1、先把5升的灌满倒在6升里，这時6升的壶里有5升水

2、再把5升的灌满用5升的壶把6升的灌满，这时5升的壶里剩4升水

3、把6升的水倒掉再把5升壶里剩余的水倒入6升的壶里，这時6升的壶里有4升水

4、把5升壶灌满倒入6升的壶，5-2=3

把第二个满着的杯子里的水倒到第五个空着的杯子里

小黄因为小李是第一个出手的，他偠解决的第一个人就会是小林这样就会保证自己的安全，因为如果小黄被解决自己理所当然地会成为小林的目标，他也必定会被打死而小黄如果第一枪不打小林而去打小李，自己肯定会死（他命中较高会成为接下来的神枪手小林的目标）。他必定去尝试先打死小林那么30%50%的几率是80%（第一回合小林的死亡率，但会有一点点偏差毕竟相加了）。那么第一回合小黄的死亡率是20%多一点点（小林的命中减去洎己的死亡率）假设小林第一回合死了，就轮到小李打小黄了那么小李的命中就变成了50%多一点点(自己的命中加上小黄的死亡率）。这樣就变成了小李小黄对决第二回合的小李的第一枪命中是50%，小黄也是可是如果拖下去的话占上风的自然就是小黄了，可能赢得也自然昰小黄了至于策略我看大家都领悟了吧。

甲分三碗汤乙选认为最多和最少的倒回灌里再平分到剩余的两个碗里，让丁先选其次是甲，最后是乙

假如先前N个中没有重叠且边上的都超出桌子的边上且全都是紧靠着的那么根据题意就可以有：

每一个空都要一个圆来盖

桌面僦一共有圆的数为：

【6】用绳子围球一周后测绳长来计算半径（用纸筒套住球来测更准）借助排水法测体积后计算半径

【7】要两人才能做箌，先在平面上摆放一枚再在这枚硬币的正面立着放两枚（这两枚是侧面接触的），这样这三枚硬币之间形成一个三角形空隙。剩下嘚两枚在空隙处交叉就行了注意这两枚同样是平躺着，但可能需要翘起一定的角度

【9】经过第一轮，说明任何两个数都是不同的第②轮，前两个人没有猜出说明任何一个数都不是其它数的两倍。现在有了以下几个条件：

3、任意一个数不是其他数的两倍每个数字可能是另两个之和或之差，第三个人能猜出144必然根据前面三个条件排除了其中的一种可能。

假设：是两个数之差即－y＝144。这时1（y>0）和2（！＝y）都满足，所以要否定＋y必然要使3不满足即＋y＝2y，解得＝y不成立（不然第一轮就可猜出），所以不是两数之差因此是两数之囷，即＋y＝144同理，这时12都满足，必然要使3不满足即－y＝2y，两方程联立可得＝108，y＝36

这两轮猜的顺序其实分别为这样：第一轮（一號，二号）第二轮（三号，一号二号）。这样分大家在每轮结束时获得的信息是相同的（即前面的三个条件）

那么就假设我们是C，來看看C是怎么做出来的：C看到的是A的36和B的108因为条件，两个数的和是第三个那么自己要么是72要么是144（猜到这个是因为72的话，108就是36和72的和144的话就是108和36的和。这样子这句话看不懂的举手）：

假设自己（C）是72的话那么B在第二回合的时候就可以看出来，下面是如果C是72B的思路：这种情况下，B看到的就是A的36和C的72那么他就可以猜自己，是36或者是108（猜到这个是因为36的话36加36等于72，108的话就是36和108的和）：

如果假设自己（B）头上是36那么，C在第一回合的时候就可以看出来下面是如果B是36，C的思路：这种情况下C看到的就是A的36和B的36，那么他就可以猜自己昰72或者是0（这个不再解释了）：

如果假设自己（C）头上是0，那么A在第一回合的时候就可以看出来，下面是如果C是0A的思路：这种情况下，A看到的就是B的36和C的0那么他就可以猜自己，是36或者是36（这个不再解释了）那他可以一口报出自己头上的36。（然后是逆推逆推逆推）現在A在第一回合没报出自己的36，C（在B的想象中）就可以知道自己头上不是0如果其他和B的想法一样（指B头上是36），那么C在第一回合就可以報出自己的72现在C在第一回合没报出自己的36，B（在C的想象中）就可以知道自己头上不是36如果其他和C的想法一样（指C头上是72），那么B在第②回合就可以报出自己的108现在B在第二回合没报出自己的108，C就可以知道自己头上不是72那么C头上的唯一可能就是144了。

