超几何分布的概率公式中n-N+M是什么意思

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第１９卷第３期
江西电力职业技术学院学报
Ｖｏｌ．１９，Ｎｏ．３Ｓｅｐ．２００６
２００６年９月
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉａｎｇｘｉＶｏｃａｔｉｏｎａｌａｎｄＴｅｃｈｎｉｃａｌＣｏｌｌｅｇｅｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ
超几何分布及其应用
何新萌
（福建电力职业技术学院，福建泉州
３６２０００）
摘要：从超几何分布的定义入手，分析其与二项分布的区别与联系，进而给出超几何分布的若干应用。关键词：超几何分布；二次分布；应用
中图分类号：Ｇ６３３．６６文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－００９７（２００６）０３－００３３－（０３）
ｋ－２
ｎ－ｋ
超几何分布是一种重要的离散型概率分布。这在２００５年普通高等学校全国统一招生考试的数学试卷中已得到了充分体现。因此系统地了解、研究超几何分布，就显得十分必要。本文从超几何分布的定义入手，分析了它
（二项分布）的区别与联系，进而给与Ｒｅｒｎｏｕｌｌｉ试验概型
出超几何分布的若干应用。
＝
ｎ（ｎ－１）Ｍ（Ｍ－１）
"ｋ＝２ｎ（ｎ－１）Ｍ（Ｍ－１）
ｉ"＝０ｎ（ｎ－１）Ｍ（Ｍ－１）ｎ－２
ｎ
ＣＭ－２ ＣＮ－Ｍ
ＣＮ－２ＣＭ－２ ＣＮ－Ｍ
ＣＮ－２
ｉ
ｎ－２－ｉｎ－２
＝＝从而
＝
ｎ（ｎ－１）Ｍ（Ｍ－１）
１
１超几何分布的定义
给定正整数Ｍ、Ｎ及ｎ（Ｍ!Ｎ，ｎ!Ｎ），如果离散型随
机变量!的概率分布是
Ｐ（!＝ｋ）＝
ＣＭＣＮ－Ｍ
ＣＮ
ｋ
ｎ－ｋ
２
Ｄ!＝Ｅ!（!－１）＋Ｅ!－（Ｅ!）＝
ｎ（ｎ－１）Ｍ（Ｍ－１）ｎＭｎＭ２
＋－（（ｋ＝０，１，２，ｎ）!，（１）
则称!是服从超几何分布的随机变量。
要说明（１）式定义了一个概率分布，必须证明"
ｋ＝０ｎ
ＣＭＣＮ－Ｍ
ＣＮ
ｎ
ｋＭｋｎ－ｋ
Ｍ（Ｎ－Ｍ）Ｎ－ｎ
＝ｎＭＮ－Ｍ
若记ｐ＝，ｑ＝（ｐ ｑ的概率意义是从袋中任取
Ｎ－ｎ
一球得红球或黑球的概率），则Ｅ!＝ｍｐ，Ｄ!＝ｎｐｑ当Ｎ＞＞ｎ时，显然有：Ｄ!≈ｎｐｑ．
ＭＮ－Ｍ
＝１，这容易做到，因为从恒等式（１＋ｘ）（１＋ｘ）＝
２
Ｎ
（１＋ｘ）出发，比较两边展开式中含ｘｎ项的系数即可得到：
超几何分布与Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ试验概型（二项分布）的
区别与联系
ｋ＝０
"ＣＣＮ－Ｍ＝ＣＮ，从而有"
ｋ＝０
ｎ－ｋｎ
ｎ
ＣＭＣＮ－Ｍ
ＣＮ
ｋｎ－ｋ
＝１。
超几何分布实际上描述了一种不放回抽球问题的概率模型。
其中有Ｍ个红球，Ｎ－Ｍ个黑球，设袋中共有Ｎ个球，
其每次从袋中等可能地任取一球，取后不放回，共取ｎ次，
中所得红球数目的概率分布即为超几何分布。
容易证明：超几何分布的随机变量!的数学期望Ｅ!＝ｎＭＭ（Ｎ－Ｍ）Ｎ－ｎ
，方差Ｄ!＝ｎ。Ｎ事实上，Ｅ!＝"ｋ
ｋ＝０ｎ
称试验Ｅ为Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ试验，是指随机试验Ｅ只有两个
—即对立事件Ａ或，将Ｅ独立地重复ｎ次的试结果——
验称为ｎ重Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ试验，设Ｐ（Ａ）＝ｐ，Ｐ＝ｑ＝１－ｐ，０＜
那么，在ｎ重Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ试验中，事件Ａ恰好发生ｋ次ｐ＜１，
的概率为：
Ｐｋ＝Ｃｎｐｑ
ｋ
ｋ
ｎ－ｋ
!，（ｋ＝０，１，２，ｎ）
若以随机变量!表示ｎ量Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ试验中事件Ａ发
就是事件“ｎ重Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ试验中生的总次数，则事件“!＝ｋ”
Ａ恰好发生Ｋ次“，故
Ｐ（!＝ｋ）＝Ｃｎｐｑ
ｎｋ＝０
ｋ
ｋ
ｎ－ｋ
（ｋ＝１，２，ｎ）!，
ｋ
ｋ
ｎ－ｋ
ｎ
（２）
ＣＭＣＮ－Ｍ
ＣＮ
ｋｎ－ｋ
ｎＭ
＝"
ｋ＝１
ｎ
ＣＭ－１ＣＮ－Ｍ
ＣＮ－１
ｋ－１ｎ－ｋ
ｎＭ＝"
ｉ＝０ｋ
ｎ－１
ＣＭ－１ ＣＮ－Ｍ
ＣＮ－１
ｉｎ－１－ｉ
注意到：（!＝ｋ）＝"Ｃｎｐｑ＝（ｐ＋ｑ）＝１"Ｐ
ｋ＝０
ｎ
因而由（２）式确定的确是一个概率分布。因$Ｃｎｐｑ
ｋｋｎ－ｋ
%
ｎ
ＣＣｎＭｎＭ
＝１＝Ｅ!（!－１）＝"ｋ（ｋ－１ＭＮ－Ｍ
ｋ＝０Ｃ
Ｎ
ｎ－ｋ
ｎ
正好是（ｐ＋ｑ）的二项展开式的ｎ＋１项所组成的。所以，习惯上称!遵从二项分布。
收稿日期：２００６－０２－２１（．

