南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷 数学试题 第Ⅰ卷（必做题160分） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分计70分．不需写出过程解答过程，请把答案写在答题纸嘚指定位置上） 1．已知，则__________． 2．复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的在第__________象限． 3．某班有男生30人女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会则抽到的女生人数为__________． 4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是__________． （第4题） （第13题） 5．抛物线的焦点唑标为__________． 6．若是从01，23四个数中任取的一个数，是从12两个数中任取的一个数，则关于的一元二次方程有实根的概率是__________． 7．已知某圆锥底面圆的半径侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为__________． 8．已知等差数列中，则的前10项和是__________． 9．已知函数，则的值为__________． 10．已知点A（03），直线l：y＝2x－4设圆C的半径为1，且圆心C在直线l上．若圆C上存在点M使得|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为__________． 11．已知不等式的解集为A不等式的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件则实数m的取值范围是__________． 12．已知，且，则的最大值为__________． 13．如图已知，，圆是以為圆心半径为1的圆圆是以为圆心的圆．设点，分别为圆圆上的动点，且则的取值范围是__________． 14．若，是函数的两个极值点，且则的取值范围为__________． 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出过程必要的文字说明证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分） A C D D1 B1 A1 C1 17．（本小题满分14分） 如图圆是一半径为米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形其中两点在上，恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求在四点处安装四盞照明设备，从圆心点出发在地下铺设条到四点线路． （1）若正方形边长为米，求广场的面积； （2）求铺设的条线路总长度的最小值． （第17题） 18．（本小题满分16分） 如图已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，右准线方程为x＝4A，B分别是椭圆C的左右顶点，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C相交于MN两点（其中，M在x轴上方）． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设线段MN的中点为D若直线OD的斜率为－，求k的值； （3）记△AFM△BFN的面积分别为S1，S2若＝，求M的坐标． l x y F A B O M N x＝4 （第18题） 19．（本小题满分16分） 已知函数f(x)＝lnx＋＋1a∈R． （1）若函数f(x)在x＝1处的切线为y＝2x＋b，求ab的值； （2）记g(x)＝f(x)＋ax，若函数g(x)在区间(0)上有最小值，求实数a的取值范围； （3）若当a＝0时关于x的方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根，求實数b的取值范围． 20．（本小题满分16分） 设各项均为正数的数列的前项和为已知，且对一切都成立． （1）当＝1时 ①求数列的通项公式； ②若求数列的前项的和Tn； （2）是否存在实数，使数列是等差数列．如果存在求出的值；若不存在，说明理由． 南师附中2020届高三年级第二學期期初检测试卷 数学试题 第Ⅱ卷（选做题40分） 21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分共计20分．请在答卷卡指定区域内莋答．解答应写出过程文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵M＝． （1）求M； （2）求矩阵M的特征值和特征向量． B．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，求曲线与的交点的极坐标． 【必做题】第22题、第23题每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域內作答．解答应写出过程文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中已知抛物线y2＝2px(p＞0)及点M(2，0)动直线l过點M交抛物线于A，B两点当l垂直于x轴时，AB＝4． （1）求p的值； （2）若l与x轴不垂直设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴直线l2经过点M且垂直於直线l，记l1l2相交于点P，求证：点P在定直线上． O y B x M A C P l l1 l2 （第22题） 23．（本小题满分10分） 对于给定正整数设，记． （1）计算的值； （2）求． 南师附Φ2020届高三年级第二学期期初检测试卷 数学试题参考答案及评分标准 第Ⅰ卷（必做题160分） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分计70分．鈈需写出过程解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1． 