怎么证明反函数不存在的情况存在呢？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-12-02 07:16 标签： 反函数不存在的情况
对反函数的研究是一个很漫长的故事。人们天生具有好奇心，经常会对一个事情的起因感兴趣——如果你把起点看做原像 A ，终点看做像 B ，中间的发展过程看做函数 f:A\to B ，而反推自然就需要反函数 f^{-1} 。什么时候反函数是存在的？显然这需要因果是一一对应的。如果一个果对应若干个因，自然这个过程是不可逆的。也即反函数存在，当且仅当这是个一一映射。对于不同的函数，一一映射通常能给出不同的衍伸结论——这对于验证反函数的存在性是很有价值的。对于最基本的函数 f:\mathbb R\to\mathbb R ，如果 f\in C(\mathbb R) ，那么通常就代表着 f 具有某种单调性。证明是显然的——如果 f 没有单调性，或者说在存在一组点列 x_1<x_2<x_3 满足 \left(f(x_1)<f(x_2)\right)\wedge (f(x_2)>f(x_3)) 或者 \left(f(x_1)>f(x_2)\right)\wedge (f(x_2)<f(x_3)) ，采用介值定理，一定能存在 \eta\in(x_1,x_2) 、 \xi\in(x_2,x_3) ，使得 f(\eta)=f(\xi) ，与一一映射矛盾。如果这个函数可微，那么单调性通常能在一阶导数里体现出来，单调增对应 f'\geqslant0 ，单调减对应 f'\leqslant 0 。但是这个这样会产生问题，考察这样的函数f=\begin{cases} -(x+1)^2 & x<-1 \\ 0 & x\in[-1,1] \\ (x-1)^2 & x > 1\end{cases} 你会发现这个函数一样满足 f'\geqslant0 。这里实际上应该区分严格单调和广义单调，这个函数是广义单调的，但我们需要严格单调的函数才能满足1-1映射的要求。但可惜的是严格单调增很难从导数上给出令人满意的等价刻画。于是我们退而求其次，找个反函数存在的充分不必要条件—— f'>0
或 f'<0在 \mathbb R 上恒成立。这样可以保证单调性是严格的，但是会舍弃一些诸如 f(x)=x^3 这样一样是严格单调增的函数。值得注意的是这个要求等价于f'\not=0 在 \mathbb R 上恒成立。必要性是显然的，充分性由达布中值定理保证。有的时候啊，全局的反函数可能不存在，但是也许我们可以在局部推测反函数。这在工程上是很重要的——就像烯和醇完全燃烧后都是一堆二氧化碳和水，但是如果已知肯定是烯那么就可以根据燃烧产物唯一确定原物质的分子式。局部来看，可微函数 f:(a,b)\to(c,d) 在 p 点附近反函数存在，只需要 f'(p)\not=0 即可（充分不必要），这个是前面的自然结果。由此推广向高维。首先有一个很直观的想法， 连续函数f:\mathbb R^n\to \mathbb R^m ，如果 n\not=m ，那么不可能是一一的。这个看起来显然的结论其实证明很复杂，称为Brower定理。我见过的最简单的证明方法是依据deRham上同调定理，在两个空间中分别挖掉一个点，于是同胚于两个高维球面。但是不同维度的球面显然上同调群是不一样的，由此证明矛盾。当然这个已经超出数分的要求了，我们可以暂时默认Brower定理这个符合正常人类直观的定理。于是一一的连续映射我们就直接要求是同维度的好了。类推是很自然的，如果函数 f:\mathbb R^n\to\mathbb R^n 在 p 点邻域Jacobian矩阵满秩（行列式不为0），那么局部可逆——这个证明依据隐函数定理，我相信你可以在任何一本高数书、数分书上找到证明。当然我相信你肯定不会局限于这些大一的知识，我们可以把反函数定理推广到流形上。流形我相信对于很多学过微分几何的人来说流形这个概念并不陌生，甚至在俄罗斯的数分教材上就有提及（卓里奇）。我们将一片一片的同胚于 \mathbb R^n 开集的区域贴起来构成流形。流形上一样有反函数定理。如果相同维数的两个流形之间的可微映射导数在局部是线性同构的，那么在邻域可逆。反函数定理不过我不想给出严格的反函数定理的证明（这个随便百度谷歌一下都有），而是想直观地给出一个观察想法。指数映射流形在某点邻域与其切空间邻域有个自然的同胚——指数映射。如图所示，从O向某一方向走了t那么长到X点，对应了流形上沿着测地线向对应方向走t那么长到q点。那么流形映射局部可逆就有个显然的观察：逆映射定理的直观理解由图可见，如果左侧两个切空间之间的dF是线性同构，那么自然是可逆的了。

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