作者/ Dennis E. Shasha
纽约大学柯朗数学研究所计算机科学教授，先后获得耶鲁大学理学学士、雪城大学理学硕士和哈佛大学哲学博士学位。《科学美国人》网站和Dr. Dobb's Journal的谜题专栏作家。除本书外，还著有《奇思妙想：15位计算机天才及其重大发现》,以及自然计算方面的一系列著作。
我第一次接触数独，是在火车上。当时，我12岁的孩子给我一本书，让我做上面最难的一道题。在行进的火车里解题让我有点不舒服，因此我决定把这道题交给程序来做。我花了3个小时编写了一个100行的程序，即便是网络上最难的数独，它也能在2秒钟内解出来。我不是在自吹自擂。迄今为止，我所知的最短的数独求解程序是由亚瑟·惠特尼（Arthur Whitney）编写的，他用的是自己开发的语言——q语言，程序的长度是103个字符。虽然我不提倡程序越短越好，因为这往往以牺牲代码的可读性为代价，但是103个字符的数独求解程序着实让我惊叹不已。
数独是可应用排除法的谜题。在9×9的九宫格中，用1到9这9个数字填满整个格子。每个数字在每行、每列及每个小九宫格（从左上角开始的不重叠的3×3的9个方格）里正好只出现一次。
考虑以下数独谜题：
用数字0代表此格还未被填写。
让我们先考虑左下角的小九宫格：
可以推断出，在左下角小九宫格中由5个0代表的空格中，肯定有两格分别为7和8。但是倒数第3行已经有一个7了，因此小九宫格中的7肯定不在最上面那行。同时注意到，在第3列中也已经有一个7了，因此在小九宫格中，数字7唯一可能的位置是6右边的那一格，得：
同理可以推断出数字7在右下角的小九宫格中的位置只能是最后一行，在空格中填入7，得：
我们可以先拿一个例子，手工演算一下，往往大致算法也就出来了。此题亦可如此。首先，检查每个填入0的空格的约束条件，得出该空格可以填入的数字。一旦找到一个空格存在唯一可选的数字，将该数字填入空格中，重新计算所有其他空格的约束条件。
让我们这样试试看，九宫格现在的状态是：
我们先考虑左上角的那个空格，跟它相关的所有格子如下图所示：
左上角空格内的数字可以是除4、6、7和9之外的所有1到9的数字，也就是说，可以是1、2、3、5或8。这并没有缩小多大范围。我们继续考虑左上角小九宫格内的中心格：
这格的数字可以排除3、4、5、6、7、8和9，因此只可能是1或2。相比之前，这已经大大缩小了范围，但还是不够完美。
继续检查各个空格的可选值，看看是否能找到一个空格，可以填入的数字是唯一的。例如，考虑位于左中小九宫格内的左上角空格：
可以排除掉2、3、4、5、6、7、8和9。因此，唯一可能的数字是1，九宫格的状态为：
现在，让我们考虑1右边的那个空格，跟它相关的所有格子如下图所示：
这一格可以排除掉1、2、3、5、6、7、8和9，这么一来，4便是唯一的选择。（有的时候可以利用更多的相关格子。例如，在第一列中有一个4，这说明1和9中间的那个空格便不可能是4。但是千万不要在前行的火车上尝试这样的推理。）下面留给你了，试试看能不能解开这道数独，你会发现其实一点都不难。
热身问题解答
在热身问题的解答过程中，总是至少存在一个空格，可以根据约束条件排除到只剩下一个可能值。也就是说，我们并不需要作出“试探猜测”——给空格内赋一个（并非唯一）满足约束条件的值，然后一一验证。让我们试着来设计一个算法。
以下伪代码是针对不需要依靠试探猜测的数独的（basicsud）：
过程basicsud的执行流程如下。
第1行设置标志变量stillchanging初始值为真，此变量为真代表数独还可以继续填写。第2行至第11行为一个while循环，当stillchanging为假时循环结束。在此循环体内执行以下步骤：
首先将stillchanging设为假；
随后为数独中所有依然为0的单元格（为0表示还未被填写）找出它们的约束条件；
