作为一名辛苦耕耘的教育工作者,常常要写一份优秀的教案,编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点,进而选择恰当的教学方法。教案应该怎么写呢?以下是小编为大家收集的因式分解教案5篇,欢迎阅读与收藏。
1、进一步巩固因式分解的概念;
2、巩固因式分解常用的三种方法
3、选择恰当的方法进行因式分解
4、应用因式分解来解决一些实际问题
5、体验应用知识解决问题的乐趣
灵活运用因式分解解决问题
灵活运用恰当的因式分解的方法,拓展练习2、3
利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化,那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。
1、因式分解定义:把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
判断下列各式哪些是因式分解?(让学生先思考,教师提问讲解,让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系)
2、.规律总结(教师讲解):分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:(1).分解的对象必须是多项式.
(2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.(3).要分解到不能分解为止.
3、因式分解的方法
师:教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话:把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条,按动画所示进行折叠处理。
场景一:正方形折叠演示
师:这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板(刻度尺)和圆规,我们来研究正方形的几何性质―边、角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度、各角的大小、对角线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。
[学生活动:各自测量。]
鼓励学生将测量结果与邻近同学进行比较,找出共同点。
找一两个学生表述其结论,表述是要注意纠正其语言的规范性。
场景二:正方形的性质
师:这些性质里那些是矩形的性质?
[学生活动:寻找矩形性质。]
场景三:矩形的性质
师:同样在这些性质里寻找属于菱形的性质。
[学生活动;寻找菱形性质。]
场景四:菱形的性质
师:这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。
及时提出问题,引导学生进行思考。
师:根据这些性质,我们能不能给正方形下一个定义?怎么样给正方形下一个准确的定义?
[学生活动:积极思考,有同学做跃跃欲试状。]
师:请同学们回想矩形与菱形的定义,可以根据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的定义。
学生应能够向出十种左右的定义方式,其余作相应鼓励,把以下三种板书:
“有一组邻边相等的矩形叫做正方形。”
“有一个角是直角的菱形叫做正方形。”
“有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。”
[学生活动:讨论这三个定义正确不正确?三个定义之间有什么共同和不同的地方?这出教材中采用的是第三种定义方式。]
师:根据定义,我们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系梳理一下。
试一试把下列各式因式分解:
五、课堂小结:今天你对因式分解又有哪些新的认识?
1、了解因式分解的概念和意义;
2、认识因式分解与整式乘法的相互关系――相反变形,并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
【教学重点、难点】
重点是因式分解的概念,难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系,并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
看谁算得快:(抢答)
3、类比小学学过的因数分解概念,得出因式分解概念。(学生概括,老师补充。)
板书课题:§6.1 因式分解
因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解,也叫分解因式。
2、因式分解与整式乘法的关系:
说明:从左到右是因式分解其特点是:由和差形式(多项式)转化成整式的积的形式;从右到左是整式乘法其特点是:由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。
结论:因式分解与整式乘法的相互关系――相反变形。
1、 下列代数式变形中,哪些是因式分解?哪些不是?为什么?
2、你能写出整式相乘(其中至少一个是多项式)的两个例子,并由此得到相应的两个多项式的因式分解吗?把结果与你的同伴交流。
例 检验下列因式分解是否正确:
分析:检验因式分解是否正确,只要看等式右边几个整式相乘的积与右边的多项式是否相等。
练习 计算下列各题,并说明你的算法:(请学生板演)
今天这节课,你学到了哪些知识?有哪些收获与感受?说出来大家分享。
作业本(1) ,一课一练
整式乘除与因式分解
1、主要知识回顾:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
积的乘方等于各因式乘方的积.
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l.
任何一个不等于零的数的-p(p是正整数)指数幂,等于这个数的p指数幂的倒数.
也可表示为:(m≠0,n≠0,p为正整数)
单项式的乘法法则:
单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式与多项式的乘法法则:
单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加.
多项式与多项式的乘法法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加.
单项式的除法法则:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式:对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
多项式除以单项式的法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
文字语言叙述:两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差.
文字语言叙述:两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.
掌握其定义应注意以下几点:
(1)分解对象是多项式,分解结果必须是积的形式,且积的因式必须是整式,这三个要素缺一不可;
(2)因式分解必须是恒等变形;
(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.
因式分解与整式乘法是互逆变形,因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法是把积化为和差的形式.
二、熟练掌握因式分解的常用方法.
(1)掌握提公因式法的概念;
(2)提公因式法的关键是找出公因式,公因式的构成一般情况下有三部分:①系数一各项系数的最大公约数;②字母――各项含有的相同字母;③指数――相同字母的最低次数;
(3)提公因式法的步骤:第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.
(4)注意点:①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;
15.1.1 整式
1.单项式、单项式的定义.
2.多项式、多项式的次数.
3、理解整式概念.
单项式及多项式的有关概念.
单项式及多项式的有关概念.
Ⅰ.提出问题,创设情境
在七年级,我们已经学习了用字母可以表示数,思考下列问题
1.要表示△ABC的周长需要什么条件?要表示它的面积呢?
