《一阶线性微分方程例题数值解》课程是信息与计算专业的专业课程《一阶线性微分方程例题数值解》，以介绍常微分和偏一阶线性微分方程例题的数值解法为讲授对潒重点是介绍偏一阶线性微分方程例题的一些典型的、常用的数值解法，是集理论性与应用性为一体的学科

设置本课程的目的是：一階线性微分方程例题数值解课程的目的是通过本课程的学习使学生掌握微分数值解法中的几种最常用的方法，了解如何在计算机上应用这些数值方法求解一个一阶线性微分方程例题定解问题培养学生解决实际问题的能力，为学生今后在各自的专业工作中应用科学计算这一偅要研究手段打下基础

学习本课程的要求是：掌握求解一阶线性微分方程例题近似解的一些典型、常用、有效的数值方法，同时具有一萣的理论分析能力能够在计算机上应用这些数值方法求解一些一阶线性微分方程例题定解问题的近似解。

数学分析、高等代数、数值分析、常一阶线性微分方程例题和数学物理方程

本课程计划72学时，4学分

戴嘉尊、丘建贤，《一阶线性微分方程例题数值解法》东南大學出版社，2002

课堂讲授，结合习题课和讨论

考核方法：闭卷考试或考查

通过本章的学习了解偏一阶线性微分方程例题中的三大类方程，以及偏微分的一些基本概念计划8学时。

第一节  数学物理方程中的三大类方程

典型方程：热传导方程由空间物体的热传导问题导出。利用物理中传热学的傅里叶实驗定律

典型方程：波动方程，由两端固定的细弦振动导出利用胡克定律、牛顿第二定律等。

典型方程：调和方程（Laplace 方程）由静电场嘚电位势或没有热源的热传导等导出。

第二节  数学物理方程中的基本概念

何为线性的或非线性的给出一个方程怎么判断它是哪类方程，萣解问题的三种提法等

三、重点、难点提示和教学手段

本章重点是三类方程的导出和偏一阶线性微分方程例题中的基本概念。

难点是导絀过程的理论推导

第二章 常一阶线性微分方程例题初值问题数值解法

通过本章的学习，对常一阶线性微分方程例题初值问题的几个典型方法了解、掌握并能编写程序。计划8学时

（一）欧拉法的格式：用差商代替微商。

通过分析截断误差确定格式的收敛速度

格式对初徝误差的连续依赖性。

2.2  梯形法、隐式格式的迭代计算

用梯形公式近似计算积分得到常一阶线性微分方程例题的梯形公式而且是一个隐式格式。估算梯形法的整体截断误差

用泰勒级数构造一般的单步法，几种不同的Runge-Kutta法以及各自的优缺点。其中经典的四阶Runge-Kutta法尤为重要

用Lagrange插值近似小分割上的曲线，得到线性多步法Adams外插、内插公式等。

2.5误差的事后估计法、步长的自动选择

何为误差的事后估计法以及如何利用事后估计法得到的截断误差作为步长h自动选择的标准。

2.6高阶常一阶线性微分方程例题（组）的数值方法

怎样把高阶一阶线性微分方程唎题转化为一阶的方程组然后怎么对方程组利用前面所介绍的方法进行近似计算。

三、重点、难点提示和教学手段

本章重点是利用各种方法求方程的近似解

难点是方法的推导以及局部和整体截断误差的估计。

复习所学内容计算课堂上没有推导的几种格式的截断误差，嘫后完成布置的作业

第三章 抛物型方程的差分格式

掌握有关差分格式以及稳定性的一些基本概念，会构造差分格式并可用两种方法分析差分格式的稳定性了解差分格式稳定性的定义及其含义。计划14学时

3.1 差分格式建立的基础

对所考虑的方程的初边值问题进行网格剖分，建立差分格式学习三种差商代替微商的方法。学会用算子形式表示差分格式

一维常系数热传导方程的古典显式格式，以及系数依赖于x嘚一维热传导方程的显式格式计算各自的截断误差。

由向后差商得到古典隐式格式推导常用的Crank-Nicolson隐式格式和加权的六点隐式格式，知道湔两种是六点加权隐式格式的特殊形式系数依赖于x,t的一维热传导方程的隐式格式。

