第一章 数学演绎法真理的起源
第②章 数学演绎法真理的繁荣
第四章 第一场灾难：真理的丧失
第五章 一门逻辑学科不合逻辑的发展
第六章 不合逻辑的发展：分析的困境
第七嶂 不合逻辑的发展：19世纪的困境
第八章 不合逻辑的发展：天堂之门
第九章 天堂受阻：理性的新危机
第十章 逻辑主义与直觉主义
第十一章 形式主义与集合论公理化基础
第十四章 数学演绎法向何处去
科学特别是自然科学，最重要的目标之一就是追寻科学本身的原动力，或曰縋寻其第一推动同时，科学的这种追求精神本身又成为社会发展和人类进步的一种最基本的推动。
科学总是寻求发现和了解客观世界嘚新现象研究和掌握新规律，总是在不懈地追求真理科学是认真的、严谨的、实事求是的，同时科学又是创造的。科学的最基本态喥之一就是疑问科学的最基本精神之一就是批判。的确科学活动，特别是自然科学活动比较起其他的人类活动来，其最基本的特征僦是不断进步哪怕在其他方面倒退的时候，科学却总是进步着即使是缓慢而艰难的进步。这表明自然科学活动中包含着人类的最进步因素。
正是在这个意义上科学堪称为人类进步的“第一推动”。
科学教育特别是自然科学的教育，是提高人们素质的重要因素是現代教育的一个核心。科学教育不仅使人获得生活和工作所需的知识和技能更重要的是使人获得科学思想、科学精神、科学态度以及科學方法的熏陶和培养，使人获得非生物本能的智慧获得非与生俱来的灵魂。可以这样说没有科学的“教育”，只是培养信仰而不是敎育。没有受过科学教育的人只能称为受过训练，而非受过教育
正是在这个意义上，科学堪称为使人进化为现代人的“第一推动”
菦百年来，无数仁人智士意识到强国富民再造中国离不开科学技术，他们为摆脱愚昧与无知作了艰苦卓绝的奋斗中国的科学先贤们代玳相传，不遗余力地为中国的进步献身于科学启蒙运动以图完成国人的强国梦。然而应该说这个目标远未达到。今日的中国需要新的科学启蒙需要现代科学教育。只有全社会的人具备较高的科学素质以科学的精神和思想、科学的态度和方法作为探讨和解决各类问题嘚共同基础和出发点，社会才能更好地向前发展和进步因此，中国的进步离不开科学是毋庸置疑的。
正是在这个意义上似乎可以说，科学已被公认是中国进步所必不可少的推动
然而，这并不意味着科学的精神也同样地被公认和接受。虽然科学已渗透到社会的各個领域和层面，科学的价值和地位也更高了但是，毋庸讳言在一定的范围内，或某些特定时候人们只是承认“科学是有用的”，只停留在对科学所带来的后果的接受和承认而不是对科学的原动力，科学的精神的接受和承认此种现象的存在也是不能忽视的。
科学的精神之一是它自身就是自身的“第一推动”。也就是说科学活动在原则上是不隶属于服务于神学的，不隶属于服务于儒学的科学活動在原则上也不隶属于服务于任何哲学。科学是超越宗教差别的超越民族差别的，超越党派差别的超越文化的地域差别的，科学是普適的、独立的它自身就是自身的主宰。
湖南科学技术出版社精选了一批关于科学思想和科学精神的世界名著请有关学者译成中文出版，其目的就是为了传播科学的精神科学的思想，特别是自然科学的精神和思想从而起到倡导科学精神，推动科技发展对全民进行新嘚科学启蒙和科学教育的作用，为中国的进步作一点推动丛书定名为《第一推动》，当然并非说其中每一册都是第一推动但是可以肯萣，蕴含在每一册中的科学的内容、观点、思想和精神都会使你或多或少地更接近第一推动，或多或少地发现自身如何成为自身的主宰。
《第一推动》丛书编委会
人类对于宇宙以及数学演绎法地位的认识已被迫作出了根本性的改变本书要讨论的正是这一点。现在我们知道数学演绎法已不再受到普遍尊重和景仰。数学演绎法曾经被认为是精确论证的顶峰真理的化身，是关于宇宙设计的真理那么，囚类是如何认识到这种观点是错误的我们现在的观点又是什么，这正是本书的主题引论中将简要陈述这些主题，部分材料可由详尽的數学演绎法史略拾一二但是，对于普通读者来说一种直接的、非专业性的探讨更便于接受和理解。
许多数学演绎法家可能更愿意把对數学演绎法当前地位的揭示控制在数学演绎法圈里公开曝光这些困难也许会出现不好的效果，家丑不可外扬嘛但是，受理性指导的人們必须充分认识到他们所掌握的工具的力量认识到推理的能力及其局限性，这远比盲目相信有益得多后者很可能导致错误的思想甚至毀灭。
（以下为致谢部分从略）
若想预见数学演绎法的未来，正确的方法是研究它的历史和现状
战争、饥荒和瘟疫能引起悲剧，然而人类思想的局限性也能引起智力悲剧。本书论及的不幸事件降临在人类最为卓著且无与伦比的成就对人类的理性精神具有最持久和最罙刻的影响——数学演绎法的头上。
换句话说这本书在非专业层次上探讨数学演绎法尊严的兴衰。看到数学演绎法现在的宏大规模日益增多甚至呈繁荣之势的数学演绎法活动，每年发表的数以千计的研究论文对计算机兴趣的迅猛飞涨，以及尤其是在社会科学和生物科學中对定量关系的广泛研究数学演绎法的衰落何从谈起？悲剧存在于何处要回答这些问题，我们必须首先考虑是什么为数学演绎法赢嘚了巨大的声望和荣誉
作为一个独立知识体系的数学演绎法起源于古希腊，自它诞生之日起的两千多年来数学演绎法家们一直在追求嫃理，而且成就辉煌关于数和几何图形的庞大理论体系为数学演绎法提供了一个看来似乎永无休止的确定性前景。
在数学演绎法以外的領域数学演绎法概念及其推论为重大的科学理论提供精髓。尽管通过数学演绎法和科学的合作才获得的知识用到了自然定律但它们看來似乎与绝对的数学演绎法真理一样绝对可信，因为天文学、力学、光学、空气动力学中的数学演绎法所做的预测与观察和实验相当吻合因此，数学演绎法能牢固把握宇宙的所作所为能瓦解玄秘并代之以规律和秩序。人类得以趾高气扬地俯瞰他周围的世界吹嘘自己已經掌握了宇宙的许多秘密（实际上是一系列数学演绎法定理）。拉普拉斯的话概括了数学演绎法家们一直在不懈地寻求真理的信念他说，牛顿是最幸运的人因为只有一个宇宙，而他已发现了它的规律
数学演绎法依赖于一种特殊的方法去达到它惊人而有力的结果，即从鈈证自明的公理出发进行演绎推理它的实质是，若公理为真则可以保证由它演绎出的结论为真。通过应用这些看起来清晰、正确、完媄的逻辑数学演绎法家们得出显然是毋庸置疑、无可辩驳的结论。数学演绎法的这套方法今天仍然沿用任何时候，谁想找一个推理的必然性和准确性的例子一定会想到数学演绎法。这种数学演绎法方法所取得的成功吸引了最伟大的智者数学演绎法已显示了人类理性嘚能力、根源和力量。所以他们猜测为什么不能把这种方法用到由权威、风俗、习惯控制的领域，比如在哲学、神学、伦理学、美学及社会科学中去寻求真理呢人类的推理能力，在数学演绎法及自然科学中是如此的卓有成效，肯定也将成为上述其他领域思想和行为的主宰为其获得真理的美和美的真理。因此在称作理性时代的启蒙时代，数学演绎法方法甚至加上一些数学演绎法概念和定理用到了囚文事务中。
洞察力最丰富的来源是后者19世纪初的创造，包括令人奇怪的几种几何学和代数学演绎法迫使数学演绎法家们极不情愿地勉强承认绝对意义上的数学演绎法以及科学中的数学演绎法真理并不都是真理。例如他们发现几种不同的几何学同等地与空间经验相吻匼，它们可能都不是真理显然，自然界的数学演绎法设计并不是固有的或者如果是的话，人类的数学演绎法都未必是那个设计的最好詮释开启真理的钥匙失去了，这一事实是降临到数学演绎法头上的第一个不幸事件
新的几何学和代数学演绎法的诞生使数学演绎法家們感受到另一个宇宙的震动。寻求真理的信念使数学演绎法家们如醉如痴总是迫不及待地用严密论证去追求那些虚无飘渺的真理。认识箌数学演绎法并不是真理的化身动摇了他们产生于数学演绎法的那份自信他们开始重新检验他们的创造。他们失望地发现数学演绎法中嘚逻辑形容枯槁惨不忍睹。
事实上数学演绎法已经不合逻辑地发展。其不仅包括错误的证明推理的漏洞，还有稍加注意就能避免的疏误这样的大错比比皆是。这种不合逻辑的发展还涉及对概念的不充分理解无法真正认识逻辑所需要的原理，以及证明的不够严密；僦是说直觉、实证及借助于几何图形的证明取代了逻辑论证。
不过数学演绎法仍然是一种对宇宙的有效描述，而且在许多人心里特別是在柏拉图主义者看来，数学演绎法自身当然还是一个颇具魅力的知识体系一个因具真实性而受到青睐的部分。因此数学演绎法家們决定弥补丢失了的逻辑结构，重建有缺陷的部分在 19世纪下半叶，数学演绎法的严谨化运动格外引人注目
到 1900年，数学演绎法家确信他們已实现了自己的目标尽管他们不得不满足于数学演绎法仅能作为宇宙的一个近似描述的观点，许多人甚至放弃了宇宙的数学演绎法化設计这一信念但他们的确庆幸他们重建了数学演绎法的逻辑结构。然而他们还没来得及炫耀自封的成功，在重建的数学演绎法中就发現了矛盾一般称这些矛盾为悖论，这是避免直接说矛盾而破坏了数学演绎法逻辑的委婉用语
当时那些领头的数学演绎法家几乎立刻就投身于解决这些矛盾，结果他们构想、阐述甚至推出了四种不同的数学演绎法结构每一种都有众多的追随者。那些基础的学派不仅努力解决已有的矛盾而且力争避免新的矛盾出现就是说，建立数学演绎法的相容性在这些基础研究中又出现了其他的问题，某些公理和演繹逻辑推理的可接受性也成为几个学派采取不同立场的重要原因
1930年，数学演绎法家已满足于接受几种数学演绎法基础的一两个并且宣稱自己的数学演绎法证明至少和这些学派的原则相符。但是灾难再次降临，形式是K．哥德尔的一篇著名论文哥德尔证明了那几个学派所接受的逻辑原理无法证明数学演绎法的一致性。这还不包括论文里其他一些意义重大、影响深远的结果哥德尔表明，对已取得的成功提出质疑不能不用到非常可疑的逻辑原理哥德尔定理引起一场巨变。随后的发展带来了更大的麻烦例如，就连过去极度推崇的、被认為是精密科学方法的公理化——演绎方法看来也是有缺陷的这些新的发展给数学演绎法增加了多种可能的结构，同时也把数学演绎法家汾成了更多的相异群体
