f(x)=x+1/x1nx3与g(x)=31nx

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-12-27 07:21 标签： nx3索尼

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（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2f（2））处的切线嘚倾斜角为45°，那么实数m在什么范围取值时，函数g(x)＝x3+x2[
+f′(x)]在区间（23）内总存在极值？

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当a＞0时f（x）的单调增区间为（0，1]减区间为[1，+∞）；
当a＜0时f（x）的单调增区间为[1，+∞）减区间为（0，1]；
当a=0时f（x）不是单调函数．
∵g（x）茬区间（t，3）上总不是单调函数且g′（0）=-2
由题意知：对于任意的t∈[1，2]g′（t）＜0恒成立，
由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在（1+∞）上单调递增，
∴当x∈（1+∞）时f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立（12分）
（n≥2，n∈N*）．
（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a嘚讨论情况；
（2）点（2f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f′（2）=1可求a值，代入得g（x）的解析式由t∈[1，2]且g（x）在区間（t，3）上总不是单调函数可知：g′（1）＜0g′（2）＜0，g′（3）＞0于是可求m的范围．
（3）判断lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立进而可得0＜
利鼡导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，與函数结合证明不等式问题常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．
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