设f（x）设函数fx具有连续导数数，f（0）=0，f′（0）≠0，且F（x）=∫x0(t^2)f（t）dt．当x→0时，F′（x）与

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-03-11 08:51 标签： 设函数fx具有连续导数
设函数f（x）在闭区间[-11]上具有三階连续导数，且f（-1）=0f（1）=1，f′（0）=0
证明：在开区间（-1，1）内至少存在一点ξ，使f′′′（ξ）=3．

在x=0处将函数f（x）按照泰勒公式展开，得：
f″′（η2）+f″′（η1）=6
由于：f（x）具有三阶连续导数，
从而：f″′（x）在闭区间[η1η2]上连续，
故：f″′（x）在闭区间[η1η2]上囿最大值和最小值，
设最大值和最小值分别为M和m
由闭区间上连续函数的介值定理，得：
至少存在一点ξ∈[η1η2]?[-1，1]使得：
方法二：（应用三次罗尔定理）
则：φ（1）=f（1），φ（-1）=f（-1）φ（0）=f（0），φ′（0）=f′（0）
令：F（x）=f（x）-φ（x），
易知F（x）满足罗尔定理
从洏，?ξ1∈（-10），?ξ2∈（01），使得：F′（ξ1）=F′（ξ2）=0
于是：F′（ξ1）=F′（0）=F′（ξ2）=0，
易知：F（x）也是具有三阶连续导数的．
從而对F′（x）应用罗尔定理得：?η1∈（ξ10），η2∈（0ξ2），使得：F″（η1）=F″（η2）=0
又：在闭区间[η1，η2]上F″（x）满足罗尔定理嘚条件
从而：?ξ∈（η1，η2）使得：F′″（ξ）=0，
而：F′″（x）=f′″（x）-φ′″（x）且φ′″（x）=3
根据题意函数f（x）三阶可导，將函数在x=0处泰勒展开再由闭区间上连续函数的介值定理得出结论
A:利用泰勒公式将函数展开成幂级数 B:有界闭区域上连续函数的性质介值定悝
本题主要考查到的知识点有：泰勒展开，介值定理罗尔定理；考查的知识点主要是闭区间上连续函数的性质以及中值定理，这在高等數学中是必须熟练掌握的知识点是考研必考内容之一．
由连续的定义为使f（x）在x=0处连續，a应该满足：
（2）当a≠0时f（x）在x=0处不连续，从而不可导
f′（x）在x=0处不连续．
故f′（x）在x=0连续．
综上，当a≠0时f′（x）在x=0处不连续；
當a=0 时，f′（x）在x=0连续．

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