数学演绎法的当前困境是有许多种数学演绎法而不是只有一种，而且由于种种原因每一种都无法使对立学派满意显然，普遍接受的概念、正确无误的推理体系——1800年时的尊贵数学演绎法和那时人的自豪——现在都成了痴心妄想与未来数学演绎法楿关的不确定性和可疑，取代了过去的确定性和自满关于“最确定的”科学的基础意见不一致不仅让人吃惊，而且温和一点说，是让囚尴尬目前的数学演绎法或是故作深沉，或是对广泛承认的真理所谓完美无缺的逻辑的拙劣模仿。
有的数学演绎法家认为关于接受什么作为真正数学演绎法的不同观点，有一天会统一起来这些人中比较有名的是一群署名为布尔巴基的法国领头数学演绎法家：
长期以來，对数学演绎法原理的重要修正几乎无一不在不确定性时期之后而不确定性确实使矛盾出现了并且一定得被解决。……至今已有 25个世紀之久的这段时期数学演绎法家们一直在改正他们的错误，并且看到了这门科学欣欣向荣而不是枯竭衰败。这使他们有权力对未来充滿希望
然而，更多的数学演绎法家并不乐观本世纪最伟大的数学演绎法家之一，H.魏尔在 1944年说：
数学演绎法的终极基础和终极意义尚未解决我们不知道沿着什么方向可以找到最终答案，或者甚至于是否有希望得到一个最终的、客观的答案“数学演绎法化”很可能是人類原始创造力的一项创造性活动，类似于语言或音乐其历史观点否认完全客观的合理性。用哥德的话说：一门科学的历史就是这门科学夲身
对于正确的数学演绎法是什么所存在的分歧以及不同基础的多样性不仅严重影响数学演绎法本身，还波及到最为生机勃勃的自然科學我们将看到，最先进的自然科学理论（即这种理论的结论可以在感觉上或实体上体现出来例如假设我们一点也不懂电磁波是什么，泹我们却能听到收音机中传出的声音）全都是数学演绎法化的。因此没有亲自对数学演绎法基础下过功夫，而又不打算花费数年时间研究不完美的数学演绎法的科学家一定会关心什么样的数学演绎法能被理直气壮地应用。
真理的丧失数学演绎法和科学不断增加的复雜性，以及何种方法用于数学演绎法是最保险的不确定性已使大多数数学演绎法家放弃科学。风声鹤唳草木皆兵，数学演绎法家们不嘚不退回到证明方法看起来似乎很安全的数学演绎法领域他们还发现人为编造出来的问题比自然界提出来的问题更富魅力，处理起来更加得心应手
因完美的数学演绎法是什么而产生的危机和矛盾还阻碍了数学演绎法的方法在许多其他文化领域中的应用，如哲学、政治科學、伦理学、美学找到客观、正确的定律和标准的希望变得微弱了，理性时代已经过去
尽管数学演绎法令人不满意，方法复杂多变對可接受公理持不同意见，还有随时可能出现的新矛盾都会殃及大部分数学演绎法，但是一些数学演绎法家仍然把数学演绎法应用于洎然现象中，而且事实上把应用领域扩大到经济学、生物学和社会学数学演绎法的继续有效给我们两点启示。第一点是这种有效性可用莋判别正确性的准则当然这个准则是暂时性的。今天认为正确的也许下次应用时就会证明是错的。第二点涉及到未知真正的数学演繹法是什么？对此并无定论为什么数学演绎法依旧有效？我们是在用不完美的工具制造奇迹吗如果人类已经被欺骗了，大自然也会受騙而屈服于人类的数学演绎法命令吗显然不会。而且正是凭借建立在数学演绎法之上的技术，人类成功地登上了月球探测了火星和朩星。这难道不是对宇宙中的数学演绎法理论的证实吗那么，数学演绎法的人为因素与变幻莫测又何从谈起呢当心智和灵魂迷惘不定嘚时候，躯体能生存下去吗当然对于人类本身及数学演绎法，确实如此因此我们应该去研究为什么会这样。尽管数学演绎法的基础尚鈈确定数学演绎法家们的理论亦彼此冲突，而数学演绎法却已被证明成就辉煌风采依然。
第一章 数学演绎法真理的起源
极度幸福的灵魂是为谁而激发！为了这些真理，去度量闪烁的星空！他们用思想的缰绳驯服了桀傲的天体。过去扑朔迷离的天空现在变得清清楚楚。
任何值得一提的文明都探索过真理思索的人们尽管不能，但总是试图去理解复杂多变的自然现象去解开人类如何定居在这个地球仩的谜题，去弄明白人生的目的去探索人类的归宿。在所有早期文明中这些问题的回答都是宗教领袖给出的，并为人们所普遍接受呮有古希腊文明是个例外。希腊人发现（人类所作出的最伟大的发现）了推理的作用正是古典时期（公元前 600年至前
300年间的鼎盛时期）的唏腊人，认识到人类有智慧、有思维（有时佐以观察或实验）能够发现真理。
是什么导致希腊人作出这个发现这个问题不大好回答。紦推理用于人类活动和思维的始祖曾生活在爱奥尼亚——古希腊人在小亚细亚的一个定居处许多历史学家试图依据政治和社会环境对此莋出解释，比如爱奥尼亚人有更大的自主性去无视统治欧洲希腊文明的宗教信仰。但是我们所知的在约公元前 600年以前的希腊历史过于零碎，无法作出明确的解释
当时希腊人把推理用于政治体系、伦理道德、法律、教育和其他许多方面。他们的主要的、决定性地影响了後代文明的贡献是接受了对推理的最强有力的挑战知道了自然界有规律可言。在作出这个贡献以前希腊人和古代其他文明时期的人们認为自然是混乱、反复无常，甚至是恐怖的自然现象是无法解释的，或者是神的意志决定的只有用祈祷、祭祀和其他宗教仪式来解脱。其卓越的文明可追溯到公元前
3000年的巴比伦人和埃及人他们确实注意到了日月运动的周期现象，并据此设立了历法但却没有更深入地研究它们。这些极少的偶然的观察没有改变他们对自然的态度
希腊人敢于正视自然。他们的精神领袖（如果不是普通民众）摒弃了传统觀念、超自然力、迷信、教条和其他思想束缚他们是最早检验并试图理解各种谜一般的复杂的自然活动的人们。他们以思维与似乎瞬息萬变的宇宙现象抗争将理性之光洒于其上。
他们有着永不满足的好奇心和勇气他们提出和回答了许多人遇到过、但却极少人试图解决，并且只能被具有最高智力水平的人所解决的问题整个宇宙的运转是有计划的吗？植物、动物、人类、星系、光和声仅仅是物理现象還是一个完美设计的一部分？由于希腊人总梦想着提出新见解所以他们建立了后来统治整个西方思想中关于宇宙的概念。
希腊的智者们對自然采取了一种全新的态度这种态度是理性的、批判的和反宗教的。神学中上帝按其意愿创造了人和物质世界的信仰被摒弃了智者們终于得出了这样的观念：自然是有序的，按完美的设计而恒定地运行着从星体的运动到树叶的颤动，所有感官能感知的现象都能用一種精确、和谐而理智的形式来描述简而言之，自然是按理性设计的这种设计，虽然不为人的行为而影响却能被人的思维所理解。
希臘人不仅是探索混杂现象的秩序和规则的勇敢的先驱而且也是以才智发掘出自然现象显而易见所遵循的基本模式的先驱。他们敢于询问並且发现了人类观测到的最壮观的景象的基本规律：朝升夕落的太阳阴晴圆缺的月亮，光彩夺目的行星星汉灿烂的夜空，奇妙无比的ㄖ蚀、月蚀
6世纪的爱奥尼亚哲学家首先尝试寻求对大自然和宇宙运行规律的合理解释。这一时期的著名哲学家们如泰勒斯(Thales)、阿那克西曼德(Anaximander)、阿那克西米尼(Anaximenes)、赫拉克利特(Heraclitus)和阿那克萨哥拉(Anaxagoras)，各自恪守一个主旨去解释宇宙的构成比如泰勒斯认为万物都是由气态、液态和固态嘚水组成的，他试图用水的观点解释许多现象——这是一个不无道理的解释因为云、雾、露、雨和雹是水的不同形态，而水是生命不可缺乏的它滋润庄稼，养育动物现在我们知道甚至人体的
爱奥尼亚人的自然哲学是一系列的大胆的观察，敏锐的猜测和天赋的直觉而鈈是广泛而细致的科学研究的成果。这些人也许有些过于急切看到世界的全貌从而匆匆忙忙得到一些泛泛的结论。但他们的确抛弃了一些陈腐的神秘观点而代之以唯物主义的，对宇宙的设计和运行的客观解释他们以理性方法取代了幻想和非批判的观点，用推理来论证洎己的观点成立这些人敢于用思维来对待世界，拒绝依赖神灵、意志、鬼怪、妖魔、天使和其他也许能够维护或毁灭自然现象的神秘力量可以用阿那克萨哥拉的话来表述这种理性观点的精髓：“理性统治着世界。”
摒除故弄玄虚、神秘主义和对自然运动的杂乱无章的认識而代之以可理解的规律的决定性的一步是数学演绎法知识的应用。在这里希腊人展示出一种可以与推理的作用的发现相媲美的、几乎同样富有想象力和独创性的洞察力：宇宙是以数学演绎法方式设计的，借助于数学演绎法知识人类可以充分地认识它。最早提出自然堺数学演绎法模式的是以毕达哥拉斯（Pythagoras）为领袖的座落于意大利南部的毕达哥拉斯学派虽然他们从盛行的致力于灵魂的净化和将它从肉體的污浊束缚中解脱出来的希腊宗教中汲收了灵感和信条，其自然哲学却是完全理性的毕达哥拉斯派震惊于这样一个事实，即由定性地看各种各样的现象都表现出相同的数学演绎法性质可推知数学演绎法性质必定为这些现象的本质。更精确地他们从数和数的关系方面發现了这种本质。数学演绎法是他们解释自然的第一要素所有物体都是由物质的基本微粒或“存在单元”根据不同的几何形状组成的。單元的总量实际上代表了实在的物体数学演绎法是宇宙的实体和形式。因而毕达哥拉斯学派认为：“万物皆数也”因为数是万物之“夲”，对自然现象的解释只有通过数字才能得出
这种早期的毕达哥拉斯派思想是令人迷惑的。因为对于我们来说数字是抽象概念，而倳物是实际存在的但我们已经得到了一种数字的抽象，而早期的毕达哥拉斯派并未做到在他们看来，数字是点或微粒他们提到三角形数、正方形数、五边形数时，想到的是点集、晶状体或点状物体如图 1.1—1.4所示。
虽然历史片断没有提供精确的年代数据这一点却是无疑的，即毕达哥拉斯学派发展并完善了自己的认识他们开始把数字理解为抽象概念，而物体只不过是数字的具体化有了这一后来的特性，我们可以明白菲洛罗斯(Philolaus)的论述：“如果没有数和数的性质世界上任何事物本身或与别的事物的关系都不能为人所清楚了解……”你鈈仅可以在鬼禅的事务上，而且在人间的一切行动和思想上乃至在一切行业和音乐上看到数的力量
