高等数学问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-11-16 08:22 标签：

【注】：问题解答不仅仅为解决楿关提到的问题更多地是为了给出分析问题的思路与复习相关的知识点，所以过程有时候相对要繁琐但是更具有基础性和一般性.

问题1：被积函数为带参数极限的定积分问题

知识点：带参数极限值的计算，定积分对积分区间的可加性、定积分的“奇零偶倍”的性质、定积汾的几何意义反向应用于求定积分数形结合的解题思想.

【解析】：要求积分，必须先计算得到被积函数的表达式；其中f(x)由数列极限定义相对于极限问题而言，变量x为常数它的取值影响极限结果。因此极限的计算为一个带有参数x的极限问题，我们需要对参数进行讨论对于指数函数x2n+1与x2n中x的讨论一般以分界点-1，1为分界点讨论即分为|x|>1，|x|<1x=1，x=-1讨论于是有

从函数表达式可以看到函数在|x|>1范围内为奇函数，所鉯对称区间上的定积分为零；另外在|x|<1的范围内函数为常数所以直接由定积分的几何意义（被积函数大于等于0，定积分为曲边梯形的面积这里即为矩形的面积），或者直接计算原函数求定积分得到|x|<1范围内的积分。

问题2：积分上限函数零点的个数判定

知识点：积分上限函數求导、函数单调性的判定、闭区间上的连续函数的零值定理的应用

问题：设f(x)在[a,b]上连续且恒大于0，

【解析】：根个数的判定首先想到的昰求函数的导数根据导数符号判断函数的单调性；或者讨论极值的存在情况，判断根的个数对于个数的讨论，可以基于单调性；也可鉯采用反证法然后通过求导数，基于罗尔定理验证假设的不合理性. 

对于这个题目：由于f(x)恒大于0对函数F(x)求导，有

即函数F(x)严格单调增加；叧外由于

所以由零值定理及函数的单调性可知函数F(x)在(a,b)内有唯一的实根答案为【B】.

问题3：与周期函数的积分相关函数的极限

知识点：周期函数，周期函数的积分性质积分对区间的可加性，函数极限的求解方法积分上限函数求导数

问题：设f(x)是以T为周期的连续函数，若

【解析】：周期函数的定积分性质为：在任意长度为一个周期的区间上积分相等因此，任意区间上的积分可以分割成长度为一个周期的整数倍区间的积分再加上一个区间长度小于一个周期长度的区间上的积分的和即

问题4：与积分上限函数相关的中值命题证明

知识点：积分上限函数，中值命题罗尔定理

问题：设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)上可导证明

【解析】：依据中值等式命题的一般证明步骤，有

将端点01代入，無法确定中括号内值的符号因此不好直接考虑零值定理验证。所以考虑构建中括号内的一个原函数使用罗尔定理来验证。容易发现积汾上限函数的导数正好为被积函数f(x)而(1-x)’=-1，所以上式的一个原函数为

显然F(x)在[0,1]上连续在(0,1)上可导，并且有

所以满足罗尔定理的条件即

问题5：已知积分求积分之分部积分法

知识点：反常积分、积分的分部积分法，积分的换元法注意对照计算过程及结果与要计算表达式的关系，定积分问题的二重积分方法

【解法一】（定积分的分部积分法）由定积分的积分计算步骤（参见：）

【解法二】（定积分的二重积分方法）因为

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