所以这就是 @不会功夫的潘达，你给出错误证明的理由?正规数学训练的人，连策梅洛定理下必胜策略的意思都不搞清楚，就发证明骗人?我是真的要怼一怼这个人，中国的数学博士是这种水平的话，可想而知论文造假严重是真的不奇怪了!我讲了那么多，感觉全在对牛弹琴，而且仍然还会被误解，而我所讲的是任何一个精研博弈论的人都会涉及到的问题。简单来说，在围棋中，黑棋和白棋交换角色不是交换先后手那么简单，因为围棋有贴目规则，哪怕黑棋放弃了先手，变成了后手，也拿不到白棋的贴目，因此黑棋没办法通过角色互换来夺取白棋的必胜策略。这段我觉得纯粹废话，但接下来才是重点，我是不明白为什么一个数学博士还能看不懂，大概我是高估了做学问的人的水平。零贴目里，围棋存在着一个难以解决的逻辑问题，这个问题，有时间的话另开一个话题，看看有没有真正有用的人能给出些有趣的答案好了，这里只需要把它提出来，来说明这位博士看似没有漏洞的证明的错误在哪里。他的手法十分简单，假设后手方有必胜策略，那么在围棋规则下，黑棋舍弃先手换到后手，就可以夺取后手这个位置，同时也拥有了必胜策略，如果虚着，一直平局，于是黑棋必不败成立。是不是怎么看都不像有任何问题的样子？但策梅洛定理，该死，它的原文是【又或者双方都必不败】，但是这位博士同学对我说，黑不败不等于说白不败。我想他绝对是认为，这只是假设白棋有必胜策略的情况下，如果假设黑棋有必胜策略，那么白棋就不存在必不败了。还是那句话，这是假设！假设！你高中时候反证不是通过否定假设来证实结果的？黑棋有没有必胜策略是未确定的事实，不能通过没确定的事实来证明白棋存在必不败！你这等于在说，黑棋先手有必胜策略，所以后手必败，后手有必胜策略，黑棋换到白棋，黑也有必胜策略。但是先后手哪一方有必胜策略，全是假设！假设啊！！！！黑棋换白棋不败，是建立在结果本身就已经是后手有必胜策略的情况下，黑棋本身不败，是建立在先手有必胜策略的情况下。但如果是双方必不败的情况呢？你会说黑色本身也不败，但是白色也不败。你哪来的逻辑说黑不败不等于说白不败？你这句话等于在说，围棋在零贴目情况下，不存在双方必不败的情况，然而零贴目围棋根本没有确定在策梅洛定理里，到底是属于先后手有必胜策略，还是属于双方必不败，你是不知道的！你怎么能说只有黑不败，没有白不败？这是第一个问题。第二个问题我另开一个话题，看来有必要好好的搞清楚一般人，甚至从事数学工作的人在这上面存在着什么样的问题。最后吐槽一句，你的数学学的再好，你给我搞清楚， @不会功夫的潘达 你现在说的是博弈论的问题，在现实里，用博弈论用的最多的不是数学家，不是其他科学，什么人最喜欢博弈论？没有错，是商人。你一个学数学的，跟我讨论博弈论，来一句没有受过严格的数学训练，你是在做梦？你数学是主修博弈学这个分支的？不是你在我面前装什么大尾巴狼？有的人真的是以为自己擅长一种学问，天底下就没有他不知道的东西了，真是笑话，投资移民澳洲快十年了，我也只在我所擅长的领域讲我所知道的事情，要是说的不是围棋而是一个具体的数学问题，我根本就不会进来，喔对了，这从一开始还真的是一个围棋相关话题的回答，那是不是你我现在来下一盘，谁赢了谁有理？与是这和你那什么数学博士有哪门子关系？顺便我仍然要说，这就是数学博士的话，我只能说，这种程度，人家老外瞧不起国内学术界，嘲笑中国人是学术造假先锋，真的是国人自己的锅，这是一个受过严格数学训练的博士哟，博士。你博弈论学艺不精谁都不怪你，因为很可能只是选修的，但是你非要强行遮羞，把数学博士身份拿来当挡箭牌，还不准别人回复，我只能把你拔出来晒一晒，让你烧一烧大脑，从自大的狂梦里清醒清醒了。我做商人赚钱的时候，整天拿严格数学格式写东西的，那是我的会计，我的金融分析师。