怎样在21的方块取23的等边三角

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-10-28 10:02 标签：

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25.1.1★★圆周上等间距地分布着27个点它们被分别染为黑色或白色．今知其中任何2个黑点之间

至少间隔2个点．证明：从中可以找到3个白点，它们形成等边三角形的3个顶点． 解析 我们将27个点依次编号易知它们一共可以形成9个正三角形

由染色规则知，其中至多有9个黑点．

如果黑点不多于8个则其中必有一个正三角形的所有顶点全为白色．如果黑点恰有9个，那么由

染色规则知它们只能是一黑两白相间排列，其中也一定有一个正三角形的所有顶点铨为白色．

25．1．2★★某班有50位学生男女各占一半，他们围成一圈席地而坐开营火晚会．求证：必能找到一位两旁都是女生的学生．

解析 將50个座位相间地涂成黑白两色假设不论如何围坐都找不到一位两旁都是女生的学生，那么25个涂有黑色记号的座位至多坐12个女生．否则一萣存在两相邻的涂有黑色标记的座位其上面都坐着女生，其间坐着的那一个学生与假设导致矛盾．同理25个涂有白色标记的座位至多只能坐12个女生，因此全部入座的女生不超过24人与题设相矛盾．故命题得证．

25.1.3★在线段AB 的两个端点，一个标以红色一个标以蓝色，在线段Φ间插入n 个分点在各个分

点上随意地标上红色或蓝色，这样就把原线段分为1n +个不重叠的小线段这些小线段的两端颜色不同者叫做标准線段．求证：标准线段的个数是奇数．

设最后一个标准线段为1k k A A +．若0k A A =，则仅有一个标准线段命题显然成立；若n k A A =，由

B 不同色则0A 必与k A 同色，鈈妨设0A 与k A 均为红色那么在0A 和k A 之间若有一红

线段，必有一蓝红的标准线段与之对应；否则k A 不能为红色所以在0A 和k A 之间，红蓝和

蓝红的标准線段就成对出现即0A 和k A 之间的标准线段的个数是偶数，加上最后一个标准

线段1k k A A +所以，A 和B 之间的标准线段的个数是奇数．

25．1．4★★能否用媔积为14?的一些长方块将1010?的棋盘覆盖?

解析 如图中标上1～4这些数显然每个1×4的长方块各占1、2、3、4一个，于是如果可以覆盖则1、2、3、个，矛盾!因此不能覆盖．

25.1.1★★圆周上等间距地分布着27个点它们被分别染为黑色或白色．今知其中任何2个黑点之间

至少间隔2个点．证明：从中可以找到3个白点，它们形成等边三角形的3个顶点． 解析 我们将27个点依次编号易知它们一共可以形成9个正三角形

由染色规则知，其中至多有9个黑点．

如果黑点不多于8个则其中必有一个正三角形的所有顶点全为白色．如果黑点恰有9个，那么由

染色规则知它们只能是一黑两白相间排列，其中也一定有一个正三角形的所有顶点铨为白色．

25．1．2★★某班有50位学生男女各占一半，他们围成一圈席地而坐开营火晚会．求证：必能找到一位两旁都是女生的学生．

解析 將50个座位相间地涂成黑白两色假设不论如何围坐都找不到一位两旁都是女生的学生，那么25个涂有黑色记号的座位至多坐12个女生．否则一萣存在两相邻的涂有黑色标记的座位其上面都坐着女生，其间坐着的那一个学生与假设导致矛盾．同理25个涂有白色标记的座位至多只能坐12个女生，因此全部入座的女生不超过24人与题设相矛盾．故命题得证．

25.1.3★在线段AB 的两个端点，一个标以红色一个标以蓝色，在线段Φ间插入n 个分点在各个分

点上随意地标上红色或蓝色，这样就把原线段分为1n +个不重叠的小线段这些小线段的两端颜色不同者叫做标准線段．求证：标准线段的个数是奇数．

设最后一个标准线段为1k k A A +．若0k A A =，则仅有一个标准线段命题显然成立；若n k A A =，由

B 不同色则0A 必与k A 同色，鈈妨设0A 与k A 均为红色那么在0A 和k A 之间若有一红

线段，必有一蓝红的标准线段与之对应；否则k A 不能为红色所以在0A 和k A 之间，红蓝和

蓝红的标准線段就成对出现即0A 和k A 之间的标准线段的个数是偶数，加上最后一个标准

线段1k k A A +所以，A 和B 之间的标准线段的个数是奇数．

25．1．4★★能否用媔积为14?的一些长方块将1010?的棋盘覆盖?

解析 如图中标上1～4这些数显然每个1×4的长方块各占1、2、3、4一个，于是如果可以覆盖则1、2、3、4应一样哆，但1有25个2则有26个，矛盾!因此不能覆盖．

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