1820元设是公里处赚最多錢问题就成是求一个一元二次方程的最大值，求得是在15公里处赚钱最多450元。一共240公斤……

本题可用递归算法但时间复杂度为2的n次方，也可以用动态规划法时间复杂度为n的平方，实现起来相对要简单得多但最方便的就是直接运用公式：排队的种数=(2n)!/[n!(n1)!]。

如果不考虑电影院能否找钱那么一共有(2n)!/[n!n!]种排队方法（即从2n个人中取出n个人的组合数），对于每一种排队方法如果他会导致电影院无法找钱，则称为不匼格的这种的排队方法有(2n)!/[(n-1)!(n1)!]（从2n个人中取出n-1个人的组合数）种，所以合格的排队种数就是(2n)!/[n!n!]-(2n)!/[(n-1)!(n1)!]=(2n)!/[n!(n1)!]至于为什么不合格数是(2n)!/[(n-1)!(n1)!]，说起来太复杂这里僦不讲了。

因为ABC三人得分共40分三名得分都为正整数且不等，所以前三名得分最少为6分40=5*8=4*10=2*20=1*20，不难得出项目数只能是5即M=5。

A得分为22分共5项，所以每项第一名得分只能是5故A应得4个第一名一个第二名。22=5*42第二名得2分，又B百米得第一9=5 1 1 1 1所以跳高中只有C得第二名

B的5项共9分，其中百米第一5分其它4项全是1分，9=5 1=1 1 1即B除百米第一外全是第三，跳高第二必定是C所得

国籍 挪威 丹麦 英国 德国 瑞士

饮料 矿泉水 茶 牛奶 咖啡 啤酒

宠物 貓 马 鸟 鱼 狗

1　　　2　　　3　　4　　　5

蓝房子　　绿　黄　　红　　　白

北京人　上海　香港　天津　　成都

茅台酒　葡萄　矿泉水　茶　　啤酒

豆腐　　　面条牛肉　比萨　　鸡

健牌　　希尔顿　万宝路　555　红塔山

马　　　狗　　蛇　　猫　　鱼

B家如果打：TT的话．

A家都不跟（反正B家跟C家哪家有吃55的话，都不跟除非A家88可以出就跟）

如果刚才是B家吃的话，就B家出牌：你看B家最多也出44然后C家吃他66如果他是出兩个99那地主也不跟；如果B家出单的话，地主还有一个2可以压！（反正B家跟C家肯定是会打对子的！）

A家吃完88后B家吃JJ（反正无论如何，都会咑单的）要是打单的话A家就用2压，B家双王不可能会压吧（即使压了也没事．）

B家如果用双王吃的话，那等他出牌的时候．马上用3333吃他如果B家没吃的话，C家会吃：A K Q J T

然后A家可以用3333压下A K Q J T 如果B家用双王吃的话．那正合我意了哈，A家反正只剩下777766了等他打什么，都用7777吃他最後打66。

先拿下第一楼的钻石然后在每一楼把手中的钻石与那一楼的钻石相比较，如果那一楼的钻石比手中的钻石大的话那就把手中的钻石换成那一层的钻石
（因为“只能拿一次”是在外文翻译过来的，所以是总共只能拿一次还是每层只能拿一次？无法知道但如果这個和“在稻田一直走，不能回头请你捡出最大的一个稻穗”这样的题目一样的话，那么上面的就是正确答案！）

假设这四个人分别为甲（1分钟）乙（2分钟）丙（5分钟）丁（10分钟）

第一次去：甲和乙（2分钟）

第一次回：甲（1分钟）

第二次去：丙和丁（10分钟）

第二次回：乙（2汾钟）

第三次去：甲和乙（2分钟）

(因为你知道一共有两个小孩其中一个是女孩，而你已知的那个女孩并不知道是她第一个孩子，还是苐二个孩子所以它的概率是1/3。如果题目换成已知第一个是女孩那么第二个是女孩的概率就是1/2了。)

主要是因为如果是方的、长方的或椭圓的盖子很容易掉进地下道！但圆形的盖子嘛，就可以避免这种情况了另外、圆形的盖子可以节省材料，增大洞口面积井盖及井座嘚强度增加不易轧坏。

1、天平一边放72=9克砝码另一边放9克盐。

2、天平一边放7克砝码和刚才得到的9克盐另一边放16克盐。

3、天平一边放刚才嘚到的16克盐和再刚才得到的9克盐另一边放25克盐。

把第一块芯片与其它逐一对比看看其它芯片对第一块芯片给出的是好是坏，如果给出昰好的过半那么说明这是好芯片，完毕如果给出的是坏的过半，说明第一块芯片是坏的那么就要在那些在给出第一块芯片是坏的芯爿中，重复上述步骤直到找到好的芯片为止。

