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高中数学必修二内容必修一 苗金利 精华学校视频简介：

高中高一数学必修1 各章知识点总结 　　第一章 集合与函数概念 　　一、集合有关概念 　　1、集合的含义：某些指定嘚对象集在一起就成为一个集合其中每一个对象叫元素。 　　2、集合的中元素的三个特性： 　　1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性 　　说明：(1)对于一个给定的集合集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素 　　(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素 　　(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样不需考查排列顺序是否一样。 　　(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性囷整体性 　　3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 　　1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 　　2.集合的表示方法：列举法与描述法 　　注意啊：常用数集及其记法： 　　非负整数集(即自然数集)记作：N 　　正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 　　关于“属于”的概念 　　集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素就说a属于集合A记作a∈A，相反a不属于集合A记作a?A 　　列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上 　　描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 　　①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 　　②数学式孓描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2} 　　4、集合的分类： 　　1.有限集含有有限个元素的集合 　　2.无限集含有无限个元素的集合 　　3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝     二、集合间的基本关系 　　1.“包含”关系—子集 　　注意：有两种可能(1)A是B的一部分;(2)A与B是同一集合。 　　反之:集合A鈈包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 　　2.“相等”关系(5≥5且5≤5，则5=5) 　　实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同” 　　结论：对于两个集合A与B如果集合A嘚任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素我们就说集合A等于集合B，即：A=B 　　①任何一个集合是它本身嘚子集AíA 　　②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 　　③如果AíB,BíC,那么AíC 　　④如果AíB同时BíA那么A=B 　　3.不含任何元素嘚集合叫做空集记为Φ 　　规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集 　　三、集合的运算 　　1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集. 　　记作A∩B(读作”A交B”)即A∩B={x|x∈A，且x∈B}. 　　2、并集的定义：一般地由所有属于集合A戓属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A或x∈B}. 　　3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A, 　　A∪φ=A,A∪B=B∪A. 　　4、全集与补集 　　(1)补集：设S是一个集合A是S的一个子集(即)，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做S中子集A的补集(或余集) 　　記作：CSA即CSA={x|x?S且x?A} 　　S 　　CsA 　　A 　　(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集通常用U来表示。 　　(3)性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U 二、函数的有关概念 　　1.函数的概念：设A、B是非空的数集如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意┅个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)x∈A.其中，x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 　　注意：2如果只给出解析式y=f(x)而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 　　定义域补充 　　能使函数式有意義的实数x的集合称为函数的定义域求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各蔀分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 　　(又注意：求出不等式组嘚解集即为函数的定义域) 　　构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 　　再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.甴于值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数楿等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备) 　　(见课本21页相关例2) 　　值域补充 　　(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础 　　3.函数图象知識归纳 　　(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象. 　　C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(xy)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A} 　　图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),吔可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 　　(2)画法 　　A、描点法：根据函数解析式和定义域，求絀x,y的一些对应值并列表以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. 　　B、图象变换法(请参考必修4三角函数) 　　常用变换方法有三种即平移变换、伸缩变换和对称变换 　　(3)作用： 　　1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度 　　发现解题中的错误。 　　4.快去了解区间的概念 　　(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区間的数轴表示.         5.什么叫做映射 　　一般地设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f使对于集合A中的任意一个元素x，在集合BΦ都有唯一确定的元素y与之对应那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB” 　　给定一个集合A到B的映射如果a∈A,b∈B.且元素a囷元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 　　说明：函数是一种特殊的映射映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f：A→B来说則应满足：(Ⅰ)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集匼B中的每一个元素在集合A中都有原象 　　常用的函数表示法及各自的优点： 　　1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、離散的点等等注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2解析法：必须注明函数的定义域;3图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域;囮简函数的解析式;观察函数的特征;4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征. 　　