数的两个性质 11①
S斜棱柱侧?c1l.
143．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
145.欧拉定理(欧拉公式)
V?F?E?2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则
面数F与棱数E的关系：E?1
（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E?1
146.球的半径是R，则
其体积V?43
其表面积S?4?R2
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:
的正四面体的内切球的半径为
外接球的半径为4
. 148．柱体、锥体的体积
3Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）. V?1
Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）. 149.分类计数原理（加法原理）
N?m1?m2??mn. 150.分步计数原理（乘法原理）
151.排列数公式
n=n(n?1)?(n?m?1)=
.(n，m∈N，且
注:规定0!?1
152.排列恒等式
Amn?m?1)Am?1n?(n;
; (2) Cmm?1
155.组合恒等式
n?n?mCn?1;
r?0（5）Cr
r?1?Cr?2???Cn?Cn?1.
?C1C2r??Cn
n?n???Cn?n?2n. (7)C1
n?C3?C5024nn???Cn?Cn?Cn??2n?1.
n?n???nCn?n2n?1. (9)Cr
mCn?Cr?1C1?C0rrr
mn??mCn?Cm?n.
?(C122)2???(Cn2n
n)?(Cnn)?C2n.
156.排列数与组合数的关系
157．单条件排列
以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有Am?1?1种；
（特）元不在某位有Amm?1
n②某n?An?1（补集思想）?
A1m?1m1m?1
n?1An?1（着眼位置）?An?1?Am?1An?1（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：k(k
?m?n)个元在固定位的排列有Akm?k
②浮动紧贴：
n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An?k?1k
n?k?1Ak种.注：
此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，
k个的一组互不能挨近的所有排列数有Ahk
（m3）两组元素各相同的插空
个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有Anm?1
nAn?Cm?1种排法. n
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列
158．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的其分配方法数共有
160．不定方程x1+x2++xn?m的解的个数
m、n个物件等分给m个人，各得n件，
(1)方程个.
+xn?m（n,m?N?）的正整数解有Cm
. N?C?C?C???C?C?m
（2）(平均分组无归属问题)将相异的mn个物体等分为无记号或无顺序的m
(2) 方程x1+x2+
+xn?m（n,m?N?）的非负整数解有 +xn?m（n,m?N?）满足条件+xn?m（n,m?N?）满足条件
?(?1)n?2Cnn??Cm?1?(n?2)k
堆，其分配方法数共有
nnnnnCmn?Cmn?C...?C?C(mn)!?nmn?2n2nn
（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，,,，nm件，且n1，n2，,,，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有
(3) 方程x1+x2+
个. xi?k(k?N?,2?i?n?1)的非负整数解有Cm
?1?(n?2)(k?1)
(4) 方程x1+x2+
xi?k(k?N?,2?i?n?1)的正整数解有
11n?12n?1Cnn???CC?CC?m?1n?2m?n?k?2n?2m?n?2k?3
n1!n2!...nm!
161.二项式定理
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+分给
+nm)个物体
0n1n?12n?22rn?rr
(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab
m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，,,，nm件，且n1，n2，,,，
nm这m个数中分别有a、b、c、,,个相等，则其分配方法数有
a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为
Cp?Cp...C?n1nm?m!
二项展开式的通项公式
Tr?1?Cnab(r?0，1，2?，n).
162.等可能性事件的概率
m堆，且n1，n2，,,，nm这m个数彼
此不相等，则其分配方法数有N?.
n1!n2!...nm!
+nm)个物体（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+
分为任意的n1，n2，,,，nm件无记号的m堆，且n1，n2，,,，nm这m个
任意的n1，n2，,,，nm件无记号的
数中分别有a、b、c、,,个相等，则其分配方法数有
163.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A2＋,,＋An)=P(A1)＋P(A2)＋,,＋P(An)．
165.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率
P(A1· A2·,,· An)=P(A1)· P(A2)·,,· P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
Pn(k)?CnP(1?P)n?k.
168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）Pi（2）P1
n1!n2!...nm!(a!b!c!...)
p（p?n1+n2+
?0(i?1,2,); ?P2?
（7）(限定分组有归属问题)将相异的给甲、乙、丙，,,,,等
+nm）个物体分
169.数学期望
m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，
丙得n3件，,,时，则无论n1，n2，,,，nm等m个数是否全相异或不全相异其
分配方法数恒有
N?Cp?Cp?n1...Cnm?
E??x1P1?x2P2?
170.数学期望的性质 （1）E(a
n1!n2!...nm!
159．“错位问题”及其推广
??b)?aE(?)?b.
（2）若?～B(n,p),则E??np.
若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qp，则
n封信与n个信封全部错位的组合数为 1111
f(n)?n![????(?1)n].
推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为
贝努利装错笺问题:信
D???x1?E???p1??x2?E???p2?
172.标准差
??xn?E???pn
f(n,m)?n!?Cm(n?1)!?Cm(n?2)!?Cm(n?3)!?Cm(n?4)!
173.方差的性质
?(?1)C(n?p)!?
?(?1)C(n?m)!
D?a??b??a2D?；
(2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p).
1234CmCmCmCm
?n