例如，毕达哥拉斯学派之所以能把音樂归结为数与数之间的简单关系乃是因为他们发现了下列两个事实：第一，弦所发出的声音取决于弦的长度；第二两根绷得一样紧的弦，若一根是另一根长的两倍就会产生谐音。换言之两个音相差八度。如两弦长为 3比
2则发出另一谐音。这时短弦发出的音比长弦发絀的音高五度确实，产生每一种谐音的多根弦的长度都成整数比毕达哥拉斯学派也搞出了一个著名的音阶。我们虽然不打算讲许多希臘时代的音乐但要指出许多希腊数学演绎法家包括欧几里得和托勒密，都写过这方面的著作特别是关于谐音的配合，而且还制定过音階
毕达哥拉斯学派把行星运动归结为数的关系。他们认为物体在空间运动时会发出声音这也许是从绳端吊一东西摆动时发出声音这一方面引起的特例。他们还认为运动得快的物体比运动得慢的物体发出更高的音根据他们的关系，离地球越远的星运动得越快，因此行煋发出的声音（我们因为从出世之日起就听惯了所以觉察不出来）因其与地球的距离而异而成谐音。但因这“天籁之音”也像所有谐音┅样可以推为数的关系所以行星运动也是这样。
自然界的其他形形色色特性也可“归结”为数1、2、3、4这四个数，叫四象是特别受重視的。据说毕达哥拉斯学派的誓词即是：“谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓长流不息的自然的根源包含于其中。”他们认为自然是由㈣元性组成的点、线、面和立体。后来柏拉图强调的则是四种物质元素土、气、火、水。
四象的四个数字之和为 10所以十是个理想数，其代表宇宙为了填满这个数字，毕达哥拉斯学派引入了中心地球加上日、月，已知的五大行星和位于中心地球另一侧的反地球我們看不到中心地球和反地球，因为我们所居住的那部分地球是背朝它们的我们在这里不打算详细叙述细节，关键一点是毕达哥拉斯学派將天文学建筑在数的关系之上
由于毕达哥拉斯学派将天文学和音乐“归结”为数，这两门学科就同算术和几何发生了联系这四门学科嘟被人看成是数学演绎法学科，甚至一直到中世纪仍被包括在学校课程中，当时号称“四大学科”亚里士多德在《形而上学》一书中，总结了毕达哥拉斯学派对数的现实世界的认识：
他们似乎察觉到了存在的以及将要形成的事物在数方面的共性而不仅仅表现在火、土囷水上（这样或那样数字的修正是合法的，另一种是精神和推理再一种则是机会——同样几乎所有的其他事物都可用数字表达）；又因為音阶的修正和比例可用数字表示；还由于其他事物在本质上都能用数字来模式化，数字似乎是整个自然界的先驱他们认为所有事物里嘟含有数的成分，整个太空就是一个音阶或一个数字
毕达哥拉斯学派的自然哲学很难与实际相吻合。美学考虑和对数学演绎法关系的穷縋不舍相混合当然会导致超越实际观察的论断。毕派也未使物理科学的任一分支向前发展可以公正地称其理论为肤浅的。但或是凭运氣或是凭天生的直觉毕派的确言中了后来两条证明是极为重要的信条：第一是自然界是按数学演绎法原理构成的；第二是数学演绎法关系决定、统一并显示了自然的秩序。实际上现代科学也坚持毕派对数学演绎法的强调虽然，正如我们将看到的现代理论是毕派理论的哽为高级的形式。
毕派之后的哲学家更加关注现实世界的本质和基本的数学演绎法设计留基伯(Leuccipus)和德谟克里特(Democritus)由于更加清晰地确定了原子論而闻名于世。他们的共同哲学观点是：世界是由无穷多个简单的、永恒的原子组成的这些原子的形状、大小、次序和位置各有差异，泹每个物体都是由这些原子以某种方式组合而成的虽然几何上的量，如直线段是无限可分的，原子却是终极的不可再分的质点。形狀、大小等只是原子的特性其他性质如味、热则非原子所固有而来自观察者，所以感性认识不可靠因它随观察者而异。原子论者也和畢达哥拉斯学派一样认为隐藏在自然界不断变化着的万象之下的真实性是可用数字来表示的，而且认为这个世界上所发生的一切是由数芓规律严格确定了的
继毕达哥拉斯学派之后，传播这种主张最有影响的当属由柏拉图领导的柏拉图学派。柏拉图接受了一些毕派思想他控制了公元前 4世纪这一重要时期希腊人的思想。他是雅典柏拉图学园的创立者这个学园是一个吸引了当时一流思想家的中心，存在叻九百年之久
也许在柏拉图的对话《爱好者》中，其对于宇宙的合理性的信仰表现得最为出色
（普洛塔库斯简称普，苏格拉底简称苏）
苏：他们所说的宇宙是不可推理、杂乱无序的抑或像我们前人所认为的是由极高的才华和智慧所控制和有序化的。
普：迷茫的苏格拉底这两种论点截然相反，你刚才的话我认为亵渎了神明但是一个观点，即思维统治万物却是极富有价值的。我别无它求
后来毕派囷柏拉图学派在物质世界和理想世界之间产生了尖锐的分歧。物质世界的事物及联系是不完美、变化和衰落的因而不能代表终极真理。泹有一个绝对而不变的真理的理想世界这些真理正是哲学家们所关注的。对于物质世界我们只可能有观点可见、可感知的世界只是理想世界的一个模糊迷离、不完美的拷贝。“事物是思想在经验屏幕上的投影”由于现实可在感觉和实物中找到，因而柏拉图认为一匹马、一间屋或者一个完美的女子并不真的存在现实只存在于马、房屋、女子的广为接受的形式或观念之中。永恒的知识只能从纯粹理想的形式中获得这些思想实际上是永恒不变的。关于它们的知识是稳固而坚不可摧的
柏拉图坚持认为只有从理想世界的数学演绎法知识来悝解现实世界的实在性和可知性，无疑这个世界是数学演绎法化的普鲁塔克（Plutarch）道出了柏拉图的名言：“上帝终究要将世界几何化。”茬《共和国》一书中柏拉图认为“几何学所要求的知识是永恒的，而不是转瞬即逝或反复无常的”数学演绎法定律不仅是现实的本质，而且永恒不变数字关系也是现实的一部分，实际事物不过是数字的模拟体早期毕派认为数字是事物内在固有的，而柏拉图认为数字超越了事物
柏拉图比毕派前进了一步，他不仅希望用数学演绎法来理解自然界而且要用数学演绎法来取代自然界本身。他相信对物質世界仅用少量决定性的几步推理，即能得到基本的真理按此观点将只有数学演绎法存在，数学演绎法将取代物理研究
普鲁塔克在他嘚《马塞鲁斯的生平》一书中提及欧多克斯(Eudoxus)和阿基塔斯(Archytas)（柏拉图同时代的名人）运用实际论据来“证明”数学演绎法结果。但柏拉图义愤哋贬斥这种证明为几何学的堕落；指责他们利用感性知识来取代纯粹的推理
柏拉图对于天文学的观点显示了他正在探索这门科学的立场。他认为这门学科研究的不是可见的天体的运动。天空中星体的排列和明显可见的运动的确奇妙美丽但仅有对运动的观察和解释远称鈈上真正的天文学。在接触这门真正的科学之前我们必须抛开“天体”，因为真正的天文学探求的是数学演绎法化宇宙中星体的运动定律而可见的天体只是其不完美的表现形式。他鼓动人们献身于理论天文学因为其问题取悦于人的心智而不是视觉，其对象由人的心智僦能感受到而不是凭眼睛所看见天空中呈现出的各种图形只可用作探索更深层真理的辅助图表。我们必须把天文学看成几何学一样仅僅是由可见事物揭示的一系列问题。柏拉图对航海、历法和计时中的天文学的使用并不感兴趣
亚里士多德虽然是柏拉图的学生并从老师那儿继承了许多思想，对于现实世界以及数学演绎法和现实之间的关系的探究却有着不同的看法他批评柏拉图的冥世思想以及把科学归結为数学演绎法的认识。亚里士多德是个物理学家他相信物质的东西是实在的主体的源泉。物理学乃至一般的科学必须研究现实世界并從中获取真理真正的知识是从感性的经验通过直观和抽象而获得的，这种抽象不能独立于人的思维而存在
亚里士多德的确强调从实物Φ抽象出的普适的一般的性质。为了获得这些性质他认为我们应“从可知和可观察的事物出发，向着本质上可为人们认识的逐渐清晰的倳物前进”他抽取物体的明显的感性特征，使之具体化并上升为独立的精神上的概念
在亚里士多德关于事物的分类方案中，把数字摆茬什么地位呢物理科学是基础科学，数学演绎法则从描述形式上的特征（如形状和数量）这方面来帮助研究它也为物质现象中观察到嘚事实提供解释。例如几何说明光学和天文学提供的事实算术上的比例关系能说明产生谐音的理由。但数学演绎法概念和原理肯定是从現实世界中抽象出来的正因为如此，它们也可用于现实世界思维使我们可以从感性认识获得实物的理想化特征，这种抽象必然是真实嘚
对于铸造和构成了希腊思维世界的哲学家的短暂回顾也许有助于说明为什么他们为了了解、欣赏更深层次的内涵，都重视对实质的探討而且，从毕达哥拉斯开始所有哲学家都认为世界是依照数学演绎法设计的。在这个经典时期末期上述观点已经确立，并且开始了對数学演绎法规律的探求虽然这个观点并未影响后世所有的数学演绎法家，但一旦为人接受它就作用于大多数伟大数学演绎法家的思維，甚至影响了那些尚未接触过它的人希腊人这一重要思想的最大胜利是他们认为宇宙是按可为人类思维所能发掘的数学演绎法规律运荇的。
于是希腊人决定寻求真理特别是关于自然的数学演绎法化设计的真理。人们怎样寻求真理并证明其是真理呢在此，希腊人也绘絀了方案这个方案在从公元前 600年到公元前 300年这段时期逐渐发展，它是何时由何人最先提出尚无定论但到公元前 300年，它已经相当完善了
从广义的、使用数字和几何图形这方面来看，数学演绎法早于古典时期希腊人的研究几千年就开始形成了广义来讲数学演绎法包括了許多已经消失了的文明（最有名的有埃及文明和巴比伦文明）的贡献。除了希腊文明外在其他文明中数学演绎法并不是一个独立体系，咜没有形成一套方法仅为了直接而实用的目的被研究。它是一种工具是一系列相互无关的、简单的、帮助人们解决日常问题的规则，洳推算日历、农业和商业往来这些规则是由试探、错误、经验和简单的观察得到的，许多都只是近似的正确这些文明中的数学演绎法嘚最优之处在于，它显示了思维的某些活力和坚韧尽管不严格，成就也远非辉煌这类数学演绎法的特点可用经验主义一言蔽之。巴比倫人和埃及人的经验主义数学演绎法为希腊人的研究工作揭开序幕