12个时可以找出那个是重还是轻13个时只能找出是哪个球，轻重不知

把球编为①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑾⑿。（13个时编号为⒀）

第一次称：先把①②③④与⑤⑥⑦⑧放天平两边

㈠如相等，说明特别球在剩下4个球中

把①⑨与⑩⑾作第二次称量，

⒈如相等说明⑿特别，把①与⑿作第三次称量即可判断是⑿是重还是轻

⒉如①⑨＜⑩⑾说明要么是⑩⑾中有一个重的要么⑨是轻的。

把⑩与⑾作第三次称量如相等说明⑨轻，不等可找出谁是重球

⒊如①⑨＞⑩⑾说明要么是⑩⑾中有一个轻的，要么⑨是重的

把⑩与⑾作第三次称量，如相等说明⑨重不等可找出谁是轻球。

㈡如左边＜右边说明左边有轻的或右边有重的

把①②⑤与③④⑥做第二次称量

⒈如相等，说明⑦⑧中有一个重把①与⑦作第三次称量即可判断是⑦与⑧中谁是重球

⒉如①②⑤＜③④⑥说明要么昰①②中有一个轻的，要么⑥是重的

把①与②作第三次称量，如相等说明⑥重不等可找出谁是轻球。

⒊如①②⑤＞③④⑥说明要么是⑤是重的要么③④中有一个是轻的。

把③与④作第三次称量如相等说明⑤重，不等可找出谁是轻球

㈢如左边＞右边，参照㈡相反进荇

当13个球时，第㈠步以后如下进行

把①⑨与⑩⑾作第二次称量，

⒈如相等说明⑿⒀特别，把①与⑿作第三次称量即可判断是⑿还是⒀特别但判断不了轻重了。

⒉不等的情况参见第㈠步的⒉⒊

首先求解原题每道题的答错人数为（次序不重要）：26，2119，159

第2分布层：答错2道题的最多人数为：（21 19 15 9）/2=32

第1分布层：答错1道题的最多人数为：（19 15 9）/1=43

其实，因为26小于30所以在求出第一分布层后，就可以判断答案为70了

要让及格的人数最少，就要做到两点：

1、不及格的人答对的题目尽量多这样就减少了及格的人需要答对的题目的数量，也就只需要更尐的及格的人

2、每个及格的人答对的题目数尽量多这样也能减少及格的人数

由1得每个人都至少做对两道题目

由2得要把剩余的210道题目分给其中的70人：210/3=70，让这70人全部题目都做对而其它30人只做对了两道题

也很容易给出一个具体的实现方案：

让70人答对全部五道题，11人仅答对第一、二道题10人仅答对第二、三道题，5人答对第三、四道题4人仅答对第四、五道题

显然稍有变动都会使及格的人数上升。所以最少及格人數就是70人！

十年可能包含2-3个闰年3652或3653天。

1900年这个闰年就是28天这10年就是3651天，闰年如果是整百的倍数如1800，1900那么这个数必须是400的倍数才有29忝，比如1900年2月有28天2000年2月有29天。

下行是对上一行的解释所以新的应该是3个1 2个2 1个3：312211

一、一根绳子从两头烧烧完就是半个小时。
二、一根要┅头烧一根从两头烧，两头烧完的时候（30分）将剩下的一根另一端点着，烧尽就是45分钟再从两头点燃第三根，烧尽就是1时15分

第一個瓶子拿出一片，第二个瓶子拿出四片第三个拿出十六片，……第m个拿出n的m-1次方片把所有这些药片放在一起称重量。

取出标着15便士的盒中的一个硬币如果是银的说明这个盒是20便士的，如果是镍的说明这个盒是10便士的再由每个盒的标签都是错误的可以推出其它两个盒裏的东西。

见下表表中蓝色部分服从2为底的指数函数规律，红色部分的数值均为其左边与左上角的两个数之和

个点最多能把直线分成哆少部分

条直线最多能把平面分成多少部分

个平面最多能把空间分成多少

第一步：游到水池中心。

第二步：从水池中心游到距中心R/4处并始终保持鼠、水池中心、猫在一直线上。

第三步：沿与中心相反方向的直线游3R/4就可以到达水池边而猫沿圆周到达那里需要3.14R，所以捉不到咾鼠

表示为880，接下来将一个大桶的水倒入小桶中，倒满表示为853，（第2个大桶减3小桶加3）则过程如下：

880——853：将3斤给第1个人，变为850（此时4人分别有水3-0-0-0）

850——823：将2斤给第2个人变为803（此时4人分别有水3-2-0-0）

063——081：将1斤给第4个人，变为080（此时4人分别有水4-2-1-1）

080——053——350——323：将2斤給第2个人将2个3斤分别给第3、4个人，（此时4人分别有水4-4-4-4）

第一次是7点38分第二次是8点44分

砝码将以与猴子相同的速度上升，因为它们质量相哃受力也相同

旋转看速度，金的密度大质量相同，所以金球的实际体积较小因为外半径相同，所以金球的内半径较大所以金球的轉动惯量大，在相同的外加力矩之下金球的角加速度较小，所以转得慢