2.小王用七小时行驶了Skm的路程,请问他的平均速度是多少?
1、要表示△ABC的周长,需要知道它的各边边长.要表示△ABC的面积需要知道一条边长和这条边上的高.如果设BC=a,AC=b,AB=c.AB边上的高为h,那么△ABC的周长可以表示为a+b+c;△ABC的面积可以表示为 ?c?h.
2.小王的平均速度是 .
问题:这些式子有什么特征呢?
(1)有数字、有表示数字的字母.
(2)数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接.
归纳:用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.
判断上面得到的三个式子:a+b+c、 ch、 是不是代数式?(是)
代数式可以简明地表示数量和数量的关系.今天我们就来学习和代数式有关的整式.
Ⅱ.明确和巩固整式有关概念
结论:(1)正方形的周长:4x.
(2)汽车走过的路程:vt.
(3)正方体有六个面,每个面都是正方形,这六个正方形全等,所以它的表面积为6a2;正方体的体积为长×宽×高,即a3.
(4)n的相反数是-n.
分析这四个数的特征.
它们符合代数式的定义.这五个式子都是数与字母或字母与字母的积,而a+b+c、 ch、 中还有和与商的运算符号.还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同,字母的个数也不尽相同.
请同学们阅读课本P160~P161单项式有关概念.
根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、 ch、 这些代数式中,哪些是单项式?是单项式的,写出它的系数和次数.
结论:4x、vt、6a2、a3、-n、 ch是单项式.它们的系数分别是4、1、6、1、-1、 .它们的次数分别是1、2、2、3、1、2.所以4x、-n都是一次单项式;vt、6a2、 ch都是二次单项式;a3是三次单项式.
问题:vt中v和t的指数都是1,它不是一次单项式吗?
结论:不是.根据定义,单项式vt中含有两个字母,所以它的次数应该是这两个字母的指数的和,而不是单个字母的指数,所以vt是二次单项式而不是一次单项式.
生活中不仅仅有单项式,像a+b+c,它不是单项式,和单项式有什么联系呢?
写出下列式子(出示投影)
(3)三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积,即 ab-3.12r2.
(4)建筑面积等于四个矩形的面积之和.而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3,所以它们的面积和是18.于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18.
我们可以观察下列代数式:
a+b+c、t-5、3x+5y+2z、 ab-3.12r2、x2+2x+18.发现它们都是由单项式的和组成的式子.是多个单项式的和,能不能叫多项式?
这样推理合情合理.请看投影,熟悉下列概念.
根据定义,我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、 ab-3.12r2、x2+2x+18都是多项式.请分别指出它们的项和次数.
a+b+c的项分别是a、b、c.
t-5的项分别是t、-5,其中-5是常数项.
x2+2x+18的项分别是x2、2x、18. 找多项式的次数应抓住两条,一是找准每个项的次数,二是取每个项次数的最大值.根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式,后两个是二次多项式.
这节课,通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念,它们可以反映变化的世界.同时,我们也到符号的魅力所在.我们把单项式与多项式统称为整式.
1.课本P162练习
通过探究,我们了解了整式的概念.理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点,特别是它们的次数.在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义,发展符号感.
2.预习“整式的加减”.
课后作业:《课堂感悟与探究》
15.1.2 整式的加减(1)
1、解字母表示数量关系的过程,发展符号感。
2、会进行整式加减的运算,并能说明其中的算理,发展有条理的思考及语言表达能力。
会进行整式加减的运算,并能说明其中的算理。
正确地去括号、合并同类项,及符号的正确处理。
1、填空:整式包括 和
2、单项式 的系数是 、次数是
3、多项式 是 次 项式,其中二次项
系数是 一次项是 ,常数项是
4、下列各式,是同类项的一组是( )
(A) 与 (B) 与 (C) 与
5、去括号后合并同类项:
1、如果用a 、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字,那么这个两位数可以表示为 交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的'两位数为
这两个两位数的和为
2、如果用a 、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字,那么这个三位数可以表示为 交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为
这两个三位数的差为
●议一议:在上面的两个问题中,分别涉及到了整式的什么运算?
说说你是如何运算的?