什么时候写几个数学格式就能代表权威了？那我这个董事长是不是该教给理科生来做了？这整个世界都是你们的天下？还跟我呵呵，我跟你装大尾巴狼，我闲的抽筋跟你装，不是看你到现在搞不清楚错在哪谁管你。撤了撤了，真是浪费我的时间，真的逼人说不好听的，最后嘲讽一句，你一个数学博士被怼就恼羞成怒了？你就是名校教授这种错误我肯定也要说的，怎么名校教授论文抄袭被怼还少了？经不起批评？那你回答什么博弈论问题？博弈论方面我从做商人起看到现在，书柜里有一排以上全都是这方面的著作，现实里运用到也不知道多少次了，经验丰富，不比你这个选修几年的懂？你在这方面跟我比权威？跟我装什么大尾巴狼？呵呵，数学博士，博弈学民科。

@mingren 已经给出了先手有必胜策略的解答，提供的是先手出2的情况。答主没有验证枚举的过程是否完全正确，但在这里先给出先手出1必胜的策略。事实上，先手出1是一个更简单直接的策略。引理1 对 k\ge 1 ，当每种牌还剩至少 k 张时，若当前玩家距离目标为 9k ，则必败。证明：在接下来的回合中，若当前玩家出 n ，则对手出 9-n ，对手必将取得胜利。引理2 对 k\ge 1 ，当1还剩恰好 k-1 张，8还剩恰好 k 张，5还剩至少 k 张，其余牌还剩至少 k-1 张时，若当前玩家距离目标为 9k ，则必胜。证明：用归纳法。当 k=1 时，当前玩家出8，此时距离目标为1，但1已用尽，对手必败（即当前玩家必胜）。假设结论对 k 成立，考虑 k+1 的情况。当前玩家出8。此时距离目标为 9k+1 ，且1和8均剩恰好 k 张，其余牌还剩至少 k+1 张。此时：若对方出 n=1 ，则由 k 时归纳假设知当前玩家必胜。若对方出 n\in\{2,3,4,5,6,7,8\} ，则当前玩家出 10-n 。此时距离目标为 9（k-1） ，且每种牌还剩至少 k-1 张，由引理1知对手必败（即当前玩家必胜）。由归纳法得证。引理3 对 k\ge1 ，当1还剩恰好 k-1 张，8还剩恰好 k 张，其余牌还剩至少 k张 ，若当前玩家距离目标为 9k+2 ，则必败。证明：用归纳法。当 k=1
时若当前玩家出 n\in\{3,4,5,6,7,8\} ，则对手出 11-n 即可直接胜利。若当前玩家出 n=2 ，则对手出8。此时距离目标为1，但1已用尽，当前玩家必败。假设结论对 k 成立，考虑 k+1 的情况。若当前玩家出 n\in\{3,4,5,6,7,8\} ，则对手可出 11-n ，此时总和为12，距离目标为 9k ，且每种牌还剩至少 k 张，由引理1知当前玩家必败。若当前玩家出 n=2 ，则1还剩恰好 k 张，8还剩恰好 k+1 张，5还剩至少 k+1 张，其余牌还剩至少 k 张，对手距离目标为 9（k+1） ，由引理2知对手必胜。若当前玩家出 n=1 ，则对手可出8。此时1还剩恰好 k-1 张，8还剩恰好k 张，其余牌还剩至少 k 张，当前玩家距离目标为 9k+2 ，由 k 时归纳假设知当前玩家必败。由归纳法得证。下面我们给出最终结论。先手出1。由引理3知必胜。证毕。我们称12、21、30、39为关键节点。下面用最简单的文字描述一下39点中先手实际操作时的具体策略。出1。随后重复以下判断直至胜利：若可以一步抢到关键节点，则执行；否则，出8。

