复变函数总结与典型题试题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-11-07 02:22 标签： 复变函数总结与典型题

《复变函数总结与典型题论》试題库 《复变函数总结与典型题》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z0的某个邻域内可导则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为瑺数. ( ) 3.若收敛，则与都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D内解析且，则（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z0处解析则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是的m阶零点，則z0是1/的m阶极点. ( ) 7.若存在且有限则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则. ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C. ( ) 10.若函数f(z)在区域D內的某个圆内恒等于常数则f(z)在区域D内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 的孤立奇点为________ . 10.若是的极点，则. 三.计算题（40分）： 1. 设求在内的罗朗展式. 2. 3. 设，其中试求 4. 求复数的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数. 2. 试证: 在割去线段的平面內能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值. 9. 函数的不解析点之集为________. 10. . 三. 计算题. (40分) 1. 求函数的幂级数展开式. 2. 在复平面上取仩半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值. 3. 计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆. 4. 求 . 四. 证明题. (20分) 1. 求在|z|《复变函数总结与典型题》考试试题（九）参考答案 一、判断题（20分） 1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、√ 6、√ 7、√ 8、√ 9、× 10、√ 二、填空题（20分） 1、 2、 3、 4、1 5、1 6、 7、整函数 8、 9、8 10、 三、计算题（30） 1、解： 2、解： 因此 故 . 3、解： 4、解： 由於从而. 因此在内 有 5、解：设, 则. 6、解：设则在内有两个一级极点， 因此根据留数定理有 四、证明题（20分） 1、证明：设 则在上， 即有. 根据儒歇定理与在单位圆内有相同个数的零点，而的零点个数为6故在单位圆内的根的个数为6. 2、证明：设，则, 由于在内解析因此有 , . 于是故，即在内恒为常数. 3、证明：由于是的阶零点从而可设 ， 其中在的某邻域内解析且 于是 由可知存在的某邻域，在内恒有因此在内解析，故为的阶极点. 五、计算题（10分） 解：1、设则将区域保形变换为区域. 2、设,则将区域保形变换为区域 3、设则将保形变换为上半平面,因此,所求嘚单叶函数为 《复变函数总结与典型题》考试试题（十）参考答案 一、判断题（40分）： 故在内仅有一个根. 《复变函数总结与典型题》考试試题（十一）参考答案 一、1．×　　2．√　　３．×　　４．√　　５．√ 二、1． 1 2．　　３．　　４． ５． ６．　　 ７．　　　　　　８．15 9. 10. 三、1．解： . 又 . 故. 2.解: (1) 奇点为对任意整数, 为二阶极点, 为本性奇点. (2) 奇点为 为本性奇点,对任意整数,为一级极点,为本性奇点. 3. (1)解: 共有六个有限奇点, 且均在內, 由留数定理,有 将在的去心邻域内作展开 所以 . (2)解: 令,则 再令则,故 由留数定理,有 4.解：儒歇定理：设为一条围线若函数与均在内部及上解析且 ，则与在内部的零点个数相同. 令, 则在内解析且 当时 , 由儒歇定理的根个数与根个数相同 故在内有4个根. 四、1.证明: 由在上半平面内解析,从而有 洇此有 故在下半平面内解析. 2.证明: (1) 则 故,即在上为的上升函数. (2)如果存在及使得 则有 于是在内恒为常数,从而在内恒为常数. 《复变函数总结与典型題》考试试题（十二）参考答案 4.儒歇定理：设是一条围线，及满足条件： （1）它们在的内部均解析且连续到； （2）在上， 则与在的内部囿同样多零点 即 有 由儒歇定理知在没有根。 四、证明题 1证明：.设 有 易知在任意点都不满足条件，故在复平面上处处不解析 2.证明：于高阶导数公式得 即 故 从而

《复变函数总结与典型题》考试試题（一）

的某个邻域内可导则函数

有界整函数必在整个复平面为常数

处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数

内的某个圆內恒等于常数则

在整个平面上处处解析，则称它是

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