向量证明（精选6篇）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“”。
向量空间证明()向量空间证明()第一篇：向量空间证明 向量空间证明 解题的基本方法：
1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中
2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;4)求解给定问题
证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。
证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可
只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法解： 因为x+y+z=0/ 25
直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．
2、直线方向向量的应用
利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．
?（1）若有直线l,点a是直线l上一点，向量a是l的方向向量，在直线l ?????????????上取ab?a，则对于直线l上任意一点p，一定存在实数t，使得ap?tab，这
?样，点a和向量a不仅可以确定l的位置，还可具体表示出l上的任意点．/ 25
向量空间证明()（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线
??交于点o,它们的方向向量分别是a和b，p为平面α上任意一点，由平面向量基
??????本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得op?xa?yb，这样，点o与方向
??向量a、b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．
1．若a(－1,0,1)，b(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为
1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．/ 25
向量空间证明()??2、在空间中，给定一个点a和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点
a的平面是唯一确定的．
三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用
????若直线l的方向向量是u，平面的法向量是v，则有l//α?u⊥v，l⊥α
???u//v b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系。1.设a、? ?/ 25
向量空间证明()（1）a=（2，3，－1），b=（－6，－9，3）；（2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）；（3）a=（－2，1，4），b=（6，3，3）
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
? 1、设出平面的法向量为n?(x,y,z)． ?? 2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a?(a1,b1,c1),b?(a2,b2,c2)????n?a?0????n?b?03、根据法向量的定义建立x，y，z的方程组? 4、解方程组，取其中一个解，即得法向量
v分别是平面α、β的法向量，根据下列条件判断α、β的位置关系：1.设u、/ 25
（2）u=（0，3，0），v=（0，－5，0）；（3）u=（2，－3，4），v=（4，－2，1）。
? ? 2.已知点a（3，0，0），b（0，4，0），c（0，0，5），求平面abc的一个单位法向量。
?? 3.若直线l的方向向量是a=（1，2，2），平面α的法向量是n=（－1，3，0），试求直线l与平面α所成角的余弦值。
4．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是/ 25
a．(1，－1,1)b．(2，－1,1)c．(－2,1,1)d．(－1,1，－1)五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系（一）用向量方法证明空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．1、线线平行
?????????? 一点，线段d1q与op互相平分，则满足mq＝λmn的实数λ的值有
向量空间证明()设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则
1．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为?1，2，2?，且l∥α，?? 则m＝________.(更多好文章请关注)2．已知线段ab的两端点的坐标为a(9，－3,4)，b(9,2,1)，则与线段ab平行的坐标平面是
3．如图所示，在空间图形p—abcd中，pc⊥平面abcd，pc＝2，在四边形abcd中，cd∥ab，∠abc＝∠bcd＝90°，ab＝4，cd＝1，点m在pb上，且pb＝4pm，∠pbc＝30°，求证：cm∥平面pad.4.如图，在底面是菱形的四棱锥p—abcd中，∠abc＝60°，pa⊥平面abcd，pa＝ac＝a，点e在pd上，且pe∶ed＝2∶1.在棱pc上是否存在一点f，使bf∥平面aec？证明你的结论．/
3、面面平行(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?
求证：（1）mn//平面a1bd；（2）平面a1bd//平面b1d1c。第三篇：第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直 第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直 一、空间向量及其数量积/ 25
向量空间证明()1、在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用ab或a表示，其中向量的大小称为向量的长度或
或a。正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点a坐标为（x1，y1，z1）,点b坐标为（x2，y2，z2）则向量ab=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）即是终点坐标减起点坐标。222在空间，知道向量=（x，y，z x?y?z?2、空间向量数量积
①已知两个非零向量a、b，在空间任取一点o，作oa=a，ob=b，则角∠aob叫向量a与b的夹角，记作＜a，b＞规定，若0≤＜a，b＞≤?，若＜a，b＞= ⊥。
②已知空间两个向量a、b cos＜a，b＞叫向量a、b的数量积，记作a?b cos＜，＞若⊥?a?＝０
向量空间证明()例3如图，pa⊥矩形abcd所在平面，m,n分别是ab,pc中点（1）求证：mn⊥cd
向量空间证明()第四篇：用向量方法证明空间中的平行与垂直 用向量方法证明空间中的平行与垂直
1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是(c)a．若a∥n，则a∥αb．若a·n＝0，则a⊥α c．若a∥n，则a⊥αd．若a·n＝0，则a∥α
