求极限lim(√n+1-√n)=03X²-2X-1)/(X²-1) (X趋向无穷大)

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-18 10:53 标签： lim(√n+1-√n)=0


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完全没看懂！麻烦能不能用大一新生的思维及解题语言，谢谢，酌情采纳。

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洛必达法则想必学过高数的同学都耳熟能详，甚至连高中生都有所耳闻，但具体的推导估计一般人不会关心，简而言之是通过柯西中值定理证明lim(x→a)的“0/0”型，然后用类似思路证明lim(x→无穷)的“0/0”型，至于“无穷/无穷”型我一开始以为思路一样，结果不是，详细的看我下一篇文章

在证明lim(x→a)的“0/0”型的时候，有一步可能会让人疑惑，那就是补充定义f(x)/g(x)在x=a的函数值f(a)=g(a)=0，基础学得比较扎实的同学会明白，计算lim(x→a)的极限，与f(a)和g(a)都是没有关系的，就算有以下情形：

都不影响我们对其进行重新定义！！！

但是有些同学还是会对此感到不放心，觉得重新定义了之后就是新的函数F(x)/G(x)了，因此本文想从导数极限定理这个角度对洛必达法则进行说明，消除这部分同学的“不放心”

1.区分“导数与导函数”，“左右导数与导函数的左右极限”

3.单侧导数极限定理及其证明

4.单侧导数极限定理的注意事项（坑点）

6.导数极限定理的推论——原函数存在性的必要条件

二、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的联系——参数方程导数

1.区分“导数与导函数”，“左右导数与导函数的左右极限”

在说明这个定理之前，需要区分导数与导函数，左右导数与导函数的左右极限，如果觉得这两者是一样的，甚至都不知道原来还有这两个概念，建议参考下面问题的回答以及我之前写的一篇文章

另外献上一个经典例子以供读者体会两者的差别

导函数在x=0处的极限：

了解上述两个概念的差别后，请继续往下阅读

导函数是f(x)某点导数衍生出来的另一个新函数f'(x)，因此其存在十分依赖f(x)的一些性质，只不过我们学习的都是基本初等函数组成的初等函数，天然带有连续性、可导性等良好性质，才使得我们对导函数习以为常，甚至将“导函数”这个概念简化成“导数”（虽然尽量避免，但后文可能也会这么做，请阅读时结合语境理解），现在让我们回顾一下导函数的产生并总结出其存在需要f(x)具有的性质

在上式中，我们可以发现，只要在x=x0的某个邻域内，有

（1）所有x的表达式相同，均为f(x)

（2）所有x都有f(x)连续

那么在x=x0的该邻域内，就能把f'(x0)的x0换成x，变成导函数f'(x)，以上面例子，就有 f'(x)=2x

上面三个条件就是x=x0邻域内导函数存在的条件，现在把条件稍微修改一下，就能得到x=x0去心邻域内导函数存在的条件：

（1）所有x的表达式相同，均为f(x)

（2）所有x都有f(x)可导（这个条件已经保证了：所有x都有f(x)连续）

注意：本部分“一、”的下文为了区分某点导数和导函数，将导函数记为f'(x)，而将x=a处导数记为F'(a)，相应的原函数记为F(x)！！！！

注意：本部分“一、”的下文为了区分某点导数和导函数，将导函数记为f'(x)，而将x=a处导数记为F'(a)，相应的原函数记为F(x)！！！！

注意：本部分“一、”的下文为了区分某点导数和导函数，将导函数记为f'(x)，而将x=a处导数记为F'(a)，相应的原函数记为F(x)！！！！

3.单侧导数极限定理及其证明（沟通左右导数与导函数左右极限的桥梁）

导数极限定理是由单侧导数极限定理推广而来，因为x=a处左右两侧表达式不一定一样，例如分段函数，只不过如果两侧表达式一样，那左右导数存在且相等就能说明该点处导数存在