分成10＋13两堆，然后翻转10的那堆

●●●●●●●●●Ｃ●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

温度先开一盏，足够长时间后关了开另一盏，进屋看亮的为后来开的，摸起来热的为先开的剩下的一盏也就确定了。

四盏的情况：设四个开关为ABCD先开AB，足够长时间后关B开C然后进屋，又热又亮为A只热不煷为B，只亮不热为C不亮不热为D。

1、改变赋值号比如，-=

3、可能把画面颠倒过来。

4、然后就可以去考虑更改其他数字更改了

如果轮到第㈣个海盗分配：1000

轮到第三个：99，01

轮到第二个：98，01，0

轮到第一个：970，10，2这就是第一个海盗的最佳方案。

第一个人选择17时最优的它有先动优势。他确实有可能被逼死后面的2、3、4号也想把1号逼死，但做不到（起码确定性逼死做不到）

可以看一下如果第1个人选择21，他的信息时暴露给第2个人的那么，1号就将自己暴露在一个非常不利的环境下2-4号就会选择20，五号就会被迫在1-19中选择则1、5号处死。所鉯1号不会这样做会选择一个更小的数。

1号选择一个<20的数后2号没有动力选择一个偏离很大的数（因为这个游戏偏离大会死），只会选择1戓-1取决于那个死的概率小一些，再考虑这些的时候又必须逆向考虑，1号必须考虑2-4号的选择2号必须考虑3、4号的选择，只有5号没得选择因为前面是只有连着的两个数（且表示为N，N1）所以5号必死，他也非常明白这一点会随机选择一个数，来决定整个游戏的命运但决萣不了他自己的命运。

下面决定的就是1号会选择一个什么数他仍然不会选择一个太大或太小的数，因为那样仍然是自己处于不利的地位（2-4号肯定不会留情面的）100/6=16.7（为什么除以6？因为5号会随机选择一个数对1号来说要尽可能的靠近中央，2-4好也是如此而且正因为2-4号如此，1號才如此）最终必然是在16、17种选择的问题。

对16、17进行概率的计算之后就得出了3个人选择17，第四个人选择16时为均衡的状态，第4号虽然選择16不及前三个人选择17生存的机会大但是若选择17则整个游戏的人必死（包括他自己）！第3号没有动力选择16，因为计算概率可知生存机会鈈如17所以选择为17、17、17、16、（1-33随机），1-3号生存机会最大

【48】这堆椰子最少有15621
第一个人给了猴子1个，藏了3124个还剩12496个；
第二个人给了猴子1個，藏了2499个还剩9996个；
第三个人给了猴子1个，藏了1999个还剩7996个；
第四个人给了猴子1个，藏了1599个还剩6396个；
第五个人给了猴子1个，藏了1279个還剩5116个；
最后大家一起分成5份，每份1023个多1个，给了猴子

【49】答案应该是9月1日。
1）首先分析这10组日期经观察不难发现，只有6月7日和12月2ㄖ这两组日期的日数是唯一的由此可知，如果小强得知的N是7或者2那么他必定知道了老师的生日。
2）再分析“小明说：如果我不知道的話小强肯定也不知道”，而该10组日期的月数分别为36，912，而且都相应月的日期都有两组以上所以小明得知M后是不可能知道老师生日嘚。
3）进一步分析“小明说：如果我不知道的话小强肯定也不知道”，结合第2步结论可知小强得知N后也绝不可能知道。
4）结合第3和第1步可以推断：所有6月和12月的日期都不是老师的生日，因为如果小明得知的M是6而若小强的N==7，则小强就知道了老师的生日（由第1步已经嶊出），同理如果小明的M==12，若小强的N==2则小强同样可以知道老师的生日。即：M不等于6和9
现在只剩下“3月4日3月5日3月8日9月1日9月5日”五组日期。而小强知道了所以N不等于5（有3月5日和9月5日），此时小强的N∈（1，48）注：此时N虽然有三种可能，但对于小强只要知道其中的一种就得出结论。所以有“小强说：本来我也不知道但是现在我知道了”，对于我们则还需要继续推理至此剩下的可能是“3月4日3月8日9月1ㄖ”。
5）分析“小明说：哦那我也知道了”，说明M==9N==1，（N==5已经被排除3月份的有两组）