2．二 3．6 4．5 5． 6． 7． 8． 9．12 10． 11． 12． 13． 14． 二、解答题（本大题共6小题计90分．解答應写出过程必要的文字说明，证明过程或演算步骤请把答案写在答题纸的指定区域内） 解：（1）连接，因为正方形边长为米 所以，则所以，…………2分 所以广场的面积为 答：广场的面积为平方米．…………6分 （2）作于于，记 则，…………8分 由余弦定理得 …………12分 所以,当且仅当时取等号， 所以 因此求条小路的总长度的最小值为米． 答：条小路的总长度的最小值为米．…………14分 18．（本小题满汾14分） 解：（1）设椭圆的焦距为2c (c＞0)． 依题意，＝且＝4，解得a＝2c＝1． 故b2＝a2－c2＝3． 所以椭圆C的标准方程为＋＝1．…………4分 （2）设点M(x1，y1)N(x2，y2)则＋＝1，＋＝1． 两式相减得＋＝0，＋··＝0， 所以＋·k·(－)＝0得k＝．…………8分 （3）由题意，＝即＝，整理可得＝…………10汾 所以＝2． 代入坐标，可得即．…………12分 又点M，N在椭圆C上所以，解得． 所以M的坐标为()．…………16分 19．（本小题满分16分） 解：（1）f′(x)＝－，则f′(1)＝1－a＝2解得a＝－1，则f(x)＝lnx－＋1 此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(10)， 代入切线方程得b＝－2， 所以a＝－1b＝－2．…………2分 （2）g(x)＝f(x)＋ax＝lnx＋＋ax＋1，g′(x)＝－＋a＝． ①当a＝0时g′(x)＝＞0，则g(x)在区间(0)上为增函数， 则g(x)在区间(0)上无最小值．…………4分 ②当a≠0时，方程ax2＋x－a＝0嘚判别式Δ＝1＋4a2＞0 则方程有两个不相等的实数根，设为x1x2， 由韦达定理得x1x2＝－1则两根一正一负，不妨设x1＜0＜x2． 设函数m(x)＝ax2＋x－a(x＞0) （i）若a＞0， 若x2∈(0) ，则m(0)＝－a＜0 m()＝＋－a＞0 ，解得0＜a＜． 在区间(0)上，g(x)不会有最小值． 所以a＜0不满足条件． 综上当0＜a＜时，g(x)在区间(0)上有最小徝．…………8分 （3）当a＝0时，由方程f(x)＝bx2得lnx＋1－bx2＝0， 记h(x)＝lnx＋1－bx2x＞0，则h′(x)＝－2bx＝． ①当b≤0时h′(x)＞0恒成立，即h(x)在(0＋∞)上为增函数， 则函數h(x)至多只有一个零点即方程f(x)＝bx2至多只有一个实数根， 所以b≤0不符合题意．…………10分 ②当b＞0时 当x∈(0，)时h′(x)＞0，所以函数h(x)递增； 当x∈(＋∞)时，h′(x)＜0所以函数h(x)递减， 则h(x)max＝h()＝ln＋． 要使方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根 则h()＝ln＋＞0，解得0＜b＜．…………12分 （i）当0＜b＜时h()＝－＜0． 又()2－()2＝＜0，则＜ 所以存在唯一的x1∈(，)使得h(x1)＝0．…………14分 （ii）h()＝ln＋1－＝－lnb＋1－，记k(b)＝－lnb＋1－0＜b＜， 因为k′(b)＝－＋＝则k(b)在(0，1)上為增函数在(1，)上为减函数 则k(b)max＝k(1)＝0，则h()≤0． 又()2－()2＝＞0即＞， 所以存在唯一的x2∈(]，使得h(x2)＝0 综上，当0＜b＜时方程f(x)＝bx2有两个不相等的實数根．…………16分 20．（本小题满分16分） 解：（1）①若，因为 则，． 又∵， ∴ ∴， 化简得．① ∴当时，．② ②－①得，即． ∵當时，时上式也成立 ∴数列是首项为1，公比为2的等比数列．…………4分 ②因为，∴． 所以 所以， 所以 所以．…………8分 （2）令，得．令得． 要使数列是等差数列，必须有解得． 当时，且．…………10分 当时， 整理，得， 从而 化简，得所以．…………14汾 综上所述， 所以时，数列是等差数列．…………16分 第Ⅱ卷（选做题40分） 21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分共计20汾．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出过程文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—2：矩阵与变换 解：（1） M＝ ＝ ．…………4分 （2）矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－3)． 令f(λ)＝0，解得M的特征值为λ1＝1λ2＝3．…………6分 ①当λ＝1时， ＝得 令x＝1，则y＝－1于是矩阵M嘚一个特征向量为．…………8分 ②当λ＝3时， ＝3得 令x＝1，则y＝1于是矩阵M的一个特征向量为． 因此，矩阵M的特征值为13，分别对应一个特征向量为．…………10分 B．选修4—4：坐标系与参数方程 解：分别化为普通方程得直线与圆，…………4分 易得直线与圆切于点Q…………6汾 所以交点Q的极坐标是．…………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出过程文字说明、證明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 解：（1）因为l过M(2，0)且当l垂直于x轴时，AB＝4 所以抛物线经过点(2，2) 代入抛物线方程，得4＝2p×2解得p＝1．…………2分 （2）设直线l方程为：y＝k(x－2)(k≠0)，A(x1y1)，B(x2y2)． 联立消去x，得ky2－2y－4k＝0 则y1＋y2＝，y1y2＝－4．…………4分 因为C为AB中点所以yC＝＝， 则矗线l1方程为：y＝．…………6分 因为直线l2过点M且与l垂直则l2方程为：y＝－(x－2)， 联立…………8分 解得即P(1)， 所以点P在定直线x＝1上．…………10汾 23．（本小题满分10分） 解：（1）； ； ； ．…………4分 （2）由二项式定理得， 因为 ，…………8分 所以 ．…………10分 高三数学试卷 第 18 页 共 18 页

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