2.判断正误:+(1)零多项式是唯一不定义次数的多项式.1/2x2y+2.x2-y的次数？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-12 06:45 标签： 零多项式是唯一不定义次数的多项式

Nullstellensatz）确立了几何和代数的基本关系，从而构成了代数几何的基础。希尔伯特发现了某多项式集的零点和在某集合上为零（vanish）的多项式集的对应关系，并证明了零点定理和其他重要的相关结论。加下来我们要一起来看一看这个重要的定理。

在我们介绍希尔伯特零点定理之前，先要介绍一些背景知识。首先，我们来看一下在代数几何中，多项式的零点集是如何表述的。在整篇文章中， \mathbb{K} 代表一个代数闭域（algebraically closed field），即任意以域中元素为系数的非常数项多项式都有零点的域，大家可以将

接下来，我们要介绍希尔伯特基底定理（Hilbert basis theorem），它表明一个诺特环的多项式环也是一个诺特环。

为诺特环，所以其中所有理想都是有限生成的。换句话说，每个仿射代数集只需要有限多个多项式来定义。

若一个代数集不能写成两个更小的代数集的并集，那它叫做不可约的（irreducible）。事实上，任意代数集都可写成不可约代数集的并集，这些不可约代数集叫做它的不可约成分（irreducible component），且这种分解是唯一的。

为了展示代数集都可写成不可约代数集的有限并集，我们要引入诺特拓扑空间（Noetherian topological space）的概念。

接下来我们会看到，每个诺特拓扑空间都可以被唯一地分解为有限多个不可约的闭子集的并集。

现在我们正式介绍确立了代数集和理想的关系的希尔伯特零点定理。首先，我们注意到，若将 Z 和 I 看做映射，可知它们互为逆映射（inverse map）。从代数集和理想的定义可知， I\subseteq I(Z(I)) ，且 X\subseteq Z(I(X)) 。又因为代数集 X=Z(I) ，这里 I 是一个理想，所以对于任意仿射代数集 X\subseteq\mathbb{A}^n ，我们都有 Z(I(X))=X 。这样我们确定了仿射空间中的代数集和多项式环中的理想的对应关系。

弱希尔伯特零点定理的证明用到了代数同态（algebra homomorphism）的概念和诺特正规化定理（Noether normalization theorem），在这里我们不展开讨论。从弱希尔伯特零点定理，我们可以得到两个推论。映射 p\mapsto I(p) 和

中根理想的集合之间互为逆映射的双射，从而确立了代数集（几何）和理想（代数）的关系。强希尔伯特零点定理还有一个关于不可约性的推论。

仿射空间和不是单点集的仿射簇不是紧（compact）的，所以我们想要设法紧化（compactify）它们，使它们具有更好的性质。在中，我们将要引入影射空间（projective space）和影射簇（projective variety）的概念，以解决此问题，并介绍在影射空间中的零点定理。

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