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x 1，()xx 1ln+， ()xx 11 + 二求极限的方法二求极限的方法 1利用极限的四则运算和幂指数运算法则利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2两个准则两个准则 准则 1单调有界数列极限一定存在 （1）若
7、的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设 0 x是函数( )xfy =的间断点。如果( )xf在间断点 0 x处的左、右极限都存在，则称 0 x是( )xf的第一类间断 点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断 点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
四闭区间上连续函数的性质四闭区间上连续函数的性质 在闭区间ba,上连续的函数( )xf，有以下几个基本 性质。这些性质以后都要用到。 定理 1 （有界定理）如果函数( )xf在闭区间ba,上 连续，则( )xf必在ba,上有界。 定理 2 （最大值和
8、最小值定理）如果函数( )xf在闭 区间ba,上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和 最小值m。 其中最大值M和最小值m的定义如下： 定义 设()Mxf= 0 是区间ba,上某点 0 x处的函数 值，如果对于区间ba,上的任一点x，总有( )Mxf， 则称M为函数( )xf在ba,上的最大值。 同样可以定义最 小值m。 定理 3 （介值定理）如果函数( )xf在闭区间ba,上
连续， 且其最大值和最小值分别为M和m， 则对于介于m 和M之间的任何实数c，在ba,上至少存在一个，使 得 ( )cf= 推论：如果函数( )xf在闭区间ba,上连续，且( )af 与( )bf异号，则在()ba,内
14、yxF所确定，求 y 的方 法如下： 把()0,=yxF两边的各项对x求导，把y看作中间变 量， 用复合函数求导公式计算， 然后再解出 y 的表达式 （允 许出现y变量） 7对数求导法则对数求导法则 先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导 方法得出导数 y 。 对数求导法主要用于： 幂指函数求导数 多个函数连乘除或开方求导数 关 于 幂 指 函 数( ) ( )xg xfy
=常 用 的 一 种 方 法 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 4 ( )( )xfxg ey ln =这样就可以直接用复合函数运算法则进行。 8可微与可导的关系可微与可
)( )bfaf= 则存在()ba,，使得( )0=f 二拉格朗日中值定理二拉格朗日中值定理 设函数( )xf满足 （1）在闭区间ba,上连续； （2）在开区间()ba,内可导； 则存在()ba,，使得 ( )( )
)xgxf，则在()ba,内( )( )cxgxf+=，其中c为 一个常数。 三柯西中值定理（数学四不要）三柯西中值定理（数学四不要） 设函数( )xf和( )xg满足： （1）在闭区间,ba上皆连续； （2）在开区间()ba,内皆
18、可导；且( )0 x g 则存在()ba,使得 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) g f agbg afbf = ()ba （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特 殊情形( )xxg=时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定 理。 ） 四泰勒定理（泰勒公式） （数学一和数学二）四泰勒定理（泰勒公式） （数学一和数学二） 定理 1 （皮亚诺余项的n阶泰勒公式） 设(
x +1ln,cos,sin,和() x+1（为实常数）等的n 阶泰勒公式都要熟记。 定理 2（拉格朗日余项的n阶泰勒公式） 设( )xf在包含 0 x的区间()ba,内有1+n阶导数，在 ba,上有n阶连续导数，则
x为中心的n阶泰勒公式。当 0 0 =x时，也称为n阶麦克劳林公式。 如果( )0lim= xRn n ，那么泰勒公式就转化为泰勒级 数，这在后面无穷级数中再讨论。 导数的应用：导数的应用： 一基本知识一基本知识 1定义
21、定义 设函数( )xf在()ba,内有定义， 0 x是()ba,内的某一 点，则 如果点 0 x存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点 () 0 xxx，总有( )() 0 xfxf，则称() 0 xf为函数( )xf 的一个极小值，称 0 x为函数( )xf的一个极小值点。 函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值 点统称极值点。 2必要条件（可导情形）必要条件（可导情形）