假期有空，强答一下，有所引申。1.五子棋中，先手下棋到底有多大的优势？优势大到必胜无论白棋做出如何的防守，都无法阻挡黑棋先行成五。其实早在1899年，日本《万朝报》就连载了《五目並べ必勝法》。（相关链接：各领域内有哪些普通大众并不了解，且仍在人世的大师级人物？ - 马骏的回答）2.先手必胜的难度有多大？对于有一定棋理基础和计算力基础的人，难度并不是很大日本早在1856年就有《五石定磧集》出版，随后各种五子棋的书籍纷纷出现，但直到1899年，才有明确的必胜书籍出版。究其原因，一是因为当年的五子棋理论处于启蒙阶段，玩家的棋力普遍不足；二是因为做出“必胜”结论需要严谨的证据，必须把白棋每一种防守都完美的解决才可以称为必胜，这在那个没有计算机软件的年代，工作量还是相当大的。（至1992年，Victor Allis通过计算机编程严格证明无禁手五子棋必胜，论文地址：https://project.dke.maastrichtuniversity.nl/games/files/phd/SearchingForSolutions.pdf ；至2001年，Janos Wagner通过计算机编程严格证明有禁手五子棋必胜，论文地址：http://www.sze.hu/~gtakacs/download/wagnervirag_2001.pdf。参考链接：五子棋先下的一定赢吗？如何证明？ - 胡天硕的回答）但作为一个现代人，在有大量学习资料的条件下，要达到先手必胜的水平，难度并不是很大。学习必胜并不是死记硬背棋谱。对于花月浦月这样的开局，在具备一定理论基础和计算力基础的前提下，杀掉绝大部分分支是水到渠成的事情，需要特别去注意的分支并不多。3.学习必胜时，有哪几种分支是需要特别注意的？高手常常看一眼某个局面，就知道是否必胜，即便还没有看到具体的方法。这种神奇的棋感对初学者而言是巨大的诱惑。这种棋感其实就是对先手空间连接的感觉评估而已。花月之所以容易必胜，其原因就在于先手太容易扩展优势，可以不断增加连接，而白棋却很难有有效的干扰反击。没错，必胜三要素就是“先手，空间，连接”。而学习必胜时，需要特别注意的就是白棋对这三要素的干扰——a)做自己的材料干扰黑棋先手进攻，b)压制黑棋空间，c)断绝黑棋连接。尤其要注意前两种。a)做自己的材料干扰黑棋进攻图1 花月败6图一为花月一打中的一个变化，6手率先做双活二进攻。如果黑棋习惯性挡在B点，在有禁手规则下黑棋将必败，在无禁手情况下，黑棋可以取胜也难度略大。正解为A点，同时牵制白棋两条活二线路的进攻，自己形成3个活二，在无禁手情况下，A点简单必胜，在有禁手情况下，黑棋仍有一些抵抗，如图2所示，到15手，白棋没强防。图2 花月败6正解图3 花月1打败8图3为花月1打的一路变化，7手直接走在A点更容易必胜，图中的7手也可必胜但略为复杂。图3中，8手做双活二牵制黑棋进攻，此时如果黑棋近身跟防（如h7 g8）必败无疑。A点为黑棋必胜点，对白棋进行反牵制，一招制敌。图3局面还有其他解法。如图4中，存在一招制敌的必胜手段，感兴趣的朋友可以试着找找看。图4 寻找黑棋必胜点由于花月一打局面相对简单，我所找出的例子并非很难解。但在实战中，做为防守方，时刻考虑自己的反击是有益的，不思争先，胜如登天。有时，不去跟防，抢先手做棋有着惊人效果。图5 浦月败5图5为浦月的一路必败变化，很多初学者喜欢走这样民间叫做“斜三阵”的5手，据说很多年前中国棋手挑战日本棋手的时候就准备的这个5手，然后就被秒杀了。图5中A点白棋反向做棋，黑棋有禁简单必败，无禁也是必败。无禁黑棋的一路强防如图6所示，8手的做棋和14手的反43都是取胜的关键点。图6 无禁手浦月败5取胜图b)压制黑棋空间没有足够的空间，进攻方是不可能取胜的。因此白棋防守的一种策略就是压制黑棋的进攻空间。图7 浦月2打分支图7为浦月2打中一路很难杀的分支。17手的冲4和20手的强防都是人脑下棋时容易错过的手段。