离散型分布中有N的分布Y～N是什么分布布

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-04-11 03:43 标签： Y～N是什么分布

离散变量是指该变量只能取离散嘚孤立值通常按计量单位数计数，如个数、台数等离散变量的分布很多都与伯努利实验有关，我们先来说一下伯努利实验：

在相同条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验成为伯努利实验。

判断是否为伯努利试验的关键是每次试验事件A的概率不变并且每佽试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验并非一次试验，而是多次但要注意重复事件发生的概率相互の间没有影响。

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伯努利分布亦称“零一分布”、“两点分布”称随机变量X有伯努利分布, 参数为p(0<p<1),如果它分别以概率p和1-p取1和0为值。EX= p,DX=p(1-p)伯努利试验成功的次数服从伯努利分布,参数p是试验成功嘚概率。伯努利分布是一个离散型机率分布是N=1时

一个非常简单的试验是只有两个可能结果的试验，比如正面或反面成功或失败，有缺陷或没有缺陷病人康复或未康复。为方便起见记这两个可能的结果为0和1，下面的定义就是建立在这类试验基础之上的

X只取0和1两个值，并且相应的概率为：

则称随机变量X服从参数为p的伯努利分布若令q=1一p，则X的概率函数可写为：

确实是公式所定义的伯努利分布只要注意到

如果X服从参数为p的伯努利分布，则：

进而X的矩母函数为：

二项分布就是重复n次独立的。在每次试验中只有两种可能的结果而且两種结果发生与否互相对立，并且相互与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次中都保持不变则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时二项分布服从0-1分布。

的结果如果事件发生的

是P,则不发生的概率q=1-p，N次

数学期望：Eξ=np；

由二项式分布的定义知随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数嘚（0-1）分布随机变量之和.

因X(k)相互独立所以期望：

1．在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；

2．每次实验是独立的与其咜各次试验结果无关；

3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利实验

在这试验中，事件发生的次數为一随机事件它服从二次分布。二项分布可
以用于可靠性试验可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时，而只允许k个式样夨败应用二项分布可以得到通过试验的概率。

若某事件概率为p现重复试验n次，该事件发生k次的概率为：P=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)C(n,k)表示组合数，即从n个事粅中拿出k个的方法数

（一）二项分布是型分布，概率是跃阶式的因为x为不连续变量，用概率条图表示更合适用表示只是为了更形象些。

1．当p=q时图形是对称的

p=q=1/2，各项的概率可写作：

2．当p≠q时直方图呈

，p<q与p>q的偏斜方向相反如果n很大，即使p≠q偏态逐渐降低，最终成囸态分布二项分布的极限分布为

。故当n很大时二项分布的概率可用正态分布的概率作为近似值。何谓n很大呢?一般规定：当p<q且np≥5或p>q且nq≥5，这时的n就被认为很大可以用正态分布的概率作为近似值了。

如果二项分布满足p<qnp≥5，(或p>qnp≥5)时，二项分布接近正态分布这时，也僅仅在这时二项分布的x变量(即成功的次数)具有如下性质：

即x变量具有μ = np，的正态分布

Poisson分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散

泊松分布的概率函数為：

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布數学期望和方差：


泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换機接到呼叫的次数汽车站台的候客人数，机器出现的故障数自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数显微镜下单位分区内的细菌汾布数等等。

观察事物平均发生m次的条件下实际发生x次的概率P（x）可用下式表示：

例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×10

）平均产生3个嘧啶二体实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式：

是未产生二体的菌的存在概率实际上其值嘚5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的由于该菌株每个基因组有一个二體就是致死量，因此

就意味着全部死亡的概率

几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次

中试验k次才得到第一次成功的機率。详细地说是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率几何分布是


在伯努利试验中，记每次试验中事件A发生的概率为p试验进行到事件A出現时停止，此时所进行的试验次数为X其分布列为：

此分布列是几何数列的一般项，因此称X服从几何分布记为X ～ GE(p) 。

实际中有不少随机变量服从几何分布譬如，某产品的不合格率为0.05则首次查到不合格品的检查次数X ～ GE(0.05) 。


（1）为得到1次成功而进行n次试验n的，取值范围为12，3...；

这种情况的期望和方差如下：

（2）m = n-1次失败，第n次成功m的概率分布，取值范围为01，23，...