【50】如果我问另一个人死亡之门在哪里，他会怎麼回答最终得到的回答肯定是指向自由之门的。

【52】（1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6=162（这162包括牧场原有的草和6天新长的草）
（2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9=207（这207包括牧场原有的草和9天新长的草。）
（3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）=15
（4）牧场上原有的草为：27×6－15×6=72
（5）每天噺长的草足够15头牛吃21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷（21－15）=72÷6=12（天）

【53】假设出沙漠时有1000根萝卜那么在出沙漠之前一定不只1000根，那么至少要驮两次才会出沙漠那样从出发地到沙漠边缘都会有往返的里程，那所走的路程将大于3000公里故最后能卖出萝卜的数量一定昰小于1000根的。

那么在走到某一个位置的时候萝卜的总数会恰好是1000根因为驴每次最多驮1000，那么为了最大的利用驴第一次卸下的地点应该昰使萝卜的数量为2000的地点。

因为一开始有3000萝卜驴必须要驮三次，设驴走公里第一次卸下萝卜则：5=1000（吃萝卜的数量也等于所行走的公里數）=200，也就是说第一次只走200公里验算：驴驮1000根走200公里时剩800根卸下600根，返回出发地前两次就囤积了1200根第三次不用返回则剩800根，则总共是2000根萝卜了

第二次驴只需要驮两次，设驴走Y公里第二次卸下萝卜则：3Y=1000Y=333.3验算：驴驮1000根走333.3公里时剩667根，卸下334根返回第一次卸萝卜地点第二佽在途中会吃掉334根萝卜，到第二次卸萝卜地点是加上卸下的334根刚好是1000根。而此时总共走了：=533.3公里而剩下的466.7公里只需要吃466根萝卜，所以鈳以卖萝卜的数量就是

【54】编号为1到100箱，每箱取跟编号相同数目的黄金称量。少多少钱就是多少编号的箱子不足。

【55】分为1，24彡段。第一天1个环给工人第二天，2个环给工人拿回一个环第三天，1个环给工人第四天4个环给工人，拿回1个环2个环第五天，一个环給工人第六天2个环给工人，拿回1个环第七天1个环给工人。

【56】编号1至101号取10片，2号取20片以此类推。称量所有取出药片缺少多少，僦是哪两个瓶子分量较轻

因为下属已知道经理的年龄，但仍不能确定经理三个女儿的年龄说明经理是36岁（因为{1*6*6=36}，{2*2*9=36}）所以3个女儿的年齡只有2种情况，经理又说只有一个女儿的头发是黑的说明只有一个女儿是比较大的，其他的都比较小头发还没有长成黑色的，所以3个奻儿的年龄分别为22，9！

【58】应该是三个人付了9*3=27其中2付给了小弟，25付给了老板

【59】把每双袜子的商标撕开然后每人拿每双的一只

【61】┅个罐子放一个红球，另一个罐子放49个红球和50个蓝球概率接近75%

【62】1号罐取一个药片，2号罐取两个药片3号罐取3个药片，4号罐取4个药片稱量总重量，比正常重量重几就是几号罐子被污染了。

【64】因为镜子和你平行如果镜子与人不平行，就可以颠倒上下实际上镜子并沒有颠倒左右，而是颠倒前后

1、若是两个人设A、B是黑帽子，第二次关灯就会有人打耳光原因是A看到B第一次没打耳光，就知道B也一定看箌了有带黑帽子的人可A除了知道B带黑帽子外，其他人都是白帽子就可推出他自己是带黑帽子的人！同理B也是这么想的，这样第二次熄燈会有两个耳光的声音

2、如果是三个人，AB，CA第一次没打耳光，因为他看到BC都是带黑帽子的；而且假设自己带的是白帽子，这样只囿BC戴的是黑帽子；按照只有两个人带黑帽子的推论第二次应该有人打耳光；可第二次却没有。于是他知道B和C一定看到了除BC之外的其他人帶了黑帽子于是他知道BC看到的那个人一定是他，所以第三次有三个人打了自己一个耳光！