白棋的防守将黑棋逼入右上角，但黑棋还是可以艰难取胜，34手后，白棋存在ABCD顺序的连续冲四取胜手段（vcf），此时黑棋E点必胜，因为如果白棋继续按照ABCD顺序行棋E,F,G,25斜线上率先成4（即黑棋存在反43的手段）。从17到35手，考虑白棋所有防守牵制手段并且精确计算出必胜是很困难的。c)切断黑棋连接切断连接通常的做法是抢占黑棋进攻线路上的关键点，通常所说的八卦易守即有一些切断连接的意味，八卦点经常会是连接要点。图8 传说中的八卦阵图8就是传说中的八卦阵，很多初学者喜欢用这样的防守方式，棋盘上45个白子放上去，填满黑子也不可能再形成5连。图9 雨月2打的一路变化图9为雨月2打的一路变化，图中黑棋材料密集，如果经过仔细计算，会发现A点为切断黑棋线路的强防。A点给黑棋造成的干扰是巨大的，此时黑棋如果杀不出来，外势将被白棋控制，想不输很难。还好黑棋有一路强杀，如图10所示。18手时白棋挡在30手的位置黑棋也是很难杀掉的，感兴趣的朋友可以试着计算一下。图10 雨月2打12手应对4.是不是所有的五子棋开局都存在必胜？并不是。图11 五子棋开局名称五子棋常规开局26种，如图11所示。有禁手情况下，1打必胜的有19种，至少2打必胜的有12种，必败的有两种（游星，彗星）。疏星，丘月，斜月，流星，长星开局并没有必胜。并且每种开局必胜的难度是不一样的，比如花月浦月一打一百年前就出现了，而明星二打这样的开局2010年左右才被终结。从拆棋的角度，现代棋手借助电脑软件（连珠终结者/弈心/黑石）不到半天的时间就可以将花月一打终结掉。而浦月5打这样的开局，在数位软件高手的努力下，几年时间才终结掉（近期才被公开）。花月浦月一打的必胜谱在五子棋棋谱中只是沧海一粟。5.既然五子棋开局存在必胜，如何保证比赛的公平性？每年都会有全国和世界的五子棋比赛，如世锦赛，世团赛，全国锦标赛，全国公开赛，全国智力运动会等。用禁手+交换+选择打点的方式保证比赛的公平性。禁手是日本早期五子棋发展过程中的产物，为了限制黑棋的优势，规定某些棋型黑棋不能走，否则判负。具体有三三禁手（一子同时形成两个或以上活三）；四四禁手（一子同时形成两个或以上的四，包括活四冲四）；长连禁手（一子形成六连或六连以上）。如图11所示，A点是三三禁手,B点是四四禁手，C点是长连禁手：图12 典型禁手图禁手不但可以限制黑棋的优势，还可以增加白棋的取胜方式。图13 典型的抓禁手取胜图13为浦月二打的一个局面，图中7手在无禁手的情况下必胜，但在有禁手的情况下必败。10手无论走在A点或是B点都必然会抓住黑棋的三三禁手，有兴趣的朋友可以推演一下。然而单纯的禁手并不能限制住黑棋的开局优势，正如前面所说，即便有禁手，黑棋也有19种开局的一打是必胜的。保证平衡的第二点是交换，举个简单的例子，两个人分蛋糕，为保证公平，最好的办法就是一个人切，另一个人选。五子棋中，假先方开局之后，假后方有权交换局面，这样迫使黑棋开平衡的开局。然而，仅有禁手+交换会限制五子棋的变化量，为了弥补这个不足，比赛采用5手选择打点的方式。思路是这样的，即便黑棋前三手是必胜的，但如果迫使黑棋第五手的走平衡点，黑白仍然是可战的。因此有了rif规则，山口规则，索索夫规则。目前，根据山口规则改变的《中国五子棋竞赛规则》（2013版）是国内大型赛事的比赛规则；索索夫规则是国际连珠联盟比赛所用规则。规则这一块一直是限制五子棋发展的壁垒。近期，欧洲的一些国家放弃禁手规则，采用swap2规则举办赛事。另外值得一提的是，即便是某些局面理论上存在必胜，实战比赛中也并非不可以走，人脑并不能总是完美的控制复杂局面，比如2012年的国际团体赛中，中国棋手杨彦希 @九指禅魔 在浦月5打局面下，执白战胜了日本名人大角友希。6.目前五子棋AI发展到什么程度，能否碾压人类？