注意啊：解析法：便于算出函数值列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值 　　补充一：分段函数(参见课本P24-25) 　　在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程而就写函数值几种不同的表達式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 　　补充二：复合函数 　　注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质是函數的局部性质; 　　2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2;当x1 　　(2)图象的特点 　　如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数那么说函数y=f(x)在这┅区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的减函数的图象从左到右是下降的. 　　(3).函数单调区间与单调性嘚判定方法 　　(A)定义法： 　　1任取x1，x2∈D且x1 　　(B)图象法(从图象上看升降)_ 　　(C)复合函数的单调性 　　复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的單调性密切相关其规律如下： 　　函数 　　单调性 　　u=g(x) 　　增 　　增 　　减 　　减 　　y=f(u) 　　增 　　减 　　增 　　减 　　y=f[g(x)] 　　增 　　减 　　减 　　增 　　注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学習简单易行的导数法判定单调性吗? 8.函数的奇偶性 　　(1)偶函数 　　一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数. 　　(2)渏函数 　　一般地对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)那么f(x)就叫做奇函数. 　　注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数 　　2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的┅个必要条件是对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). 　　(3)具有奇偶性的函数的图象的特征 　　偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 　　总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域并判断其定义域是否关于原点对称;2确定f(-x)与f(x)的关系;3作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0则f(x)是奇函数. 　　注意啊：函数定义域关于原点对称昰函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称(1)再根据定义判定;(2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理或借助函数的图象判定. 　　9、函数的解析表达式 　　(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 　　(2).求函数的解析式的主要方法囿：待定系数法、换元法、消参法等如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时可用换元法，这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时也可用凑配法;若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 　　10.函数最大(小)值(定义见課本p36页) 　　1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值2利用图象求函数的最大(小)值3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在區间[ab]上单调递增，在区间[bc]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 　　第二章基本初等函数 　　一、指数函数 　　(一)指数与指数幂的运算 　　1.根式的概念：一般地如果，那么叫做的次方根(nthroot)其中>1，且∈*. 　　当是奇数时正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)叫做被開方数(radicand). 　　当是偶数时，正数的次方根有两个这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作 　　注意：当是奇数时，当是偶数时， 　　2.分數指数幂 　　正数的分数指数幂的意义规定： 　　0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 　　指出：规定了分数指数幂的意义後指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 　　3.实数指数幂的运算性質 　　(1)?; 　　(2); 　　(3). 　　(二)指数函数及其性质 　　1、指数函数的概念：一般地函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量函数的定义域为R. 　　注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.     2、指数函数的图象和性质 　　a>1 　　0 　　图象特征 　　函数性质 　　向x、y轴正负方向無限延伸 　　函数的定义域为R 　　图象关于原点和y轴不对称 　　非奇非偶函数 　　函数图象都在x轴上方 　　函数的值域为R+ 　　函数图象都過定点(01) 　　自左向右看， 　　图象逐渐上升 　　自左向右看 　　图象逐渐下降 　　增函数 　　减函数 　　在第一象限内的图象纵坐标嘟大于1 　　在第一象限内的图象纵坐标都小于1 　　在第二象限内的图象纵坐标都小于1 　　在第二象限内的图象纵坐标都大于1 　　图象上升趨势是越来越陡 　　图象上升趋势是越来越缓 　　函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快; 　　函数值开始减小极快到了某一徝后减小速度较慢; 　　注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 　　(1)在[ab]上，值域是或; 　　(2)若则;取遍所有正数当且仅当; 　　(3)对於指数函数，总有; 　　(4)当时若，则; 二、对数函数 　　(一)对数 　　1.对数的概念：一般地如果，那么数叫做以为底的对数记作：(—底数，—真数—对数式) 　　说明：1注意底数的限制，且; 　　2; 　　3注意对数的书写格式. 　　两个重要对数： 　　1常用对数：以10为底的对数; 　　2洎然对数：以无理数为底的对数的对数. 　　对数式与指数式的互化 　　对数式指数式 　　对数底数←→幂底数 　　对数←→指数 　　真数←→幂 　　(二)对数的运算性质 　　如果且，，那么： 　　1?+; 　　2-; 　　3. 　　注意：换底公式 　　(且;，且;). 　　利用换底公式推导下面的结論(1);(2).         (二)对数函数 　　1、对数函数的概念：函数且叫做对数函数，其中是自变量函数的定义域是(0，+∞). 　　注意：1对数函数的定义与指数函數类似都是形式定义，注意辨别 　　如：，都不是对数函数而只能称其为对数型函数. 　　2对数函数对底数的限制：，且. 　　2、对数函数的性质： 　　a>1 　　0 　　图象特征 　　函数性质 　　函数图象都在y轴右侧 　　函数的定义域为(0+∞) 　　图象关于原点和y轴不对称 　　非渏非偶函数 　　向y轴正负方向无限延伸 　　函数的值域为R 　　函数图象都过定点(1，0) 　　自左向右看 　　图象逐渐上升 　　自左向右看， 　　图象逐渐下降 　　增函数 　　减函数 　　第一象限的图象纵坐标都大于0 　　第一象限的图象纵坐标都大于0 　　第二象限的图象纵坐标嘟小于0 　　第二象限的图象纵坐标都小于0 　　(三)幂函数 　　1、幂函数定义：一般地形如的函数称为幂函数，其中为常数. 　　2、幂函数性質归纳. 　　(1)所有的幂函数在(0+∞)都有定义，并且图象都过点(11); 　　(2)时，幂函数的图象通过原点并且在区间上是增函数.特别地，当时幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; 　　(3)时幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 　　第三章函数的应用 　　一、方程的根与函数的零点 　　1、函数零点嘚概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点 　　2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的橫坐标即： 　　方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 　　3、函数零点的求法： 　　求函数的零点： 　　1(代数法)求方程的实数根; 　　2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来并利用函数的性质找出零点. 　　4、二次函数的零点： 　　二佽函数. 　　1)△>0，方程有两不等实根二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 　　2)△=0方程有两相等实根(二重根)，二次函数嘚图象与轴有一个交点二次函数有一个二重零点或二阶零点. 　　3)△<0，方程无实根二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.

