请问怎样证明一条角平分线逆定理证明

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-01-05 01:30 标签： 角平分线逆定理证明
我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，如何利用公理及已学过的定理推理、证明它？下面介绍它们的几种证明方法。要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等。证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)。原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”。反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？方法一，证明：过点P作已知线段AB的垂线PC．∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上。方法二，取AB的中点C，过PC作直线．∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB．∴P点在AB的垂直平分线上。方法三，过P点作∠APB的角平分线．∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．∴P点在线段AB的垂直平分线上。方法四，过P作线段AB的垂直平分线PC．∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分线上。从推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理。本节课是在学生学习了三角形的有关知识，证明一的基础上学习的，既是证明一的延伸，又为今后学习证明三打好基础，具有承上启下的重要作用。

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