根据目前的情况，山口或索索夫规则下，最强五子棋AI弈心与人类胜负参半。swap2规则下，五子棋AI更强一些。此链接为弈心主页，感兴趣的朋友可以查看弈心与人类的对弈棋谱。每年都会举办五子棋AI的比赛，这是gomocup比赛官方网站，欢迎AI爱好者参加。比赛主办人为康奈尔大学计算机博士孙锴 @爱丽丝欣 （弈心作者）和清华计算机博士郝天一 @Tianyi Hao （slow renju作者，2017年全国大学生五子棋锦标赛冠军，五子棋专业四段）————————————2月22日补充————————————1.花月浦月1打虽然简单必胜，但并不等于随便下都可以必胜认为花月浦月必胜简单是有一定前提的，前提就是懂得一些棋理（比如进攻级别，做棋等）并且有一定计算力。见到三就活，见四就冲是绝对走不出必胜的。图14 花月必胜定式图14为花月开局下的一路必胜定式，如果见三就活，黑棋走在BD,白棋挡在CE后，黑棋再很难继续进攻，黑必胜的局面将变为平衡或白优。正确的9手是在A处做棋，增加黑棋在右侧的优势，同时寻求5，1，3眠三与5，7活2两路材料之间的联系。对于新人来说，9手A点的做棋很难理解，但对于有一定棋理基础的人，这种手段还是可以想到的。即便走对了9手，接下来想要完美取胜也是需要有一定计算力的。图15 续图14图15为图13后续的一路变化，12手和14手为强防，15手走在A 或走在B似乎有很好的后续手段。但仔细计算后会发现在B处活三才是正解。如果黑棋15手在A处活三，白棋16挡于B处，黑棋继续进攻会受到白棋严重牵制，局面无杀。图16 图15最终杀法图16为图14局面的最终杀法，活三的先后顺序，适当情况下的做杀（如21手）都是取胜的关键。不经过严谨的双色计算，盲目的活三很可能得到失败的结果。2.很多局面下必胜的方法并不唯一很多优势局面下，必胜的方法并不唯一，也并非不按照棋谱走就会失败。图17 浦月一打的一路分支图17为浦月1打一路分支，大多棋谱中给出的必胜点为A点，其后续杀法较为复杂，需要很强的计算力，并且一旦错杀很容易被翻盘。其实，该局面下，在B点或C点做棋更容易必胜，而且更容易控制局面。图18和图19为棋谱中的杀法，复杂程度较高。图18 白14挡下图19 白14挡上杀法图19经常被当作五子棋习题出现，15手，17手连续的做杀都是取胜的关键，该局面下如果见三就活一定是不能取胜的。另外，绝大多数情况下不按照棋谱中的必胜点走并不等于会必败。必胜和必败之间还有黑优，平衡，白优三种情况。实际上，五子棋手不可能把所有必胜开局都掌握。有些必胜过于复杂并且路线隐秘，不好控制，走错了很可能崩盘，这种情况下，把局面转换成可控制的大优局面也是一种选择。3.五子棋顶尖高手跟普通玩家的差距能有多大大概是金庸小说中五绝跟普通人的差距。做个不严谨的对照只会王八拳的普通人——见3就活见4就冲的普通玩家有打架经验的壮汉—— 会等待对手攻崩伺机下黑手的普通玩家斗殴高手——知道封挡线路，甚至自悟出八卦阵等民间阵法的普通玩家草莽武夫（黄河四鬼）——初入门径，知道必胜，但不能完美杀出来，高校社团普通玩家普通高手（沙通天，彭连虎等）——能走出简单必胜，会定式，懂基础棋理，有一定计算力，但大局观较弱，下棋时思考的不够深入，普通市级高手，入段武林高手（全真七子，梅超风等，能打六七个普通高手）——省级高手，高校赛冠军东邪西毒南帝北丐（能打六七个武林高手）——强六段中神通王重阳——巅峰的中村茂，安度，2015年的祁观，现在的苏切科夫，朱建锋20200601更新近两年，五子棋AI技术发展迅速，新软件胚胎(embryo)和gpu软件卡塔狗(katago)已经强于弈心。人脑已经很难匹敌。