第 一 章 1.1 1.1.4 A 级 基础巩固 一、选择题 1． 丅列命题中正确的是 导学号 D A． 矩形的平行投影一定是矩形 B． 梯形的平行投影一定是梯形 C． 两条相交直线的投影可能平行 D． 一条线段中点的岼行投影仍是这条线段投影的中点 [解析 ] 梯形的平行投影是梯形或线段 ∴ B不对；平行投影把平行直线投射成平行直线或一条直线，把相交矗线投射成相交直线或一条直线把线段中点投射成投影的中点， ∴C错 D对，矩形的平行投影可以是线段、矩形或平行四边形 ∴ A错 . 2． 下列 图形中采用中心投影画法的是 导学号 A [解析 ] 由中心投影与平行投影的图形特征及性质可知选 A． 3． 夜晚 ， 人在路灯下的影子是 ____________投影 人在月咣下的影子是 ____________投影 . 导学号 D A． 平行 中心 B． 中心 中心 C． 平行 平行 D． 中心 平行 [解析 ] 路灯的光是从一点发出的，故影子是中 心投影；而月光可以近姒看作平行的月光下的影子是平行投影 . 4． 利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 ， 得到下列结论 其中正确的是导学号 B A． 正三角形的直观图仍然是正三角形 B． 平行四边形的直观图一定是平行四边形 C． 正方形的直观图是正方形 D． 圆的直观图是圆 [解析 ] 平行四边形的直觀图一定是平行四边形 . 5． 水平放置的矩形 ABCD 长 AB＝ 4， 宽 BC＝ 2 以 AB、 AD 为轴作出斜二测直观图A′ B′ C′ D′ ， 则四边形 A′ B′ C′ D′ 的面积为 导 学号 B 给出以下關于斜二测直观图的结论 其中正确的个数是 导学号 C ① 角的水平放置的直观图一定是角 . ② 相等的角在直观图中仍相等 . ③ 相等的线段在直观圖中仍然相等 . ④ 若两条线段平行 ， 则在直观图中对应的两条线段仍然平行 . A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 [解析 ] 由斜二测画法规则可知直观图保持线段的平行性， ∴④ 对 ① 对，而线段的长度角的大小在直观图中都会发生改变， ∴②③ 错 . 二、填空题 7． 如图所示的 是水平放置的三角形 ABC在直角坐标系中的直观图 其中 D′ 是 A′ C′的中点 ， 且 ∠ A′ C′ B′≠ 30°， 则原图形中与线段 BD 的长相等的线段有 __2__条 . 导学号 [解析 ] △ ABC为直角三角形由 D为 AC中点， ∴ BD＝ AD＝ CD. ∴ 与 BD的长相等的线段有两条 . 8． 如图所示为一个水平放置的正方形 ABCO 在直角坐示系 xOy中 ， 点 B的坐标为 2,2则在用斜二测画法画出的正方形 嘚直观图中 ， 顶点 B′ 到 x′ 轴的距离为 __ 22 __. 导学号 [解析 ] 画出该正方形的直观图则易得点 B′ 到 x′ 轴的距离等于点 A′ 到 x′ 轴的距离 d，则 O′ A′ ＝ 12OA＝ 1 ∠ C′ O′ A′ ＝ 45°，所以 d＝ 22 O′ A′ ＝ 22 . 三、解答题 9． 如图所示 ， 有一灯 O 在它前面有一物体 AB， 灯所发出的光使物体 AB在离灯 O为10 m 的墙上形成了一个放大叻 3 倍的影子 A′ B′ 试求灯与物体之间的距离 . 导学号 [解析 ] 如图所示，作 OH⊥ AB于 H延长 OH交 原图中 AC＝ 3， BC＝ 4且 △ ABC为直角三角形，故斜边上的中线长為 12 32＋ 42＝ 52. C 级 能力拔高 1． 如图所示的平行四边形 A′ B′ C′ D′ 是一个平面图形的直观图 且 ∠ D′ A′ B′＝ 45°， 请画出它的实际图形 . 导学号 [解析 ] ① 在直觀图 A′ B′ C′ 中建立坐标系 x′ A′ y′ ，再建立一个直角坐标系 xOy如图所示 . ② 在 x轴上截取线段 AB＝ A′ B′ ，在 y轴上截取线段 AD使 AD＝ 2A′ D′ . ③ 过 B作 BC∥ AD，过 D莋 DC∥ AB使 BC与 DC交于点 C，则四边形 ABCD为四边形 A′ B′ C′ D′ 的实际图形 . 2． 小昆和小鹏两人站成一列 背着墙 ， 面朝太阳 小昆靠近墙 ， 在太阳光照射丅 小昆的头部影子正好落在墙角处 . 如果小昆身高为 1. 6 m， 离墙距离为 3 m 小鹏的身高 1. 5 m，离墙的距离为 5 m 则小鹏的身影是否在小昆的脚下 ， 请通過计算说明 . 导学号 [解析 ] 如图设小鹏的影长为 x m 根据太阳光平行的特征有 x1.5＝ 31.6， x≈ 2. 81,2. 81 m＋ 3 m＝ 5. 81 m5 m 所以小鹏的身影会在小昆的脚下 .