柯西证明均值不等式式的证明方法是什么？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-07-02 15:36 标签： 柯西证明均值不等式
众所周知，均值不等式是最常用的不等式之一，其证法也不胜枚举，下面给出笔者最喜欢的两种证明。 先给出均值不等式\frac{\sum_{k=1}^{n}x_k }{n} \ge\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}x_k }
x_i\ge 0,i\in \Lambda ,\Lambda =\left \{1,2,3,...,n
\right \}
等号成立充要条件为x_1=x_2=...=x_n 1.Liouville方法 若有x_i=0,i\in\Lambda,则不等式成立。 下面设x_i>0 用数学归纳法，n=2时显然成立。 现设均值不等式对n成立，考虑n+1的情况 构造辅助函数y=(\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n+1} x_i)^{n+1}-\prod_{i=1}^{n+1} x_i
将x_{n+1}看成自变量，对其求导得\frac{dy}{dx_{n+1}} =(\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n+1} x_i)^n-\prod_{i=1}^{n}x_i
该导函数为x_{n+1}的严格单调增函数，求出零点为 x_{n+1}=-\sum_{i=1}^{n}x_i+(n+1)(\prod_{i=1}^{n}x_i)^\frac{1}{n}
y在该点取最小值，记为m m=\prod_{i=1}^{n}x_i (\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n+1} x_i-x_{n+1}) =\prod_{i=1}^{n} x_i((\prod_{i=1}^{n} x_i)^\frac{1}{n} +\sum_{i=1}^{n} x_i-(n+1)(\prod_{i=1}^{n} x_i)^\frac{1}{n})
=\prod_{i=1}^{n} x_i(\sum_{i=1}^{n} x_i-n(\prod_{i=1}^{n} x_i)^\frac{1}{n} ) 对最后一个式子的第二个因式用归纳假设，可知m\geq0 y\geq m\geq0 取等条件为m=0,得x_1=x_2=...=x_n,证毕 2.Lagrange乘数法 在
E=\left\{x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right): x_{i} \geqslant 0, i=1,2, \cdots, n ; x_{1}+\right.
\left.x_{2}+\cdots+x_{n}=c\right\}
上定义函数
f(\boldsymbol{x})=\prod_{i=1}^{n} x_{i} . 依题意, 我们要求
f(x)
在
E
上的最大值, 即
f(x)
在约束条件
\sum_{i=1}^{n} x_{i}=c
下的最大值. 作辅助函数 F\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, \lambda\right)=\prod_{i=1}^{n} x_{i}+\lambda\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}-c\right) 求
F
的
n
个偏导数及
\frac{\partial F}{\partial \lambda} , 并令其为零, 得方程组
\left\{\begin{array}{l} x_{2} x_{3} \cdots x_{n}+\lambda=0 \\ x_{1} x_{3} \cdots x_{n}+\lambda=0 \\ \cdots \cdots \cdots \\ x_{1} x_{2} \cdots x_{n-1}+\lambda=0 \\ \sum_{i=1}^{n} x_{i}=c \end{array}\right. 解出
x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=\frac{c}{n}, \quad \lambda=-\left(\frac{c}{n}\right)^{n-1} . 我们知道
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)
在紧集
E
上取到最大值.
另外, 容易看出, 若
\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, \cdots, x_{n}^{0}\right)
是
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)
的最大值点,
必有
x_{i}^{0} \neq 0(i=
1,2, \cdots, n) .
由于
\left(\frac{c}{n}, \frac{c}{n}, \cdots, \frac{c}{n},-\left(\frac{c}{n}\right)^{n-1}\right)
是
F\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, \lambda\right)
的唯 一驻点, 因此它为
F\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, \lambda\right)
的极大值点, 从而
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)
在该点取最大值
\frac{c^{n}}{n^{n}} . 现对
n
个正数
a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} , 令
c=\sum_{i=1}^{n} a_{i} ,
并利用上述函数
f(\boldsymbol{x})
所证结论, 则对任何满足
\sum_{i=1}^{n} x_{i}=c
的正数
x_{i}
均有 \prod_{i=1}^{n} x_{i} \leqslant \frac{c^{n}}{n^{n}}
取
x_{i}=a_{i}(i=1,2, \cdots, n) , 则有
\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}} \leqslant \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} .证毕 、

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