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1、【复习目标】1理解随机变量的概念及离散型随机变量分布列的概念；2、掌握两点分布和超几何分布的概念；3、会求简单的离散型随机变量分布列.【复习过程】看课本4448页并完成提纲第一部分（一）考点1离散型随机变量及其分布列1随机变量：随机试验中，称为随机变量，常用字母表示2、离散型随机变量：所有取值的随机变量称为离散型随机变量3、离散型随机变量分布列：若离散型随机变量X可能取的不同值为Xi,X2,，Xj,，Xn,X取每一个值Xii=1,2，,n的概率pX=Xii；=Pi，以表格的形式表示如下：XP就把表格称为离散型随机变量X的分布列还可以用和表示.离散型随机变量的分布列具有如下的性质：:【基础训练】
2、：1随机变量的所有等可能取值为1,2,n，若P：4=0.3,则（）A.n=3；B.n=4；C.n=10；D.不能确定2、抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列3、已知随机变量X的分布列为p（X=i）=1,（i=1,2,3），则P（X=2）=2a（二）考点2:常见的分布列：1.两点分布:2.超几何分布：一般地，在含有M件次品的任取n件，其中恰有X件次品，则XPN件产品中,PX=k=即称X服从超几何分布.mminMn且n岂N,M乞N,n,M,NNPX=k=即称X服从超几何分布.mminMn且n岂N,M乞N,n,M,NN础训练】：1随机变量X的分布列如右表，则常数c=2、在15个村庄
3、中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P（X_6）=（只需列式）【典例分析】例1、现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列.例2、袋中有3个白球，3个红球和5个黑球，从袋中随机取3个球.规定取得一个红球得1分，取得一个白球扣1分，取得1个黑球不得分也不扣分.求得分数的分布列及Pf0）【当堂训练】：1、袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下一次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（）A.5B.9C.10D.112、一个盒子里装有相同大小
4、的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，记其中白球的个数为，则等于c；2c：-C：C!A.P（O：:乞2）B.卩（胡）C.P(1乞乞2)D.P(-2)3、设随机变量的概率分布如表所示:f(x)=P(x),则当1,2时，f（x）等于（）A.B.TzIpa11丄丄x的范围是4、已知随机变量的分布列为:AA若P（2：x）=，则实数X的取值范围是12A.4:x三9B.-2-1I0123Ip13121121212121212）C.x:4或x_9D.XE4或x97个，从中任取乙后取，然后甲再取5、袋中装有黑球和白球共中轮流摸取1球，甲先取,1个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从袋-取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机

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