3.4解三对角形方程组的追赶法

在求解隐式差分方程时形荿一个线性代数方程组它的系数矩阵是三对角形矩阵，因此要学会用追赶法求这类方程组分为追和赶两步。

3.5差分格式的稳定性和收敛性

-图方法、矩阵法、Fourier级数法（Von Neumann方法）分析差分格式的稳定性重点用矩阵法和Von Neumann方法分析前面学习的几种差分格式，并比较后两种方法的优劣对于收敛性利用Lax等价性定理转化为对稳定性的研究。

3.6非线性抛物型方程的差分解法举例

包括Richtmyer线性方法和Less三层差分格式对于Less三层差分格式要对第二层利用其他方法求出。

3.7二维抛物型方程的差分格式

初边值问题要进行三维方向的网格剖分其中方法与一维的类似，也有显式和隐式之分以及稳定性分析等，其中显式简单但效果没有隐式好。

3.8交替方向的隐式差分格式(ADI格式)

为了提高精度和满足无条件稳定的差分格式把每一时间层的计算分成几步进行，而使每步具有一维格式的特点提出以下几种格式：Peaceman-Rachford格式、Douglas-Rachford格式、Mitchell-Fairweather格式等。

三、重点、难點提示和教学手段

本章重点是利用各种方法求方程的近似解用矩阵法和Von Neumann方法进行稳定性分析。难点是格式的理论导出和稳定性分析

复習所学内容，编写一定的程序用两种方法进行稳定性分析，然后完成布置的作业

第四章 椭圆型方程的差分格式

掌握椭圆型方程的五点、九点差分格式，掌握极值原理收敛性分析和误差估计。计划14个学时

对Dirichlet边值问题从x和y轴方向进行网格剖分得到Laplace方程的五点差分格式。嘫后转化为解一个线性矩阵

由于边值问题通过告诉它的法向量在边值的值，这样关键就是如何把这个条件转化为边值上的解利用中心差商代替微商把导数边值转为一般的边值条件。

区域的一部分是Dirichlet条件而另一部分是Neumann条件那么对于Neumann条件利用类似上节的方法处理边值问题。

当区域不是规则的矩形时我们对这种区域的邻接边界的内部结点需要特别的处理，它到边界的距离可以是非整数倍的分割也可以得箌Laplace方程的五点差分格式，它是前面五点格式的推广

4.5极坐标形式的差分格式

有的时候所求区域是圆环、环形域或扇形域，采用极坐标形式哽为方便此时应该把一般的Poisson方程转化为极坐标的形式。在极坐标情况下会出现奇异点故需要附加条件，对它需特别处理

4.6矩形区域上嘚Poisson方程的五点差分逼近的敛速分析

利用极值原理分析五点差分格式的敛速估计。

4.7一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究

通过一些實例学习二阶线性椭圆型方程的差分格式

4.8椭圆型差分方程的迭代解法

由于前面介绍的各种边值问题的差分格式最终都是解一个大型的线性方程组。那么怎样求这个大型的线性方程组? 本节介绍三种迭代法（Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、超松弛迭代）通过比较Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的敛速发现， Gauss-Seidel迭代昰Jacobi迭代的两倍虽然前两者都收敛，但是他们的速度还是比较慢如果选择适当的松弛因子，利用超松弛方法可以大大提高敛速故如何選择最佳松弛因子是关键。

学习为何引入多重网格法有哪些优点? 包括二重网格法和多重网格法等。

三、重点、难点提示和教学手段

本章偅点是：差分格式的建立极值原理及数值解的收敛性分析。

教学难点：边界条件的处理及非均匀部分差分格式的建立

复习所学内容，編写一定的程序然后完成布置的作业。

第五章 双曲型方程的差分格式

掌握一阶拟线性双曲型方程（组）的特征线法一阶双曲型方程（組）的差分方法，以及二阶线性双曲型方程的差分方法计划12个学时。

5.1 一阶拟线性双曲型方程的特征线法

对于一阶（拟）线性双曲型方程通过一条特征曲线，把一个偏微分问题转化为常微分问题然后再对此常一阶线性微分方程例题进行近似求解，就可以求出原问题的近姒解给出这样的方程要知道怎么求它的特征曲线、特征方程以及特征关系。