定理条件（以右导数的导数极限定理为例）：

（1）F(x)在x=a处右连续（在x=a处，F(x)存在，且右极限F(a+)=函数值F(a)，保证右导数F'(a+)不会因为不连续而不存在)

证明：F(x)在[a,a+h]（h>0）这个区间内满足拉格朗日中值定理的条件，因此有

可以看成 f'(b) 是关于h的某个函数，随着h的变化而改变，此时右导数可化为：

此时虽然有b→a+与x→a+，但b与x并不能视为同一个变量，两者趋于a+的“轨迹”是不同的（注意！！！），可以将其看成类似数列中的母子数列的关系，当母数列极限存在时，任一子数列极限均存在且等于母数列极限，因此当 \lim_{x

左导数与导函数左极限的关系可类似证明，不再赘述

4.单侧导数极限定理的注意事项（坑点）

不存在，例如本文上面举的那个例子。这种关系可以类比数列极限，例如母数列xn=(-1)^n不存在极限，但其奇偶项各自形成的子列xn1=-1和xn2=1极限都是存在的

5.导数极限定理（沟通不定积分原函数F(x)与导函数f'(x)的桥梁）

综合左右单侧的导数极限定理，可以得到双侧的导数极限定理如下

定理条件（多了一个）：

（2）左右两侧F(x)的表达式相同（这样才能推广到双侧）

（2）F(x)在x=a的某个去心邻域内可导

（也就是说，原先F(x)在x=a处不知道是否存在导数，不满足导函数f(x)存在的条件，因此在x=a处不能采用将x=a直接代入f'(x)得到f'(a)的方式求得该点处导数F'(a)，而此时的结论告诉我们根据定义法算出的导数值F'(a)=A，也就是说导函数f'(x)在x=处的定义值f'(a)=A，此时满足极限值=函数值，因此导函数f'(x)在a点连续）

6.导数极限定理的推论——原函数存在性的必要条件

（1）导函数f'(x)在x=a的连续性直接由其左右极限决定，即左右极限的极限值相等时就定义了该点函数值，因此在其定义域内，不存在第一类间断点——可去间断点

（2）如果某一个表达式f'(x)是F(x)的导函数，则其定义域内不存在第一类间断点——跳跃间断点，因为如果f'(x)在x=a处左右极限都存在，但又不相等，则F(x)在x=a的左右导数存在且不相等，此时F(x)在x=a处不存在导数F'(a)，而f'(x)是F(x)的导函数，自然也就不存在f'(a)，这与x=a在f(x)的定义域中矛盾

上面这两个结论是不定积分原函数存在的必要条件，也就是说除了连续函数f'(x)必有原函数F(x)这个充分性结论之外，还有存在第一类间断点的导函数f'(x)必无原函数F(x)这个必要性结论

（1）若“A=无穷大”能得到什么结论？（这个结论在后面证明洛必达法则时也会用到）

（2）导函数f‘(x)在某个区间（a-h，a+h）内，只包含x=a这个无穷间断点，那么在这整个区间（a-h，a+h）内，其是否存在原函数F(x)？

（1）“A＝无穷大”说明左右导数也是无穷大，“A＝无穷大”其实可以看做“A=N，N为自然数集中元素的个数”，虽然这样不恰当，因为标准分析中无穷大不是实数，但其实无穷大也是一个确定的趋势，只不过不是接近于某个常数值而已，至少不会像振荡的极限一样捉摸不定。因此f'(b)跟f'(x)的趋势相同，也就说明左右导数都是无穷大。（此处可用反证法证明，会出现与条件中的“导函数极限=A=无穷大”矛盾，可参见无穷大的定义）

（2）不存在，由上面结论可知该点处F(x)的左右导数都为无穷，那么导数值F'(a)不存在，F(x)自然不可能是f'(x)在整个区间（a-h，a+h）的原函数，不过若是以a为分界点分开的2个区间，那倒是有可能，比如1/x在x＝0左右区间分别有原函数ln(-x)和lnx，简写成ln|x|，但不能说1/x在R上的原函数是ln|x|

