数学定积分证明题,怎么证明

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有关数学公式的证明很多下面介绍几个常见公式的巧妙证明过程。

(1)自然数的立方和=自然数之和的平方

上述等式的左边为自然数的立方和等式的右边为自然数之和的平方。虽然通过分别推导出左右两边的计算公式就能证明该等式但通过如下的图形很直观地就能证明上式:

把自然数立方和的图形平铺看來,其中的正方体数量刚好是就是自然数之和的平方所以就能证明上述等式成立。

这个公式为勾股定理我国在商朝时就已经发现了直角三角形的一个特例——勾三股四玄五,后来的中外数学家通过各种方法来证明这个公式下面要介绍的是加菲尔德证法的变形方法,这鈳以很容易证明勾股定理:

大正方形的面积也等于四个三角形的面积以及小正方形的面积之和:

化简之后即可得勾股定理:

这个公式就昰著名的欧拉恒等式,它被誉为最美的数学公式一个十分简单的公式就结合了数学中最重要的常数——自然常数e、虚数单位i、圆周率π、自然数1、自然数0,以及最重要的数学符号——加号+、等号=。

欧拉恒等式源自于如下的欧拉公式:

对欧拉公式的左边e^(iθ)进行泰勒展开可得:

再分别对cosθ和sinθ进行泰勒展开可得:

显然,cosθ与sinθ之和刚好等于e^(iθ)由此就能证明欧拉公式成立。再令欧拉公式中的θ=π,即可得下式:

对上式进行移项最终就可以推导出欧拉恒等式的常见形式。

(4)证明圆周率是无理数

虽然人类早在三千多年前就已使用圆周率但直到两百多年前,数学家才首次证明圆周率是一个无理数圆周率是无理数的证明方法不少,下面要介绍的是数学家Ivan M. Niven给出的反证法这种方法简單而又巧妙。

倘若π为有理数,必然存在整数a和b使得下式成立:

对上式两边从0到π都进行定积分证明题可得下式:

显然,当n→+∞时f(x)sinx→0,由夹逼定理可得f(x)sinx在[0, π]上的定积分证明题也会趋于0。然而上述的推导表明这个定积分证明题是正整数,所以两者出现了矛盾这意味著π=a/b不成立,所以圆周率必然为一个无理数

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