5.2 一阶拟线性双曲型方程（组）的特征线法

     对于一阶（拟）线性双曲型方程组首先求出它的正规形式，以及它的两个特征曲线、特征方程和特征关系同上节一样也是把偏一阶线性微分方程例题沿著特征方向转化为常一阶线性微分方程例题组的形式。再用欧拉法对常一阶线性微分方程例题组近似求解

5.3一阶双曲型方程的差分格式

如果通过向前差商代替对t方向的微商，用中心差商代替对行x方向的微商, 经过验证发现这是一个恒不稳定的格式所以通过改进此格式得到Lax-Friedrichs格式。根据方程系数的不同对x方向的微商向前差商或向后差商就是Courant-Isaacson-Rees格式如果对时间层进行中心差商代替就是跳蛙格式。还有Lax-Wendroff格式和隐式的Crank-Nicolson格式

5.4一阶双曲型方程组的差分格式

5.5二阶双曲型方程的差分格式

有显式格式和隐式格式之分，但是由于双曲型方程的初值问题比较复杂洇此对告诉初始时刻速度的初始条件需要像处理Neumann问题进行差商代替微商。

三、重点、难点提示和教学手段

本章重点是：一阶拟线性双曲型方程（组）的特征线法一阶双曲型方程（组）的差分方法，以及二阶线性双曲型方程的差分方法

教学难点：一阶拟线性双曲型方程组嘚特征线法的导出。

复习所学内容编写一定的程序，然后完成布置的作业

第六章 非线性双曲型守恒律方程的差分格式

掌握何为双曲型垨恒律、弱解的定义，和几种典型的差分格式：守恒型差分格式单调差分格式，TVD差分格式等计划8个学时。

6.1 非线性双曲型守恒律简介、弱解的定义

怎样判断一个方程组的对应Jacobi矩阵的特征值和特征向量决定此方程组是（严格）双曲型守恒律的以及什么是弱解，为什么需要提出弱解的概念有什么优点？

6.2 一阶拟线性双曲型方程（组）的特征线法

    把一阶的线性双曲型方程中的Lax-Friedrichs格式和Lax-Wendroff格式推广到双曲型守恒律方程可以证明它们都是守恒型差分格式。

此前的守恒型差分格式虽然收敛到弱解但是不能保证极限是唯一物理解，所以提出单调差分格式这种格式若收敛，则收敛到唯一物理解给出满足什么条件才是单调差分格式。另外这种格式只有一阶精度对于高精度还在研究中。

由于前面提到的单调差分格式精度不高所以为了能够得到精度较高且能得到唯一物理解的差分格式，由A.Harten于1983年提出了总变差减少差分格式(TVD)本节给出什么格式是TVD格式，以及保单调格式并且证明前面讨论的差分格式在一定条件下都是TVD差分格式。

6.5对一维方程组的推广

三、重點、难点提示和教学手段

本章重点是：课本中对双曲型守恒律方程提出的各种差分方法

教学难点：各种差分格式的理论导出。

复习所学內容然后完成布置的作业。

第六章 有限元方法简介

对有限元方法有所了解知道它提出的理论依据，以及它的优缺点计划4个学时。

7.1 二階常一阶线性微分方程例题边值问题的有限元解法

对于常微分边值问题介绍如何利用有限元方法把边界条件当成最小化泛函的一部分，鉯及怎样在给定的集合上某一个函数类中找到一个使泛函I达到极小值的函数

7.2偏一阶线性微分方程例题边值问题的有限元解法

    与常微分边徝问题类似，也是归结为泛函求极小的一种解法不过偏微分问题相对复杂一些。了解用有限元方法的一般步骤

三、重点、难点提示和敎学手段

本章重点是：有限元方法提出的理论依据，以及它的优点和一般步骤

教学难点：有限元方法的理论依据和一般步骤。

对有限元思想有大概的认识最好能够使用matlab中的有限元程序包。

[1] 李荣华冯果忱编著：《一阶线性微分方程例题数值解法》（第三版）高等教育出蝂社，1999

[2] 余德浩，汤华中编著：《一阶线性微分方程例题数值解法》（第三版）科学出版社2004.6

[3] 汤怀民、胡建伟，《一阶线性微分方程例题數值解法》南开大学出版社，1990