如果存在一单元格e，根据约束条件存在唯一解v，则将v填入e中，并设置stillchanging为真；
如果存在一单元格e，根据约束条件没有可以填入的数字，则返回“不一致状态”。
所有具有唯一可能值的单元格都填满后，循环结束，第12行返回数独状态，过程结束。
这个算法不但可以用来应对简单的数独，对于解决更难的数独问题同样至关重要。较难的数独问题需要依靠试探猜测，并且需要检验给出的可能值是否符合各类约束。例如，如果某个空格所在的行和列已经包含了所有1到9的数字，就会出现“不一致的状态”。
需要试探猜测的求解过程是怎么样的呢？让我们跟着直觉走。假设我们从“一致的状态”开始。首先调用basicsud，如果能够使数独达到“完成的状态”（每一个空格/0都填入了相应数字），那么问题便解决了。如果每个空格的可能值都在两个或两个以上，那么对于每个空格的每个可能的值，我们都系统地进行检验。也就是说，对于当前的每个空格，我们先保存现有的状态，尝试某一个可能的值。如果这个值将导致数独进入“不一致的状态”，我们便回退到之前的状态，然后尝试下一个可能值。
以下这段伪代码（specsud）使用了一个堆栈来保存各个状态。当需要作出猜测时，便将当前状态入栈保存。如果此次猜测不可行，便将栈顶状态出栈。
过程specsud的执行流程如下。
首先调用basicsud。如果basicsud返回“不一致状态”，则说明该数独无解，过程结束。如果basicsud返回的数独s'为已完成数独，则返回s'，过程结束。第6行至第18行对应s'为未完成数独的情况，主要逻辑为两层嵌套循环，其中第9行至18行为外层循环，用R代表数独s'中未填写的有两个以上可能值的单元格集合，对于R中的每个单元格e，执行内层循环。第11至17行为内层循环，遍历单元格e的所有可能值，对于每个可能值v，执行以下步骤：
首先将数独现在的状态s'放入堆栈中保存；
再将v填入数独，记数独状态为s''；
递归调用specsud，传入参数s''，记返回数独状态为s'''；
如果返回的s'''是一个完成的数独，将此状态s'''返回，过程结束；
状态s'出栈。
这个算法几乎用任何语言都很容易实现，得出的代码的运行时间一般不会超过1秒。你可以试试看，用一台新款的个人电脑，能否在3秒之内解决下面这道数独。我之前提到过的103个字符的程序耗时不到100毫秒，但是这并不是一场比赛。真的，确实并非比赛。
求解下面这个数独。
求解下面这个数独。
这道数独有点难度，答案参见下图。根据之前给出的伪代码，我简单地编写了一段伪代码求解此题。回溯的次数非常少——低于50次。
顺便说一下，可能会有下面这样的数独的变体游戏，但是我还没找到类似的。我称之为数独对杀。这是一个两人对弈的游戏。假设我跟你一起玩，我们俩轮流在数独板上填入数字。如果你没有数字可填，那么我就赢了。所谓没有数字可填，一种可能是因为数独已经被填满了，还有一种可能是无论你填入什么数字，都会违反数独的约束。类似地，如果我无路可走，则你赢得比赛。
作者在纽约大学柯朗数学研究所开设了多年的谜题分析课程，积累了不少题型，总结了多种解题思路。书中从不同角度阐释了各种类型谜题的解题技巧，从广为人知的数独、幸运轮盘赌、赛程编排、旅行推销员问题到独具一格的猫鼠游戏、同盟最大化及选择性贪心等。通过学习本书，读者可以开拓视野，启发思路，不仅能从容面对面试中遇到的各种谜题，更能培养在实践中确定最佳方案的技巧。如果你想挑战一下自我，不妨拿起本书，来一场头脑风暴。本文摘自。
本文目前还没有评论……Sudoku Frog ( 数独家庭教师 )官网
Sudoku Frog ( 数独家庭教师 )
更新时间：
平台：IPad
中兴U728 Sudoku Frog ( 数独家庭教师 )官网