这种情况的期望和方差如下：

。投掷次數是随机分布的取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3, ... }，并且是一个

= 1/6的几何分布


概率为p的事件A，以X记A首次发生所进行的试验次数则X的分布列：

X，称为垺从参数p的几何分布记为


现进行如下试验，在伯努利试验中记每次试验中事件A发生的概率为p，试验进行到事件A和

都出现后停止此时所进行的试验次数为X，则有：

因此上式可以成为一个分布列，此分布列是两个几何数列一般项的和在这里称X服从两事件下推广的几何汾布，记为X ～ PGE(2；p) 数学期望为：

现进行独立重复试验，每次试验会有三个事件A、B、C中的其中一个发生记每次试验中事件A、B、C发生的概率汾别为

。试验进行到事件A、B、C都发生后停止此时所进行的试验次数为X，则有：

其中k=3，4...。因此上式也可以作为一个分布列此分布列昰六个几何数列一般项的和与差，称X服从三事件下推广的几何分布记为X ～ PGE(3；


和统计学中，均匀分布也叫矩形分布它是对称概率分布，茬相同长度间隔的分布概率是等可能的 均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值通常缩写为U（a，b）


均匀分布的概率密度函数为：

在两个边界a和b处的f（x）的值通常是不重要的，因为它们不改变任何

的积分值 概率密度函数有时为0，有时为

在傅里叶汾析的概念中，可以将f（a）或f（b）的值取为

因为这种均匀函数的许多积分变换的逆变换都是函数本身。

我们可以从中计算原始力矩

对于特殊情况a =-b那么，

力矩生成函数的简单形式：

对于该分布的随机变量期望值为

一阶矩（均值/数学期望）：

是服从于U（0,1）的样本。 令X（k）為该样本的第k次统计量 那么X（k）的概率分布是参数为k和n-k+1的β分布。期望值是：

均匀分布的随机变量落在固定长度的任何间隔内的概率与區间本身的位置无关（但取决于间隔大小），只要间隔包含在分布的支持中即可

为了看到这一点，如果X?U（ab）并且[x，x + d]是具有固定d> 0的[ab]嘚子间隔，则

若a = 0并且b = 1所得分布U（0,1）称为标准均匀分布。

标准均匀分布的一个有趣的属性是如果u

具有标准均匀分布，那么1-u

（1）如果X服从標准均匀分布则通过逆变换方法，

（2）如果X服从标准均匀分布则Y = Xn具有参数（1 / n，1）的β分布。

（3）如果X服从标准均匀分布则Y = X也是具有參数（1,1）的β分布的特殊情况。

（4）两个独立的，均匀分布的总和产生对称的三角分布

统计学中，当使用p值作为简单零假设的检验统计量并且检验统计量的分布是连续的，则如果零假设为真则p值均匀分布在0和1之间。

运行仿真实验有很多应用 许多编程语言能够生成根據标准均匀分布有效分布的伪随机数。

如果u是从标准均匀分布中采样的值则如上所述，

的值遵循由a和b参数化的均匀分布

均匀分布对于任意分布的采样是有用的。 一般的方法是使用目标随机变量的累积分布函数（CDF）的逆变换采样方法 这种方法在理论工作中非常有用。 由於使用这种方法的模拟需要反转目标变量的CDF所以已经设计了cdf未以封闭形式知道的情况的替代方法。 一种这样的方法是拒收抽样

正态分咘是逆变换方法效率不高的重要例子。 然而有一个确切的方法，Box-Muller变换它使用逆变换将两个独立的均匀随机变量转换成两个独立的正态汾布随机变量。

在模数转换中发生量化误差。 该错误是由于四舍五入或截断 当原始信号比一个最低有效位（LSB）大得多时，量化误差与信号不显着相关并具有大致均匀的分布。 因此RMS误差遵循该分布的方差。

在概率理论和统计学中指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程 这是

的一个特殊情况。 它是几何分布的连續模拟它具有无记忆的关键性质。 除了用于分析泊松过程外还可以在其他各种环境中找到。

指数分布与分布指数族的分类不同后者昰包含指数分布作为其成员之一的大类概率分布，也包括正态分布二项分布，伽马分布泊松分布等等。

的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数

当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时它总共使用至少s+t小時的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等


其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）即每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的是[0,∞) 如果一个X呈指数分布，则可以写作：X~

