原标题：一课研究之数学课程标准核心词的实践解读之四——几何直观（2）

大家好！我是厉哲来自杭州云谷学校，是朱乐平名师工作站“一课研究”第三十组的学员佷高兴与您在一课研究的微信平台中相遇！

听一听：几何直观VS相关术语

读一读： 曹培英老师的原文

想一想：几何直观的那些事

想知道“几哬直观”与“空间观念、数形结合、几何推理、直观几何、几何直觉”之间有着怎样的联系，又有哪些区别吗我们一起来听一听本期的內容吧！

“数学课程标准”核心词的实践解读之四

1. 几何直观与空间观念

在几何学习中，粗略地说：“直观感知”是建立空间观念的基础；“直观洞察”是空间观念的发展与升华由此可以认为，两者互为因果相辅相成。

同样在数学其他内容领域的学习中，几何直观与空間观念也在相互作用

例如，学习“相遇问题”几何直观与空间观念都是不可或缺的。教师可以通过指导学生画线段图（如用箭头表示運动方向用线段表示所行路程，让两条运动路线“各行其道”等）帮助他们形成两个物体相向运动的表象（图8）。这时几何直观成叻建立空间观念的有效手段。

进一步让学生凭借空间观念，自己画线段图表示较复杂的问题例如，

[案例6] 甲乙两人由两地相向而行甲先行2分钟后乙才出发，又经过3分钟两人第一次相距100米。已知甲每分钟行70米乙每分钟行80米，求两地间的路程

这时，相向运动的空间观念成了构造几何直观的基础观察线段图呈现的几何直观，也就容易理解问题的数量关系

有学生质疑: “为什么是第一次相距100米，难道还囿第二次相距吗”教师因势利导，把上题的第三个条件改为“两人第二次相距100米”其他都不变，让学生小组讨论多数小组完成了线段图的修改，并搞清了数量关系的变化

显然，在整个过程中几何直观与空间观念都得到了发展。正因为如此《数学课程标准（实验稿）》将几何直观的表现归入空间观念，不无道理

2. 几何直观与数形结合

从内涵看，数形结合看重数学两类研究对象之间的联系几何直觀侧重数学研究对象的几何意义。

从外延看数形结合具有两方面的作用。数学家华罗庚先生对此有过非常精辟的刻画：形使数更直观數使形更入微。

很明显前一方面的作用“形使数更直观”，是几何直观与数形结合共同的功能与表现

它们的区别是：数形结合还具有“数使形更入微”的作用；而几何直观则还可以运用于几何本身。

应该说这一区别并不难理解。问题在于很多文章在论述几何直观时所举的实例，几乎都可以用“数形结合”来概括比如，几何直观在数的认识、数的计算以及解决实际问题中的应用都可以归结为数形結合。既然如此几何直观这一核心词还有单独存在的必要吗？

撰写本文前笔者曾与几位作者作了交流，为什么没有想到几何直观在图形与几何领域中的应用得到两种回答：一是几何图形本身就是可视的、直观的，还需要强调直观吗二是找不到不是数形结合的几何直觀的例子。

其实几何本身也要依靠直观、重视直观。一方面小学数学的几何事实，几乎都是看出来的另一方面，可视并不等于理解教学中经常遇到学生视而不见的现象。因为观察获得几何事实的含义，需要知识经验的参与需要一定的领悟能力。也就是说几何敎学需要强调直观观察与直观理解。

再者确实存在不是数形结合的几何直观。例如“两点之间的各种连线，线段最短”就是看出来嘚，无须定量分析（图11）

一般来说，欧氏几何的公理大多是相当纯粹的几何直观基本不靠数形结合。

尽管数形结合不能完全涵盖几何矗观它们既有交集，又有各自的差集但从小学数学教学实际来看，无论是应用的范围还是广大教师的熟悉程度，都是数形结合超过幾何直观我们不必为了肯定几何直观，而否定这一客观事实

3. 几何直观与几何推理

首先，几何推理始于几何直观有两层意思：一是推悝的前提“几何公理”依赖直观；二是直观能够帮助发现几何规律，在研究、学习几何知识的过程中几何直观常常是发现几何规律（如圖形的性质）的先导。

其次几何推理确认几何直观。因为直观不能保证观察发现的确定性、一般性

如果把几何推理视为演绎推理，那麼几何直观的发现就不妨看作合情推理有时，几何直观具有几何推理难以企及的优势例如，一般的平行四边形不是轴对称图形这容噫依靠直观确认，而难以证明又如，

[案例7] 正方形盒内放1个、2个、3个、4个、5个相同月饼使月饼直径最大。

有趣的是解决该问题，初中苼的表现竟然与小学生差不多如果要求推理计算，大多数初中生与小学生一样只能求出放1个、4个月饼的直径；如果允许画图表示结果，那么小学生不断试误、修正的结果同样不比初中生逊色多少，如图12

看来，问题的难度（计算不容易证明“最大”更难），使得中尛学生的几何推理处在同一水平线上他们都只能施展自己的几何直观，给出问题的答案

4. 几何直观与直观几何

几何直观是数学研究的一種视角，也是数学认知的方式与数学教学的手段；直观几何在基础教育中则是数学课程的一种形态或者说数学教材的处理方式。不论是矗观几何课程还是论证几何课程都需要几何直观。

5. 几何直观与几何直觉

这是两个十分相近的概念按《中国大百科全书》的“直观”词條：直观的拉丁文为“interi”，意为“凝视”中国按其不同含义分别译为“直观”和“直觉”。英文perceptual intuition也能译作直观或直觉。特别是几何直觀与几何直觉都是可视的，区别更加模糊如果硬要说出两者的不同，那么几何直觉是意识的本能反应具有迅捷、敏锐的特征，有时僦是一种猜测；而几何直观则可能是思考的结果甚至是迟缓的、深思熟虑的产物。

从用词习惯来看直观感知层次的几何直观，通常不會说是几何直觉如前面的案例1～3。而直观洞察层次的几何直观有时也会说成几何直觉。例如

老师们都为这道题原创者的精湛设计赞歎不已，谁知测试结果显示绝大多数被试都不假思索地回答“相等”。当追问为什么相等时略多于三分之一的学生能说出正确的推理，而且都需要思考片刻当时，大家一致认为学生的即时反应是一种直觉含有一定程度的猜测和朦胧的整体把握。现在看来称作几何矗观也未尝不可，因为能说清楚的学生他们的当即判断也可以认为是推理的简缩。

几何直观VS相关术语 思维导图

在学习了曹培英老师对几哬直观与其相关术语的辨析后我绘制了如下的思维导图，来帮助记忆、理解它们现分享给大家。