最权威最多礼包的官网在哪里？想了解更多关于官网的资讯吗？来到九游，这里有丰富精彩的手机游戏内容等你。不管你是一个手机游戏的菜鸟玩家，还是一个高级发烧友，我们九游都有适合你的内容，包括海量游戏下载、热门游戏排行、各种游戏攻略评测。喜欢这款游戏吗，快点击下载吧，喜欢就常来九游。
请选择品牌
请选择机型U728
小贴士：建议您想先设置机型，设置后您就直接浏览全部适合您手机的游戏，下载使用更放心。
九游()是手机游戏下载第一门户，提供最新中兴中兴U728下载、礼包、激活码，最好玩的Sudoku Frog ( 数独家庭教师 )攻略，欢迎访问与玩家交流。
SudokuFrog是一个聪明的数独家庭教师。它能教你解题的步骤和方法。你能学会和增强数独技巧。你可以方便地用手指去选择行、列和格去发现答案。图形和数字的谜题构成可以同时适合小朋友或大人。两种颜色的铅笔可以帮助你做多样的解题标记。无穷的5个级别的2x2, 3x2, 3x3的谜题可以满足不同阶段的使用者。
点击查看更多
您可能还想关注：
看了Sudoku Frog ( 数独家庭教师 )官网的用户还看了：
关于中兴U728
中兴通讯全称"中兴通讯股份有限公司"， 公司英文全称"ZTE CORPORATION"，其中"ZTE"是"Zhongxing Telecom Equipment"的缩写。中兴通讯成立于1985年，是全球领先的综合通信解决方案提供商，是中国最大的通信设备上市公司。 专区提供最新手机游戏免费下载。
U728的分辨率为240*320,是中兴生产的一款触屏手机。中兴U728手机用户可通过九游下载。数独免费版官网
数独免费版
更新时间：
下载：1,387次
平台：Android
中兴V791数独免费版官网
最权威最多礼包的官网在哪里？想了解更多关于官网的资讯吗？来到九游，这里有丰富精彩的手机游戏内容等你。不管你是一个手机游戏的菜鸟玩家，还是一个高级发烧友，我们九游都有适合你的内容，包括海量游戏下载、热门游戏排行、各种游戏攻略评测。喜欢这款游戏吗，快点击下载吧，喜欢就常来九游。
请选择品牌
请选择机型V791
小贴士：建议您想先设置机型，设置后您就直接浏览全部适合您手机的游戏，下载使用更放心。
九游()是手机游戏下载第一门户，提供最新中兴中兴V791下载、礼包、激活码，最好玩的数独免费版攻略，欢迎访问与玩家交流。
《 Sudoku Free》传统上是一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏。玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均含1-9，不重复。 每一道合格的数独谜题都有且仅有唯一答案，推理方法也以此为基础，任何无解或多解的题目都是不合格的。现在你再也不需要纸和笔了了!直观的界面,所有的功能一览无遗,这个数独应用肯定是你的菜。退出时进度会自动保存！游戏特点：- 4种难度——简单、中等、困难、极端- 撤销和重开功能- 支持记号功能- 自动保存- 智能提示- 计时比赛功能- 评分最高和历史记录功能- 支持上传结果并在线跟踪进度
点击查看更多
您可能还想关注：
看了数独免费版官网的用户还看了：
关于中兴V791
中兴通讯全称"中兴通讯股份有限公司"， 公司英文全称"ZTE CORPORATION"，其中"ZTE"是"Zhongxing Telecom Equipment"的缩写。中兴通讯成立于1985年，是全球领先的综合通信解决方案提供商，是中国最大的通信设备上市公司。 专区提供最新手机游戏免费下载。