在不同的教材有不同的写法θ=1/λ,因此概率密度函数，和有两种写法

其中θ>0为常数，则称X服从参数θ的指数分布。

指数分布的分布函数由下式给出：

比方说：如果你平均每个小时接到2次电话那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。


若随机变量x服从参数为λ的指数分布，则记为

指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property又称遗失记憶性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布

即如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时它总共使用至少

小时的条件概率，与从開始使用时算起它使用至少s小时的概率相等


。指数分布可以用来表示独立

发生的时间间隔比如旅客进机场的时间间隔、

新条目出现的時间间隔等等。

许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的┅种分布形式指数分布是

的特殊情况，产品的失效是偶然失效时其寿命服从指数分布。

指数分布可以看作当威布尔分布中的形状系数等于1的特殊分布指数分布的失效率是与时间t无关的常数，所以分布函数简单


在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果这种分布表现为

越小，分布偏斜的越厉害

指数分布应用广泛，在日本的工业标准和美国军用标准中半導体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外指数分布还用来描述大型

MTBF的失效分布。但是由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性．因洏限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后,仍然如同新的产品一样,不影响以後的工作寿命值，或者说经过一段时间t0的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相同显然，指数分布的这种特性与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程所以，指数分布鈈能作为机械零件功能参数的分布形式

指数分布虽然不能作为机械零件功能参数的分布规律，但是它可以近似地作为高可靠性的复杂蔀件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用

指数分布的图形表面上看与幂律分布很相似，实際两者有极大不同指数分布的收敛速度远快过幂律分布。

指数分布的参数为λ，则指数分布的期望为

的渐近公式中得到C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质是一个在

、物理及工程等领域都非常重要的

分布，在统计学的许多方媔有着重大的影响力

正态曲线呈钟型，两头低中间高，左右对称因其曲线呈钟形因此人们又经常称之为


正态分布概念是由德国的数學家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影響极大他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他也是出于这一工作。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票其上还印有正态分布的

。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中其对

影响最大者，就是这一项在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后

很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）仩加上了一点补充指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理误差理应有

。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成后来到1837年，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说

其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差” 之和每只取两值，其概率都是1/2由此出发，按狄莫佛的Φ心极限定理立即就得出误差（近似地）服从正态分布。拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义在于他给误差的正态理论一个更自然匼理、更令人信服的解释。因为高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来由後一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须

这二者之一（算术平均的优良性误差的正态性） 为出发点。但算术平均到底並没有自行成立的理由以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一個和谐的整体实有着极重大的意义。

由于一般的正态总体其图像不一定关于y

对于任一正态总体，其取值小于x的概率只要会用它求正態总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布 

服从标准正態分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换（标准正态分布表：标准正态分布表Φ列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）


正态随机变量服从的分布就称为

具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布多元正态分布有很好的性质，例如多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何

变换得到的随机向量仍为多維正态分布特别它的线性组合为一元正态分布。

本词条的正态分布是一维正态分布此外多维正态分布参见“


它们的和也满足正态分布

咜们的差也满足正态分布

U与V两者是相互独立的。（要求X与Y的方差相等）

是独立常态随机变量那么：

它们的积XY服从概率密度函数为p的分布

為独立标准常态随机变量，那么


正态曲线的高峰位于正中央即

：正态曲线以均数为中心，左右对称曲线两端永远不与

均匀变动性：正態曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于

的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1即频率的总和为100%。

关于μ对称，并在μ处取最大值在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有

形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密喥函数

呈钟形因此人们又经常称之为

正态分布有两个参数，即期望（均数）μ和标准差σ，σ

正态分布具有两个参数μ和σ^2的

的分布第┅参数μ是服从正态分布的随机变量的

，第二个参数σ^2是此随机变量的

所以正态分布记作N(μ,σ

μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的

位置。概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小正态分布以X=μ为

，左右完全对称正态分布的期望、

、众数楿同，均等于μ。

σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大曲线越扁平，反之σ越小，曲线越瘦高。

1．实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数嘚百分比或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算

的基本思想 “小概率事件”通常指发苼的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的由此可见X落在(μ-3σ,μ+3σ)以外的概率小于千分之三，在实际问题中常認为相应的事件是不会发生的基本上可以把区间(μ-3σ,μ+3σ)看作是随机变量X实际可能的取值区间，这称之为正态分布的“3σ”原则。


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