22、驻点或不可导点，所以只要从这两种点 中进一步去判断。 3第一充分条件第一充分条件 设( )xf在 0 x处连续，在 x f，而在()+ 00,x x内的任一点x处，有 ( )0 x f，则() 0 xf为极大值， 0 x为极大值点； 2 如果在() 00 ,xx内的任一点x处，有 ( )0 x f，则() 0 xf为极小值， 0 x为极小值点； 3 如果在() 00
23、0 x f，则 当()0 0 x f时，() 0 xf为极小值， 0 x为极小值点。 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 6 二函数的最大值和最小值二函数的最大值和最小值 1求函数求函数( )xf在在ba,上的最大值和最小值的方法上的最大值和最小值的方法 首先，求出( )xf在()ba,内所有驻点和不可导点 k xx, 1 ，其次计算(
24、最大（小）值的应用问题最大（小）值的应用问题 首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间， 然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。 三凹凸性与拐点三凹凸性与拐点 1凹凸的定义凹凸的定义 设( )xf在区间I上连续， 若对任意不同的两点 21,x x， 恒有 ( )()( )() + + 21 21 21 21 2 1 22 1 2 xfxf xx fxfxf xx f 则称(
)xf在I上是凸（凹）的。 在几何上，曲线( )xfy =上任意两点的割线在曲线下 （上）面，则( )xfy =是凸（凹）的。 如果曲线( )xfy =有切线的话，每一点的切线都在曲 线之上（下）则( )xfy =
25、是凸（凹）的。 2拐点的定义拐点的定义 曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。 3凹凸性的判别和拐点的求法凹凸性的判别和拐点的求法 设函数( )xf在()ba,内具有二阶导数( )x f ， 如果在()ba,内的每一点x，恒有( )0 x f，则曲线 ( )xfy =在()ba,内是凹的； 如果在()ba,内的每一点x，恒有( )0aa Cedxe xx +=
31、为( )tx=的反函数。 第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过 换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类： 第一类：被积函数是x与 n bax +或x与n dcx bax + + 或 由 x e构成的代数式的根式，例如bae x +等。 只要令根式( )txg n =，解出( )tx=已经不再有根 式，那么就作这种变量替换( )tx=即可。 第二类：被积函数含有()0
（3）bxeaxsin，bxeaxcos情形，进行二次分部积分 法后要移项，合并。 （4） 比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 9 分法，使尽量多的因子和dx凑成 一定
()()xxDxDDxxCxCCe k k k k x sin cos 1 21 1 21 + 由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特 征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根 不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方
37、程的 根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。 四二阶常系数非齐次线性方程四二阶常系数非齐次线性方程 方程：( )xfqyypy=+ 其中qp,为常数 通解：( )( )xyCxyCyy 2211 += 其中( )( )xyCxyC 2211 +为对应二阶常系数齐次线性 方程的通解上面已经讨论。 所以关键要讨论二阶常系数非 齐次线性方程的一个特解y如何求？ 我们根据(
)xf的形式，先确定特解y的形式，其中 包含一些待定的系数， 然后代入方程确定这些系数就得到 特解y，常见的( )xf的形式和相对应地y的形式如下： 1( )( )xPxf n =，其中( )xPn为n次多项式 （1）若0不是特
通常记成n。法向量pnm,的坐标称为法（线）方向 数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它 所指的方向只有两个。 2点法式方程 已知平面过() 000 ,zyxM点， 其法向量CBAn,=，则平面的方程为 ()()(
方向向量的坐标称为方向数。 2直线的标准方程（对称式方程） 。 n zz m yy l xx 000 = = 其中() 000 ,zyx为直线上的点，nml,为直线的方 向数。 3参数式方程 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨
49、0=+CnBmAl L上有一点在上 多元函数微分学多元函数微分学 多元函数的偏导数与全微分多元函数的偏导数与全微分 四方向导数与梯度（数学一）四方向导数与梯度（数学一） 1平面情形平面情形 ()yxz,=在 平 面 上 过 点() 000 ,yxP沿 方 向 ()cos,cos=l的方向导数 () ()() t yxftytxf yxl f t ,cos,cos