解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选c.对于选项d，直线a?平面α也满足a·n＝0.2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：
①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β； ③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β.其中正确的是(a)a．①③b．①④ c．②③d．②④
13→所以与向量ab平行的一个向量的坐标是(－2，2，－1)，故选c.4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于2.5.设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝4.解析：因为α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)，所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.→＝(1,5，－2)，bc→＝(3,1，z)．若ab→⊥bc→，bp→＝(x－1，y，－3)，6.已知ab 4015解得x＝7，y＝－7z＝4.→·→＝3＋5－2z＝0abbc，7.(原创)若a＝(2,1，－3)，b＝(－1,5，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为58.解析：因为a·b＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，所以a⊥b，又|a|＝22，|b|29，所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为/ 25
向量空间证明()9.如图，四棱锥p-abcd的底面为正方形，侧棱pa⊥底面abcd，且pa
所以pd⊥af，pd⊥ah，又因为af∩ah＝a，所以pd⊥平面ahf.第：第四节利用空间向量求二面角及证明面面垂直 第四节利用空间向量求二面角及证明面面垂直/ 25
向量空间证明()一、二面角
例2．（05年全国）如图，在四棱锥v-abcd vad是正三角形,平面vad⊥底面abcd．（1）证明ab⊥平面vad；（2）求面vad与面vbd所成的二面角的大小．
练习：如图，棱长为1的正方体abcd?a1b1c1d1中，e是cc1的中点，求二面角b?b 1e?d的余弦值。12 二．证面面垂直
若平面?的一个法向量为，平面?的一个法向量为，且?，则???。例3．在四棱锥p-abcd中，侧面pcd是正三角形，且与底面abcd垂直，已知底面是面积为23的菱形，?adc?600，m是pb的中点。（1）求证：pa?cd（2）求二面角p?ab?d的度数；（3）求证：平面pab?平面cdm。/ 25
向量空间证明()练习：（04年辽宁）已知四棱锥p-abcd中，底面abcd是菱形，?dab?60?,pd?平面abcd，pd=ad，点e为ab的中点，点f为pd的中点。
（1）证明平面ped⊥平面pab；
（2）求二面角p-ab-f的平面角的余弦值.作业：
（ⅱ）求直线ec1与fd1所成角的余弦值。13 2．（05年全国）已知四棱锥p-abcd的底面为直角梯形，ab∥dc，?dab?90?,pa?底面abcd，且pa=ad=dc= ab=1，m是pb的中点。2（1）证明：面pad⊥面pcd；（2）求ac与pb所成的角；（3）求面amc与面bmc所成二面角的大小。
3．已知四棱锥p-abcd的底面是边长为2的正方形，侧棱pa?底面abcd，pa＝2，m、n分别是ad、bc的中点，mq?pd于q（1）求证：平面pmn?平面pad；/ 25
向量空间证明()（2）求pm与平面pcd所成角的正弦值；（3）求二面角p?mn?q的余弦值。
4．（06年全国）如图，在直三棱柱abc－a1b1c1中，ab＝bc，d、e分别为bb1、ac1的中点．
（1）证明：ed为异面直线bb1与ac1的公垂线；（2）设aa1＝ac＝2ab，求二面角a1－ad－c1的大小．c b1d e c a b 5．（04年浙江）如图，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互
相垂直，ab=，af=1，m是线段ef的中点。
（1）求证：am//平面bde；（2）求二面角a?df?b的大小；（3）试在线段ac上确定一点p，使得pf与bc所成的角是60?。6．（05年湖南）如图1，已知abcd是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴oo1折成直二面角，如图2./ 25
向量空间证明()（1）证明：ac⊥bo1；
（2）求二面角o-ac-o1的大小。
如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1 设三角形abc的三条中线分别为ad、be、cf，求证ad、be、cf交于一点o，且ao：od=bo：oe=co：of=2：1 证明：用归一法
设三角形abc的三条中线分别为ad、be、cf，求证ad、be、cf交于一点o，且ao：od=bo：oe=co：of=2：1 证明：用归一法
点评：①解此题要联系重心的性质和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法． 变式引申：已知d，e，f分别为△abc的边bc，ac，ab的中点．求证： ????????????ad?be?cf?0．
点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键． 变式引申：如图4，平行四边形abcd的中心为o，????1????????????????p为该平面上任意一点，则po?(pa?pb?pc?pd)． 4
????????????????（2）若p与o重合，则上式变为oa?ob?oc?od?0． 第三篇：三角形重心向量性质的引申及应用 三角形重心向量性质的引申及应用 新化县第三中学肖雪晖
平面向量是高中数学实验教材中新增的一章内容．加入向量，一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵．在数学教学中引导学生积极探索向量在中学数学中各方面的应用，不仅可深人了解数学教材中新增内容和传统内容的内部联系，构建合理的数学知识结构，而且有利于拓展学生的想像力，激发创新活力，显现出向量作为一个工具在数学中的重要性．下面就向量与三角形的重心关系加以引申和应用． 三角形重心向量形式的充要条件：设o为?abc所在平面上一点，o为?abc的重
得?于是得1xy?x??y??3?运用引申1、引申2可以解决许多数学问题，使解题过程简单。
比.?????????????3.已知点o在?abc内部且满足oa?2ob?3oc?0,求?abc与凹四边形aboc的 面积的比.第四篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式 三角形外心、重心、垂心的向量形式 已知△abc，p为平面上的点，则(1)p为外心(2)p为重心(3)p为垂心
∴ 四边形pbdc为平行四边形． bc和pd之中点． 心．
同理pa⊥ac，故p为△abc之垂心． 由上不难得出这三个结论之间的相互关系： ∴ △abc为正三角形．
∴ △abc为正三角形，且o为其中心．
第：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）oa?ob?oc?0?o是?abc的重心.证法1：设o(x,y),a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)?(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?