虽然希腊文明没有完全脱离外界影响——希腊思想家们曾在埃及和巴仳伦游历学习——尽管现代意义上的数学演绎法必须经受希腊的理性氛围的熏陶，希腊人的创造与他们所吸收的知识却有天壤之别
希腊囚已决心探索数学演绎法真理，他们不能把工作建筑在前人（有名的埃及人和巴比伦人）粗糙的、经验主义的、有限的、零散的在很多凊况下是不精确的成果之上。数学演绎法原本是一些关于数字和几何图案的基本事实必然是一个真理体系。数学演绎法推理旨在推导出關于自然现象如天体运动的真理，必然得出不容置疑的结论怎样达到这些目的？
数学演绎法的本原应是处理抽象对象对于创造了希臘数学演绎法的哲学家来说，严格的真理只适用于永恒不变的实体以及关系幸运的是，人类由对事物的感性认识得到的认识可以上升为較高层次的理念这便是思想，永恒的现实和思想的真实载体青睐抽象还有一个原因，欲使数学演绎法更强有力就必须在一个抽象概念中包涵它所表示实物的本质特征。从而数学演绎法上的直线必须包括拉伸的绳子、直尺边、田地的边界和光线的路径相应地，数学演繹法上的直线没有粗细、颜色、分子结构和绷紧度之分希腊人明确地指出数学演绎法是处理抽象事物的。柏拉图在《共和国》中提及几哬学家：
你是否也知道他们虽利用可见的形象并拿来进行推理，但他们想的并不是这些东西而是类似于这些东西的理想形象：他们所看到的不是所画的图形，而是绝对正方形及绝对直径……他们力求看到事物本质，而这只有用心灵之目才能看到
因而数学演绎法首先處理点、线和整数等抽象概念。其他概念如三角形、正方形和圆可以用基本概念来定义，而基本概念正如亚里士多德所说应该是不可定義的否则就没有起始点。希腊人的精明之处表现在他们要求被定义的概念应有现实的对应物体，或是论证得到或是构造得到因而人們无法定义三等分角并证明有关它的定理，它可能并不存在实际上，由于希腊人无法在他们自己提出的作图条件下三等分角他们就没囿引入这个概念。
为了推导出数学演绎法概念希腊人从自明的、无人怀疑的公理入手。柏拉图用他的回忆理论证明了公理的可行性正洳我们前面提到过的，他认为存在一个真理的客观世界人在出世前有过精神世界的经历，只要激发一下就可以回忆起以前的经历从而认識到几何学公理是真理这并不需要实践。但亚里士多德并不这样认为他认为公理是可理解的原理，符合思维而没有什么可怀疑的亚裏士多德在《后验分析》中指出，我们凭着绝对可靠的直觉认识到公理是真理而且，我们必须以这些公理作为推导的基础相反，如果使用了一些并未证明是真理的事实下一步推理就需要证明这些事实，而这一过程是无限循环的那么这就变成了永无止境的回退。他又區分了公理和公设公理对所有思想领域皆真，包括“等量加等量还是等量”这样的命题公设则适用于专业学科，如几何学从而有，“两点决定一条唯一的直线”亚里士多德也的确指出公设无需一望便知其为真，但应被其所推出的结果所支持然而这种不证自得的真悝是数学演绎法家所需要的。
从公理出发可用推理得出结论。有多种推理方法比如，归纳、类比和演绎其中只有一种能够证明结论嘚正确性。由一千只苹果都是红的而得出苹果都是红的这个结论是归纳，不一定可靠类似的，由于约翰的兄弟已从大学毕业而约翰受教于同样的老师，所以也应该能从大学毕业这是由类比推出的推理，当然也是不可靠的然而，如果假定人终将一死而苏格拉底是囚，则必然接受苏格拉底也会死这样的结论这里所涉及到的逻辑，亚里士多德称之为三段式演绎法在亚里士多德的其他推理规则中，還有归谬法（一个命题不可能既真又假）及排中律（一个命题必须为真或假）他和世人都毫无疑问地承认这些推理原理用于任一前提时，推导出的结果和前提一样可靠因此，如果前提为真则结论也为真。值得一提的是后面我们将要讨论的，亚里士多德从已为数学演繹法家所应用的推理方法中抽象出了演绎逻辑法
虽然几乎所有希腊哲学家都宣称演绎推理是获取真理的唯一可靠方法，柏拉图的观点却囿些不同他虽然不否定演绎证明，却认为没必要因为数学演绎法公理和定理存在于不依赖于人的意志的客观世界，根据柏拉图的回忆悝论人们只须回忆并且承认他们那些毋庸置疑的真理，用柏拉图在《西艾泰德斯》一书中的比喻来说定理，就像关在鸟笼中的鸟它們呆在那里，你只须伸手进去抓住它们学习就是一个收集的过程。在柏拉图的对话《梅农》里通过巧妙地询问一个年轻奴隶，苏格拉底证实了同底等高的正方形面积是等腰三角形面积的两倍从而苏格拉底成功地得出结论，即便是没有受过几何学训练的奴隶也可以在适當的提示下回忆起来
认识到人们是多么坚定相信演绎推理是很重要的。假设一位科学家在不同地区测量了一百个形状大小不同的三角形发现它们的内角和在实验精度允许范围内都是 180°，他当然可以下结论，任何三角形的内角和都是
180°。但他的证明是归纳而不是演绎，从而在数学演绎法上不会被认可。同样，只要你高兴，你可以检验任意多的偶数，发现它们都是两个素数的和但这种检验也不是演绎证明，洇而结果也不是数学演绎法定理那么看来，演绎证明是一种很严格的要求但是，希腊的数学演绎法家们他们（主要是哲学家）坚持┅定要用演绎推理，因为这样可以得到真理永恒的真理。
哲学家们偏爱演绎推理还有一个原因他们致力于理解人类和物质世界的广泛知识。为了建立普遍成立的真理如人性本善，又如世界是既定的或人本有为而生之，从可接受的基本原理进行演绎推理要比用归纳或類比更加可行。
古希腊人喜爱演绎法的另一个原因应归结于他们的社会构成富有阶层进行哲学、数学演绎法和艺术活动，这些人不干體力劳动奴隶、非公民和自由手工业者，从事商业和家务劳动甚至从事最重要的职业。受过教育的自由人不动手很少进行商贸活动。柏拉图认为商贸活动对于自由人来说是堕落，他还希望如果自由人从事了这一行，就要被视为犯罪而受到惩罚亚里士多德认为在悝想条件下公民（与奴隶相对）不应从事任何商业。在毕欧钦人（Boeotian希腊人的一个部落）中，用商务来亵渎自己的人十年内不得担任公职对于这种阶层里的思想家，是不用实验和观察的因此也无法从中获得科学或数学演绎法结论。
虽然希腊人坚持运用演绎推理的原因很哆但还有一个问题，即：是哪个哲学家或哲学派别首先提出这个要求的遗憾的是，我们对于苏格拉底时代以前的哲学家们的学说和著莋的认识是零碎的尽管众说纷纭，却无定论到了亚里士多德时代，对演绎推理的要求已经确定因为他阐明了不可定义概念的必要性囷推理方法的严格标准。
希腊人欲得到宇宙的数学演绎法规律他们在这方面成就如何呢？由欧几里得、阿波罗纽斯(Apollonius)、阿基米得(Archimedes)和托勒密(Ptolemy)所创立的数学演绎法的精华有幸传给了我们在时间上他们属于希腊文化的第二个重要时期，亚历山大里亚时期（公元前 300年—公元 600年）茬公元前
4世纪，马其顿的菲利浦王着手征服波斯人后者控制了近东，是欧洲希腊人的世敌菲利浦被刺后，其子亚历山大继承了王位亞历山大击败了波斯人，把扩大的希腊帝国的文化中心迁到了一个他谦虚地以自己名字命名的新城市亚历山大死于公元前 323年，但他发展噺中心的计划由其在埃及接受了托勒密王号的后继者继续
可以肯定欧几里得约于公元前 300年生活在亚历山大里亚，在那里教育学生虽然怹自己也许是在柏拉图学院完成了学业。顺便提一句这是我们所了解的欧几里得个人生活的全部。欧几里得著作具有系统、演绎的形式是许多古希腊人孤立发现的汇合，他们的主要著作《几何原本》给出了空间和空间中图形的规律
欧几里得的《原本》是他对空间几何嘚全部贡献。欧几里得从一本已失传的书中接收了圆锥曲线的理论在亚历山大里亚学习数学演绎法的小亚细亚拍加人阿波罗纽斯，继续其关于抛物线、椭圆和双曲线的研究并写出了这方面的经典著作《圆锥曲线》。
在亚历山大里亚受教育而生在西西里的阿基米得对纯几哬学知识增添了几本著作《论球和圆柱》论《劈锥曲面体与球体》，《抛物线的求积》他都是用欧多克斯（Eudoxus）提出的方法来计算复杂嘚面积和体积，后来被称作穷竭法现在这些问题可用微积分来解决。
希腊人对空间和空间图形的研究作出了一个重要贡献——三角学。这一学科的创始人是喜帕恰斯他生活在罗德斯和亚历山大里亚，约死于公元前
125年三角学由梅内劳斯（Menelaus）发展，并由在亚历山大亚里笁作的埃及人托勒密给出完整的、权威的描述他的主要著作《数学演绎法汇编》，阿拉伯人称之为《大汇编》知名度更广。三角学研究三角形边、角的量化关系希腊人主要关注球面上的三角形，其边是由大圆（圆心在球心）弧组成的因为在希腊天文学中，行星和恒煋沿大圆运行所以他们的三角学，主要应用于行星和恒星的运动同一理论加以改变，又可用于平面上的三角形这正是我们现在学校裏所学的那种三角学形式。三角学的引入要求其使用者具有较高深的算术和某些代数知识希腊人怎样在这些领域内工作的，我们将在后媔讨论（见第五章）
借助于这样一些发现，数学演绎法从模糊的、经验的割裂状态转变成为辉煌的、庞大的、系统化的和充满智慧的创慥物然而，欧几里得、阿波罗纽斯和阿基米得的经典著作（托勒密的《大汇编》是个例外）所涉及到的空间及空间图形的性质却囿于视野之内对其中所蕴含的更广泛意义却少有提示。这些著作似乎和揭示自然的真理无关实际上，他们只是给出了一种形式上的、精练的演绎数学演绎法在这方面，希腊数学演绎法课本与现代数学演绎法课本和文献没有什么两样这些书的目的仅仅是为了组织和显示已取嘚的数学演绎法成果，而省略了这些工作的动机定理的来源和提示及其应用。因而许多研究古希腊科学的人都认为古希腊这一时期的數学演绎法家主要是为了数学演绎法本身而探索数学演绎法，他们指出并证实了这个论断并提及欧几里得的《原本》及阿波罗纽斯的《圓锥曲线》这两部当时最著名的著作。然而就像仅凭二项展开式定理就得出牛顿是一个纯粹数学演绎法家的结论，他们仅凭这两部著作僦得了这个论断视野未必过于狭窄。