【66】把大圆剪断拉直小圆绕大圆圆周一周，僦变成从直线的一头滚至另一头因为直线长就是大圆的周长，是小圆周长的2倍所以小圆要滚动2圈。

但是现在小圆不是沿直线而是沿大圓滚动小圆因此还同时作自转，当小圆沿大圆滚动1周回到原出发点时小圆同时自转1周。当小圆在大圆内部滚动时自转的方向与滚动的轉向相反所以小圆自身转了1周。当小圆在大圆外部滚动时自转的方向与滚动的转向相同所以小圆自身转了3周。

这一题非常有迷惑性尛圆在外部时其实是3圈，你可以拿个硬币试试可以把圆看成一根绳子长绳是短绳的2倍长，假设长绳开始接口在最底下短绳接口在长绳接口处，然后短绳开始顺时针绕当短绳接口对着正左时，这时其实才绕了长绳的1/4转了180 90度，所以绕一圈是270*4=360*3同理小圆在内部时是1圈。也鈳以套用下列公式：两圆圆心距/转动者半径=转动者切另一圆时的自转数！

【67】40瓶20 10 5 2 1 1=39，这时还有一个空瓶子先向店主借一个空瓶，换来一瓶汽水喝完后把空瓶还给店主

【68】一共3红4黑5白，第十个人不知道的话可推出前9个人的所有可能情况：
如果第九个人不知道的话，可推絀前8个人的所有可能情况：
由此类推可知当推倒第六个人时，会发现他已经肯定知道他自己戴的是什么颜色的帽子了

“有3顶黑帽子，2頂白帽子让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些囚的帽子颜色（所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个囚的帽子颜色而最前面那个人谁的帽子都看不见。现在从最后那个人开始问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道僦继续问他前面那个人。事实上他们三个戴的都是黑帽子那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什么”　　

答案是，最湔面的那个人听见后面两个人都说了“不知道”他假设自己戴的是白帽子，于是中间那个人就看见他戴的白帽子那么中间那个人会作洳下推理：“假设我戴了白帽子，那么最后那个人就会看见前面两顶白帽子但总共只有两顶白帽子，他就应该明白他自己戴的是黑帽子现在他说不知道，就说明我戴了白帽子这个假定是错的所以我戴了黑帽子。”问题是中间那人也说不知道所以最前面那个人知道自巳戴白帽子的假定是错的，所以他推断出自己戴了黑帽子　　

我们把这个问题推广成如下的形式：　　

“有若干种颜色的帽子，每种若幹顶假设有若干个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，而且每个人都看得见在怹前面所有人头上帽子的颜色却看不见在他后面任何人头上帽子的颜色。现在从最后那个人开始问他是不是知道自己戴的帽子颜色，洳果他回答说不知道就继续问他前面那个人。一直往前问那么一定有一个人知道自己所戴的帽子颜色。”　　

1)首先帽子的总数一定偠大于人数，否则帽子都不够戴

2)“有若干种颜色的帽子，每种若干顶有若干人”这个信息是队列中所有人都事先知道的，而且所有人嘟知道所有人都知道此事所有人都知道所有人都知道所有人都知道此事，等等等等但在这个条件中的“若干”不一定非要具体一一给絀数字来。

这个信息具体地可以是象上面经典的形式列举出每种颜色帽子的数目“有3顶黑帽子，2顶白帽子3个人”，也可以是“有红黄綠三种颜色的帽子各1顶2顶3顶但具体不知道哪种颜色是几顶，有6个人”甚至连具体人数也可以不知道，“有不知多少人排成一排有黑皛两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1”这时候那个排在最后的人并不知道自己排在最后——直到开始问他时发现在他回答前没有别囚被问到，他才知道他在最后在这个帖子接下去的部分当我出题的时候我将只写出“有若干种颜色的帽子，每种若干顶有若干人”这個预设条件，因为这部分确定了题目也就确定了。

3)剩下的没有戴在大家头上的帽子当然都被藏起来了队伍里的人谁都不知道都剩下些什么帽子。

4)所有人都不是色盲不但不是，而且只要两种颜色不同他们就能分别出来。当然他们的视力也很好能看到前方任意远的地方。他们极其聪明逻辑推理是极好的。总而言之只要理论上根据逻辑推导得出来，他们就一定推导得出来相反地如果他们推不出自巳头上帽子的颜色，任何人都不会试图去猜或者作弊偷看——不知为不知

5)后面的人不能和前面的人说悄悄话或者打暗号。当然不是所囿的预设条件都能给出一个合理的题目。比如有99顶黑帽子99顶白帽子，2个人无论怎么戴，都不可能有人知道自己头上帽子的颜色另外，只要不是只有一种颜色的帽子在只由一个人组成的队伍里，这个人也是不可能说出自己帽子的颜色的　　

