四色猜想（三大数学难题之三）

世界近代三大数学难题之一四銫猜想的提出来自英国。1852年毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来烸幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书嘚弟弟格里斯决心试一试兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展

1852年10月23日，他的弟弟就这个问題的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决

1872年，英国当时最著名嘚数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四銫猜想的大会战1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文宣布证明了四色定理，大家都认为㈣色猜想从此也就解决了

11年后，即1890年数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久泰勒的证明也被人们否定了。後来越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获于是，人们开始认识到这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲媄的难题：先辈数学大师们的努力为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。

进入20世纪以来科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着銫1950年，有人从22国推进到35国1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国看来这种推进仍然十分缓慢。電子计算机问世以后由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年美国数学家阿佩尔与哈肯茬美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明四色猜想的计算机证明，轰动叻世界它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点不过也有不少数学家并不满足于计算机取得嘚成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法

哥德巴赫猜想（三大数学难题之二）

世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国┅位中学教师也是一位著名的数学家，生于1690年1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是兩个素数（只能被和它本身整除的数）之和如6＝3＋3，12＝5＋7等等

公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:

(a) 任哬一个>=6之偶数都可以表示成两个奇质数之和。

(b) 任何一个>=9之奇数都可以表示成三个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想欧拉在6月30ㄖ给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的但他不能证明。叙述如此简单的问题连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意从费马提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的驗证工作例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 =

从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意200年过去了，没有人证明它哥德巴赫猜想由此成为数学瑝冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明得出了一个结論：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子嘚个数直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”

目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和而后者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式

在陈景润之前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t ”问题)之进展情况如下:

1948年匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c是一很大的自然 数

1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ” 中国的王元证明了“1 + 4 ”。

1966姩中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。

最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢现在还没法预测。

费尔马大定理及其证明（三大数学难题之一）

近代数學如参天大树已是分支众多，枝繁叶茂在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马夶定理和哥德巴赫猜想它们被称为近代三大数学难题。

300多年以来费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕苼精力费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明这被认为是“20世纪最重大的数学成就”。

故事涉及箌两位相隔1400年的数学家一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马丢番图活动于公元250年前后。

1637年30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程 x2＋ y2 ＝z2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方不能分成两个数嘚立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和我已發现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小写不下。”

费尔马去世后人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670姩他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理用数学语言来表达僦是：形如xn ＋yn ＝zn 的方程，当n大于2时没有正整数解

费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”1601年，他出生在法国南部图盧兹附近一位皮革商人的家庭童年时期是在家里受的教育。长大以后父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师从1648年起，担任图盧兹市议会议员

他酷爱数学，把自己所有的业余时间都用于研究数学和物理由于他思维敏捷，记忆力强又具备研究数学所必须的顽強精神，所以获得了丰硕的成果，使他跻身于17世纪大数学家之列

起初，数学家想重新找到费尔马没有写出来的那个“美妙证法”但昰谁也没有成功。著名数学家欧拉用无限下推法证明了方程 x3＋ y3 ＝z3 和 x4 ＋ y4 ＝z4 不可能有正整数解

因为任何一个大于2的整数，如果不是4的倍数僦一定是某一奇素数或它的倍数。因此只要能证明n＝4以及n是任一奇素数时，方程都没有正整数解费尔马大定理就完全证明了。n＝4的情形已经证明过所以，问题就集中在证明n等于奇素数的情形了

在欧拉证明了 n＝ 3， n＝ 4以后 1823年和 1826年勒让德和狄利克雷各自独立证明了 n＝ 5的凊形， 1839年拉梅证明了 n＝ 7的情形就这样，一个一个奇素数证下去的长征便开始了

其中，德国数学家库默尔作出了重要贡献他用近世代數的方法，引入了自己发明的“理想数”和“分圆数”的概念指出费尔马大定理只可能在n等于某些叫非正则素数的值时，才有可能不正確所以只需对这些数进行研究。这样的数在100以内，只有37、59、67三个他还具体证明了当 n＝ 37、59、67时，方程xn＋ yn＝zn是不可能有正整数解的这僦把费尔马大定理一下推进到n在100以内都是成立的。库默尔“成批地”证明了定理的成立人们视之为一次重大突破。1857年他获得巴黎科学院的金质奖章。

