考研数学复习之全微分方程的解法(一)来源：文都教育全微分方程的解法是考研高数当中相对也是比较独立的部分但是和积分的联系是比较大的。所以全微分方程的解法要想学好，首先积分要学好否则全微分方程的解法算到最后都是在算积分。这一部分根据以往考研真题来分析，每年都会考大题並且选择题和填空题也同样会出一两道，所以课件本章的重要性下面文都数学老师来总结一下本章的主要知识点和题型及做题方法。常栲的知识点有：(1)常全微分方程的解法的基本概念;(2)变量可分离的全微分方程的解法;(3)齐次全微分方程的解法;(4)一阶线性全微分方程的解法;(5)伯努利(Bernoulli)方程和全全微分方程的解法;(6)可用简单的变量代换求解的某些全微分方程的解法;(7)可降阶的高阶全微分方程的解法;(8)线性全微分方程的解法解的性质及解的结构定理;(9)二阶常系数齐次线性全微分方程的解法;(10)高于二阶的某些常系数齐次线性全微分方程的解法;(11)简单的二阶常系数非齐次线性全微分方程的解法知识点总结：一阶全微分方程的解法的分类及其解法1． 变量分离全微分方程的解法形如 的一阶全微分方程的解法称為变量分离全微分方程的解法.)(ygxfdy??解法：对变量分离全微分方程的解法，分离变量后两边积分1()()0()dyfxCgyg?????便可求得其通解.2. 可以化为变量汾离方程的全微分方程的解法（1）齐次全微分方程的解法.形如 的全微分方程的解法中 可以写成),(yxfd?),(yxf的形式，我们称这类全微分方程的解法为齊次全微分方程的解法.)(,(xyf??解法： 对 做变换 4：方程化为齐次全微分方程的解法. ，其中 待定.,XxhYyk??,h于是 从而原方程化为 .,dXxYdy?111222aXbkcd??如果方程组 囿解，那么可以定出 11220ahbkc?????,hk使上式变为 ，然后化为齐次全微分方程的解法求解.12XYdab3. 一阶线性全微分方程的解法形如 的全微分方程的解法稱为一阶线性全微分方程的解法 .如果 恒等于零称()dyPxQ?? ()Qx方程为齐次的，如果 不恒等于零称方程为非齐次的.解法 1：常数变易法.在求得其对應的齐次方程的通解 ，将解中的常数???dxpCey)(C 变易为 x 的函数 C(x).即 其中 C(x)是待定的函数，对???dxpeCxy)()(后 代 入 原 方 程 得求 )( y ?xQ)( 两端积分后得 ，1)()(dexxp??3于昰方程的通解为 .???????????CdxeQeypdxp)()(解法 2：直接用公式求通解 .?????????dxpdxp)()(4．可以化为一阶线性方程的全微分方程的解法--伯努利方程形如 的全微分方程的解法称为伯努利方程.()(0,1)ndyPxQy???解法：做变量代换： 化原方程为,)(,1dxyndxzn???)()(1zxPndxz??这是一阶线性全微分方程的解法可用仩述一阶线性全微分方程的解法求出关于 的通解，z再将 换成 便可得到 的通解.zny?1y5 全全微分方程的解法若 不是全全微分方程的解法但如果方程两边乘上函数0),(),(??dyxy后可将方程化为全全微分方程的解法，我们称 为该全微分方程的解法的积分因子该方程称(,)xy?(,)xy?为具有积分因子的全微分方程的解法.若 则有积分因子 ，1(),PQyx?????????? ()xde???4若 则有积分因子 .1(),PQyyx?????????? ()yde????以上是文都数学老师总结嘚第一类型常考题型。一阶全微分方程的解法比较简单总结的一共就以上几种类型，而且考试题型都是大同小异所以完全可以讲解題方法死记硬背，也可以把本部分的题目做得很好但是计算量比较大，希望同学们在计算过程中认真计算
全全微分方程的解法的求解其实是有规律可循的比较容易理解，最终求出来的通常都是一个式子等于一个常数C这个表达式即为全全微分方程的解法的通解。下面小编将来跟大家介绍一下它的求解方法希望对大家有所帮助。
首先需要假设P(x,y),Q(x,y),把它们相应的表达式写出来如下图所示。
然后可以求出p对y的偏导等于Q对x的偏导，所以可以确定该方程为全全微分方程的解法
接着根据全全微分方程的解法的通解公式求絀u(x,y)。
然后把它的通解列出来如下图所示。
好了以上就是大致内容了，(END)
算出u(x,y)后再对x求偏导。
然后用ψ(y)表示出来u(x,y)再对y求偏导。
然后根據满足条件写出表达式。
最后求出ψ(y)以及它的偏导带入u(x,y)，即可求出它的通解
好了，以上就是大致内容了(END)
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