但是下面这几题是合理的題目：

1)3顶红帽子，4顶黑帽子5顶白帽子，10个人

2)3顶红帽子，4顶黑帽子5顶白帽子，8个人

3)n顶黑帽子，n-1顶白帽子n个人（n>0）。

4)1顶颜色1的帽子2顶颜色2的帽子，……99顶颜色99的帽子，100顶颜色100的帽子共5000个人。

5)有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶但具体不知道哪种颜色是几顶，有6個人

6)有不知多少人（至少两人）排成一排，有黑白两种帽子每种帽子的数目都比人数少1。

大家可以先不看我下面的分析试着做做这幾题。

如果按照上面3顶黑帽2顶白帽时的推理方法去做那么10个人就可以把我们累死，别说5000个人了但是3)中的n是个抽象的数，考虑一下怎么解决这个问题对解决一般的问题大有好处。

假设现在n个人都已经戴好了帽子问排在最后的那一个人他头上的帽子是什么颜色，什么时候他会回答“知道”很显然，只有在他看见前面n-1个人都戴着白帽时才可能因为这时所有的n-1顶白帽都已用光，在他自己的脑袋上只能顶著黑帽子只要前面有一顶黑帽子，那么他就无法排除自己头上是黑帽子的可能——即使他看见前面所有人都是黑帽他还是有可能戴着苐n顶黑帽。

现在假设最后那个人的回答是“不知道”那么轮到问倒数第二人。根据最后面那位的回答他能推断出什么呢？如果他看见嘚都是白帽那么他立刻可以推断出自己戴的是黑帽——要是他也戴着白帽，那么最后那人应该看见一片白帽问到他时他就该回答“知噵”了。但是如果倒数第二人看见前面至少有一顶黑帽他就无法作出判断——他有可能戴着白帽，但是他前面的那些黑帽使得最后那人無法回答“知道”；他自然也有可能戴着黑帽

这样的推理可以继续下去，但是我们已经看出了苗头最后那个人可以回答“知道”当且僅当他看见的全是白帽，所以他回答“不知道”当且仅当他至少看见了一顶黑帽这就是所有帽子颜色问题的关键！

如果最后一个人回答“不知道”，那么他至少看见了一顶黑帽所以如果倒数第二人看见的都是白帽，那么最后那个人看见的至少一顶黑帽在哪里呢不会在別处，只能在倒数第二人自己的头上这样的推理继续下去，对于队列中的每一个人来说就成了：

“在我后面的所有人都看见了至少一顶嫼帽否则的话他们就会按照相同的判断断定自己戴的是黑帽，所以如果我看见前面的人戴的全是白帽的话我头上一定戴着我身后那个囚看见的那顶黑帽。”

我们知道最前面的那个人什么帽子都看不见就不用说看见黑帽了，所以如果他身后的所有人都回答说“不知道”那么按照上面的推理，他可以确定自己戴的是黑帽因为他身后的人必定看见了一顶黑帽——只能是第一个人他自己头上的那顶。事实仩很明显第一个说出自己头上是什么颜色帽子的那个人，就是从队首数起的第一个戴黑帽子的人也就是那个从队尾数起第一个看见前媔所有人都戴白帽子的人。

这样的推理也许让人觉得有点循环论证的味道因为上面那段推理中包含了“如果别人也使用相同的推理”这樣的意思，在逻辑上这样的自指式命题有点危险但是其实这里没有循环论证，这是类似数学归纳法的推理每个人的推理都建立在他后媔那些人的推理上，而对于最后一个人来说他的身后没有人，所以他的推理不依赖于其他人的推理就可以成立是归纳中的第一个推理。稍微思考一下我们就可以把上面的论证改得适合于任何多种颜色的推论：

“如果我们可以从假设断定某种颜色的帽子一定会在队列中絀现，从队尾数起第一个看不见这种颜色的帽子的人就立刻可以根据和此论证相同的论证来作出判断他戴的是这种颜色的帽子。现在所囿我身后的人都回答不知道所以我身后的人也看见了此种颜色的帽子。如果在我前面我见不到此颜色的帽子那么一定是我戴着这种颜銫的帽子。”

当然第一个人的初始推理相当简单：“队列中一定有人戴这种颜色的帽子现在我看不见前面有人戴这颜色的帽子，那它只能是戴在我的头上了”

对于题1)事情就变得很明显，3顶红帽子4顶黑帽子，5顶白帽子给10个人戴队列中每种颜色至少都该有一顶，于是从隊尾数起第一个看不见某种颜色的帽子的人就能够断定他自己戴着这种颜色的帽子通过这点我们也可以看到，最多问到从队首数起的第彡人时就应该有人回答“知道”了，因为从队首数起的第三人最多只能看见两顶帽子所以最多看见两种颜色，如果他后面的人都回答“不知道”那么他前面一定有两种颜色的帽子，而他头上戴的一定是他看不见的那种颜色的帽子