V791的分辨率为320*480,是中兴生产的一款触屏手机。中兴V791手机用户可通过九游下载。武安新视线是武安市网信办唯一指定权威微信公众平台，如果您身边有新鲜趣闻乐事请积极投稿给我们，投稿邮箱：；投稿微信：wuankuaibao根书属于根艺美术范畴，是一种造型艺术。它是用天然的树根代替毛笔书写的点划组成的文字，既有书法的趣味，又有根的艺术造型。虽然不用笔墨纸砚，但仍需讲究书法的笔墨情趣。根书较之书法的黑白平面艺术，增加了多彩的立体造型，使书法由二度黑白平面艺术，变成多彩的立体造型，给书法增加了美的层次。大同镇沙沟村的八十多岁老人郭中兴，祖孙三代行医，自幼喜爱书画，退休后对根书产生兴趣并结不解之缘，自称“根趣老人”。从一九九六年开始创作，作品多被市内名人收藏，并有九件作品赴韩国展出，为识者收藏。根书《百家姓》是三年才完成的长篇巨幅,原作高244厘米，长2864厘米，被河北青泉企业集团公司收藏；大幅《念奴娇.赤壁怀古》和《大风歌》为武安宇宙宾馆收藏；100多字的《心经》被云岩寺收藏；东山公园内1000多字的巨作《千字文》。2004年9月间，应邀带五十幅作品赴台湾师范大学美术系和南山中学展览，在南山还做了根书艺术讲座，有多幅作品为台北知名人士收藏。得到台湾艺术、书法界的高度评价。在沙沟村委和沙沟小学各级领导的赞助支持下，郭中兴老人现在正在沙沟小学夜以继日的忙碌着，又一1000多字的《三字经》 巨作正在紧锣密鼓制作中。目前已经用了9块200厘米*120厘米的垫板，占整部作品的三分之一。同时，沙沟学校结合教学实际，把根书与书法相融合，开展根书制作实践活动，实施到实际的教育教学之中，培养了学生对书法的学习兴趣，锻炼了学生的动手能力和空间想象能力，提高了学生创作美、欣赏美的意识，给校园增添了深厚而鲜明的文化色彩，成为一张靓丽的学校名片。
武安新视线(wuanxinshixian)　
　文章为作者独立观点，不代表微头条立场
的最新文章
沉浸下来细细想来，任何一出戏目都将是一次饕餮之旅。“春和景明紫气来，不由人见景生情意徘徊”平调名家武鸿凤老师山可以望得见水可以看得见乡愁如何能留住？没口峪村位于武安市马家庄乡西南部，植被茂盛，风景秀丽，民风淳朴，是传在这条漫长的路上，风景注定不都是美好的格桑花又称格桑梅朵，在藏语中，“格桑”是“美好时光”或“幸福”的意思，“梅朵”是花的意思，所以格桑花也叫“幸武安新视线是武安市网信办唯一指定权威微信公众平台，如果您身边有新鲜趣闻乐事请积极投稿给我们。武安新视线是武安市网信办唯一指定权威微信公众平台，如果您身边有新鲜趣闻乐事请积极投稿给我们，投稿邮箱：waw武安新视线是武安市网信办唯一指定权威微信公众平台，如果您身边有新鲜趣闻乐事请积极投稿给我们，投稿邮箱：waw在我们印象中，高三毕业班惜时如金，埋头苦读，不仅没有节假日，废寝忘食也是平常事，但最近，武安市第三中学高三学武安新视线是武安市网信办唯一指定权威微信公众平台，如果您身边有新鲜趣闻乐事请积极投稿给我们，投稿邮箱：waw母亲节快乐.武安新视线是武安市网信办唯一指定权威微信公众平台，如果您身边有新鲜趣闻乐事请积极投稿给我们，投稿邮箱：waw武安东山公园美如画◆
谁说熟悉的地方没有风景五一劳动节安全出行 快乐过节旅游是生活的重要组成部分。国庆放七天长假，选择一个旅游项目是必不可少的事情。由于乐武安传说故事南京至北京，谁不知道北安乐郝振中传说，很早以前，北安乐村有个叫郝振中的穷汉，力大无比远近闻名。武安新视线是武安市网信办唯一指定权威微信公众平台，如果您身边有新鲜趣闻乐事请积极投稿给我们，投稿邮箱：waw心之旅途--云岩寺安宁如果没有几个兄弟姐妹的相约，自己原是不知道云岩寺这个地方的.十二岁时作为河北省钢铁重镇的唐山市，2015年粗钢总量为8269.7万吨，占河北省总量的43.19%。不过，在钢铁行业激烈的竞争中，2015年唐山市民营钢铁企业总体上是亏损的。与之相反，邯郸市民营钢铁企业总体上是盈利的。武安新视线是武安市网信办唯一指定权威微信公众平台，如果您身边有新鲜趣闻乐事请积极投稿给我们，投稿邮箱：waw青烟寺，杏花村，法华洞，串联成一趟诗意的行走，2016年的第一次灵魂之旅……武安新视线是武安市网信办唯一指定权威微信公众平台，如果您身边有新鲜趣闻乐事请积极投稿给我们。阳春三月，春风十里，不如古武当山桃花和你，亲，周末约起？武安新视线是武安市网信办唯一指定权威微信公众平台，如果您身边有新鲜趣闻乐事请积极投稿给我们，投稿邮箱：waw导读由于春节期间国内钢材市场趋暖，春节后首个交易日黑色系期货品种普遍收涨。其中，螺纹钢期货主力合约上涨1.6在刚刚过去的情人节中，不论你是处于热恋的浪漫情人还是单身无依的单身汪，都深深体会到欢（gu)乐(dan)祥(正月初二去丈母娘家拜年了，武安有媳妇儿的好小伙都装备一新去拜年点击标题下「蓝色微信名」可快速关注