真正的目的是探索自然在物质世界的探索中，甚至连几何学的真理也是非常重要的很清楚，对於希腊人几何学原理是宇宙的整体结构的体现，空间是其中的基本组成部分因而关于空间和空间图形的探索是宇宙探索的基本工作，幾何学实际上是一门更大的宇宙科学的一部分比如，当天文学数学演绎法化时（在柏拉图时代出现）球体上的几何学研究就着手进行叻。实际上希腊语中的球一词，对毕达哥拉斯派的人来说就意味着天文学。欧几里得的《现象》就是专门讨论用于天文学的球面几何學的有了这些证据和对更近代的数学演绎法的发展状况更充分的了解，我们也许可以肯定这一点即科学探讨必然会引起数学演绎法问題，而数学演绎法是探索自然的一部分我们不必专门去研究这些，只须检验希腊人在探索自然中做了些什么以及这些人中包括谁。
物悝科学中最伟大的成就是在天文学上取得的柏拉图很清楚巴比伦人和埃及人做出的大量天文学观测，但却强调说他们没有建立或统一理論没有对看上去无规律的行星运动作出解释。欧多克斯（柏拉图学园里的一名学生其纯粹几何学工作包括在欧几里得《原本》的第五篇和第十二篇中）着手解决“整理外观”的问题。他的解答是历史上第一个相当完备的天文学理论
我们描述欧多克斯的理论，只是为了表明它是完全彻底的数学演绎法化理论并且涉及到天体的相互作用。这些球体除了那个固定的恒星外，都不是物质实体而是数学演繹法的构想。他也不想尝试去描述引起球体转动的力他的理论在思想上是极先进的，因为在今天科学的目的就是为了寻求数学演绎法描述而不是物理解释。在欧多克斯之后这一理论为三位最著名的理论天文学家阿波罗纽斯、喜帕恰斯和托勒密所继承其成果包括在托勒密的《大汇编》一书里。
阿波罗纽斯关于天文学的著作现已失传他的著作，被希腊人甚至包括托勒密在他的《大汇编》（第十二篇）Φ广为引用。他作为一个天文学家是如此著名以致获得了艾普西隆（希腊字母ε的读音）的雅号，因为他对月球运动做了许多研究工作，而ε是月球的记号关于喜帕恰斯的工作我们只知道一点，他的工作也同样地被《大汇编》引用
现在我们所承认的托勒密天文学的基本方案在欧多克斯和阿波罗纽斯时代的希腊天文学就已形成。在这种方案中行星 P以 S为中心作匀速圆周运动，而 S本身以地球 E为中心作匀速圆周運动S运动的圆叫从圆，P运动的圆叫周转圆对某些行星来说，点 S就是太阳但在其他情形下则只不过是数学演绎法上假设的一个点。P与
S嘚运动方向可能相符可能相反，太阳和月球的情况就属于后一种托勒密也将这套方案加以变化来描述某些行星运动。通过适当选取周轉圆和从圆的半径以及天体在周转圆上的和周转圆心在从圆上的运动速度喜帕恰斯和托勒密所描述的天体运动与那时的观测结果十分吻匼。从喜帕恰斯时代起人们就能预报月蚀，误差不超过一两小时但对日蚀的预报却不那么准。这种预报之所以可能是托勒密运用了怹称之为专门为天文学而发明的三角学。
从探求真理的观点来看值得提及的是托勒密和欧多克斯一样，充分认识到他的理论只是符合观測结果的方便的数学演绎法化描述而不一定是自然的真正设计。对于某些行星他有几种可供选择的方案，他选择了数学演绎法上较简單的那个托勒密在他的著作《大汇编》的第十三篇中说，在天文学上人们应寻求尽可能简单的数学演绎法模型。但托勒密的数学演绎法模型被基督教接受为真理。
托勒密的理论提供了第一个相当完整的证据说明自然是一致的而且具有不变的规律，而且也是希腊人对柏拉图提出的合理解释表观天体运动这一问题的最后解答在整个希腊时期没有任何一部著作能像《大汇编》那样对宇宙的看法有如此深遠的影响，并且除了欧几里得的《原本》以外没有任何别的著作能获得这样毋庸置疑的威信。
对希腊天文学的这一简短叙述自然不足鉯显示即令只是在这里所提到的几位希腊学者工作的深度和广度，并且还略去了其他许多贡献希腊天文学博大精深，并且应用了大量数學演绎法而且，几乎每一位希腊数学演绎法家包括大师欧几里得和阿基米得，都研究过天文学
希腊人关于实在的真理的成果并不局限于空间和天文学的数学演绎法，他们还创建了力学力学研究可作为质点处理的物体及经过外延后的物体的运动，还有引起运动的力茬《物理学》一书中，亚里士多德把标志希腊力学顶峰的运动定理归纳到一起和他的所有物理学一样，他的力学也是建立在一些理性的似乎是自明的原理之上，与观测结果完全吻合虽然这一理论支配世界几近两千年，但我们不打算重述因其为牛顿力学取而代之。关於亚里士多德运动理论值得一提的是阿基米得关于物体重心的工作和杠杆定律所有这些，都体现了数学演绎法的重要作用从而更加证實了数学演绎法是洞察自然设计的基础。
继天文学和力学之后光学成为人们最经久探索的学科。这门数学演绎法学科也是希腊人创建的从毕达哥拉斯派开始，几乎所有的希腊哲学家都致力于光、像和色的性质的探索我们关心的却是这些方面的数学演绎法成就。第一项荿就是西西里岛阿格里真坦的伊姆班道克斯(Empedocles of
Agrigentum)先验地提出的光以有限速度行进的说法光学的第一批系统性著作是欧几里得的《光学》和《鏡面反射》。《光学》研究视像问题以及怎样从视像确定物体的大小《镜面反射》描述从平面镜、凸面镜和凹面镜反射出来的光的习性鉯及它对我们视觉的影响。这书也像《光学》一样是从实际上就是公设的一些定义出发的。定理 1（现代教科书上是一条公理）称为反射萣律是几何光学的一条基本定理。这定理说从
A点出发的入射光线与镜面所成角 A等于反射光线与镜面所成角 B（见图 1.6）欧几里得还证明了咣线照射在凸面镜或凹面镜面上的规律（见图 1.7）。在切点处他以切线来代替镜面。这两本书在内容及编排上都是用数学演绎法来处理的像欧几里得的《原本》一样，定义、公理和定理贯穿始终
从反射律出发，数学演绎法家和工程师海伦（Heron）推出一个重要结论如果 P和 Q昰图 1.6中直线 ST同侧的任意两点，则从点 P到直线再到点 Q的一切路径中以通过直线上点 R使线段 PR和 QR与直线的夹角相等的那条路径为最短，而这恰恏就是光线所经过的路径所以，光线从 P出发经过镜面再到
Q是采取最短路程的很明显，自然界是很了解几何且运用自如的这个命题出現在海伦的《镜面反射》一书中，那也是讲述凹面镜、凸面镜和反射镜的组合的①
①我们今天所拥有的版本，也许是包括欧几里得在内若干人著作的汇编。——原注
有不少著作是论述光线在各种形状镜面上的反射的其中有阿基米得所著而现已失传的《镜面反射》以及迪奥克斯和阿波罗纽斯所写、书名同为《论点火镜》的两部著作。点火镜是呈球面形、旋转椭球面型（椭圆绕其长轴旋转而生成的形体）囷旋转抛物面型的凹面镜阿波罗纽斯肯定知道，而且迪奥克斯的书里也包含有抛物镜面能把焦点处发出的光反射成平行于镜面轴的光束（见图
1.8）的证明反之，若照射的光线平行于轴则反射后就聚集在焦点处，这样就可把太阳光聚集在焦点处产生高温从而有点火镜之洺。据说阿基米得就是利用抛物镜面的这一性质把日光集中到围攻他的家乡叙拉古的罗马船上使它们起火的阿波罗纽斯也知道其他圆锥曲线的反射性质，例如从椭圆镜面一焦点发出的光经反射后会集中到另一焦点上，他在所著《圆锥曲线》第三篇里讲述了椭圆和双曲线嘚有关几何性质
希腊人还创建了许多其他学科，著名的有地理学和流体静力学施勒尼的厄拉多塞(Eratosthemes of Cyrene)是亚历山大里亚图书馆馆长，被认为昰古代最有学问的人他计算了为希腊人所知道的地球上的许多重要地点之间的距离。他也对地球（大圆）的周长作了一个著名而相当准確的计算并写了一本书《地理学》。在书中他不但描述了他所用的数学演绎法方法而且给出了地表变化的原因和解释。
地理学最深刻嘚著作是托勒密那部包含八个篇章的《地理学》托勒密不仅拓展了厄拉多塞的工作，而且用和我们现在所用的完全类似的经纬度定位叻地球上 8000个位置。托勒密也给出了绘制地图的方法其中，有些现在还在运用特别是球极平面投影法。在所有这些地理学工作中从公え前 4世纪就开始应用的球面图形的几何学是基础。
流体静力学这门学科讨论放置在水中的物体所受到的压力阿基米得的《论浮体》一书昰这方面的奠基作。像我们曾讨论过的所有其他著作其方法和结论推导都是彻底的数学演绎法化。特别的它包含了现在称之为阿基米嘚原理的定律：浸在水中的物体受到的浮力，等于其所排开的水的重量为什么人们能在肆虐泛滥的世俗洪水中免于沉伦，我们也要归功於阿基米得
尽管对数学演绎法的演绎推导和自然定律的数学演绎法表示统治了亚历山大里亚希腊时期，我们还应该注意这一时期的人与古典希腊时期的人不同他们也求助于实验和观测。他们继承并利用了巴比伦人两千多年来所获得的相当精确的天文学观测结果喜帕恰斯把当时能够观察到的星体制成表格，当时的一些发明物（主要由阿基米得和数学演绎法家及工程师海伦完成）包括日晷、星盘、蒸气和沝力的运用
由埃及亚历山大的直接继承者托勒密一世创办的亚历山大里亚艺术宫极为闻名。艺术宫内学者云集有一个藏书 400，000册的著名圖书馆由于它无法存放所有的手稿，另外 300000卷便存放在塞拉皮斯的神庙里。学者们也为学生授课
利用他们的数学演绎法成就和许多科學研究结果，希腊人对宇宙是依据数学演绎法设计的给出了充分的证明。数学演绎法实质上存在于宇宙万物之中它是关于自然界结构嘚真理，或者如柏拉图所说是物质世界的客观存在。宇宙存在规律和秩序数学演绎法是达到这种有序的关键。而且人类理性可以洞察这个设计并且揭示其数学演绎法结构。
对自然作逻辑的、数学演绎法的探索的概念主要来自于欧几里得的《原本》虽然这一著述旨在研究物理空间，但其编排组织独创性和清晰度激发了公理演绎方法，不仅适用数学演绎法的其他领域如关于数字的理论，而且适用于所有科学所有基于数学演绎法的物理知识的逻辑化结构通过这本书进入了理性世界。
这样希腊人建立了数学演绎法和对现代科学基础的洎然设计的探讨之间的联系直到 19世纪后半叶，对数学演绎法设计的探求即对真理的探求，认为数学演绎法规律是自然界的真理的信念為数学演绎法吸引了最深刻和最著名的思想家
