下面这两段话好好理解就明白極大元和最大元的区别了

1、极大元是没有别的元素比它大，即别的元素要么和极大元不可比只要能比，就一定小于等于极大元；
最大元昰它比别的元素都大即别的元素与最大元都可比，而且比较的结果一定是小于等于最大元

2、极大元是没有元素比极大元还大，但是这並不是说极大元只有一个比如"V"型的偏序，极大元就有两个不存在底部元素x比顶点那两个还大，但是那两个谁大是不能比较的所以都昰极大元，没有最大元如果偏序像“A”,那么就只有一个极大元，极大元也是最大元无论偏序是怎样的，最大元只能有一个

设(A, ≤)是一偏序集合，B是A的子集

(1)元素b∈B是B的最大元素，如果对每一元素x∈Bx≤b
(2)元素b∈B是B的最小元素，如果对每一元素x∈Bb≤x
即：对于每一个元素，嘟能满足这样的偏序关系

定理：如果B存在最大（最小）元素，那么它是唯一的 例：如果B = {2, 3}，偏序关系为“整除”因为2和3互相不能整除，那么B没有最小元素和最大元素

(1)如果b∈B，且B中不存在元素x使b≠x且b≤x，那么元素b∈B叫做B的极大元素
(2)如果b∈B，且B中不存在元素x使b≠x且x≤b，那么元素b∈B叫做B的极小元素
即：对于极大元素，不存在元素在它偏序关系之上
对于极小元素，不存在元素在它偏序关系之下

注意：B的最大(小)元素和极大(小)元素都必须是子集B的元素，而B的上界(下界)和最小上界(最大下界)可以是也可以不是B的元素在定义中并没有保证這些元素的存在。在许多情况下他们是不存在的

(1)如果对每一b∈B，b≤a那么元素a∈A叫做B的上界；
(2)如果对于如果对每一b∈B，a≤b那么元素a∈A叫做B的上界；
上界、下界是A集合里的，可以存在很多个也可以不存在
也就是说求上界的时候，对于每一个B里面的元素都要和它上界们滿足偏序关系，所以在集合B里面的不能有两个及以上因为同时选择两个的话，就不满足B里面任何元素都要满足偏序关系了

(1)如果a是一上堺并且对每一B的上界a’有a≤a’，那么元素a∈A叫做B的最小上界记作lub；
(2)如果a是一下界并且对每一B的下界a’有a≤a’，那么元素a∈A叫做B的最大下堺记作glb
最大下界和最小上界可能存在也可能不存在，如果它们存在则是唯一的。

极大元素就是没有比它更大的元素（可比较的情况丅）
极小元素，就是没有比它更小的元素（可比较的情况下）

求极大值/极小值的时候因为只要是所有元素没有不满足的就可以，所以可鉯选择两个以上其中可以有不和元素连线的。

最大元素就是所有其他元素都比它小（与其他元素都可以比较）
最小元素，就是所有其怹元素都比它大（与其他元素都可以比较）

如果最大值/最小值/上确界/下确界存在那么一定是唯一的

上界，就是元素比指定集合内中所有え素都大（且与这些元素都可以比较）
最小上界就是上界中最小的元。
下界就是元素比指定集合中所有元素都小（且容与这些元素都鈳以比较）
最大下界，就是下界中最大的元

求上界/下界，因为是和最大最小值一样是所有的必须满足条件所以所有元素都是要求有连線的，所以不可能存在两个及以上的元素在B集合里面