▲整式的加减运算实质就是
运算的结果是一个多项式或单项式。
1、填空:(1) 与 的差是
(2)、单项式 、 、 、 的和为
(3)如图所示,下面为由棋子所组成的三角形,
一个三角形需六个棋子,三个三角形需
( )个棋子,n个三角形需 个棋子
3、(1)求 与 的和
(2)求 与 的差
4、先化简,再求值: 其中
1、若A是五次多项式,B是三次多项式,则A+B一定是
(A)五次整式 (B)八次多项式
(C)三次多项式 (D)次数不能确定
2、足球比赛中,如果胜一场记3a分,平一场记a分,负一场
记0分,那么某队在比赛胜5场,平3场,负2场,共积多
3、一个两位数与把它的数字对调所成的数的和,一定能被14
整除,请证明这个结论。
4、如果关于字母x的二次多项式 的值与x的取值无关,
五、小结:整式的加减运算实质就是去括号和合并同类项。
六、作业:第8页习题1、2、3
15.1.2整式的加减(2)
教学目标:1.会进行整式加减的运算,并能说明其中的算理,发展有条理的思考及其语言表达能力。
2.通过探索规律的问题,进一步符号表示的意义,发展符号感,发展推理能力。
教学重点:整式加减的运算。
教学难点:探索规律的猜想。
教学方法:尝试练习法,讨论法,归纳法。
摆第1个“小屋子”需要5枚棋子,摆第2个需要 枚棋子,摆第3个需要 枚棋子。按照这样的方式继续摆下去。
(1)摆第10个这样的“小屋子”需要 枚棋子
(2)摆第n个这样的“小屋子”需要多少枚棋子?你是如何得到的?你能用不同的方法解决这个问题吗?小组讨论。
3、列方程解应用题:三角形三个内角的和等于180°,如果三角形中第一个角等于第二个角的3倍,而第三个角比第二个角大15°,那么
(1)第一个角是多少度?
(2)其他两个角各是多少度?
1、已知A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2,并且A+B+C=0,问C是什么样的多项式?
(y+3)2=0,且B-2A=a,求A的值。
3、已知有理数a、b、c在数轴上(0为数轴原点)的对应点如图:
试化简:│a│-│a+b│+│c-a│+│b+c│
小 结:要善于在图形变化中发现规律,能熟练的对整式加减进行运算。
作 业:课本P14习题1.3:1(2)、(3)、(6),2。
1、掌握用平方差公式分解因式的方法;掌握提公因式法,平方差公式法分解因式综合应用;能利用平方差公式法解决实际问题。
2、经历探究分解因式方法的过程,体会整式乘法与分解因式之间的联系。
3、通过对公式的探究,深刻理解公式的应用,并会熟练应用公式解决问题。
4、通过探究平方差公式特点,学生根据公式自己取值设计问题,并根据公式自己解决问题的过程,让学生获得成功的体验,培养合作交流意识。
应用平方差公式分解因式.
灵活应用公式和提公因式法分解因式,并理解因式分解的要求.
一、复习准备 导入新课
1、什么是因式分解?判断下列变形过程,哪个是因式分解?
2、我们已经学过的因式分解的方法有什么?将下列多项式分解因式。
3、根据乘法公式进行计算:
二、合作探究 学习新知
(一) 猜一猜:你能将下面的多项式分解因式吗?
(二)想一想,议一议: 观察下面的公式:
=(a+b)(a―b)(
1、下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么?
2、你能把下列的数或式写成幂的形式吗?
例4 下面的式子你能用什么方法来分解因式呢?请你试一试。
某学校有一个边长为85米的正方形场地,现在场地的四个角分别建一个边长为5米的正方形花坛,问场地还剩余多大面积供学生课间活动使用?
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2017初一数学下册期中考试卷
开学没过久,转眼到了期中考试,大家对这次考试有没有信心呢?记得要提前复习好功课哦,今天,小编为大家搜索整理了2017初一数学下册期中考试卷,希望大家能有所收获,更多精彩内容请持续关注我们应届毕业生考试网!
一.选择题(每小题3分,共30分)
1.如图,直线b、c被直线a所截,则∠1与∠2是( )
A.同 位角 B. 内错角
C. 同旁内角 D. 对顶角
2.下列方程是二元一次方程的是( )
4.下列运算正确的是( )
6. 二元一次方程 的正整数解有( )
7.计算 的结果是( )
8.已知: , ,则 的值等于( )
10.某顾客在商场搞活动期间购买了甲、乙两种商品,分别是以7 折和9折的优惠购买的,共付款386元,这两种商品原价和为500元,则 甲、乙两商品的原价分别是( )
二.填空题(每小题3分,共21分)
11.如图,已知AB∥CD,∠2=60°,则∠1= 度。
13.若整式 是完全平方式,则实数 的值为__________.
16.某同学解方程组 的解为 ,由于不小心,滴上了两滴墨水, 刚好遮住了两个数●和★,请你帮他找回这个数,●= 。
17.若要( =1成立,则 。
三.解答题(共69分)
20.(8分)解下列方程组:
21.(8分)先化简,再求值: ,其中
22 (8分)仔细观察下列各式,探究规律:
(1)根据上述规律 ,求
(2)你能用一个含有n的算式表示这个规律 吗?请写出这个算式.
(3)根据你发现的规律,计算下面算式的值:
23. (9分)有一个两位数,设它的十位数字为x,个位数字为y,已知十位数字与个位数字之和为8,把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数,新的两位数比原来的两位数大18.
(3)求原来的两位数
24. (10分)一辆油箱装满油的汽车,在速度不变的 情况下,汽车油箱中余油量Q(千克)与行驶时间t(小时)之间的`关系为Q=k t + b,已知车速40千米