第二章 数学演绎法真理的繁荣
对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理佽序与和谐，而这些是上帝以数学演绎法语言透露给我们的
宏大的希腊文明被几股力量所摧毁，首先就是来自希腊、埃及和近东罗马人嘚逐渐侵占罗马人扩充政治势力的目的并不是要传播它的唯物主义文化，而是使被征服的地区成为殖民地通过剥削和捐税，可从中搜刮巨大的财富
基督教的兴起是对异教的希腊文化的另一个打击，尽管基督教的领袖们为使基督教更易于被接受采纳了许多希腊人和东方的神话和习俗，但他们仍然反对异教徒的学问甚至嘲弄数学演绎法、天文学和物理学。尽管受到罗马人的残酷迫害基督教仍广为流傳并且变得如此强大以至于罗马皇帝君士坦丁大帝(Constantine the Great)在公元
313年的米兰诏书中将基督教定为国教。后来狄奥多西(Theodosius)废除了异教并且在 392年发布命囹拆毁他们的神庙。
成千上万的希腊图书被罗马人和基督徒所焚毁在公元前 47年，罗马人纵火焚烧亚历山大里亚港口内的埃及船只火势蔓延烧毁了藏书最丰富的古代图书馆。在狄奥多西禁止异教的年代里基督徒摧毁了亚历山大里亚城内唯一保存大量希腊著作的塞拉皮斯鉮庙，其他许多写在羊皮上的著作也被基督徒刮掉以便写他们自己的著作
罗马帝国的后期历史也与此类似，狄奥多西将他广阔的疆土分給了他的两个儿子霍诺留统治意大利和西欧，阿卡丢统治希腊、埃及和近东西部在公元 5世纪时被哥特人占领，所以其后续历史属于中歐东部则保持了独立。由于东罗马帝国也被称为拜占庭帝国，容纳了希腊和埃及在某种程度上说，希腊文化和希腊著作被保存了下來
对希腊文明的最后打击是公元 640年新崛起的回教徒对埃及的征服。残剩的图书被焚毁一尽其理由正如阿拉伯征服者奥玛尔所说的：这些书的内容或许可兰经里也有，那么我们不必读它；这些书里或许有反对可兰经的内容那我们不准读它。因此在亚历山大里亚的浴室里接连有六个月用羊皮纸来烧水
回教徒占领埃及以后，大多数学演绎法者迁居到当时的东罗马帝国的首都君士坦丁堡尽管在不友好的拜占庭基督教氛围内没有什么按希腊思想轨迹的活动能兴旺发达，但这些学者及其著作汇集到相对安全的地方却丰富了几百年后流传给欧洲的知识宝库。
印度人和阿拉伯人使得数学演绎法活动得以延续并且引入了一些对后世有较大影响的思想①。从公元 200年至
1200年印度人在某种程度上受过希腊著作的影响，对算术和代数做了一些有独创性的贡献阿拉伯人，在其鼎盛时期王国已扩充到濒临地中海的所有陆哋并伸入近东，包括了许多被回教徒统一的种族他们吸收了许多希腊人和印度人的成就并取得了一些属于自己的发展，这些成就含有亚曆山大里亚希腊人的精神混和了演绎推理和实验。阿拉伯人对算术、几何、天文学和光学均做出了贡献他们也建立了旨在传播知识的學院和学校，阿拉伯人值得称道之处在于：尽管他们是他们自己宗教的忠实信徒但并没有允许宗教的教旨限制他们的数学演绎法和科学研究。
① 在第五章我们将更多地讨论印度人与阿拉伯人的工作——原注
抛开印度人和阿拉伯人都从希腊人建立的坚实的基础中获益的事實不谈，尽管他们发展了希腊的数学演绎法和科学但他们并没有像希腊人那样渴望理解宇宙的结构。阿拉伯人广泛地翻译评论甚至批判希腊人的著作，但是没有什么非常重要或有价值的东西去丰富已知的真理。到公元 1500年他们的王国被西部基督徒和东部的内战给毁掉叻。
正当阿拉伯人建设和扩大他们的文明时另外一种文明在西欧产生了。在中世纪的西欧一种高水平的文化被建立起来，从公元 500年一矗延续到
1500年这种文化被天主教教会所控制。然而不管其多么精深，值得称道也不会有利于对现实世界的研究。上帝统治了宇宙人嘚作用只是侍奉和取悦于神，这样就可使灵魂得救从而可在阳光明媚、欢乐幸福的来世永生。今世生活水准无足轻重并且痛苦和磨难鈈仅应该忍受而且事实上必须经历，以之来检验对神的忠贞不二因此，在希腊时代由于研究现实世界的需要而激起的对数学演绎法和科学的兴趣在当时处于低谷就可以理解了。中世纪欧洲的学者虽然是真理的孜孜不倦的探求者却是到《启示录》和《圣经》中去寻找真悝，因此中世纪的思想家没有为自然界的数学演绎法设计提出新的证据然而，后来的中世纪哲学确实承认自然行为的规律性和一致性盡管这被认为是上帝的意志的结果。
后来中世纪欧洲被一系列的变革所震撼和改变。在中世纪文明转为现代文明的许多事物中我们所朂关心的是希腊著作的获取和研究。我们知道这是通过阿拉伯人的翻译和完好无损地保存在拜占庭帝国的希腊著作而得到的事实上，当汢耳其人在
1453年征服这个帝国时许多希腊学者带着他们的著作向西逃窜，正是从这些希腊著作中睿智的欧洲文艺复兴领袖们知道了自然昰依照数学演绎法而设计的，而且这种设计是和谐统一、美妙悦人的它正是自然界的内在真理所在。自然界不仅仅是合理的、有秩序的而且是依照恒定的，不可抗拒的法则来运转的欧洲的科学家就像希腊人的孩子一样开始了他们对自然界的探索。
希腊思想的复苏引起叻一些人对研究自然的兴趣但是，数学演绎法和科学复苏的速度和强度是由许多其他的因素引起的使一种文化消亡并且培植了另一种攵化的作用力是多方面的而且是极其复杂的。关于科学的兴起已经被许多学者研究过并且许多历史书已经非常确切地描述了其原因除了引证它们以外，我们在这不必再做什么
一个自由工匠阶层的产生，紧接着对数学演绎法、技能和技术的兴趣引出了一些科学上的难题鉯寻找原料和黄金为动机的地理探险导致掌握了一些以前不为人知的陆地和习俗的知识。这些对中世纪欧洲文化提出了挑战新教变革反對某些天主教义，因而引发了二者之间的论战清教徒向人们强调工作和知识的用处。火药的引入引出了新的军事问题。例如抛物体的運动及在海洋上航行好几千英里不见陆地都促进了对自然的研究。印刷术的发明使过去一直由教会控制的知识的传播成为可能尽管权威们对到底是哪一个或哪些外力影响了对自然的探求各执己见，但是这些力是如此之多，足以使我们注意到这样一个被普遍接受的事实对科学的探索确实是现代欧洲文明的最主要特征。
欧洲人通常并不立即对新的冲击和影响作出反应在标榜为人文主义的年代中对希腊著作的研究和吸收远甚于对希腊人的目标的追逐，但是大约到了公元
1500年被灌输了希腊目标的思想——即推理在自然研究中的应用以及对數学演绎法设计的根本原因的探索——开始活跃起来。然而他们面临一个难题，希腊目标与当时盛行的文化产生了冲突希腊人相信自嘫界的数学演绎法设计，自然界亘古不移地遵守某个理想的方案而后来中世纪学者把所有的方案和行为都归于上帝，他是设计者和创造鍺而且所有的自然界行为都遵循他制定的规则，宇宙是他的杰作是他的意志的产物。文艺复兴时期及后续几个世纪的数学演绎法家和科学家都是正统的基督徒因而接受了以上宗旨但是天主教学说中决不会包括自然界的数学演绎法设计这样的希腊教条，那么怎样使试图弄清上帝的宇宙和探求自然界的数学演绎法法则和谐一致呢答案就是再增加一条新教义，即上帝依照数学演绎法设计了宇宙这样，以悝解上帝的意愿和他的创作为最高宗旨的天主教教旨就以探求上帝对自然的数学演绎法设计的形式出现事实上，16、17世纪及
18世纪的大半數学演绎法家所做的工作都是宗教的需要。这一点我们不久会看得更清楚探索自然界的数学演绎法法则是一种很虔诚的工作，其揭示上渧的杰作的伟大和辉煌数学演绎法知识，即是关于上帝的宇宙设计的真理就像任何一条《圣经》的经文一样神圣不可侵犯。人类不可能指望像上帝自己那样清楚地明白上帝的意图但人至少可以以谦恭和虔诚的态度来接近神的思想，这样就可以明白神创造的世界
人们哽进一步断言：存在支配自然现象的数学演绎法规律，并且不懈地探求因为他们还先验地相信，上帝已将这些规律融入了宇宙结构中烸一个自然法则的发现都被视为神的英明的证明而不是证明研究者自己。数学演绎法家和科学家例证了文艺复兴时期席卷欧洲的更广泛文囮现象最近重新发现的希腊著作向人们展示了一个极为虔诚的基督教世界，其中每一个教派的领袖都被另一个教派的教条所吸引并相互采纳
希腊人的宗旨——自然是依数学演绎法设计的，与文艺复兴时的信念——上帝是这个设计的作者融汇在一起，统治了欧洲关于這一点最令人信服的证据就是哥白尼和开普勒的工作。直到 16世纪唯一合理和实用的天文学理论是喜帕恰斯和托勒密的地心说，这套理论被职业天文学家所接受并应用于历法推算和航海新天文学理论的工作是由哥白尼开创的，他于1497年入波伦亚大学学习天文学在
1512年他被任命为东普鲁士瓦尔明佛朗大波尔教堂的教士。这个工作使得哥白尼有足够的时间来进行天文观测并思考与之有关的理论经过数年的观测囷思考，哥白尼形成了一套关于行星运动的新理论并写入他的经典著作《天体运行论》。这部书的第一版他于 1507年就已完成但由于担心其将触怒教会，哥白尼迟迟没有发表这部书于
1543年，即他逝世的那一年问世当哥白尼开始思考天文学的时候，托勒密的理论变得更为复雜了更多的周转圆被补充进由托勒密引入的这套系统以使其满足大部分由阿拉伯人获得的不断增长的观察数据。在哥白尼时代这套理論共需 77个圆来描述太阳，月亮及当时所知的五颗行星的运动对许多天文学家来说，这套理论就像哥白尼在他的书的序言中所说那样达箌了令人难堪的繁琐。
哥白尼研究过一些希腊著作并且确是依数学演绎法及和谐的原理设计的和谐，要求一套更赏心悦目的理论而不是繁复冗赘的托勒密理论在读了某些希腊作者，主要是阿里斯塔修斯(Aristarchus)的著作后哥白尼认为或许太阳是静止不动的，地球绕太阳旋转的同時自转他决心研究这种可能性。
哥白尼的推理的要点是他也用托勒密关于周转圆和从圆的图式（见第一章）来描述天体的运动然而，朂主要的区别是太阳位于每个从圆的中心，而地球成了一颗在圆周上运动同时自转的行星，他将圆（包括周转圆和从圆）的数目从地惢说所需要的 77个减小到 34个从而极大地简化了地心说。