???o为?abc的外心。典型例题：
例1：o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p满足
?点p的轨迹一定通过?abc的重心，即选c.例2：（03全国理4）o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p 满足op?oa???，???0,???，则点p的轨迹一定通过?abc的（b）a．外心b．内心c．重心d．垂心 分析：? ac方向上的单位向量，分别为ab、? ab? ac平分?bac, ?点p的轨迹一定通过?abc的内心，即选b.例3：o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p 满足 op?oa??ab? ac，???0,???，则点p的轨迹一定通过?abc的a．外心b．内心c．重心d．垂心
5．o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，若oa ?bc?ob ?ca?oc?ab，则o是?abc的 a．外心b．内心c．重心d．垂心
7．（06陕西）已知非零向量ab与ac满足(+)·bc=0 · = , 则 2→→→→|ab||ac||ab||ac|△abc为()a．三边均不相等的三角形b．直角三角形 c．等腰非等边三角形d．等边三角形
a．等腰三角形b．等腰直角三角形
c．直角三角形d．既非等腰又非直角三角形 练习答案：c、d、c、d、d、1、d、c
设BC中点为M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P为三角形ABC的重心。上来步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要条件是PA+PB+PC=0 3 如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1 设三角形ABC的三条中线分别为AD、BE、CF，求证AD、BE、CF交于一点O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1 证明：用归一法
向量空间证明解题的基本方法：
1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系 中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;4)求解给定问题
证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。
证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解：
1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中
2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;
3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;
证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。
证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可
只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法
则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!
已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理
由三角形中位线定理有：
先假设两条中线AD,BE交与p点
所以pC,pF共线，pF就是中线
所以ABC的三条中线交于一点p
写详细点怎么做谢谢了~明白后加分！!
我假定你的O-A表示向量OA。
(证明：设O在该平面上的投影为p，那么对平面上任何一点X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你给的关系式并比较Op分量即可。)
你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。
如果有三点共线，则第四点一定与这三点共面，因为线和直线外一点可以确定一个平面，如果第四点在这条线上，则四点共线，也一定是共面的。
而有四点共面，不一定就其中三点共线，比如四边形的四个顶点共面，但这四个顶点中没有三个是共线的。
“三点共线”可以推出“四点共面”，但“四点共面”不能推出“三点共线”。因此是充分不必要条件
任取3个点，如果这三点共线，那么四点共面;如果这三点不共线，那么它们确定一个平面，考虑第四点到这个平面的距离。方法二A、B、C、D四点共面的充要条件为向量AB、AC、AD的混合积(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四点不共面的充要条件为向量AB、AC、AD线性无关。
写详细点怎么做谢谢了我假定你的O-A表示向量OA。
(证明：设O在该平面上的投影为p，那么对平面上任何一点X，OX=Op+pX，然后取X=A、B、C、D代你给的关系式并比较Op分量即可。)
你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。
由共面判定定理知它们共面。
简单的说一个向量能够用另外两个向量表示，它们就共面。详细的看高中课本
41.若向量e1、e2、e3共面，(i)其中至少有两个不共线，不妨设e1,e2不共线，则e1,e2线性无关，e3可用e1,e2线性表示，即存在实数λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是
λe1+μe2-e3=0.即存在三个不全为零的实数λ，μ，υ=-1，使得
向量空间证明解题的基本方法：1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;3)计算有关点的......
向量空间证明解题的基本方法：1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系 中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位; 3)计算有关点......
向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上......
空间向量法证明空间中的平行关系
使用情景：转化的直线或平面不容易找到，而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出
第一步 建立适当的空间直角坐标系；
第二步 分别写出各点的坐标，求出直线方向向量；
第三步 利用向量的关系得到直线和平面的关系即可.
【例】 如图所示，在正方体中，、分别是、的中点.
【证明】如图所示，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为，则可得，，，，．
又因为平面，所以平面.
【总结】用向量证明线面平行的方法有：
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
(2)证明该直线方向向量与平面内某直线的方向向量平行；
(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示；
(4)本题易错点为：只证明，而忽视平面.
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1.5、向量 一、平面向量 1、向量基础知识 向量概念：在数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量。判断一个量是否...
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向量在数学中是一个很重要的知识，需要大家好好掌握，同时也是相对比较难的。其中向量平行公式和垂直公式用到的比较多，下面来看看向量平行公式和垂直公式吧！
首先我们要清楚什么是向量，向量是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时具有大小和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。
向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。