★9亿吨的实际粗钢产量，11亿吨的统计钢材产以绝对不一样的角度看七步沟编辑：晨光惊艳世人的汉服要过年了，武安的人们都在商场买衣服，有羽绒服、毛衣大衣、西服、夹克、披风、甚至还有貂皮。事境变编者：武安“三君”是千百年来“以武力征得天下”的典范！是武安这块热土上历史的天空中三颗耀眼的明星，浪花淘尽，受钢材需求持续低迷影响，去年不少上市钢企业绩惨淡。宝钢股份(600019)日前公布的业绩快报显示，2015年青烟寺村位于武安市西部石洞乡驻地东南偏北五公里处，小摩天岭山脉绵延至此。该村居柳泉沟之口，岗岭起伏。全村二千在我国，高铁被大多数人熟悉，它安静、舒适、速度快。普通旅客列车比较拥挤，速度慢。
但是在火车顶上都挤满人的随着2022年冬奥会越来越近，这个冬季不太冷，在燕赵大地又将会掀起一轮又一轮的冰雪运动欢乐高潮，一起期待吧！发改委：加快京津冀交通一体化重大项目建设01据发改委网站4日消息，基础产业司司长费志荣近日主持召开京津冀交通wuanxinshixian以正能量的新视角纵览大好武安热门文章最新文章wuanxinshixian以正能量的新视角纵览大好武安数独免费版占内存小吗
数独免费版
更新时间：
下载：1,387次
平台：Android
中兴U879数独免费版占内存小吗
最近很多玩家都在问这款游戏占内存小吗，这是个很有必要闹明白的问题，特别是配置比较低的手机，因为手机内存分为运行内存俗称系统内存和非运行内存也就是常说的存储空间，“运行内存”越大，手机能运行多个程序且流畅，非运行内存”越大，就像硬盘越大，能存放更多的数据。所以可以使用后看看进程表的情况进行选择性使用。这款游戏占内存不大，值得一玩。
请选择品牌
请选择机型U879
小贴士：建议您想先设置机型，设置后您就直接浏览全部适合您手机的游戏，下载使用更放心。
九游()是手机游戏下载第一门户，提供最新中兴中兴U879下载、礼包、激活码，最好玩的数独免费版攻略，欢迎访问与玩家交流。
《 Sudoku Free》传统上是一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏。玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均含1-9，不重复。 每一道合格的数独谜题都有且仅有唯一答案，推理方法也以此为基础，任何无解或多解的题目都是不合格的。现在你再也不需要纸和笔了了!直观的界面,所有的功能一览无遗,这个数独应用肯定是你的菜。退出时进度会自动保存！游戏特点：- 4种难度——简单、中等、困难、极端- 撤销和重开功能- 支持记号功能- 自动保存- 智能提示- 计时比赛功能- 评分最高和历史记录功能- 支持上传结果并在线跟踪进度
点击查看更多
您可能还想关注：
看了数独免费版占内存小吗的用户还看了：
关于中兴U879
中兴通讯全称"中兴通讯股份有限公司"， 公司英文全称"ZTE CORPORATION"，其中"ZTE"是"Zhongxing Telecom Equipment"的缩写。中兴通讯成立于1985年，是全球领先的综合通信解决方案提供商，是中国最大的通信设备上市公司。 专区提供最新手机游戏免费下载。
U879的分辨率为480*854,是中兴生产的一款触屏手机。中兴U879手机用户可通过九游下载。