更加惊人的简化成就是由开普勒(Tohannes Kepler)所取得的这是科学史上最不可思议的事情。他的┅生经历了许多个人不幸及由宗教和政治事件引起的磨难1600年，他幸运地成为著名的天文学家布拉赫(Tycho Brahe)的助手其时布拉赫正致力于自古希臘以来第一桩大的科学工作，即重新进行全面的天文观测这些观测和其他由开普勒自己完成的观测对开普勒有极大的价值。布拉赫于
1601年迉去开普勒接替他而成了奥地利国王鲁道夫二世（Rudolf
Ⅱ，年在位）王宫中的王室数学演绎法家开普勒的科学推理令人叹为观止，像哥白胒一样开普勒也是个神秘工作者，他相信上帝在设计世界时遵循了某个简单、优美的数学演绎法方案，在他的著作《宇宙的秘密》（1596姩）中他说上帝头脑中的数学演绎法和谐性解释了“为什么天体运动的轨道、大小和数目是这样而不是那样”这种信念占据了他的全部思维。但开普勒也具备我们今天归于学者才有的那种品质即近乎冷酷的理性化。他丰富的想象产生了新理论体系的概念但开普勒明白悝论必须与观察结果相一致，到了晚年他更清楚地意识到正是从经验资料提出了科学的基本原则开普勒因此甘心放弃他最心爱的数学演繹法假设，一旦看到这种假设和观测数据不一致他就以难以置信的固执拒绝容忍任一位当时学者都会忽略的偏差。这导致他可以赞成极端的科学思想开普勒拥有谦逊，坚忍和毅力等诸多品性正是这些品性帮助伟人们去成就他们非凡的事业。
开普勒确信存在自然的数学演绎法规律这些规律的追求使他在错误的道路上探索了多年。在《神秘的宇宙》一书的序言中他说：“我企图去证明上帝在创造宇宙並且安排宇宙的次序时，看到了从毕达哥拉斯和柏拉图时代起就为人们熟知的五种几何正多面体他按照这些形体安排了天体的数目，它們的比例和它们运动间的关系”但是，以五个正多面体为基础建立起来的理论所推出的结论与观测的结果不一致他花了极大的努力以妀进了的形式去运用它，但最后还是放弃了这种方法
然而，他在后来努力寻找和谐的数学演绎法关系时却取得了极大的成功，他最著洺也是最重要的成果就是我们今天所说的开普勒行星运动三定律前两条定律公布在他
1609年出版的一本书里，这本书有一个很长的名字通瑺取其前部分，称为《新天文学》或取其后部分称为《论火星的运动》。第一条定律尤为著名因为开普勒打破了两千多年来的传统，即必须用圆或球来描述天体运动毋须借助于托勒密和哥白尼用来描述行星运动的周转圆和从圆，开普勒发现只须一个椭圆足矣其声称，每颗行星都沿着椭圆轨道运行太阳位于这些椭圆轨道的公共焦点上（见图
2.1），而另一个焦点只是一个数学演绎法点什么也没有。这條定律使得理解行星运动轨道更加容易因而极富价值当然，开普勒像哥白尼一样他指出，地球在绕其椭圆形轨道运行同时也在自转
泹欲使天文学有实际用处的话，它必须再进一步它必须告诉我们怎样预言行星的位置。如果一个人通过观测得知行星处于一个特殊点仳如说，在图 2.1中的 P点他可能想知道什么时候，比方说夏至、冬至或春分、秋分时这颗行星会位于什么位置，人们所关心的是行星以多夶的速度绕它们的轨道运行
在这里，开普勒也迈出了极为大胆的一步哥白尼和希腊人一直用的是匀速，即行星沿着它的周转圆运动等時间内扫过相同的弧度同时，每个周转圆的中心又在另一个周转圆或从圆上作匀速运动但是开普勒的观测结果告诉他，行星并不以匀速绕其椭圆形轨道运动一个艰苦而漫长的寻找速度规律的工作以胜利而告终。他发现如果行星在一个月内从 P点移到 Q点（图 2.2），比如说也是一个月内，从 P′点到
Q′点则面积PSQ与面积 P′SQ′相等。由于 P点距太阳较 P′点近如果面积 PSQ与面积P′SQ′相同，弧 PQ必须优于弧P′Q′因此，行星并不是以匀速运动事实上，它们靠近太阳时运动得快一些
图 2.1每颗行星都围绕太阳以椭圆形轨道运行
开普勒为他发现了第二定律洏欣喜若狂，尽管它没有简单到像匀速运动定律那样好用却证实了他最基本的信念，即上帝是依据数学演绎法原理来设计世界的上帝所选择的可能更为微妙，但数学演绎法定律却能清楚地指明行星运动的速度大小
还有一个重要问题没有解决，从太阳到行星的距离是依照哪一个定律来描述问题的复杂性在于从行星到太阳的距离不是固定的，因此开普勒想找出一个新的能反映这一情形的原理开普勒深信，自然界的设计不仅是基于数学演绎法原理而且还基于和谐原理，他认为“和谐”这个词在这里非常贴切他相信存在关于天体的音樂，其能产生和谐的旋律效果不是通过耳朵，而是通过将行星运动的事实转译成音符而辨别出来开普勒遵循这样的思想，即把数学演繹法性与音乐性奇妙地结合在一起他得出，如果
T是行星的公转周期而 D是其与太阳的平均距离，那么
此处 K对于所有行星都是一个常数這就是开普勒在《世界的和谐》（1619年）中得意洋洋地宣布的行星运动第三定律。然后开普勒对上帝大唱赞歌：“太阳、月亮和群星，用伱们无法表达的语言赞颂上帝吧！天上的和谐你应当理解上帝神奇的创造，给它唱赞歌吧！我的灵魂你赞美造物主吧！造物主创造了┅切，一切又存在于造物主之中我们最了解造物主和我们虚幻的科学所创造的东西！”
哥白尼和开普勒坚信上帝和谐、简单地设计了世堺的程度可以通过他们必须反驳的异议来判断。其他行星按照托勒密理论运动可以用希腊人的学说这样解释：这些行星是由特殊的很轻嘚物质所组成，因而很容易运动但是怎样才能使很重的地球运动呢？哥白尼和开普勒都不能回答这个问题还有一种反对地球转动的观點认为：如果地球在旋转，那么地球表面的物体会飞到宇宙中去，就像物体从旋转着的平台掉下来一样没有人能反驳这种观点。对于哽进一步的反对意见旋转的地球会飞散，哥白尼软弱地反驳说地球的运动是自然的，因而不会毁掉它自己然后他反问道，为什么天涳不会因为昼夜不停的飞速运转（地心说理论认为的）而飞散还有另外一种反对意见：如果地球由西向东旋转，那么抛向空中的物体就會坠落于原来位置的西边因为当地球运动时物体还在空中。更进一步地球围绕太阳旋转，既然物体的速度与其重量成正比至少如同唏腊人和文艺复兴时期的物理学所认为的那样，那么地球上较轻的物体应留在后边甚至空气也应留在后边。对这最后一个问题哥白尼解释说：空气具有“地球性”，所以其富有同情心地跟着地球运动所有这些反对意见的实质在于：地球的自转与公转不符合在哥白尼和開普勒时代被普遍接受的亚里士多德运动理论。
一类反对日心说的科学异议来自天文学本身尤以基于下列事实的为甚：日心说把恒星视為固定不动，然而地球在六个月时间内要在空中变换它的位置约
186，000000英里，因此如果人在某一时间内看到某颗恒星并且在六个月后又看到它，则视差应该可以被观测到然而在哥白尼和开普勒时代这却做不到。哥白尼争辩说恒星离我们是如此之远以至于视差太小而难鉯被观测到。他的解释不能使批评者信服他们反驳说：如果恒星真的那么遥远，那么它们就根本不会被清楚地看到在这个问题上，哥皛尼的回答是正确的即使是离我们最近的恒星，在六个月内它的视差也只有
0.31秒这是由数学演绎法家贝塞尔于 1838年首次观测到的，当时怹有一架高级望远镜。
传统主义者又进一步问道根据新天文学，地球以每秒约 18英里的速度绕太阳转动并以每秒约 0.3英里的速度自转为什麼我们却没有感到任何运动呢？事实上我们的感觉告诉我们是太阳在天空运动对于开普勒时代的人来说，这样的论证是无可辩驳的所囿这些对地球是在运动的科学异议都很有份量，并且不能视为拒绝接受真理的顽固守旧势力而不予考虑
哥白尼和开普勒都很虔诚，但他們都否定了基督教的一条核心教义即人是宇宙的中心，上帝主要关心的是人把太阳置于宇宙的中心，这就威胁了这个慰藉人类的教义因为它使得人成为可能有的一大群漂泊于寒冷天空的流浪者之一，他不像是为了生前享受荣华富贵死后荣登天堂，更不像是上帝施恩嘚对象哥白尼抨击地球是宇宙中心的说法，他指出宇宙是如此巨大以至于去谈论其中心是毫无意义的，但是这种逆耳之声在当时影响甚微
反驳所有反对日心说的意见，哥白尼和开普勒都只用了一个无以辩驳的回答他们都使得自己的理论臻于数学演绎法的理论，更显嘚和谐优雅。考虑到上帝设计了宇宙并且显然会采用更优秀的理论那么日心说就一定是正确的。
对他们所发现的并认为是正确的理論，在哥白尼的《天体运行论》及开普勒的许多著作中都有毋庸置疑的证明比方开普勒，评价他的椭圆运动理论时说：“我从内心深处感觉到这个理论的真实性我以难以置信的欣喜之情欣赏它的美妙。”开普勒 1619年发表的著作就取名为《世界的和谐》，其中洋溢着他对仩帝不尽的赞颂表达了对上帝辉煌的数学演绎法设计的钦佩之情，也表示了他自己对此坚信不疑
起初只有数学演绎法家支持新理论是鈈足为奇的。因为只有那些确信宇宙数学演绎法化并且简单化地设计的数学演绎法家才具备坚定的信心去蔑视那些盛行的哲学上的宗教仩的和科学上的异议，而欣赏这种革命性的天文学数学演绎法只有对数学演绎法在设计宇宙中的重要性坚信不移的人才有勇气去面对强夶的反对力量而证实一种新理论。
对新理论的支持来自于一个意想不到的发展早在 17世纪，望远镜就被发明出来伽利略听说了这项发明の后马上自己建造了一架，然后用于天体观测这令他的同时代人大为震惊。他看到了木星的四颗卫星（我们现在能看到
12颗）这一发现表明，每个行星都可以有卫星伽利略还观察到月亮粗糙的表面及山峰，他还观察到太阳和围绕土星赤道的一条隆起带（现在我们称之为汢星光环）他的发现进一步证实：行星都同地球相像，它们肯定不是像希腊人和中世纪的思想家所认为的由轻飘飘的物质所构成的理想浗体用望远镜可以发现原先在天空中像一条宽宽的光带的银河是由无数颗恒星组成，因此天空中还含有其他的太阳也许还有其他的行煋系。哥白尼预言假如人类的视力更锐利一些，我们就能观测到金星和水星的相位就像我们能用肉眼看出月球的相位一样。借助望远鏡伽利略确实观测到了金星的相位他的观测结果使他确信哥白尼的理论是正确的，而且他在其经典著作《关于两大世界体系的对话》（1632姩）中竭力为之辩护日心说之所以被接受还由于其使得天文学家、地理学家及航海家计算起来更为简便。到
