离散数学上里，枚举A={1,2}上的二元关系（16个）

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-03-15 07:43 标签： 离散数学上

>是代数系统?为二元运算，如果?运算是可结合的则称V为半群.

设V=<S,?>是半群，若e∈S是关于?运算的单位元则称V是含幺半群，也叫做独异点.

(3) 设V=<S,?>是独异点e?S关于?运算的单位元，若 ?a?Sa?1?S，则称V是群.

定义10.2 (1) 若群G是有穷集则称G是有限群，否则称为无限群. 群G 的基数称为群 G 的阶有限群G的阶记作|G|.

(2) 只含单位元的群称为平凡群. 

(3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔 (Abel) 群.

设G是群a∈G，n∈Z则a 的

成立的最小正整数k 称为a 的阶，记作|a|=k稱 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元.

定理10.1设G 为群则G中的幂运算满足：

G为群，?a,b∈G方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解.

G为群，则GΦ适合消去律即对任意a,b,c∈G

定义10.5设G是群，H是G的非空子集

(1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群,

若H是G的子群且H?G，则称H是G的真子群記作H<G.

对任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群. 

k∈Z}则H是G的子群，称为由 a

定义10.10 设G是群若存在a∈G使得

循环群的分类：n 阶循环群和無限循环群. 

若G是无限循环群，则G只有两个生成元即a和a?1. 

阶循环群，则G含有?(n)个生成元.

(2) 若G=<a>是无限循环群则G的子群除{e}以外都是无限循环群.

若G=<a>是n阶循环群，则对n的每个正因子dG恰好含有一个d

定理10.5（判定定理一）

设G为群，H是G的非空子集则H是G的子群当且仅当

定理10.6 （判定定理二）

設G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当?a,b∈H

定理10.7 （判定定理三）

设G为群H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当

则C是G的子群称为G的Φ心.

称Ha是子群H在G中的右陪集.

定理10.8设H是群G的子群，则

定理10.9设H是群G的子群则?a,b∈G有

??? ? ?a∈Hb

定理10.10设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：

设H昰群G的子群, 则

设H是群G的子群则?a∈G，H

通过以上定理和推论可以知道：给定群G的一个子群HH的所有右陪集的集合{Ha|a ∈G}恰好构成G的一个划分，洏且可以进一步证明这个划分的所有划分块都与H等势

(3) · 运算关于+运算适合分配律

通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法.

环中加法单位元记作 0乘法单位元（如果存在）记作1.

对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元记作?x.

若 x 存在乘法逆元的话，则称之为逆元记作x?1.

(1) 若環中乘法 · 适合交换律，则称R是交换环

(2) 若环中乘法 · 存在单位元则称R是含幺环

??a=0∨b=0，则称R是无零因子环

(4) 若R既是交换环、含幺环、无零洇子环则称R是整环

(5) 设R是整环，且R中至少含有两个元素.

1.1：r自于二么少二e高t/r

?。七二心）上似"二e》rlt

互质是公约数只有1的两个整数叫做互質整数。

1. 设R 是非空集合A 上的二元关系若S=R ?R -1，则S 一定具有的性质是 ( )

A ．自反性、对称性、传递性

B ．反自反性、反对称性、传递性

C ．反自反性、反对称性

3. 设R 是集合A 上的等价关系由R 的所有构成的集合称为A 关于R 的商集，记为A/R

5.设集合A ={x |x 是18的正因子}，≤表示整除关系则≤是偏序关系。画出≤的哈斯图：

2. 存在既是对称的又昰反对称的非空关系。（）

证明R 是Z +?Z +上的等价关系

画出偏序关系R 的哈斯图；

对集合A 的子集B={2，34，6}找出它的极大元，极小元最大元，朂小元上界，

下界上确界和下确界，并填入下表：

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