二、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的联系——参数方程导数

学过参数方程的同学就清楚，柯西中值定理的两个导数比其实可以看成关于x的参数方程导数，也就是柯西中值定理说是拉格朗日中值定理的参数方程形式，下面将从反函数、复合函数的求导法则说明一下为什么参数方程导数是这个样子

参数方程的表现形式如下：

如果 x=g(t) 单调可导，则其具有单调可导的反函数 t=g^{-1}(x) ,则参数方程求导法则如下：

这样一来，lim(x→a)的"0/0"型洛必达法则也不过就是导数极限定理的参数方程形式罢了

（2）在x=a的某去心邻域内， f(x) 和 g(x) 都可导（导函数存在的条件之一）

（3）在x=a的某去心邻域内， g'(x)≠0 （柯西中值定理的条件之一，可以保证g(x)严格单调，反函数存在）

（1）先将条件转化成参数方程导数的形式，然后应用导数极限定理的结论

还是老套路，先令f(a)=g(a)=0，但是，你们可以先把这个重新定义后的两个新函数F(x)、G(x)视为仅在f(a)、g(a)处和f(x)、g(x)不同的函数，但是这两个函数在（a-h,a）和（a,a+h）这两个区间和原先的f(x)、g(x)一模一样！！！由于导数f'(x0)是一个lim(x→x0)的极限，因此对于 x_{0}\in(a-h,a+h) 且x_{0}≠a 恒成立，因此在这个去心邻域 \mathring{U}(a) 上，各自的导函数恒相等，即

机灵的同学一眼就看出来，上面等式中的

就是导数极限定理的参数方程形式，可以变成

（复合函数极限，u=ua处导数定义式）

这也可以看出原先证明中随意将f(a)和g(a)定义成0的原因，因为这两个东西只是用来凑一下柯西条件而已，得到之后就转为求参数方程导函数du/dv=f'(x)/g'(x)的极限，而导函数f'(x)/g'(x)在a点处的极限跟原函数在a点处的情况一点关系都没有，比如y=x挖去(0,0)不影响y=1在(0,0)的极限存在。同样，站在导数极限定理的角度，“重新定义”也就是弄出在a点处之外，和原函数一模一样的新函数，以便凑出其在a点处导数定义的表达式，然后用上已知条件的导函数极限而已

不过接下来我还是会用导数极限定理以及拉格朗日中值定理分别证明一下

对比一下洛必达法则和导数极限定理的条件

左右两侧F(x)的表达式相同
F(x)在x=a的某个去心邻域内可导

下面需要说明一下反函数的存在，先说明x=a的右邻域[a,a+h]

,可以知道G(x)在x=a右邻域严格单调，此处可假设G(x)不单调，比如存在某个点x=x0使得左边G'(x)>0,右边G'(x)<0,则在该点和左右任意选择一点用拉格朗日中值定理可得到该点处满足极值定义G(x0)>G(x)，因此G'(x0)=0与条件G'(x)≠0矛盾

同理左邻域也存在，因此由导数极限定理可得：

另外附上用拉格朗日中值定理证明右侧成立的步骤：

（i）此处必须是0/0型才能让补充定义后的F(0)和G(0)满足连续的条件，这样才能用拉格朗日中值定理证明这个柯西形式

（ii）跟导数极限定理类似，用了洛必达法则后，极限存在，说明原式极限存在，但反过来用完后极限不存在，不能说明原式极限不存在，相当于母数列收敛能保证子数列收敛，但母数列发散则不能说明子数列也发散

由于是恒等变换，因此该极限同样为“0/0”型极限，运用lim(x→a)的“0/0”型洛必达法则，可得

上述涉及x与t互相作为复合函数内层函数的极限均存在，因此

即复合1=外层1=复合2=外层2=A，这一切都建立在最后面一个成立的基础上，再一次体现了洛必达法则极限存在仅为原极限存在的充分条件

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