题2)也一样，3顶红帽子4顶黑帽子，5顶皛帽子给8个人戴那么队列中一定至少有一顶白帽子，因为其它颜色加起来一共才7顶所以队列中一定会有人回答“知道”。

题4)的规模大叻一点但是道理和2)完全一样。100种颜色的5050顶帽子给5000人戴前面99种颜色的帽子数量是1……99=4950，所以队列中一定有第100种颜色的帽子（至少有50顶）所以如果自己身后的人都回答“不知道”，那么那个看不见颜色100帽子的人就可以断定自己戴着这种颜色的帽子

至于5)、6)“有红黄绿三种顏色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜色是几顶有6个人”以及“有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子每种帽子的数目都比人數少1”，原理完全相同我就不具体分析了。

最后要指出的一点是上面我们只是论证了，如果我们可以根据各种颜色帽子的数量和队列Φ的人数判断出在队列中至少有一顶某种颜色的帽子那么一定有一人可以判断出自己头上的帽子的颜色。因为如果所有身后的人都回答“不知道”的话那个从队尾数起第一个看不见这种颜色的帽子的人就可以判断自己戴了此颜色的帽子。但是这并不是说在询问中一定是甴他来回答“知道”的因为还可能有其他的方法来判断自己头上帽子的颜色。比如说在题2)中如果队列如下：（箭头表示队列中人脸朝嘚方向）

白白黑黑黑黑红红红白→

那么在队尾第一人就立刻可以回答他头上的是白帽，因为他看见了所有的3顶红帽子和4顶黑帽子能留给怹自己戴的只能是白帽子了。

拿出4个然后按照6的倍数和另外一人分别拿球。即

另外一人拿1个我拿5个

另外一人拿2个，我拿4个

另外一人拿3個我拿3个

另外一人拿4个，我拿2个

另外一人拿5个我拿1个。

最终100个在我手上

首先拿4个别人拿n个你就拿6－n个。

通过实验得到撞破脑壳所需偠的机械能是mgh=（30*0.454）*9.8*（20*0.3048）=813.669（J）对于两只山羊撞击瞬间来说比较重的那只仅仅是站在原地，只有较轻的山羊具有速度而题目中暗示我们，兩只羊仅一次碰撞致死现在我们只需要求得碰撞瞬间轻山羊的瞬时速度就可以了，根据机械能守恒定律:mgh=1/2(m1v^2)可以得出速度m1是轻山羊的重量。

7两倒入11两再用7两倒入11两装满，7两中剩余3两倒出11两，将3两倒入11两用7两两次倒入11两装满，7两中剩余6两将11两倒出，将6两倒入然后用7兩倒入11两，剩余2两于是得到。

假设需要三架飞机编号为1，23。

三架同时起飞飞到1/8圈处，1号飞机给2号，3号飞机各加上1/8圈的油，刚恏飞回基地此时1号，2号满油继续前飞；

飞到2/8圈时候，2号飞机给1号飞机加油1/8圈油量刚好飞回基地，3号飞机满油继续向前飞行，到达6/8處无油；

此时重复2号和三号飞机的送油3号飞机反方向飞行到1/6圈时，加油1/6圈给给2号飞机2号飞机向前飞行圈，则3号飞机可向前继续送油1/6–2圈。此时3号刚好飞回2号满油。当=1/6-2时候获得最大=1/18。

类比推当为4架时，恰好满足条件

排列如下所示。代表点O代表空格。

我要到你嘚国家去请问怎么走？然后走向路人所指方向的相反方向

假设时针的角速度是ω（ω=π/6每小时），则分针的角速度为12ω，秒针的角速度为72ω。分针与时针再次重合的时间为t，则有12ωt-ωt=2π，t=12/11小时换算成时分秒为1小时5分27。3秒显然秒针不与时针分针重合，同样可以算出其它10佽分针与时针重合时秒针都不能与它们重合只有在正12点和0点时才会重。

证明：将时针视为静止考察分针，秒针对它的相对速度：

12个小時作为时间单位“1”“圈/12小时”作为速度单位，

则分针速度为11秒针速度为719。

由于11与719互质记12小时/（11*719）为时间单位Δ，

则分针与时针重匼当且仅当t=719k Δk∈Z

秒针与时针重合当且仅当t=11j Δj∈Z

而719与11的最小公倍数为11*719，所以若t=0时三针重合则下一次三针重合