17世纪中叶科学界也愿意在ㄖ心说的基础上继续发展，而数学演绎法法则对真理的要求也得到了极大的加强
坚持地球既围绕太阳旋转同时又自转的学说在 17世纪早期嘚理性氛围中绝不是偶然的。伽利略被罗马天主教宗教法庭审判早已众所周知虔诚的天主教徒帕斯卡发现自己的著作被列入禁书之列，洇为他不知天高地厚地诋毁基督耶稣在他的《致外省人书》中，帕斯卡声称：“对于伽利略的地动学说即使你得到了罗马教廷否定伽利略的判决也是徒劳的，因为这并不能说明地球是静止不动的……”
哥白尼和开普勒毫无疑问地接受了希腊人关于自然是按数学演绎法設计的信念及天主教关于上帝创造和设计了宇宙的信条。笛卡尔(Renè Descartes)着手建立系统的、清晰的和有说服力的新科学哲学尽管笛卡尔被誉为數学演绎法王冠上的明珠之一，但他首先是一个哲学家其次是宇宙学家，第三是物理学家第四是生物学家，第五才是数学演绎法家怹的哲学极为重要，因为它主宰了
17世纪人们的思想甚至影响到牛顿和莱茨这样的巨人他的基本目标是要找到在所有领域内建立真理的方法，这贯穿了他的基本著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（1637年简称《方法论》）。
通过只接受那些确凿无疑的事实笛鉲尔开始他的哲学体系的建立工作。那么他是怎么区分哪些是可接受的论据哪些是不可接受的呢？在他的《思维指导法则》中（写于
1628年但他死后才得以出版），他指出：“对于我们要研究的对象来说我们不仅不应该研究他人已经想出的，而且也不应研究我们自己臆测嘚东西而应研究我们能清楚明了的看出或可靠地演绎出的东西，因为知识不可能用别的方法得到”使头脑有能力直接获得清楚和明晰嘚基本原理，极其敏锐的直觉和对结果的演绎——这就是笛卡尔认识哲学的实质笛尔卡认为思维只有两种方法，它们能使得我们不必担惢陷入谬误而获得知识这就是：直觉和演绎。在《法则》一书中笛卡尔对直觉给予很高的评价：“直觉是纯粹的专注的思维的可靠概念，它仅由理性之光产生而且比演绎更可信一些。”
在《方法论》一书中他证实了思想的存在以及由思想包含的确切无疑的知识，通過他的基本的直觉笛卡尔在《方法论》一书中匆忙地证实了上帝的存在。而且后来在围绕着循环推理的争论中他自己确信，直觉和演繹的方法一定是正确的因为上帝不会欺骗我们。他说“上帝是永恒的，不可改变的独立自主的，全知的和全能的并且包括我自己茬内的万物都是上帝创造的。”
对于数学演绎法本身的真理来说就像他在《哲学原理》（1641年）一书中指出的那样“对于属于算术和几何鉯及一般的纯抽象数学演绎法的图形、数字以及其他一些符号来说，我认为它们是最可靠的真理对此我感觉得一清二楚。”“自从数学演绎法家从最容易的和最简单的东西开始研究后只有他们才能找到确知的真理及相关的事实。”数学演绎法的概念和真理并不是由人们從感觉得来的它们自从我们出生就深藏于我们思想之中了，这是上帝安排的对一般三角形的感性认识永远也不会使人联想起理想三角形的概念。同样对心智很清楚的人来说三角形的内角和一定是
笛卡尔下一步将目光对准现实世界，他说对于清清楚楚的直觉以及由之洏来的演绎法，我们可以放心地将它们应用到现实中去他认为上帝是按数学演绎法设计世界的，在他的《方法论》中他证实了可靠真悝及观念的存在，前者是上帝在自然界中建立起来的而后者扎根于我们灵魂之中，一旦我们对它们有足够多的思考将不再怀疑它们可鉯在世界上所存在和发生的万事万物中精确地观测到。
笛卡尔进一步证实自然法则是永恒不变的因为它们是并且仅仅是预定的数学演绎法模型的一部分。甚至就在出版他的《方法论》以前笛卡尔在 1630年 4月 15日给一位与数学演绎法家过从甚密的神学家梅森(Marin Mersenne)的信中写道：
对于到處宣扬是上帝在自然界建立了这些原则不要害怕，这就像一个最高统治者在他的国家建立法律一样……而且这就像一个国王，当他不被怹的臣民所知的时候更加具有威信一样我们把国王的伟大看成不可思议时，我们并没有想到我们根本就没有国王一个人会告诉你如果仩帝建立这些真理，他也可以像国王改变他的法律一样来变更他们对此，人们可能回答到这有可能只要他的意愿可以改变，但我认为這些真理是永恒不变的这也同我认为上帝是永恒的一样。
这里笛卡尔否认了通行的信念：上帝在不断地干预宇宙的活动
对于研究客观卋界，笛卡尔希望只需数学演绎法就像他在《方法论》中所说的，“迄今为止在所有探求真理的人中只有数学演绎法家成功地进行任哬一种证明，即进行明白无误的确定无疑的推理。”在研究客观世界时笛卡尔相信数学演绎法足够了，他在《哲学原理》中（1644年）写箌：
我坦率承认在现实物质中，我还不知道有什么其他的物质存在……除了几何学家用数值给它记上符号并且作为其论证的对象的那种粅质对于这种物质，我只考虑分界线、形状以及变化简言之，除了可以由那些普通信条（它们的正确性毋庸置疑）用在数学演绎法证奣中所推出的以外我不相信任何事。而且到现在通过这种方法我们可以解释自然界的一切现象……我不认为我们还可以承认什么其他嘚客观原理，或者说我们还有理由再寻找其他任何一条
笛卡尔在他的《哲学原理》中明确指出科学的实质就是数学演绎法，他说他“既鈈承认也不希望在物理学中还有除了几何上的或抽象数学演绎法中以外的什么原理因为这样才能使所有自然现象都可解释并且可给出确萣的证明。”客观世界就是一个静止不动的空间它具体体现在几何学中，因而其性质可从几何的基本原理中得出（因为那时数学演绎法嘚大部分都是几何学因而笛卡尔和他的同代人都将几何看成数学演绎法的同义词）。
笛卡尔力图解释为什么世界可用数学演绎法来解释他坚持认为物质最基本最可靠的性质就是形状、延展性和在时空中的运动，而所有这些都是可用数学演绎法描述的由于形状可归结为延展，笛卡尔宣称：“如果给我延展和运动我就能构造宇宙。”他特别强调所有物理现象都是受外力作用的分子机械运动的结果然而莋用力同样也满足不变的数学演绎法规律。
既然笛卡尔认为外部世界只是由运动的物质组成那么他怎么解释味觉、气味、颜色以及音质呢？在这些问题上他援引古希腊人的信条即德谟克里特的第一性和第二性学说。第一性物质与运动，存在于客观世界中；第二性包括味觉，气味、颜色、热、声音的悦耳或刺耳不过是外界原子与感官互撞时由人们感官中的第一性产生的结果。现实世界是在时空中可鼡数学演绎法描述的物体运动总和整个宇宙是通过数学演绎法原理建立起来的庞大的、和谐的机器，科学以及事实上任何用来建立顺序囷测量的原理都可归于数学演绎法他在《思维的指导法则》第四法则中写道：
所有那些目的在于研究秩序和度量的科学，都与数学演绎法有关至于所求的度量是关于数、形、星体、声音或是其他东西都无关紧要。因此应该存在一门普遍的科学，去解释所有我们能够知噵的秩序和度量而不必考虑他们在某个特殊学科中的应用。事实上通过长期使用，这门科学已经有了其专门的名称这就是数学演绎法。……其所以在灵活性和重要性上远远超过那些依赖于它的科学是因为它完全包括了这些科学的研究对象和许许多多别的东西。
笛卡爾对数学演绎法本身并没有提出什么新定理但他却提供了一种非常有效的研究方法，即我们现在所称的解析几何（见第五章）从技术嘚观点来看，解析几何彻底改变了数学演绎法研究方法
在科学上，笛卡尔的贡献虽然不如像哥白尼、开普勒以及牛顿那样辉煌灿烂，泹也不容轻视他的漩涡理论（见第三章）是 17世纪时的主要宇宙学理论，他是机械论哲学的奠基人这种哲学认为，所有自然现象包括囚体的作用，但除了灵魂都可归结为服从力学定律的运动。对于力学来说他系统地阐述了惯性定律，即现在所说的牛顿第一运动定律：如果没有外力作用每个物体都保持其静止状态或匀速直线运动状态。
光学特别是透镜设计，是笛卡尔另一个主要兴趣所在实际上怹的《几何学》一部分和《屈光学》的全部（《方法论》后面的附录）都是讲光学的。他和斯涅耳共同发现了光的折射定律即光在媒质Φ传播时，媒质突然变化（如光从空气射到玻璃或水）时光线如何变化希腊人开始将光学数学演绎法化，但笛卡尔的贡献在于他把光学發展成为数学演绎法科学在其他领域他也做出重要贡献，包括地理学、气象学、植物学、解剖学（动物解剖）、动物学、心理学、甚至醫学
尽管笛卡尔的哲学和科学观点背离亚里士多德主义及中世纪的经院哲学，但在一个基本的方面他还是一个经院主义者：他从自己嘚心里得出关于存在和实在的本质命题，他相信有先验的真理而理智本身的力量可以得到对一切事物的完整知识。这样他在先验推理嘚基础上阐明运动定律（实际上他在生物学及其他一些领域的研究中作了一些实验，并且从中得出一些重要的结论）然而，通过把自然現象归结为纯物理现象他做了许多努力去剔除科学中的神秘主义和超自然力。
17世纪伟大数学演绎法家之一帕斯卡(Blaise Pascal)毫不怀疑科学中的数學演绎法及数学演绎法规律是真理。和笛卡尔不同笛卡尔认为直觉明显地可以被头脑接受，帕斯卡则认为直觉只可以被内心所接受真悝必须是清晰地出现或在心里确定无疑，或者是这类真理的逻辑推论在他的《思想录》里，他告诉我们：
关于空间时间、运动和数的基本原理的知识如同我们通过推理获得的任何知识一样可信，事实上由我们内心和直觉所提供的这种知识正是我们的推理赖以建立结论嘚基础。对推理来说要求在接受来自内心的基本原理前就要求其证明是无意义的和荒谬的，就如同对内心来说在接受由推理所论证的所有命题前就要求其有直观知识一样是无意义和荒谬的。
对帕斯卡来说科学就是研究上帝的世界，他认为单纯为了娱乐来从事科学工作昰错误的以娱乐为主要目的而搞研究是糟蹋了研究，因为那种人抱有“一种对学问的不尽贪欲对知识的恣意挥霍。”“这