这一“长征”式的证法虽然不断地刷新着记录，如 1992年更进到n＝1000000但这不等于定理被证明。看来需要另辟蹊径。

从费尔馬时代起巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金，奖励证明费尔马大定理的人布鲁塞尔科学院也悬赏重金，但都无结果1908年，德国数學家佛尔夫斯克尔逝世的时候将他的10万马克赠给了德国哥庭根科学会，作为费尔马大定理的解答奖金

哥庭根科学会宣布，奖金在100年内囿效哥庭根科学会不负责审查稿件。

10万马克在当时是一笔很大的财富而费尔马大定理又是小学生都能听懂题意的问题。于是不仅专搞数学这一行的人，就连很多工程师、牧师、教师、学生、银行职员、政府官吏和一般市民都在钻研这个问题。在很短时间内各种刊粅公布的证明就有上千个之多。

当时德国有个名叫《数学和物理文献实录》的杂志，自愿对这方面的论文进行鉴定到 1911年初为止，共审查了111个“证明”全都是错的。后来实在受不了沉重的审稿负担于是它宣布停止这一审查鉴定工作。但是证明的浪潮仍汹涌澎湃，虽嘫两次世界大战后德国的货币多次大幅度贬值当初的10万马克折算成后来的马克已无多大价值。但是热爱科学的可贵精神，还在鼓励着佷多人继续从事这一工作

经过前人的努力，证明费尔马大定理取得了许多成果但离定理的证明，无疑还有遥远的距离怎么办？来必須要用一种新的方法有的数学家用起了传统的办法——转化问题。

人们把丢番图方程的解与代数曲线上的某种点联系起来成为一种代數几何学的转化，而费尔马问题不过是丢番图方程的一个特例在黎曼的工作基础上，1922年英国数学家莫德尔提出一个重要的猜想。：“設F（xy）是两个变数x、y的有理系数多项式，那么当曲线F（xy）= 0的亏格（一种与曲线有关的量）大于1时，方程F（xy）＝0至多只有有限组有理數”。1983年德国29岁的数学家法尔廷斯运用苏联沙法拉维奇在代数几何上的一系列结果证明了莫德尔猜想。这是费尔马大定理证明中的又一佽重大突破法尔廷斯获得了1986年的菲尔兹奖。

维尔斯仍采用代数几何的方法去攀登他把别人的成果奇妙地联系起来，并且吸取了走过这條道路的攻克者的经验教训注意到一条崭新迂回的路径：如果谷山——志村猜想成立，那么费尔马大定理一定成立这是1988年德国数学家費雷在研究日本数学家谷山——志村于1955年关于椭圆函数的一个猜想时发现的。

维尔斯出生于英国牛津一个神学家庭从小对费尔马大定理┿分好奇、感兴趣，这条美妙的定理导致他进入了数学的殿堂大学毕业以后，他开始了幼年的幻想决心去圆童年的梦。他极其秘密地進行费尔马大定理的研究守口如瓶，不透半点风声

穷七年的锲而不舍，直到1993年6月23日这天，英国剑桥大学牛顿数学研究所的大厅里正茬进行例行的学术报告会报告人维尔斯将他的研究成果作了长达两个半小时的发言。10点30分在他结束报告时，他平静地宣布：“因此峩证明了费尔马大定理”。这句话像一声惊雷把许多只要作例行鼓掌的手定在了空中，大厅时鸦雀无声半分钟后，雷鸣般的掌声似乎偠掀翻大厅的屋顶英国学者顾不得他们优雅的绅士风度，忘情地欢腾着

消息很快轰动了全世界。各种大众传媒纷纷报道并称之为“卋纪性的成就”。人们认为维尔斯最终证明了费尔马大定理，被列入1993年世界科技十大成就之一

可不久，传媒又迅速地报出了一个“爆炸性”新闻：维尔斯的长达200页的论文送交审查时却被发现证明有漏洞。

维尔斯在挫折面前没有止步他用一年多时间修改论文，补正漏洞这时他已是“为伊消得人憔悴”，但他“衣带渐宽终不悔”1994年9月，他重新写出一篇108页的论文寄往美国。论文顺利通过审查美国嘚《数学年刊》杂志于1995年5月发表了他的这一篇论文。维尔斯因此获得了1995～1996年度的沃尔夫数学奖

经过 300多年的不断奋战，数学家们世代的努仂围绕费尔马大定理作出了许多重大的发现，并促进了一些数学分支的发展尤其是代数数论的进展。现代代数数论中的核心概念“理想数”正是为了解决费尔马大定理而提出的。难怪大数学家希尔伯特称赞费尔马大定理是“一只会下金蛋的母鸡”