已知三角形的外角性质定理有两个边，和一个边外角，求面积

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-04-08 08:16 标签： 三角形的外角性质定理
这个算法是完全正确的s = (a + b + c) / 2
area = (s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) ** 0.5这部分转化成数学语言就是：假设有一个三角形，边长分别为 a、b、c ，三角形的面积 A 为A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ，其中 s=\frac{a+b+c}{2} .而这个正是很出名的“海伦公式”。以下是公式的证明：令 h 为 c 边上的高， h 于 c 的交点将 c 截成 d （b 侧）和 c-d （a 侧）.b^2=h^2+d^2 a^2=h^2+(c-d)^2 a^2-b^2=c^2-2cd d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c} \begin{align} h^2&=b^2-(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c})^2\\ &=\frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\ &=\frac{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}{4c^2}\\ &=\frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\ &=\frac{2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^2}\\ &=\frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2} \end{align} \begin{align} A&=\frac{ch}{2}\\ &=\sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot\frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}}\\ &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align} 证毕另一个证明方法：取 \triangle ABC ，令 a=BC、 b=AC、 c=AB .令 I 为 \triangle ABC 的内心， I_1、I_2、I_3 为 \triangle ABC 的三个旁心.\because\angle I_1BI=\angle I_1CI=90^\circ \therefore I_1CIB 四点共圆，设此圆为 \odot O .作 IP\perp BC 于 P ，直线 IP 交 \odot O 于 I、Q ，作 I_1R\perp BC 于 R .由泰勒斯定理， \angle I_1QI=90^\circ=\angle I_1QP=\angle QPR=\angle I_1RP \therefore\square I_1QPR 为矩形\therefore I_1R=QP \because PI=内切圆半径=\frac{A}{\frac{a+b+c}{2}}，I_1R=旁切圆半径=\frac{A}{\frac{b+c-a}{2}} 又 \because BP=\frac{c+a-b}{2}，PC=\frac{a+b-c}{2} 又由圆幂性质： PC\times PB=PQ\times PI=I_1R\times PI \therefore \frac{a+b-c}{2}\times\frac{c+a-b}{2}=\frac{A}{\frac{a+b+c}{2}}\times\frac{A}{\frac{b+c-a}{2}} \Rightarrow A=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times\frac{b+c-a}{2}\times\frac{a+c-b}{2}\times\frac{a+b-c}{2}} 证毕

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