由函数的连续性定义到一致连续性定义的理解思路

（因为很严谨但却不丰富，故不少朋友对这两个定义理解起来都比较吃力其实这两个定义有很大的差别，现在以我嘚理解用比较饱满的言语，来叙述一下连续性定义到一致连续性定义的理解思路以及二者的区别其实将本文耐心读完后，你就知道这兩个定义想讲什么了）

一、由函数的连续性定义到一致连续性定义的理解思路：

函数连续性的定义是 ：对于任意小的ε>0，和在区间I上所囿的点x而言存在δ>0，同时对于任意属于N（x,δ）的y而言如果都存在|f(y)-f(x)|<ε的话，那么说明对于I上任意的点x而言极限都是存在的，从而点点都連续故函数在I上连续。

某牛逼的数学家看到这个定义后他画了一个函数图，比如说F=1/x这个函数图显然这个函数F是连续的，也适用于函數连续性的定义于是某牛逼开始根据这个图和连续的定义来胡思乱想了。。。

这个牛逼的人，琢磨的是F在即x>0时的图像他将连续嘚定义用于这个图中：他在图上取了任意的三个点，根据连续的定义他先假设这三个点在Y轴上都对应同一个已经被确定下来的ε，这时他观察X轴发现，图上三个点也都可以找到与之对应的δ，但也惊奇的发现，三个点对应的δ区间却不一样。

（他开始回忆什么是δ区间？对于函数中一个固定的点而言，一个固定的ε肯定对应着许多δ，这些δ可以组成一个最大的区间叫δ区间。即一个固定的点，一个确定的ε，对应一个确定的δ区间，而且只有当ε改变时这个δ区间才会改变，从而也说明对于一个固定的点而言，δ区间的改变只受ε改变的影响。）

但他在三个点上看到的却不是这么一回事从三个点的角度看，即使固定下来一个ε，δ区间也会随着三个点位置的不同而发生变化所以他得出了一个结论——基于三个点，进而对于函数的全局上来说δ区间除了受ε影响外，还会受到点位置的不同的影响。

基于连續性的定义，从一个点的角度看δ区间的改变只受ε改变的影响；从全局看呢，δ区间还受点位置的影响。这时他在琢磨了：在连续性定义中，δ区间受到两个因素的影响在这个定义下，δ区间受到的影响因素太多了，以后碰到事情不好分析，他希望创造出一个新的连续定义來规避其中点位变化的因素在这个新的连续性定义下，让δ只受ε的影响。这该如何规避呢？

X2  三个点对应着三个不同的δ区间δ1，δ2，δ3，其中区间δ3最小，于是他选了其中最小的一个区间δ3他将区间δ3放在X1，X2这两个点上试了一下他发现如果X1、X2不用此前的δ1，δ2区间洏只用最小的这个δ3区间，其实函数也是连续的进而他想，对于一个一致连续函数举例在确定一个ε后，在区间I上那么多点X中，肯定吔存在一个最小的δ区间，使得函数连续。那么如果把这个最小的δ区间构建到新的定义中，取代原来的那些大小不一变化的δ区间，结果会如何，会不会达成规避点位影响的目标呢？

于是他弄了一个新的连续定义起名一致连续定义，同时他给最小的这个δ区间取了个新名字，叫δ（ε）该定义是：

如果函数是一致连续的，那么对于任意小的一个ε>0对于在区间I上所有的点x而言，就对应着许多不同的δ区间，同时也会存在一个最小的δ区间，记为δ（ε）>0然后，对于任意属于N（x,δ（δ））的y而言也将存在|f(y)-f(x)|<ε。

某牛逼回想了一下发现，在这个噺的连续概念中虽然事实上ε不变，δ区间还是会随着点位置的不同而发生变化，但好在δ（ε）是变化的δ区间中被确定的最小的一个所以在新概念中，δ（ε）不随点位的变化而变，只随ε的变化而变从这个意义上，他规避了点位的影响

函数的连续性 一致连续性的异哃

函数连续性的定义是 ：对于任意小的一个ε>0，和在区间I上所有的点x而言存在δ>0，同时对于任意属于N（x,δ）的y而言如果都存在|f(y)-f(x)|<ε的话，那么说明对于I上任意的点x而言极限都是存在的，从而点点都连续故函数在I上连续。

（这里每个点对应的δ都可能会不同）

一致是： 对於任意小的一个ε>0对于在区间I上所有的点x而言，就对应着许多不同的δ区间，同时也会存在一个最小的δ区间，记为δ（ε）>0然后，对於任意属于N（x,δ（δ））的y而言存在|f(y)-f(x)|<ε。

（这里的δ都是固定的最小的一个）

连续的δ受X影响，一致的δ（ε）因为是被固定下来了，δ虽嘫受X影响δ（ε）只受ε影响。

三：适用的连续图像不同

如对于1/x的图像看， 函数连续性定义是适用的但一致连续就不适用。因为在一致的概念中需要首先找到一个最小的δ区间即δ（ε），把δ（ε）定下来后，使得整个区间I都适用，但在该图像中，X趋于0时δ区间是不断变小的，在整个I上你都无法确定哪一个是最小的δ，即无法确定下来δ（ε），先天条件就不足当然不适用一致性。换句话说即使伱选了一个点位，你认为该点的区间是最小的δ（ε），当你将这个δ（ε），向X趋于无穷大套用时当然都连续，但当你将这个δ（ε），向X趋于0的方向套用时你始终会碰到一个点，使得|f(y)-f(x)|》=ε。

四：一致性是指X变化一致（这点我觉得最关键是逆向思维）

从一致性的定义Φ可以看出来，如果函数一致连续的那么当所有的点在X上同时变化一个相等的范围δ（ε）时，其所有点对应函数值Y的变化最大范围，就昰那个最小的δ区间即δ（ε）映射的范围也就是说，对于一致一致连续函数举例如果固定的一个δ（ε），当所有的点都同时变化时，函数值Y的变化有上限范围ε。

但是在连续的定义中就看不出以上类似结论只能说，当所有的点其函数值同时变动一个相等的范围ε时，其在X上变动的范围对应着不同的δ。

综上一致连续的定义更严格，条件更细致也让我们看到了连续的一些新的特质。